एक मजेशीर गणिती श्लोक
माझे मित्र श्रीपाद अभ्यंकर ह्यांच्या ब्लॉगवर येथे पुढील श्लोक वाचावयास मिळाला:
इन्द्रो वायुर्यमश्चैव नैऋतो मध्यमस्तथा।
ईशानश्च कुबेरश्च अग्निर्वरुण एव च॥
ह्या श्लोकाचा मूळ स्रोत सापडू शकला नाही पण जालापुरता त्याचा स्रोत म्हणजे वर उल्लेखिलेला ब्लॉगच दिसतो. हे जवळजवळ निश्चिततेने म्हणता येते कारण की जालावर जेथे जेथे तो दिसतो तेथे तेथे तो ’इन्द्रः वायुर्यमश्चैव...’ असा लिहिला गेला आहे. सन्धिनियमांनुसार तो ’इन्द्रो वायुर्यमश्चैव...’ असा लिहावयास हवा. ही छोटीशी चूक अभ्यंकरांच्या ब्लॉगमध्येच आहे असे दिसते. तदनंतर प्रत्येकाने ’कापा-चिकटवा’ मार्गाने तो उचलला असल्याने ती चूक प्रत्येक ठिकाणी संक्रमित झाली आहे. अभ्यंकरांच्या स्वत:च्या उल्लेखानुसार त्यांनी हा श्लोक ’अमृत’ ह्या जुन्या मराठी डायजेस्ट मासिकात सुमारे ४० वर्षांपूर्वी वाचला होता.
संस्थळावर पुष्क्ळ जागी तो भास्कराचार्यांच्या ’लीलावती’मध्ये आहे, इतकेच नव्हे तर भास्कराचार्यांची कन्या लीलावती हिनेच तो रचला आहे असे निराधार उल्लेख सापडतात. ही बहुतेक सांगोवांगीची दंतकथा असावी. उपलब्ध ’लीलावती’ मध्ये तरी श्लोक कोठेच दिसत नाही.
अशा कारणाने मूळ माहीत नसलेल्या आणि काही देवांच्या नावांची केवळ यादी अशा स्वरूपाच्या ह्या श्लोकामध्ये एक मजेदार गणित दडलेले आहे.
श्लोकामधील देव हे आठ दिशांचे राखणदार असे अष्टदिक्पाल आहेत.
सर्वप्रथम वायव्य दिशेपासून सुरुवात करून आठ दिशा घडयाळाच्या काटयांच्या दिशेने आणि तिनातिनाचा ओळींमध्ये लिहा:
वायव्य उत्तर ईशान्य
पश्चिम (मध्यम) पूर्व
नैऋत्य दक्षिण आग्नेय
आता प्रत्येक दिशेच्या जागी तिच्या दिक्पालाचे नाव लिहा:
वायु कुबेर ईशान
वरुण (मध्यम) इन्द्र
नैऋत यम अग्नि
आता प्रत्येक देवाच्या नावाच्या जागी वरील श्लोकामधील त्याची क्रमसंख्या लिहा. ह्या क्रमसंख्या अशा आहेत:
इन्द्रो(१) वायु(२)र्यम(३)श्चैव नैऋतो(४) मध्यम(५)स्तथा।
ईशान(६)श्च कुबेर(७)श्च अग्नि(८)र्वरुण(९) एव च॥
२ ७ ६
९ ५ १
४ ३ ८
संख्यांची ही मांडणी म्हणजे तिसर्‍या पातळीचा आणि ’१५’ बेरीज असलेला मॅजिक स्क्वेअर आहे. ह्याच्या उभ्या-आडव्या ओळी आणि दोन्ही कर्णांमधील आकडयांची बेरीज १५ आहे.
प्रतिक्रिया
अतिशय
रोचक आहे!
मात्र ही पश्चातबुद्धी का श्लोक लिहितेवेळीच केलेला विचार आहे हे कसे समजावे?
- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!
+१
+१
--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars
बहुत रोचक! अन ही
बहुत रोचक!
