गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा - 8: थेंबे थेंबे तळे साचे

जेव्हा गणितातील एखादी समस्या सहजासहजी सुटत नसते वा निरीक्षणाशी सुसंगत नसते किंवा अतर्क्य वाटते तेव्हा गणितज्ञ एखाद्या नवीन संकल्पनेला वा संज्ञेला वा एखाद्या नवीन तंत्राला जन्म देत असतात व त्या समस्येचे उत्तर शोधण्यात यशस्वी होतात. उदाहरणार्थ, 1992 साली अतीवास्तव (surreal) संख्यांचा शोध अनंताच्या पलिकडे काय असू शकेल या प्रश्नाच्या उत्तरासाठी झाला. अजूनही वैज्ञानिक या संज्ञेविषयी वा त्याच्या वापराविषयी गोंधळलेले आहेत. अनेक वेळा वैज्ञानिकांची निकड म्हणूनसुद्धा काही नवीन गणितीय संकल्पनांची भर पडते. त्या त्या कालखंडातील गणितीय नियम, तत्व, सिद्धांत इत्यादींचा वापर करूनही समस्या सुटण्याची चिन्हं नसल्यामुळे नवीन प्रकारची रीत, पद्धत वा संख्या यांची भर पडत असावी. कल्पित संख्यां (imaginary numbers) याच सदरात मोडतात.
x² = -4 हे समीकरण सोडवण्यासाठी कल्पित संख्याचा वापर करावा लागला.( - गुणिले - ) हे + असल्यामुळे संख्येचा वर्ग कधीच उणे असू शकत नाही. परंतु x² = -4 हे समीकरण कसे सुटणार? त्यासाठी 'i' ही संकल्पना राबवण्यात आली.

आयझॅक न्यूटनलाही (Isaac Newton) अशाच प्रकारचा प्रश्न पडला होता. चंद्र पृथ्वीभोवती व पृथ्वी सूर्याभोवती भ्रमण करत असतानाचे बल व त्या बलाचे नियंत्रण यावरून त्यानी गुरुत्वाकर्षणाचे नियम 1660च्या सुमारास शोधून काढले. हे नियम आजही विज्ञान व अभियांत्रिकीत वापरात आहेत.

परंतु या नियमांचा वापर करताना त्याला एका समस्येचा सामना करावा लागला. त्या काळचे गणितीय सिद्धात, रीत व नियम वापरून चंद्र, पृथ्वी व सूर्य यांच्यातील गुंतागुंतीच्या परस्पर बलांचे प्रमाण व गतीतील बदल नेमकेपणाने सांगता येत नव्हते. किती बल लागेल याचा त्याला अंदाज होता. व त्या एकमेकात गुंतलेल्या असून ग्रहांच्या गतीचे नियंत्रण त्या करत आहेत हेही त्याला माहित होते. परंतु गणितीय सूत्रातून हे बल व गती किती आहेत हे आकड्यामधून सांगण्यास तो असमर्थ होता. अशा प्रकारच्या गणितीय समस्यासाठी त्याला एका नवीन साधनाची गरज भासत होती. यासाठीच त्यानी कॅल्क्युलसचा शोध लावला. याचीच ही एक काल्पनिक कथा. (कॅल्क्युलसचा शोध फ्रेंच गणितज्ञ लेब्निट्झ यांनी लावला की न्यूटन या वादात न पडता न्यूटनने याचा शोध लावला या गृहितकावर ही कथा आधारलेली आहे.)

