गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा -7: कोनिग्सबर्गच्या पुलावरील परेड

आतापर्यंत होऊन गेलेल्या गणितज्ञांपैकी एक बहुआयामी, अत्यंत प्रतिभावान व्यक्ती म्हणून लिओन्हार्ड ऑयलर (1707-1783) या गणितज्ञाचे नाव सर्वात वरच्या क्रमांकावर असेल. दर वर्षी सुमारे 800 पानं लिहित आयुष्यभरात त्यांनी गणित विषयात सुमारे 500 अभ्यासपूर्ण ग्रंथांची भर घातली. सगळ्यात महत्वाचे म्हणजे वापरात असलेल्या गणितीय प्रमाणित संज्ञांसाठी इतर कुठल्याही गणितज्ञांपेक्षा त्याचे जास्त योगदान होते. जास्तीत जास्त दोन संज्ञा शोधणारे अनेक होते. परंतु ऑयलर यांनी π, ℮, ∑, log x, sinx, cosx and f (x) या सात संज्ञा गणितविश्वात प्रचारात आणल्या. या संज्ञेमुळे गणितविश्व समृद्ध झाले. ऑयलरच्या स्पष्टीकरणातून चंद्राची भ्रमणगती नेमकी किती आहे हे लक्षात आले. अनंत श्रेणी (Infinite Series) चे महत्व व मर्यादा याबद्दलही ऑयलर यानी मोठ्या प्रमाणात लिहून ठेवले आहे. संख्या सिद्धांतातील त्याचे योगदानही मोठे होते. व या सर्वापेंक्षा अत्यंत महत्वाचे म्हणजे गणितशास्त्रात त्यानी टोपोलॉजी या एका नवीन शाखेला जन्म दिला. टोपोलॉजी ही एक भूमितीशाखा असून आकार व आकृती यात बदल झाल्यामुळे गुणविशेषात फरक पडत नाही अशा गोष्टींचा ऊहापोह करण्यावर त्यात लक्ष केंद्रित केले आहे. याच टोपोलॉजीवर आधारित कोनिग्सबर्ग प्रॉब्लम ऑफ सेव्हन ब्रिजेस म्हणून ओळखत असलेल्या कोड्याचा गुंता सोडवण्याचा ऑयलर यांनी प्रयत्न केला होता. त्याचीच ही एक कल्पित कहाणी.

"माझं येथे लक्षच लागत नाही! कसली कडाक्याची थंडी!"
हाताची मुठी आवळून थंडीने कुडकुडत असलेला हा हडकुळा प्राध्यापक क्लासमध्ये अक्षरशः किंचाळत होता.
"डिमिट्री, त्या शेकोटीत अजून लाकडं आणून टाक बाबा. मेंदूच गोठल्यास माझं लेक्चर ऐकणं व गणित सोडवणं शक्य होणार नाही."
"परंतु सर, माझी पाळी संपली आहे. मागच्या वेळी मीच लाकडं आणून टाकली होती..."
"आणि तूच यानंतरसुद्धा लाकडं आणणार आहेस! माझ्या क्लासमध्ये कुणीही झोपत असलेले मला चालत नाही. तू मागच्या बेंचवर बसल्यामुळे मला कळणार नाही असे समजू नकोस.".
18-19 वर्षाचा गोरापान, राजबिंडा डिमिट्री खुर्ची मागे सरकवून थोड्याशा नाराजीनेच दरवाज्याकडे जाऊ लागला. मित्राच्या डेस्कजवळ जाताना "या आंधळ्या प्राध्यापकाला मी डोळे मिटले होते हे कसे काय कळले असेल?"
असे पुटपुटत पुढे जाऊ लागला.
"डिमिट्री, माझी दृष्टी अधू असेल, परंतु कान तीक्ष्ण आहेत हे विसरू नकोस. "
29 वर्षाच्या या प्रोफेसरला गेली तीन वर्षे नीट दिसत नव्हते. ऑयलरच्या दृष्टीदोषाचा फायदा घेणार्‍या विद्यार्थ्यांना कोंडीत पकडण्यात त्याला मजा वाटत होती.
"डिमिट्री, उशीर करू नकोस. या बिल्डिंगच्या पाठीमागच्या दरवाज्याजवळ सरपण ठेवलेले आहे."
"ती आता रिकामी झाली आहे, सर. हिवाळा भरपूर लांबला आहे. "