अन ही पश्चात्बुद्धि असेलसे वाटत नाही. बरेचसे गणिती श्लोक अशा छापाचे असतात.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
छान
मात्र ही पश्चातबुद्धी का श्लोक लिहितेवेळीच केलेला विचार नाहि हे कसे समजावे?
सुहास
झाले गेले गंगेला मिळाले,
आता उदय नव्या रामाचा.
नमो नमो
रोचक. अवांतरः कोडं म्हणून हा
रोचक.
अवांतरः कोडं म्हणून हा श्लोक ऋषिकेश यांच्या कथेत (मागे ऐसीवर प्रकाशित केलेल्या) बसायला हरकत नाही.
बहुधा मोठया पुस्तकाचा एक भाग
मला असे वाटते की हा श्लोक बहुधा मोठया पुस्तकाचा एक भाग असावा. पुस्तक आता पूर्ण विस्मृतीत गेल्यासारखे वाटते, केवळ त्यातील हा एकच श्लोक स्मरणमात्र उरला आहे.
ह्या श्लोकात त्याच्या अन्तर्भूत अर्थाविषयी काहीच सूचना नाही. त्यामध्ये कोणतेहि क्रियापद वा अन्य प्रकारचे शब्द नाहीत, आहे ती केवळ काही देवांच्या नावाची यादी. ह्यावरून असे वाटते की कोठल्यातरी अज्ञात गणितविषयक पुस्तकात 'जादूच्या चौरसां'च्या (Magic Squares) विवरणाच्या ओघात हा श्लोक आला असावा आणि पुस्तक हरवल्यानंतर स्मृतिरूपात केवळ हा श्लोक उरला असावा.
हिंदु गणितामध्ये अशा चौरसांचे उल्लेख नागार्जुनाच्या काळापासून (इ.स. पहिले शतक?) सापडतात. जादूटोणा, गूढविद्येचा एक प्रकार अशा दृष्टीने त्यांच्याकडे पाहिले जाई आणि 'यन्त्रां'मध्ये त्यांचे चित्रण केले जाई असे दिसते. वराहमिहिराने त्यांचा उल्लेख केला आहे आणि १३५६ सालात लिहिल्या गेलेल्या नारायणकृत 'गणितकौमुदी' नावाच्या ग्रंथात एक संपूर्ण भाग त्यांच्या विस्तृत अभ्यासाला दिला आहे.
खजुराहो मंदिरांमध्ये असलेल्या पार्श्वनाथ मंदिरात (१२वे शतक) 'चौतीस यन्त्र' नावाचा 'जादूचा चौरस' शिलालेख स्वरूपात आहे. त्याचे विकिपीडियावरून घेतलेले हे चित्रः
ह्याचे वाचनः
७ १२ १ १४
२ १३ ८ ११
१६ ३ १० ५
९ ६ १५ ४
रोचक! बाय द वे: किम प्लोफ्कर
रोचक!
बाय द वे:
किम प्लोफ्कर यांच्या पुस्तकात नारायण पंडित या गणितीचा उल्लेख जादूच्या चौरसांसंदर्भात येतो-फॉर द सेक ऑफ इट म्हणून जादूच्या चौरसांची थिअरी डिव्हेलप करणारा हा पहिला आणि एकमेव गणिती असावा असेही वाचल्याचे आठवते.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
रोचक आहेच! बाकी अगदी १२व्या
रोचक आहेच!
बाकी अगदी १२व्या शतकातील '७' हा देवनागरी ७ पेक्षा रोमन 7 च्या अधिक जवळ जाणारा बघुनही गंमत वाटली
- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!
रोमन?
अरेबिक म्हणायचं आहे का? रोमन सात VII. (वरचा सात ब्राम्ही वाटतोय?)
-Nile
किती
सर्वात लहान ९ पूर्णांक वापरुन ९! इतके वरच्यासारखे पूर्णतः भिन्न ३*३ चौरस बनवता येतात.