" आयझॅक अंकल, तुम्ही अजूनही बाहेरच बसून आहात!"
त्या बागेतील झाडाझुडपात मोठ्या प्रमाणात फुलपाखरं उडत होत्या. आयझॅक बागेत स्वस्थ बसून होता. निळ्या आकाशात अधून मधून ढग जात होते.
"जोश, मला येथे बसणे फार आवडते. शांतही आहे. व विचार करत बसण्यास चांगली जागा आहे. "
"अंकल, तुम्ही पूर्ण भिजला आहात. सकाळी पाऊस येऊन गेला."
गणित व विज्ञान या विषयांचा 23 वर्षाचा हा प्राध्यापक स्वतःच्या ओल्या कपड्याकडे बघत
"खरच की. मी भिजलो आहे."
खरे पाहता न्यूटन 23 वर्षापेक्षा वयाने आणखी लहान आहे की काय असे वाटत होते.
"मी येथे बसलो आहे कारण मी एक समस्या सोडवत आहे."
"पुन्हा तेच! अंकल, तुम्ही माझ्याबरोबर खेळायला येणार की नाही?"
आयझॅक न्यूटनचा आठ वर्षाचा भाचा, जोशुआ मार्श, हा उत्साही, खेळकर, खोडकर मुलगा होता. कायम काही ना काही प्रश्न विचारून मामाला भंडावून सोडत होता.
"अंकल, आई व तिच्या मैत्रिणी तिकडे गप्पा मारत आहेत. त्यातील एका आँटीने तुम्हाला खेळ-बीळ, मौज - मजा करता येत नाही असे म्हणत होती. मलाही तसेच वाटते. तुम्हाला फक्त विचार करत बसण्यास आवडते. बरोबर?"
भाच्याच्या डोक्यावरील केसात हात फिरवत
"आता मी एका मोठ्या समस्येचा विचार करत असून त्याचे उत्तर मला सापडत नाही."

इसवी सन 1666. संपूर्ण इंग्लंडमध्ये प्लेगची साथ पसरली होती. खेड्यांच्या तुलनेत शहरात त्याचा प्रादुर्भाव मोठ्या प्रमाणावर जाणवत होता. म्हणूनच शहरवासी शहर सोडून खेड्यात राहू लागले. सर्व विद्यापीठानी सुट्टी जाहीर केली होती. आयझॅक न्यूटनसारखे अनेक प्राध्यापक शहरातून बाहेर पडून खेडेगावात राहू लागले. खेड्यातील वातावरणात प्लेगची तीव्रता तेवढी जाणवत नव्हती. न्यूटन वूल्सथॉर्प या खेडेगावात राहणाऱ्या बहिणीकडे राहायला आला होता.
एक लांब उडी टाकून जोशुआ मामाच्या जवळ येऊन ओल्या गवतावर बसला. "अंकल आयझॅक, तुम्ही आता कशाबद्दल विचार करत होता?"
"चंद्राबद्दल..."
"पुन्हा चंद्राबद्दल? चंद्राजवळ पृथ्वीला धरून ठेवण्यासाठी गुरुत्वाची एक अदृश्य दोरी आहे असे तुम्हीच म्हणाला होतात ना?"
हसत हसत "अरे वा तुला हो सर्व आठवते.." न्यूटन उद्गारला.
"मला माहित आहे की तुम्ही हसू शकता, मजा करू शकता... "
"जोश, मला चंद्राच्या प्रदक्षिणेसाठी कुठून बल मिळत असेल याचा अंदाज आहे. परंतु.... "
आयझॅक उसासे टाकत आकाशातील ढगाकडे बघत म्हणाला,
"परंतु, त्या बलाचा परिणाम कसा होतो याचे वर्णन मी करू नाही."
