गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा – 10: इन्फिनिटीच्याहीपेक्षा मोठे …

गणिताचा विकास हा एका दिवसात झालेला नाही. शेकडो वर्षे व हजारो गणितज्ञ यांच्या बौद्धिक श्रमाच्या फलितातून उत्क्रांत होत आलेला हा अभ्यासाचा विषय आहे. 4000 वर्षापूर्वीचे गणितीय नियम व सिध्दांत कुठलेही बदल न करता अजूनही वापरले जातात. यातच या विषयाचा थोरपणा अधोरोखित होतो.

जेव्हा माणूस वस्तू मोजण्यास शिकला तेव्हा प्रत्येक संख्येसाठी वेगवेगळ्या शब्दांची रचना त्यांनी केली व काही वेळा त्याला जेव्हा मोजणे अशक्य झाले त्यासाठीसुध्दा तो एखादा विशिष्ट शब्द वापरू लागला. प्राचीन काळातील काही टोळ्यांना 19 नंतरचे आकडे मोजता येत नव्हते. तेव्हा त्या नंतरच्या संख्यासाठी 'मला न मोजता येणारे' अशा अर्थाचा शब्द ते वापरत होते.

जस जसा मानवी संस्कृतीचा विकास होत गेला त्यानुसार मोठ मोठ्या संख्याची शब्द रचना उपलब्ध झाली. आज तर एका पुढे 600 शून्य असलेल्या संख्येसाठी सुध्दा नाव आहे. तरीसुध्दा याच्या नंतरही संख्या असू शकते याची जाणही माणसाला आहे. त्यामुळे कालामानाप्रमाणे 'अनंतता' वा इन्फिनिटी (infinity) हा शब्द प्रयोग अती मोठ्या संख्येसाठी वापरला जाऊ लागला.

काही गणितज्ञांच्या मते इन्फिनिटी ही संकल्पना संख्या पध्दतीला मारुन टाकणारी अशी समजली जाते. अनंत वस्तू असलेल्या ढिगामध्ये आपण 10 -12 वस्तू त्यात टाकल्यास ही संख्या पहिल्या पेक्षा जास्त असणार असे आपल्या कॉमनसेन्सला वाटते. परंतु गणितात या ढिगाला सुध्दा इन्फिनिटीच म्हटले जाते, हे काही तर्काला पटत नाही. म्हणूनच जसजसे आपण इन्फिनिटीच्या जवळ पोचू लागतो तस तसे संख्या पध्दतीचे नियम कोसळून पडतात.

गेल्या शंभर-दोनशे वर्षात दूरदर्शक व सूक्ष्मदर्शक यांच्यात भरपूर सुधारणा झाली आहे. त्यामुळे अती मोठ्या संख्या व अती सूक्ष्म संख्यांना ओळखण्याची गरज पडू लागली. अवआण्विक (subatomic) शास्त्रज्ञ व खगोल शास्त्रज्ञ अनुक्रमे सूक्ष्मातीसूक्ष्म आणि भरपूर दूरवर व प्रचंड गात्र असलेल्या अवकाशातील ग्रह - नक्षत्रांचे निरीक्षण करत असतात. इन्फिनिटी हा शब्द आता त्यांना पुरेसा वाटेनासा झाला आहे. इन्फिनिटी दर्शविणारे हे ∞ चिन्ह आता निरूपयोगी ठरणार की काय अशी स्थिती आहे. कारण सूक्ष्मातीसूक्ष्म वस्तू मोजण्यासाठी 1 / ∞ हे चिन्ह व प्रचंड गात्रांची तुलना करताना > ∞ हे चिन्ह निरूपयोगी ठरत आहेत.

गणितामध्ये जेव्हा एखादी समस्या उद्भवते तेव्हा गणितज्ञ मार्ग काढून समस्येचे निवारण करतात. यावेळीसुद्धा रुट्गेर्स (Rutgers) विद्यापीठातील दोन गणितज्ञ पुढाकार घेऊन काही नवीन संकल्पनांची मांडणी केली आहे. त्यांचीच ही एक कथा.