यात एका विशिष्ट बेरजेपेक्षा कमी असणारी (१+२+३ = ६) आणि एका विशिष्ट अंकापेक्षा जास्त (९+८+७ = २४), म्हणजे ६ च्या खालचे आणि २४ च्या वरचे जादूई बेरजेचे चौरस असंभव आहेत.
इथे जी १५ अशी जी बेरीज आली आहे, हीच बेरीज येणारी किती काँबिनेशन्स असावीत?
३*३ मधेच इतर कोणतीही (१४, १६, इ)जादुई बेरीज येईल एकूण किती कॉम्बीनेशन्स असावीत?
इथे १५ चाच तेवढा आणि एकच जादुई चौकोन बनतो असे असेल तर सुडोकुचे इतके काँबीनेशन्स कसे?
सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.
सर्वात लहान पूर्णांक वापरून
सर्वात लहान पूर्णांक वापरून १५ बेरजेशिवाय कुठचाही चौरस तयार करणं शक्य नाही. याची सिद्धता म्हणजे कुठच्याही तीन ओळींची (उभ्या किंवा आडव्या) बेरीज ही ४५ यायला हवी - १ ते ९ ची बेरीज. तेव्हा १४ किंवा १६ शक्य नाही.
१५ बेरीज असलेली कॉंबिनेशन वेगवेगळी कशी म्हणावीत हा प्रश्न आहे. कारण एक विशिष्ट चौरस तयार केला की नवीन चौरस तयार करण्यासाठी
१. ९० अंशात फिरवणं.
२. आरशाप्रमाणे क्ष किंवा य अक्षात प्रतिमा घेणं
या दोन प्रक्रियांतून 'नवीन' चौरस तयार होतो. माझा अंदाज ४ गुणिले २ गुणिले २ = १६ वेगवेगळे चौरस बनवता येतील.
अत्यंत रोचक
दोन मिनिटात बाकी सगळं स्पष्ट झालं.
बाकी त्या क्ष आणि य अक्षावरच्या प्रतिमा (कोणत्याही दोन, (वरच्याच चौरसाच्या म्हणा काढून दाखवता येतील) कळल्या नाहीत.
नऊ उपचौरसांपैकी प्रत्येकाला अ, ब, ..., ह, इ अशी नऊ नावे दिली तर ९० अंशातून फिरवल्याने चार चौरस होतात. क्ष व य अक्षांवर प्रतिमा काढल्याने किंवा मागच्या वा पुढच्या बाजूने पाहिल्याने ४ पेक्षा जास्त उत्तरे कशी येतात ते उमगले नाही. आपण नविन शब्दाचा थोडा extra अर्थ काढला आहे किंवा मला नीट व्हिज्यूलाइज करता येत नाही आहे.
सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.
मुळात एकच अाहे
३ x ३ अाकाराचे असे अाठ मॅजिक स्क्वेअर्स बनवता येतात, पण ते सगळे वर दिलेल्या चौरसाचं वेगवेगळ्या अक्षांत परावर्तन करून बनतात. तेंव्हा या अर्थाने सगळ्यांच्या मुळाशी एकच चौरस अाहे. याउलट ४ x ४ अाकाराचे मूलत: भिन्न असे ८८० मॅजिक स्क्वेअर्स अाहेत.
पहा: http://www.mathematische-basteleien.de/magsquare.htm
- जयदीप चिपलकट्टी
(होमपेज)
दुव्यावरून
८ चौरस हे फूल अँड फायनल उत्तर आहे असे कळते.
सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.
हे पहा
जादूचा चौरस, लॅटिन चौरस, सुडोकू इ. वर काही प्राथमिक माहिती सुबोध शब्दांत येथे आहे.
हेहि पहा
आत्ताच मला असे दिसले की हिंदु गणितातील Magic Squares ह्या विषयावर विस्तृत माहिती books.google मध्ये 'Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Westen Cultures' ह्या पुस्तकात पृ.५२९ पासून पुढे उपलब्ध आहे. ह्या धाग्यातील माहितीला ती चांगली पुरवणी आहे असे वाटल्यावरून येथे हा उल्लेख नोंदवून ठेवत आहे.