"तुम्ही मला ते सांगू शकता का?"
"मला त्या बलांचा कशाप्रकारे परिणाम होतो हे गणिताच्या स्वरूपात वर्णन करून सांगायचे आहे. परंतु बीजगणितातील समीकरणांचे मर्यादा आहेत. हे बीजगणित मला आपण एखादे पेंटिंग बघितल्याप्रमाणे या क्षणी काय होते एवढेच सांगू शकते. ते एक स्थिर चित्र असते."
जोशुआचा चेहरा उजळला. "मला पेंटिंग बघायला फार आवडते... "
"बीजगणिताप्रमाणे पेंटिंगसुद्धा एखादा धावपटू पळत असल्यास फक्त त्यातील एका क्षणाचे चित्र रंगवते. पळणाऱ्याच्या चेहऱ्यावरील भाव व हाता-पायांची त्या क्षणी असलेली स्थिती त्या पेंटिंगमधून कळतात. परंतु तो किती वेगाने पळत आहे, कुठे कुठे वळण घेत आहे इ.इ. बारकावे त्यातून कळणार नाहीत. आणि मला नेमके याच गोष्टी हव्यात. "
जोशुआच्या आकलनापलीकडील हे विधान होते. त्याला काहीही अर्थबोध झाला नाही. मख्ख चेहरा करत,
"अंकल तुम्हाला चंद्रावर पळणाऱ्या धावपटूचे चित्र काढायचे आहे की काय?"
"जोश, चंद्रावरील बलांचे गणितीय चित्र मला हवे आहे. ... " तो नंतर स्वतःशीच बोलत असल्यासारखे पुटपुटू लागला, "बलप्रयोगातून गती... गतीतून वेग.... प्रवेग... "
"बल म्हणजे काय?"
"एखाद्या वस्तूला पुढे ढकलणे वा मागे ओढणे. परंतु जोश...."
"गती म्हणजे काय, अंकल?"
न्यूटन उसासे टाकत, "गती म्हणजे हालचाल, चलन...."
"ओह, म्हणजे आपण जेव्हा ढकलतो, तेव्हा ते हलते."
"हो. जोश परंतु...."
"यात कसले आले गणित? मलासुद्धा हे माहित आहे."
अभिमानाने जोश सांगू लागला.
न्यूटनला हे सर्व कसे समजाऊन सांगावे हे सुचत नव्हते. आकाशात ढग जमा होत होत्या. बल गतीत बदल घडवते. हीच तर समस्या आहे. न्यूटन बाहेरच्या जगापासून अलिप्त होत स्वतःच्या विचारात पार बुडून गेला. "बीजगणित गती सूचित करू शकते. परंतु गतीत बदल होत असल्यास या समीकरणांचा उपयोग होत नाही. अवकाशातील स्थान, वेग व वेगातील बदल टिपणारा प्रवेग हे सर्व एकाच वेळी गणितातून मी कशा प्रकारे व्यक्त करू शकतो? "
"प्रवेग म्हणजे काय, अंकल?"
न्यूटन दचकला. कारण हा प्रश्न त्याला अपेक्षित नव्हता. तेही एका चिमुकल्या मुलाकडून. तंद्रीतून बाहेर पडत,
"प्रवेग म्हणजे, जोश.... न्यूटन एक क्षणभर थांबून, तेथे तुला सफरचंदाची दोन झाडं दिसतात का?", संकल्पना समजावण्याच्या सुरात सांगू लागला. जोश होकार देत होता.
"तू तेथे जा. व त्या झाडाभोवती काही वेळ फेऱ्या घाल... "
"गंमतच आहे... " जोशुआ पुटपुटत पळू लागला.