हडसन् नदीच्या काठी, न्यू जेर्सी येथील बेर्गन कौंटीत 1992च्या ऑगस्ट महिन्यातही कडक उन्हाळा जाणवत होता. भरपूर झाडी - झुडपं असूनसुद्धा तेथील रहिवाशी घामाघूम होत होते. लहान मुलांचा बहुतेक वेळ बंगल्यासमोरील हिरवळीवर जात होता. अशाच एका बंगल्यासमोरील हिरवळीवर 9 वर्षाची युवान व 8 वर्षाचा जॉर्ज क्रुस्गल गप्पा मारत बसले होते.
"मी आताच एक ग्लास सरबत पिऊन आले." युवान कपाळावरील केस मागे घेत म्हणाली.
"मी तर दोन ग्लास घेतले असते" जॉर्ज पुटपुटला.
"तू दोन घेतल्यास मी तीन ग्लास घेईन." युवानचे उत्तर.
मित्र मैत्रिणी असल्यातरी मी तुझ्यापेक्षा वरचढ ही खोड काही जात नव्हती.
"मी 10 ग्लास घेईन."
"खरच?"
"खरच!"
"मी शंभर ग्लास.... "
"नको. फार होतील."
"काही नाही. मी घेऊ शकतो. "
"मग मी एक कोटी घेईन."
"अस का. एक कोटी म्हणे..... शंभर कोटी, लाख कोटी, ....."
असे एकमेकाशी ओरडू लागले.
शेवटी जॉर्ज म्हणाला. "मी इन्फिनिटी ग्लास घेईन."
"अशी संख्याच नाही." युवानची शंका.
"आहे. जेव्हा आपल्याकडे मोजता न येण्याइतपत वस्तू असतात, तेव्हा त्याला इन्फिनिटी वस्तू असे म्हणतात." जॉर्जचे शंका निरसन.
"मग मी इन्फिनिटी + 1 ग्लास घेईन. " युवानचा उत्साह.
"युवान, अशी संख्या नसते. इन्फिनिटीत 1 जमा केल्यास उत्तर पुन्हा इन्फिनिटीच येते."
"काही का असू दे. तू जितके ग्लास घेशील त्यापेक्षा मी एक जास्त घेईन." युवानचे अल्टिमेटम.
येथे मात्र जॉर्ज गोंधळला. इन्फिनिटी + 1 हे गणितीय नियमात बसेल का? युवान तसे करू शकती का?

त्याच वेळी त्याचे काका मार्टिन क्रुस्कल (Martin Kruskal) सायकलीवरून घरासमोर आलेले दिसले. ते रुट्गेर्स विद्यापीठातील गणित विभागाचे प्रमुख होते. त्यांना बघितल्या बघितल्या दोन्ही मुलांनी गलका केला. जॉर्ज काकाला आपल्या भांडणाचा विषय सांगण्यासाठी पुढे जाऊ लागला. युवान चार पावलं मागे राहिली. काका पुतण्या एक होऊन मला बोलू देणार नाहीत अशी शंका तिला वाटत होती.
"अंकल मार्टिन, तिला जरा समजावून सांगा की इन्फिनिटी + 1 हे नियमाच्या विरुद्ध आहे."
युवान मध्येच त्याला आडवत "कसले नियम? तुझ्याकडे इन्फिनिटी असल्यास माझ्याकडे इन्फिनिटी + 1 असणार. एकदम सोप... " युवानची स्पष्टोक्ती.
68 वर्षाच्या मार्टिनला या दोन्ही मुलांच्या भांडणाच्या विषयाचे कौतुक वाटले. गंमत वाटली. थोडेसे अडखळतच "माझ्या मते इन्फिनिटी + 1 ..... होऊ शकते......"
युवान उडी मारत खिजवू लागली. जॉर्ज हिरमुसला. मार्टिन त्याच्याकडे बघत "तरीसुद्धा इन्फिनिटी + 1 हे इन्फिनिटीच असणार... !"
"नाही, तसे नाही... अधिक 1 असायला हवे...." युवान ओरडली.
"मग माझ्याकडे 10 इन्फिनिटी + 2 आहेत... "जॉर्जही ओरडला.
"परंतु तसे म्हटले तरी ती इन्फिनिटीच होणार." अंकल मार्टिनचे उत्तर.
"कसला हा मूर्खपणा. अगदी शेंबड्या पोरालाही 10 पट म्हणजे पहिल्यापेक्षा खूप जास्त हे कळते." युवानची टिप्पणी.
"नाही, ते सर्व इन्फिनिटीच असणार." मार्टिनचे उत्तर.
युवान हसायला लागली. "म्हणजे इन्फिनिटीतून 10 -12 वजा केले तरी इन्फिनिटीच राहणार.... काही तरी घोळ आहे... जॉर्ज, तुझ्या अंकलला गणितातले सर्व काही कळते असे तू म्हणत होतास. परंतु गणितात असे काही घडते याची कल्पना मला नव्हती."
"अंकल, प्लीज सांगा की खर काय आहे?" जॉर्ज.
"मी जे सांगतो ते सर्व खरे आहे. इन्फिनिटी तून काही वजा केल्यास वा काही जमा केल्यास इन्फिनिटीच राहते. त्याला दोनदा गुणिले तरी इन्फिनिटीच असते. हे बघा, इन्फिनिटी ही मुळात संख्या नाही. संख्येचा पलिकडची ही संकल्पना आहे. व त्याला आपण गणिताच्या नियमात बसवत आहोत."
"तुझ्या अंकलला काही येत नाही व त्याला काही कळत नाही". युवान हळूच जॉर्जच्या कानात गुणगुणली. जॉर्जलाही ते पटले. तो निराश झाला. अंकलला बाय बाय करत ही मुलं निघून गेली.