सेंट पीटर्सबर्गचा हिवाळा जास्त लांबतच चालला आहे, असे सर्वांना वाटत होते. थंडीसुद्धा कडाक्याची होती. दरवर्षी हे प्रमाण वाढतच चालले आहे, असे अनेकाना वाटत होते. 1735चा हिवाळा तरी वेगळा का असावा? ऑयलर शिकवत असलेली ही खोली तेवढी प्रशस्त नव्हती. खोलीत जेमतेम चाळीसेक विद्यार्थी मावले असते. अगदीच लाकडाची पेटी नसली तरी पॉलिश केलेल्या लाकडांच्या फळ्याची जमीन, काही उंच उंच खिडक्या, धूर ओकणारे व मंद प्रकाश देणारे काही गॅस लँप्स, व कोपर्‍यात एक छोटीशी शेकोटी असे त्या खोलीचे स्वरूप होते. ऑयलर सेंट पीटर्सबर्ग अकॅडेमीतील गणित विभागाचा मुख्य होता.

1735चा मार्च महिना. सेंट पीटर्सबर्ग शहर हिमाच्छादित झाले होते. कदाचित फळाफुलांना बहर आणणारा वसंत ऋतू लांबणार की काय असे वाटत होते. प्रोफेसर ऑयलर विद्यार्थ्यांकडे वळून "आपण इन्फायनेट सीरीजबद्दल चर्चा करत होतो की नाही? या थंडीने आपल्या चर्चेत व्यत्यय आणला.".

ऑयलर खुर्चीत रेलून बसला. समोर लांब टेबल. त्याचे सडपातळ हात मांडीवर विसावले होते. प्रोफेसरला त्यासुद्धा उचलता येतील की नाही एवढा अशक्तपणा जाणवत होता. परंतु त्याच्या चारी मुलांना उचलण्याइतपत त्या समर्थ होत्या, हे मात्र नक्की. किरकोळ बांध्याचा हा प्रोफेसर दिसायला तेवढा आकर्षक नव्हता. मात्र डोळे मिस्किल होते. चेहर्‍यावर कायमचे मंदहास्य.
डिमिट्री धापा टाकतच ऑडके घेऊन आला. शेकोटी पेटू लागली. ऑयलरला बरे वाटू लागले.
"शेकोटी पेटल्यावर ऊब येईल. ऊब आल्यास विचारात स्पष्टता येईल. डिमिट्री थँक्स. आपण आता Divergent व convergent श्रेणीबद्दल चर्चा करणार आहोत. व चर्चा संपेपर्यंत डोळे उघडे ठेव."
क्लास हसू लागला. डिमिट्रीचा चेहरा लालबुंद झाला व तो मागच्या बेंचवर जाऊन बसला.