त्याचे बूट ओल्या गवतात अडकत होते. तरीसुद्धा धडपडत तो झाडाजवळ पोचलासुद्धा.. झाडाभोवती फेऱ्या मारत असताना तो न्यूटनकडे पाहत होता. न्यूटन जोराने ओरडत, "जरा जोराने पळ, जोश.... " नंतर काही वेळाने, "जरा हळू पळ... " असे काही वेळा जोराने पळायला व काही वेळा हळू पळायला अंकल सांगत होता. जोशला मजा वाटत होती. काही वेळाने धापा टाकत ओल्या गवतातून पळत पळत जोश मामाकडे आला. जोराने पळणे व नंतर हळू पळणे यातच प्रवेग आहे.

कपड्यावरील चिखल काढत व तोंड पुसत असलेल्या जोशुआला यातले काही कळले नाही.
"मला कंटाळा आला आहे, अंकल. पुढच्या वेळी हे सर्व मला पुन्हा एकदा शिकवा," असे म्हणत जोश खेळण्यासाठी पळत पळत गेला. जोशुआचा गोंधळ बघताना न्यूटनला हसू आवरेना. जोशुआने इतके वेळ केलेली कृती त्याला आठवत होती. त्या कृतीचे विश्लेषण तो करू लागला.

एक छोटासा तुकडा.... लहानसा तुकडा.... वक्र रेषेचा अगदी लहानसा भाग सरळ रेषेसारखाच दिसणार. प्रवेग वक्र रेषेत दाखवत असल्यास त्याचा लहान तुकडा सरळ रेषेसारखाच दिसणार. वेगाच्या सरळ रेषेप्रमाणेच हा लहान तुकडा दिसणार. बीजगणित केवळ गुंतागुंतीच्या मोठ-मोठ्या समस्यांकडे लक्ष देते. व संपूर्णपणे अर्थबोधही त्यातून होत नाही. मी जर लहान लहान तुकड्यांकडे लक्ष दिल्यास या समस्येला कदाचित उत्तर मिळू शकेल.

आकाशात विजा चमकू लागल्या. ढगांचा कडकडाट ऐकू येऊ लागला.
"जोश, आपल्याला घरी परतायला हवे. पाऊस येईल."
"मी आई व आँटीबरोबर गप्पा मारत बसू का?"
"जरूर. तू मला विचार करण्यासाठी चांगली कल्पना दिलेली आहेस."
जोशची छाती किंचित फुगली.
"मी तुम्हाला कल्पना दिली...?"
कडेवर हात ठेऊन जोश अंकलकडे बघू लागला.
"जोश, पावसाचे थेंब पडू लागले. पटकन चल."
"अंकल, थँक्यू म्हणा. कुणी काही दिल्यास थँक्यू म्हणायला पाहिजे असे आई सांगते."
न्यूटन हसत हसतच "थँक्यू जोश. ही कल्पना कशी काम करते हे तुला सांगेनच."

पावसाचे थेंब मोठ मोठे होऊ लागले. पाऊस जोराने पडू लागला. दोघेही पळतच सुटले. हॉलमध्ये जोशचे आई - वडील, मित्र - मैत्रिणी गप्पा मारत होत्या. जोश त्यांच्या हसण्या - खिदळण्यात सामील झाला. न्यूटन बाजूच्या जिन्यावरून अभ्यासिकेत शिरला. अभ्यासिकेतील खिडकीच्या काचामधून पावसाच्या ओघळणाऱ्या थेंबाकडे पाहत उभा राहिला.
विश्लेषणाचे तुकडे करायचे म्हणजे नेमके काय करायचे? कशाचे तुकडे...? किती तुकडे? तुकड्याचे काही मोजमाप..?बीजगणितातील समीकरणं असे तुकडे करू शकतील का? अशी एखादी रीत खरोखरच अस्तित्वात असेल का?... असले अनेक प्रश्न त्याच्या डोक्यात काहूर माजवू लागले.

बाहेर धोधो पाऊस पडत होता. खालून हसण्याचा गप्पांचा आवाज ऐकू येत होता. परंतु न्यूटनच्या डोक्यात कल्पना साकार होऊ लागली. या संकल्पनेच्या बाजूच्या व विरोधाच्या मुद्द्यावर तो विचार करू लागला. बारीक बारीक तुकडे...मी जर समस्येचे हळू हळू वाढत जाणाऱ्या तुकड्यात विभागणी केल्यास - increamental पद्धत वापरल्यास - बीजगणिताचे नियम वापरून चंद्रभ्रमण मार्ग, पृथ्वीभोवती फिरतानाचे वेग, वेगात होणारे बदल, पृथ्वी, चंद्र व सूर्य यांचे एकमेकावरील बलप्रयोग यांचा मी नक्कीच अंदाज घेऊ शकेन. खरे पाहता मला ढोबळ अंदाज नकोत. नेमके आकडे हवेत. परंतु इन्क्रिमेंट जितके लहान असतील त्याप्रमाणात यांची संख्याही भरपूर असेल. जेव्हा त्यांची बेरीज केली जाईल तेव्हा त्यातील चुका फारच कमी असतील. जितके लहान इन्क्रिमेंट तितके अचूक उत्तर! तरीसुद्धा हा अंदाजच असेल. परंतु नेमक्या उत्तराजवळ पोचवणारा हा अंदाज असेल!

हा नवीन विचार त्याला स्वस्थ बसवून देत नव्हता. बाहेरची वीजच त्याच्या अंगात संचारल्यासारखे त्याची अवस्था झाली. बीजगणितीय संकल्पना वापरून शून्यलब्धी (infinitesimal) असलेले अनंत तुकडे करून उत्तर शोधत असल्यास समस्या नक्कीच सुटेल, हा आत्मविश्वास त्याच्याकडे होता.
परंतु हे करायचे कसे?