***

दुसर्‍या दिवशी सकाळी सकाळीच मार्टिन क्रुस्कल रुट्गेर्सच्या गणित विभागातील प्रशस्त खोलीत पोचला. एक मीटिंग होती. तेव्हाही जॉर्ज व युवान यांची टीका टिप्पणी तो विसरू शकत नव्हता. 8 -10 वर्षाची ही चिमुरडी मुलंसुद्धा इन्फिनिटीतील चूक शोधू शकतात याचे त्याला आश्चर्य वाटू लागले. कदाचित युवानला कसे समजावून सांगावे हे त्याला जमले नसेल. तरीसुद्धा इन्फिनिटी ही संख्या पद्धतीत चपखल बसत नाही याची त्याला पुरेपूर खात्री होती.

त्याच वेळी 56 वर्षाचा प्रा. कॉनवे व त्याचे दोन विद्यार्थी समोर येऊन बसले.
"जॉन , माझ्यासमोर एक समस्या आहे. ..." मार्टिन म्हणाला.
"समस्या... व तेही तुझ्या आवाक्याबाहेरचे... काही तरीच काय..." चेष्टेच्या स्वरात कॉनवे म्हणाला.
"चेष्टा जाऊ दे. माझ ऐक. आपण दर वेळी इन्फिनिटीचा उल्लेख करतो व ती आपल्याला चकवत असते. इन्फिनिटीला आपण क्रमित संख्येच्या रांगेत (ordered numbers) बसवू शकत नाही. त्यामुळे संख्या इन्फिनिटीच्या जवळ पास येऊ वागते तेव्हा संख्या पद्धतच कोसळू लागते. आणि आपण त्याला दुर्लक्षितही करू शकत नाही."
क्रमित संख्यांच्या मागे एक तर्क असते. 5 ही संख्या 3 पेक्षा मोठी आहे व 3, 1 पेक्षा मोठी. त्यामुळे 5 ही संख्या 1 पेक्षा मोठी असणारच. (If a>b and b>c, then a>c) किंवा a=b व b=c असल्यास a=c असणारच.
"परंतु हे सर्व नियम इन्फिनिटीच्या जवळ पास लागू होत नाहीत. संख्या पद्धतीत काही उणीव आहे हे यावरून स्पष्ट होत आहे"
"कसल्या उणिवा...?" कुणीतरी पुटपुटले.
जॉन स्पष्टीकरण देऊ लागला. "मुळातच संख्या पद्धतीत सुरुवातीपासूनच अनेक दोष होते. पहिल्या पहिल्यांदा संख्या पद्धत म्हणजे 1,2,3,4... या पूर्णांक संख्या हा समज होता. कारण हेच आकडे मोजता येण्यासारख्या होत्या. 4, 5 होत्या; परंतु साडेचार वा पावणे पाच अस्तित्वात नव्हत्या. जेव्हा आपल्या पूर्वजांना भागाकाराचा शोध लागला तेव्हा त्यांना पूर्णांकातील उणिवा लक्षात येऊ लागल्या. त्यांनी दोन संख्यांच्या मध्ये असलेल्या या अपूर्णांकाचा समावेश संख्या पद्धतीत केले. अपूर्णांकातसुद्धा काही उणिवा तशाच राहिल्या. मग त्यासाठी अपरिमेय संख्याची त्यात भर घालण्यात आली. आणि त्यानंतर त्रिघात वा त्यापेक्षा जास्त असलेल्या घातांकांचे समीकरण सोडवण्यासाठी कल्पित संख्यांना समाविष्ट केले. आता आपल्यासमोरील अजून एका उणिवासाठी काही तरी करण्याची गरज भासत आहे."
"कसल्या उणिवा?" विद्यार्थ्याचा प्रश्न