"आपण आता एका साध्या उदाहरणापासून सुरुवात करू या. पीटर, बोर्डवर लिही:
x = 1-2+3-4+5-6............n. सगळ्यांना कळू दे तरी. "
तांबूस केसांचा पीटर खडू खरचटत लिहू लागला. ऑयलर मात्र आपले बोलणे चालू ठेवत होता.
"ही श्रेणी divergent की convergent? कुणी सांगू शकेल का? हात वर करा."
मागे बसलेला बालिश चेहर्‍याचा विद्यार्थी, " सर, ही convergent श्रेणी आहे. श्रेणी कितीही लांबली तरी एक निश्चित उत्तर त्यातून मिळणार आहे. म्हणजे n अधिक (n+1) पदं असल्यास ही श्रेणी निश्चित संख्येकडे जाणार."
"कुणाला तरी हे पटत नाही असे वाटते का?"
डिमिट्री उभा राहून," सर, ही divergent सीरीज आहे. प्रत्येक पद वाढत जात असताना एकदा + व पुन्हा - होत असल्यामुळे सिरीज अनंतापर्यंत वाढली तरी बेरीज अनिश्चित असणार. त्यामुळे ही divergent सीरीज आहे."
ऑयलर हसतच म्हणाला, " दोन्ही बाजूनी मांडणी केली जात आहे. परंतु यापैकी एकच उत्तर बरोबर असणार. आपण आता अजून एका उदाहरणावरून ही चर्चा पुढे नेऊ या. आपण याच श्रेणीचे व्यस्तांक (reciprocals)घेतल्यास काय होते ते पाहू या. व्यस्तांक असलेली श्रेणी अशी असेल.
x=1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6.......1/n. कुणी तरी बोर्डवर लिहून काढा बघू."
ऑयलर खडूची खरखर संपेपपर्यंत स्तब्ध उभा राहिला.
"डिमिट्री, ही सिरीज divergent की convergent ?"
डिमिट्री काही क्षण गोंधळला. नंतर स्वतःला सावरत, "सर, निश्चितपणे convergent!"
"का?"
"यातील प्रत्येक पद लहान लहान होत आहे. व काही पदानंतर शून्याच्या जवळपास ते जाईल. त्यामुळे श्रेणीची बेरीज एका निश्चित संख्येपर्यंत पोचणार. "
ऑयलर हात वर करत, "छान, छान. अगदी बरोबर, डिमिट्री. आपण आता पहिल्या श्रेणीकडे वळू या....."

तितक्यात शेजारच्या ऑफिसरूम मधून आरडा ओरडा ऐकू येऊ लागला. आदळ आपट व वाढत्या गलक्यामुळे चर्चा करणे अशक्य झाले. सर्व जण गप्प बसले. क्लासरूमचा दरवाजा उघडून स्वतःचे स्कर्ट सांभाळत ऑयलरची सेक्रेटरी, मादाम ब्रोव्हिन्स्की घाबरत घाबरतच ऑयलर समोर येऊन उभी राहिली.
"सॉरी, व्यत्यय आणल्याबद्दल. परंतु एक जर्मन माणूस...."
पलिकडच्या ऑफिसमधून आवाज आला, "हेर् गुटेर्लिग, कोनिग्सबर्गचा मेयर...."
ब्रोव्हिन्स्की पूर्ण वैतागली. तिचे डोळे किलकिले झाले. आवाज बारीक करत,
"एक उद्धट जर्मन माणूस आला असून त्याला गणिताची समस्या सोडविण्यासाठी तुम्हाला ताबडतोब भेटायचे आहे. "
"त्याला जर्मन गणितज्ञांकडे जायला सांग."
"सर, ते सर्व गणितज्ञंही त्याच्या सोबत आलेले आहेत. कुणालाही त्याच्या प्रश्नाचे उत्तर सापडत नाही. आणि त्या मेयरकडे वेळ फार कमी आहे म्हणे."
"कुणालाही सोडवता येत नाही?" ऑयलरचा चेहरा उजळला.
"कुणालाही नाही, सर...."
मेयर आतूनच ओरडला. "मी सर्व प्रयत्न करून पाहिलेले आहेत. कोनिग्सबर्गच्या परेडसाठी आता फक्त तुझ्यावर माझा भरवसा आहे......"