यापूर्वीच्या गणितज्ञांनी हे केलेही असेल. असे तोंडाने पुटपुटत तो पुस्तकाच्या कपाटापाशी गेला. अर्किमिडीस, गॅलिलिओ, केप्लर, कार्डानो, फेर्मा, ह्युजेन्स आणि इतर अनेक ग्रीक वा रोमन गणितज्ञांची पुस्तकं येथे होत्या. एकेक पुस्तक बाहेर काढून ठेवू लागला.
"अंकल, तुम्ही काय करत आहात?" जोश दरवाज्यातून डोकावत विचारला.
"गणित.."
"नाही. तुम्ही काही तरी वाचत आहात. एका तासापूर्वी मी तुमच्या जेवणाचे ताट येथे आणून ठेवल्यापासून तुम्ही वाचतच आहात."
थंड झालेल्या ताटाकडे बघत न्यूटन आश्चर्यचकित झाला.
"मी वाचनाच्या नादात हे विसरूनच गेला होतो. यापूर्वीच्या गणितज्ञांनी काय शोध लावला, कसा शोध लावला, यातच मी बुडून गेलो होतो. "
जोशुआ टेबलावर हात टेकत व टेबलावरील एका पुस्तकाची पानं चाळत "यात एवढे मन लावून वाचण्यासारखे काहीही नाही."
"जोश, हे सगळे फारच गंमतीशीर आहे. यापूर्वीच्या गणितज्ञांना अनेक गोष्टी माहित होत्या परंतु प्रत्यक्ष व्यवहारात त्याचा वापर होतो की नाही याची त्यांना कल्पना नव्हती. हेच बघ की. इन्क्रिमेंट्सची संकल्पना व बीजगणितातील समीकरणं वापरून ते समस्येचे उत्तर शोधत होते. परंतु त्यांच्यासमोर उत्तर बरोबर आहे की चूक हे समजून देणारी वास्तवातील समस्याच नव्हती. त्यामुळे त्यांना शेवटपर्यंत त्यांची रीत बरोबर की चुकीची हो कळलेच नाही. सुदैवाने आज माझ्यासमोर अशी एक समस्या आहे. चंद्र पृथ्वीभोवती प्रदक्षिणा घालत असताना गतीच्या नियमानुसार बलाचा प्रयोग होत असतो. (F=ma) infinitesimalचा शोध लावलेल्या या पूर्वीच्या गणितज्ञांना अशा प्रकारचे बल वा गती असतात याची कल्पनाच नव्हती. त्यामुळे वास्तवात त्याचा वापर ते करू शकले नाहीत."
" infinitesimal म्हणजे काय?"
"जोश, मी तुला ते दाखवतो. या कागदाचे दोन तुकडे कर. परत दोन दोन तुकडे कर. कागदाचे तुकडे लहान झाले की नाही?"
"अंकल, खरोखरच लहान झाले. हे अगदीच सोपे आहे. "
"परंतु हे infinitesimally लहान आहेत का?"
"मला यातले काही कळत नाही, " जोशुआ
"नाही. हा तुकडा लहान नाही. लहानाच्या जवळपाससुद्धा नाही. अजून त्याचे तुकडे कर. अजून कर, अजून कर.... "
"अंकल, हे फारच लहान तुकडे आहेत."
दोन्ही बोटांच्यामध्ये एक तुकडा दाखवत जोश म्हणाला. "अंकल, हा तुकडा infinitesimal असेल का?"
"माहित नाही. परंतु अजूनही जवळपास नाही. अजून पाच - सहा वेळा तुकडे कर."
"पाच -सहा वेळा... " डोळे विस्फारत जोश विचारत होता.
"त्याच्यानंतर दहा वेळा...."
"मला तुकडा दिसणारही नाही.... "
"तुला तो तुकडा दिसतो असे समज. त्याचे हजार तुकडे कर. त्यातील एका तुकड्याचे पुन्हा हजार तुकडे कर. "
जोशुआ घाबरला. "अंकल, हातात काहीच नसणार...."
न्यूटन हसतच म्हणाला, "अगदी बरोबर. .... अगदीच नसणार असे नव्हे. परंतु नसण्याच्या अगदी जवळपर्यंत. व त्याचे मोजमापही करता येणार नाही इतके अत्यल्प... "
"अगोदरच सांगायचे नाही का अंकल, बघा, कागदाचे तुकडे करून घरभर कचरा केला मी...."
"तू मोठा झाल्यानंतर हे सर्व तुला शिकायचे आहे..."
मध्येच न्यूटनला तोडत, "मला माहित आहे, हे सर्व शिकावे लागेल. परंतु अंकल, जेव्हा मी एखादी गोष्ट प्रत्यक्ष करून बघतो तेव्हा मला काही तरी केल्याचे समाधान मिळते. आता मी हा कचरा स्वच्छ करू का?"
न्यूटन प्रेमाने जोशच्या केसात हात फिरवत "थंक्यू जोश, कचरा उचलून टाक. हे किती तुकडे आहेत याचा अंदाज आहे का? त्याची बेरीज करणे जमेल का? यानंतर आपल्याला कागदाचे एवढे बारीक तुकडे करत बसण्याची गरज भासणार नाही. मीसुद्धा समस्येच्या उत्तरासाठी असेच सूक्ष्मातीसूक्ष्म तुकडे करून त्यांची बेरीज करणार आहे."
"ती बेरीज संपायला कित्येक दिवस लागतील, अंकल."
न्यूटन हसत म्हणाला, "काही वेळातच ही बेरीज करता येईल. यासाठी मी एक नवीन प्रकारचे गणित शोधून काढणार आहे. अशा प्रकारच्या समस्यांसाठी ही समीकरणं सहजपणे वापरता येतील. "
"अंकल, तुमच्या गणितातील ही नवी रीत कचरा गोळा करणाऱ्या या केरसुणीपेक्षा नक्कीच चांगली असेल!"