"शून्य आणि लहानातले लहान अपूर्णांक यांच्यात एक फार मोठी दरी आहे. आपण जेव्हा सूक्ष्म घटकांचे मोजमाप घेण्याचा प्रयत्न करत असतो - उदा, अणूमधील प्रोटान वा न्यूट्रानच्या चलनवलनांचा अंदाज घेत असतो - तेव्हा ही उणीव प्रकर्षाने जाणवते. आपण त्याचे मोजमाप करू शकत नाही वा त्याचे नेमके वर्णन करू शकत नाही. जेव्हा मोजमाप इन्फिनिटीच्या जवळ पास जाते - उदा, खगोल शास्त्रज्ञ जेव्हा ब्रह्मांडाची मोजमाप करण्याच्या प्रयत्नात असतात - तेव्हासुद्धा हीच अडचण उद्भवते. काही वेळा संमिश्र संख्यांचे उत्तर (complex numbers) असलेल्या समीकरणात मध्येच कुठेतरी थांबावे लागते. अशा समीकरणांचे स्पष्टीकरण क्लिष्ट असते व ही समस्या डिझाइन इंजिनियर्सची डोकेदुखी होऊन बसते. या उणिवा संख्या पद्धतीलाच नष्ट करू पाहत आहेत."
विद्यार्थ्यांना यातून काही अर्थबोध होत नव्हता. "संख्या पद्धत तर अजूनपर्यंत उत्कृष्टपणे काम करत आहे. यात कसली अडचण..?" विद्यार्थ्यांची टिप्पणी.
कॉनवे व क्रुस्कल एकमेकाकडे बघू लागले.
"कारण यापूर्वी समीकरणांचे उत्तर न सापडल्यास आपण त्याकडे दुर्लक्ष करतो. त्यामुळे संख्या पद्धत परिपूर्ण आहे असे वाटू लागते. परंतु यानंतर आपल्याला काही गोष्टी दुर्लक्ष करून चालणार नाही. "
"परंतु.. जर सातत्य नसल्यास समस्या सुटणार नाहीत..." विद्यार्थ्याची शंका.
"त्यामुळेच आपल्याला योग्य उत्तर शोधावेच लागेल." मार्टिन क्रुस्कल.
"परंतु हे कसे जमणार...? " विद्यार्थी
"संख्या पद्धतीत नवीन भर घालून..." कॉनवेचे उत्तर.
दोन्ही विद्यार्थ्यांना आपले हे प्राध्यापक विनोद करत आहेत की काय असे वाटून हसू लागले.
"ही हसण्यावारी नेण्यासारखी गोष्ट नाही. आम्ही याविषयी भरपूर विचार केला असून पूर्ण विचार करूनच या निर्णयाला पोचलो आहोत." कॉनवे थोड्याशा रागानेच म्हणाला.
"एका नवीन प्रकारच्या संख्येची भर..." क्रुस्कल बाहेर कुठेतरी बघत होता. "कदाचित शक्य होईल...." कॉनवे कडे बघत ".....कँटर?..."
"कँटर काय आहे?" विद्यार्थ्याचा प्रश्न
"कँटर काय आहे नव्हे, तर कोण आहे असे विचारायला हवे." विद्यार्थ्याला क्रुस्कल झापला.
"तो कोण आहे?" पुन्हा प्रश्न
"अरे, तू गणिताचा विद्यार्थी. गणिताच्या इतिहासाचा तुला परिचय नाही याचे आश्चर्य वाटते. जिऑर्ग कँटर हा 19व्या शतकातील जर्मन गणितज्ञ होता. हासुद्धा इन्फिनिटीतील सातत्याच्या अभावाबद्दल विचार करत होता. याविषयी त्यांनी काही ठोकताळे बांधले होते. त्याला इन्फिनिटी म्हणजे नेमके किती याचा शोध घ्यावयाचा होता. परंतु त्याच्या मृत्युमुळे ते काम अर्धवट राहिले."