ऑयलरचा जन्म स्वित्झर्लंड येथे झाला होता. व शिक्षण जर्मनीत झाले होते. सेंट पीटर्सबर्गला यायच्या अगोदर तो स्वित्झर्लंड येथील बेसिल विद्यापीठात शिकत होता. तेथेच प्रसिद्ध शास्त्रज्ञ, बेर्नुलीच्या संपर्कात आला. आणि बेर्नुलीच्या शिफारशीमुळेच त्याला सेंट पीटर्सबर्ग विद्यापीठात संशोधन करण्यास वाव मिळाला. व बेर्नुलीच्या निवृत्तीनंतर तो गणिताचा प्राध्यापक झाला.

महापौराचे वक्तव्य ऐकल्यानंतर त्याला हसू आवरेना.
"आताचे जर्मन गणितज्ञ काही कामाचे नाहीत."
रशियन विद्यार्थीसुद्धा हसू लागले. मादाम ब्रोव्हिन्स्कीला जवळ बोलावून,
"त्या मेयरला येथे पाठवून दे. समस्या तरी काय आहे, ते बघू या."
उंचापुरा, दांडगा, अंगावर फरचा भला मोठा कोट व फरची टोपी घातलेला, धपाधप पावले टाकत मेयर थेट टेबलापाशी जाऊन थांबला. टेबलावरील सगळी पुस्तकं एका बाजूला ढकलून हातातील नकाशा पसरू लागला. ऑयलरकडे वळून, "हे बघा..." मध्येच त्याचे शब्द अडखळले. ऑयलरच्या डोळ्याकडे बघितल्यावर त्याला त्याची चूक उमगली. शरमिंदा होत, "सॉरी, माझ्या लक्षातच आले नाही की....."ऑयलरच्या ओठावर स्मित होते. थोडेसे हसतच, "मेयर तुम्ही तुमची समस्या मांडा. माझा मेंदू ताबडतोब या गोष्टी लक्षात ठेवू शकेल. व त्यातील गणितावर मी माझे लक्ष केंद्रित करू शकेन."

"खरोखर!" एक विद्यार्थी हळूच म्हणाला. "कुठलीही गुंतागुंतीची समस्या असो वा समीकरण असो, सर्व काही डोक्यात ठेऊनच सॉल्व करतात. कागदावर प्रश्न उतरवून काढेपर्यंत त्यांचे उत्तर तयार झालेले असते."
मेयर ऑयलरला समस्या समजावून सांगू लागला.
"कोनिग्सबर्ग येथे दोन नद्यांचा संगम होऊन प्रेजेल ही नदी वाहते.

ही प्रेजेल नदी वाहताना तेथे एक बेट तयार झालेले आहे. व त्या पलीकडे एक द्वीपकल्प.आहे. पहिले बेट व्यापारी केंद्र आहे व दुसर्‍या द्वीपकल्पावर जुनी वस्ती आहे. कोनिग्सबर्ग शहर नदीच्या दक्षिणेला व उत्तरेला पसरलेले आहे. बेटावरून शहरात य़ेण्याजाण्यासाठी सात पूल आहेत. दोन दक्षिणेच्या बाजूने, शहराच्या मध्यभागासाठी, दोन उत्तरेच्या बाजूने शहरात प्रवेश करण्यासाठी, दोन पूल जुन्या वस्तीसाठी व एक व्यापारी केंद्रावरून सरळ जुन्या वस्तीत प्रवेश करण्यासाठी ब्लॅकस्मिथ्स ब्रिज, कनेक्टिंग ब्रिज, ग्रीन ब्रिज, मर्चंट्स ब्रिज, वूडन ब्रिज, पाय ब्रिज व हनी ब्रिज, असे सात पूल आमच्या पूर्वजानी बांधलेले आहेत. "
"ऑयलर त्याला मध्येच थांबवत, "मेयर, मला तुझ्या शहरातील नदी, बेटं, व पूल यांची कल्पना करता येते. पीटर, हे सर्व फळ्यावर काढून दाखव. मेयर, तुझी समस्या तरी काय आहे?"
"या शहराची स्थापना होऊन 1000 वर्ष झाली. पुढच्या महिन्यात या सहस्रकाचा समारंभ करण्याचा विचार आहे. आख्यायिकेप्रमाणे त्यादिवशी बँड पथकाबरोबर एक परेड निघते. व ही परेड साती पुलावरून जायला हवी. यासाठी फक्त एक अट आहे. ही परेड प्रत्येक पुलावरून फक्त एकदाच जायला हवी. व शहरातून दोन्ही बेटांवर व पुन्हा शहरात यायला हवी. परंतु असे कधी झाले आहे का व होत नसल्यास का होत नाही याचे मला उत्तर हवे. "
मेयर अक्षरशः तेवढ्या थंडीतही घामाघूम झाला होता.