अशा प्रकारे कॅल्क्युलस या गणित शाखेचा उदय झाला गणित शाखेचा उदय झाला. यात डिफरन्शियल व इंटिग्रल कॅल्क्युलस अशा दोन उपशाखा आहेत. न्यूटनने बेरीज करण्याची अगदी सोपी रीत शोधून काढली. आणि बेरजेसाठी लागणारा वेळही कमी झाला. नाहीतर केवळ बेरीज करण्यासाठीच आयुष्यभर खस्ता खाव्या लागल्या असत्या. infinitesimal इन्क्रिमेंटचे लाखो, करोडो तुकडे करत समस्याचे शोध घेणे यामुळे शक्य झाले. कॅल्क्युलसच्या शोधामुळे आधुनिक भौतिकी, रसायनशास्त्र, सागरविज्ञान, खगोलशास्त्र वा जेथे जेथे अचूक अशा संख्यात्मक उत्तराची गरज भासते अशा विज्ञानशाखेतील अभ्यास फारच सोपा झाला.

या महान गणितज्ञाने गतीनियमांचा शोध लावला. त्यानी शोधलेले गतीनियम व गुरुत्व नियम यांचा वापर पुढील दोनशे वर्ष भौतिकी, अभियांत्रिकी, खगोलशास्त्र, रॉकेट डायनॅमिक्स इत्यादींच्या विकासासाठी केल्यामुळे मानवाने फार मोठी प्रगती केली. ऑप्टिक्स व सामान्य गणितासाठीसुद्धा त्याचे योगदान होते. त्यानी आपले सर्व संशोधन प्रिन्सिपिया मॅथेमॅटिका या प्रचंड ग्रंथातून प्रसिद्ध केले. यासाठी रोज 18 तास तो खपत होता व ग्रंथ पूर्ण करण्यासाठी दोन वर्ष लागली.

परंतु प्रिन्सिपिया मॅथेमॅटिका लिहित असताना या प्राध्यापक महाशयाचे वर्ग कोण घेत होते हा प्रश्न अनुत्तरीतच राहिला!

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः
या पूर्वीचे लेखः
भाग १ । भाग २। भाग ३ ।भाग ४ । भाग ५ । भाग ६ । भाग ७ ।