विद्यार्थ्याना अजूनही काही कळत नव्हते.
"इन्फिनिटी म्हणजे किती हे कुणीही सांगू शकणार नाही."
"आम्ही अजूनही त्याची चाचणी घेत आहोत. हाती काही तरी लागेल अशी आशा आहे." जॉन कॉनवे.
मग तो उठून खोलीतील फळ्याकडे गेला. त्यावर Ω (ओमेगा) हे ग्रीक अक्षर गिरवले.
"ओमेगा, हे कशाचे चिन्ह आहे?"
"इन्फिनिटी किती मोठी असू शकते हे सुचविणारी ही एक संज्ञा आहे. तुम्ही संख्या मोजता मोजता इन्फिनिटीपर्यंत पोहोचल्यावर नंतर काय हा प्रश्न उद्भवतो. त्यावेळी Ω हे चिन्ह उपयोगात येते. व त्याचा संख्येप्रमाणे वापर करत येते. "
"परंतु ही Ω किती मोठी आहे याची काही कल्पना आहे का?" विद्यार्थ्याची शंका.
"ती किती मोठी आहे याची कल्पना नसली तरी ती एक क्रमित संख्या होऊ शकते. आपण ∞ + 1 म्हणजे किती हे सांगू शकत नाही. परंतु Ω +1 ही एक तुलनेने मोठी संख्या आहे हे आपण निश्चितच सांगू शकतो. त्यामुळे
Ω+1> Ω > Ω-1
अशी मांडणी करू शकतो. व हे गणितीय नियमात बसू शकते. आता इन्फिनिटीला एक निर्दिष्ट दिशा मिळू शकेल. इन्फिनिटीच्याही पलिकडे असलेल्या संख्यांना Ω सूचित करू शकते. व त्याना गणितीय नियम लागू होतात."
"परंतु Ω चे मूल्य....."
"त्याची गरज ऩाही. Ω किती मोठी आहे हे समजून घेण्यासाठी त्याच्या मूल्याची गरज नाही. त्यावरून त्याचे अस्तित्व ठरत नाही. त्या मुळातच अतिवास्तव संख्या (Surreal_number ) या सदरात मोडतात."
"अतिवास्तव म्हणजे...".
"मार्टिनने हे नाव ठेवले आहे." कॉनवे सांगू लागला. "या नवीन संख्यांना आपण अतिवास्तव संख्या असे म्हणू शकतो. आताच्या संख्या पद्धतीतील उणिवा त्या भरून काढणार आहेत. विचार करा, आपण इन्फिनिटीच्या अगदी जवळ असलेली रिक्त जागा भरून काढू शकतो. त्याचप्रमाणे शून्याच्या जवळही अशीच रिक्त जागा आहे. कल्पना करा, ती किती असेल?"
"अत्यल्प, infinitesimically small."
"त्याची व्याख्या करता येईल का?"
"नाही. फार फार तर 1 भागिले इन्फिनिटी (1÷ Ω) असे म्हणता येईल. तरीसुद्धा अजूनही रिक्त जागा आहे असे वाटत असल्यास त्याची व्याप्ती वाढवता येईल...1 ÷ 2Ω वा 1÷10 Ω ..... किंवा 1 ÷ (ΩxΩ) असेही म्हणू शकतो. त्यामुळे शून्याच्या जवळची जागा भरून काढण्यात अडचण येणार नाही."
विद्यार्थी हळू हळू उठू लागले. अजूनही त्यांना हा सर्व प्रकार विनोदी वाटत होता.