ऑयलर विद्यार्थ्यांना उद्देशून
"हे तुमच्यासाठी गणित आहे. तुम्हाला काय वाटते? हे शक्य होईल का?"
एक जण उठून म्हणाला, "बेटावर जाण्यायेण्यासाठी भरपूर पूल आहेत. त्यामुळे ही गोष्ट अवघड नाही."
"मी ही अट पाळून अनेक प्रकारे परेड घेऊन जाण्याचा प्रयत्न केला. परंतु ते शक्य नाही असे मला वाटते." अजून एकजण म्हणाला.
"आपल्याला प्रूफ हवे. केवळ अंदाज नको,” ऑयलर गरजला. “पुलांच्या संख्येमुळे वा जमिनीच्या विभागणीमुळे की या दोन्हीमुळे याचा शोध घ्यायला हवा. आपल्याला हे सर्व सैद्धांतिक स्वरूपात मांडता येईल का याचाही विचार करायला हवा. त्यामुळे पुलांची संख्या वा जमिनीच्या तुकड्य़ांची संख्या अप्रस्तुत ठरतील."
प्रोफेसर ऑयलर शांतपणे खुर्चीवर बसून राहिला. अशा वेळी सर विचार करत असतात, हे विद्यार्थ्यांना माहित होते. काही वेळानी दीर्घ श्वास सोडत ऑयलर उभे राहून "मेयर, मला तुझ्या या समस्येतील मूलभूत गोष्टी लक्षात येत आहेत. पीटर्सबर्ग येथे तू केठे राहतोस तो पत्ता माझ्या सेक्रेटरीकडे देऊन ठेव. उत्तर त्याच ठिकाणी पाठवतो."
मेयर आश्चर्यचकित होत, "तुम्ही हे सॉल्व करणार..".
"यात काय संशय? मेयर, आता आम्ही इन्फायनेट सीरीज समजून घेत आहोत. मी तुम्हाला कळवतो." असे म्हणत तो निरोप घेऊ लागला.

तीन दिवसानंतर मेयर गुंटर्लिंगला बोलावण्यात आले.
"मेयर, तुझे काम झाले. तुझ्या जर्मन गणिती मित्रांना तुम्हाला गणित येत नसल्यास रशियाला पाठवून द्यायला सांग. रशियन्स कुठलेही गणित सोडवू शकतात."
रशियन विद्यार्थी स्तुतीमुळे हुरळून गेले. मेयरचा चेहरा लालबुंद झाला होता.
"या समस्येचे उत्तर पूल किती आहेत यावर अवलंबून नसून जमिनीची विभागणी (लँडमास) कशी झाली आहे यावर अवलंबून आहे. येथील जमिनीची विभागणी A, B, C व D असे झाली आहे असे समजू या. A, व्यापारी केंद्र असलेले बेट, B दक्षिणेकडील शहराचा भाग, C जुनी वस्ती आणि D उत्तरेकडील शहराचा भाग.”
पीटर याऩी या नोंदी बोर्डावर केल्या.