परंतु संख्या पद्धतीतील उणिवा भरून काढण्यासाठी कॉनवे व क्रुस्कल यांची अतिवास्तव संख्या वापरल्या जात आहेत. याच्या वापरामुळे खगोलशास्त्र, अभियांत्रिकी व भौतिकी यांच्यातील काही क्लिष्ट संकल्पना स्पष्ट होत आहेत. कदाचित या शतकातील विज्ञान - तंत्रज्ञान यातील संशोधनाला ही संख्या कलाटणी देईल असा विश्वास वैज्ञानिकांना वाटत आहे.

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन

या पूर्वीचे लेखः
भाग 1 । भाग 2 । भाग 3 । भाग 4 । भाग 5 । भाग 6 । भाग 7 । भाग 8 । भाग 9 ।

..........समाप्त

field_vote: 
4.5
Your rating: None Average: 4.5 (6 votes)

प्रतिक्रिया

निव्वळ अप्रतिम लेखमालिका.....

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सुहास

झाले गेले गंगेला मिळाले,
आता उदय नव्या रामाचा.
नमो नमो

लेखनशैली लैच आवडली. सुर्रिअल नंबरपर्यंत चर्चा आणलीत हे अतिशय आवडले.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

लहान असताना सैद्धांतिक गोष्टी मला निरर्थक व व्यवहारात बिनकामाच्या वाटत.
जसेजसे थोडेफार समजू लागले तेव्हा थक्क व्हायला झाले.
म्हणजे ट्यूरिंग मशिन जेव्हा बनली असेल तेव्हाही ती बिन्डोक संकल्पनाच वाटली असणार.
पण कालांतरानं सैद्धांतिक गोष्टी आणि उपयोजित ज्ञान ह्यांचा झकास संगम झाला की त्याला मूर्त रूप येतं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

क्रुस्कल बाहेर कुठेतरी बघत होता. "कदाचित शक्य होईल.... कॉनवे कडे बघत कँटर?...(Cantor)"
..............'कॉनवे कडे बघत कँटर?' हे वाक्य कळले नाही.
---
या भागाआधी कॅन्टरच्या 'डायगोनलायझेशन् आर्ग्युमेन्ट्*'वर लेख यायला हवा होता असे वाटले. 'अनंतापेक्षाही मोठ्या'च्या संकल्पनेआधी 'संचाची गणित-अगणितता' हा भाग जाणणे महत्त्वाचा आहे, असे वाटते.
(अर्थात, ही लेखमाला गणितज्ज्ञांविषयी आहे ही कल्पना आहे. तरीही, कॅन्टरची एखादी गोष्ट आधी येऊन गेली असती तर उत्तम, असे वाटले. मी आधीचे सगळे भाग वाचलेले नाहीत त्यामुळे अशी गोष्ट येऊन गेली असल्यास या प्रतिसादाकडे दुर्लक्ष करावे.)

*कर्णक्लृप्ती ? Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कर्णक्लृप्ती शब्द भयंकर आवडल्या गेला आहे. एखाद्या नवलीलावतीकारास खचितच पयोगी पडेल!!!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

छान लेख. खूप आवडला.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

एकुण लेखमाला मस्त! पण हा भाग पूर्ण नाही समजला. Sad

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मला ह्या लेखातील विवेचन नीटसे कळले नाही. कॉलेजमध्ये ह्याविषयी मी जे शिकलो होतो त्यातील आठवणारी गोष्ट:

All infinities are not alike and some can be said to be 'larger' than others.

The sets 1) all rational numbers, 2) all integers, 3) all prime numbers are infinities and those at 2) and 3) are subsets of 1. Yet, in a way, they are all 'alike' because they can be 'ordered' or 'counted', i.e., a one-to-one correlation or mapping can be established between them and the set of all integers 1,2,3.... These may be called 'countable infinities'.

Moving on, we can show other infinities that appear 'larger' in that they are not 'countable'. The infinite set of all real numbers, as an example, is clearly not 'countable' and is 'larger' than the infinite set of all integers.

वरील लेखामध्ये हे सुचवायचे आहे काय?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मलाही आधी हीच शंका आली.

परंतु मग लेखात दिलेला "surreal numbers" दुवा वाचला, आणि फरक कळला.

----
(मूळ लेखकाकरिता)
लेख आवडला. नवी माहिती कळली.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

"surreal numbers" अजून पूर्णपणे समजलेले नाहीत, पण लेखामुळे ही माहिती समजली.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

एव्हरिस्ट आणि त्याची शोकांतिका अजुन डोक्यात ताजी होती. म्हणुन ताबडतोब क्रुस्कल आणि कॉनवे गुगलून काढले. क्रुस्कल गेला ८१ व्या वर्षी तर कॉनवे ७६ चा आहे आता.
>>कदाचित या शतकातील विज्ञान - तंत्रज्ञान यातील संशोधनाला ही संख्या कलाटणी देईल असा विश्वास वैज्ञानिकांना वाटत आहे.>> +१ काय बाप माणसं आहेत ही..!!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

चांगलि माहिति.

गणिताविषयि लिहितांना लेखकांनि काळजि घेतलि पाहिजे असे माझे आपले मत आहे. म्हणजे सेट, रिंग, ग्रुप, फिल्ड या संकल्पना थोडक्यात सांगुन मग सरियल नंबर्स विषयि लिहायला हवे. म्हणजे ते नॅचरल, रियल, रॅशनल यांच्या सेटपेक्षा वेगळि संकल्पना आहे हे लोकांना समजेल. हि टिका आहे असे कृपया समजु नये. आपला लेख फार महत्त्वाचा आहे म्हणुन त्यात उणिवा नसाव्यात असे प्रामाणिकपणे वाटते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

__________
श्रेणिव्यवस्था जिंदाबाद - मालकशाहि जिंदाबाद

लेखाचा विषय अत्यंत रोचक आहे इतकेच कळले.

बाकी विवेचन डोक्यावरुन ४५००० फुटांवरुन गेले.

सरियल नंबर्सबाबतचा विकीदुवा क्लिकवून तिथे वाचले तेव्हा तर ही उंची अंतराळापर्यंत वाढली.

आमच्या शाळेतल्या गणिताच्या काळेसरांनी आमच्यावर खूप कष्ट घेतले, प्रेमाने समजावून, मारुन, हरतर्‍हेने प्रयत्न केले पण आम्ही त्यांस घवघवीत अपयश दिले हे पुन्हा एकदा जाणवून दु:ख झाले. त्यांची माफी मागायची इच्छा होते आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

बाकी विवेचन डोक्यावरुन ४५००० फुटांवरुन गेले.

आपले विमान थोडे जास्त उंचीवरून जात आहे असे वाटले नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

तरी बरं ते विमानांवर लेख लिहितात

किंवा

गविंच्या(पन इन्टेडेड) एवढ्या वरुन गेला असल्यास आमच्या तर म्हणजे इन्फिनिट वरुन गेला असावा, हे लेखाला धरुन झाले.

टिप- हा प्रतिसाद विनोदी आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

लेखमाला आवडली आहेच.
मात्र हा लेख डोक्यावरून गेला. पुन्हा आरामात दुवे वाचेन

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

इथे इतकी मंडळी आपल्या अज्ञानाचं प्रदर्शन मांडत असताना लेखाला दाद देउन मी शाणा असल्याचं शिद्द केलय.
ही बोडी - ती बोडी -- ती पन बोडी---
पन मी नइ बोडी Smile

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

हाहाहा..मी पण..!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मी पण तुमच्यासोबत आहे :-).
सध्यातरी संकल्पना साधारण समजल्यासारखी वाटतेय (लिँक वगैरे वाचल्या नाहीत). त्यापेक्षा जास्त माहिती असायची गरज वाटत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

गणिती या अच्युत गोडबोले व माधवी सरदेसाई यांच्या अलिकडेच प्रसिद्ध झालेल्या पुस्तकाच्या प्रास्ताविकात गणित या विषयाच्या थ्रिल बद्दल लिहिताना “हे थ्रिल वाचकापर्यंत पोहोचवाव. वाटलं सगळ्यांना ओरडून सांगाव, अरे, हे बघा गणित किती सुंदर असू शकतं ते! बघा, त्यातल्या मूलतत्वांमध्ये किती सौंदर्य आहे आणि ती निर्माण करणार्‍या किंवा शोधणार्‍या गणितंज्ञांची आयुष्यं कशी चित्रविचित्र घटनांनी, सुखदुःखानी, हेव्यादाव्यानी पण तितक्याच दिलदारपणानं भरलेली आहेत. या सगळ्यांतून वाचकानं पुढे काही तरी वाचावं, शिकावं, शिकवावं, शेअर करावं हाच उद्देश आहे......” असे लिहिलेले आहे.

गणिती पुस्तकाच्याएवढा आवाका नसला तरी ही लेखमालिका मर्यादित अर्थाने हेच ध्वनित करण्याचा प्रयत्न करत आहे. या लेखमालिकेतील लेखांना वाचकांनी भरभरून प्रतिसाद दिल्याबद्दल मी त्या सर्वांचा आभारी आहे. लेखांना मिळालेल्या प्रतिसादात अनेक सूचना होत्या. परंतु त्या मी पूर्ण करू शकलो नाही याचे मनाला शल्य वाटत आहे. मुळात ललित अंगाने लेख लिहिल्यामुळे जास्त भर गणितीय संकल्पनाऐवजी गणितज्ञांच्या आयुष्यातील नाट्यमय प्रसंगावर असल्यामुळे गणित विषयाला न्याय देऊ शकलो नाही हेही तितकेच खरे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

लेख ए-वन आहेत.

अनेक धन्यवाद.

कधीतरी जॉन वॉन न्युमन या गणिततज्ञ्या वर ही लिहा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

गणिती या अच्युत गोडबोले व माधवी सरदेसाई यांच्या अलिकडेच प्रसिद्ध झालेल्या पुस्तकाच्या प्रास्ताविकात …………गणिती पुस्तकाच्याएवढा आवाका ....................... मुळात ललित अंगाने लेख लिहिल्यामुळे जास्त भर गणितीय संकल्पनाऐवजी गणितज्ञांच्या आयुष्यातील नाट्यमय प्रसंगावर असल्यामुळे गणित विषयाला न्याय देऊ शकलो नाही हेही तितकेच खरे.
...............................................................................