“आता A पासून B ला कुठल्याही पुलावरून पार केले तरी त्याला आपण AB म्हणू या. एक पूल ओलांडला की 2 अक्षरं खर्ची घालू या. तेथून C वर गेल्यास ABC (2 पूल ओलांडल्यामुळे 3 अक्षरं..) " ऑयलर क्षणभर थांबला. मेयरचा खांदा हलवत, "काही लक्षात येते का?"
"हो. परंतु आपण परेड घेऊ शकू का?"
ऑयलर थोडेसे हसतच, "जरा दम धर. पहिल्यांदा गणित, व नंतर परेड. तर आता आपण एकेक पूल ओलांडून - वा n पूल ओलांडून n+1लँडमासवर जाऊ शकतो. यासाठी A वा B, कुठूनही सुरुवात केली तरी फरक पडणार नाही. आपण याचप्रमाणे प्रत्येक लँडमाससाठी हा तर्क वापरू शकतो. A जमिनीसाठी 2n पूल असल्यास (2n ही संख्या नेहमीच सम असते) A साठी n किंवा n+1 वेळा - A वा इतर ठिकाणाहून - जावू शकतो. "
"आपण परेड घेऊ शकू का?" मेयरचा प्रश्न.
"मला माझे म्हणणे अगोदर मांडू दे. जर लँडमास विषम संख्येत - (2n+1) - असलेल्या पुलांनी जोडलेले असल्यास लँडमासची संख्या n+1 असायला हवी. येथे तुम्ही कुठल्या पुलापासून सुरुवात करणार याला बंधन नाही. आता आपण लँडमास व पुलांची संख्या यांचा ताळमेळ घातल्यास आताच्या समस्येतील सात पुलांना 8 वेळा लँडमासला जोडावे लागेल. किंवा पुलांची संख्या एकने कमी किंवा जास्त करावे लागेल. "
"मी परेडची व्यवस्था करू का?" मेयर अस्वस्थ होत ओरडला.
"मी प्रथम गणितज्ञांच्या प्रश्नाला उत्तर देत आहे." थंडपणे ऑयलर सांगू लागला. "परेड घ्यायचे की नाही हे तू ठरव. यातील कळीचे मुद्दे पुलांची संख्या व लँडमासची संख्या ठरतील."
"मी परेड घेऊ शकेन का?" मेयर किंचाळला.
ऑयलर सौम्य आवाजात, "नाही.." म्हणून सांगितला. क्षणभर मेयर गुटर्लिंगला काय करावे हे कळेना. तोही खालच्या आवाजात, " नाही...?" असे विचारला.
"तुझ्याकडे चार लँडमास आहेत व विषम संख्येत पूल आहेत. तुला पुलावर दोनदा जायचे नाही या अटीवर परेड घ्यायचे असल्यास एक नवीन पूल तरी बांधावे लागेल वा एका पुलाचा वापर तरी टाळावे लागेल."
मेयर अक्षरशः रडकुंडीला आला. व टेबलावरील नकाशा गोळा करून पाय आपटत बाहेर पडला.

मेयरच्या या समस्येमुळे गणितशास्त्रात टोपोलॉजी या नवीन शाखेची भर पडली. भूमितीतील ही उपशाखा आकार व परिमाण यावर विसंबून नसते. टोपोलॉजीत कुठलेही कल्क्युलेशन्स वा मोजमाप नाहीत. येथे वस्तू कशा प्रकारे ठेवल्या जातात व त्यांच्या स्थानमानात बदल केल्यास काय परिणाम होऊ शकतो याचा अभ्यास केला जातो. आजकाल टोपोलॉजी ग्राफ थेअरी म्हणून ओळखली जाते.
कोनिग्सबर्गच्या परेडचे काय झाले व रशियन विद्यार्थी खरोखरच हुशार होते का, हा एका लेखाचा वेगळा विषय होऊ शकतो, हे मात्र नक्की.

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः

(भाग १ । भाग २ । भाग ३ । भाग ४ । भाग ५ । भाग ६)