प्रभाकर नानावटी,
नमस्कार

गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा ह्या लेखमालेसाठी मनापासून धन्यवाद आणि अशाच पूढील लेखांसाठी शुभेच्छा.
अनंत संख्या संकल्पना समजावून देण्याआधी आपण ‘ओमेगा’ ही संकल्पना समजावून देता.
तसेच गणिती (श्री. अच्युत गोडबोले आणि डॉ. माधवी ठाकूरदेसाई)ह्या पुस्तकात अनंत संख्या संकल्पना अधिक स्पष्ट होण्यासाठी‘आलेफ नॉट’(हिल्बर्ट होटेल)ही संकल्पना आहे.

ओमेगा संख्या आणि हिल्बर्ट होटेल मधील सम संख्या खोल्या संच हे दोन्ही सान्त संख्या आहेत.
अनंत संकल्पना अधिक स्पष्ट झाली असती तर जे काही भौतिक-रसायन–जीवशास्त्र लेखन होते
त्यातले अनंतनीट समजण्यास मदत होईल असे मला वाटते. उदाहरणार्थ आदिती यांचे विश्वरूपदर्शन लेखमाला. मी मुख्यतः संकल्पना ह्या विषयाचा अभ्यासक आहे. मी जेवढ काही गणित आणि भौतिकशास्त्र समजून घेत आहे त्यामध्ये सध्या तरी मला गणिततज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ ह्या दोघात अनंत ही संकल्पना एकाच अर्थाने रुजली आहे अस वाटत नाही.

खर तर आपण हे नम्रपणे सांगितले आहेच कि आपण फक्त गणिती लेखन ललित अंगाने केले आहे.
मला वाटत ह्या गणित लेखांचा उपयोग भौतिकशास्त्र लेखांना झाला पाहिजे आणि भौतिक-रसायन–जीवशास्त्र लेखांचा उपयोग गणित लेखांना झाला पाहिजे. म्हणून विषयातील संकल्पने वर अधिक भर देवून लेखन व्हावे. पुन्हा एकदा ह्या लेखमालेसाठी धन्यवाद.

उदय नागांवकर

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

>>गणिततज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ ह्या दोघात अनंत ही संकल्पना एकाच अर्थाने रुजली आहे अस वाटत नाही.

यातून काय सुचवायचे आहे हे अधिक स्पष्ट करता येईल का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--------------------------------------------
ऐसीव‌रील‌ ग‌म‌भ‌न‌ इत‌रांपेक्षा वेग‌ळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.

नितिन थत्ते
गणिततज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ ह्या दोघात अनंत ही संकल्पना एकाच अर्थाने रुजली आहे अस वाटत नाही.
यातून काय सुचवायचे आहे हे अधिक स्पष्ट करता येईल का?
...............................................................................

भौतिक-रसायन-जीवशास्त्र यांना कधीच वास्तवाची कास सोडता येत नाही.
भौतिकशास्त्रज्ञ हे देखिल मनात गृहितक, संकल्पना मानतात पण असतात मात्र वास्तवाच्या शोधात.
आधी आपण फक्त भौतिकशास्त्र विषयात अनंत ढोबळपणाने बघुया.
उदाहरणार्थ सर्वांच्या माहितीचे ‘काळाचा छोटा इतिहास’ हे पुस्तक, ह्या पुस्तकात अनेक ठिकाणी अनंत संकल्पना-शब्द येतो उदाहरणार्थ अनंत घनता, अनंत काल वगैरे.

अनंत ह्या संकल्पनेला जर कोणी धक्का दिला असेल तर तो प्रकाशाच्या स्थिर वेगाच्या शोधाने.
अनंत वेग हा प्रकार असूच शकत नाही ह्या विचाराने. स्वतः आईनस्टाईन देखिल अनंत विश्व ह्या बाबत विरोधी मताचे होते. पण त्याच पुस्तकात कृष्णविवर अनंत घनतेचे आणि बऱ्याच ठिकाणी काळाच्या बाबत पण अनंत हा शब्द सहज वापरला जातो.
म्हणजेच एक महान शास्त्रज्ञ पूर्ण विश्वाला अनंत म्हणायला तयार नाही आणि तितकाच महान दुसरा शास्त्रज्ञ विश्वातल्या एका छोटया भागाला अनंत घनतेच कृष्णविवर सहज लिहीतो.

आणि भौतिकशास्त्र त्याच विश्वाच्या प्रसारणाला थोपवण्यासाठी विश्वाच एकूण वस्तूमान किती असाव याचा हिशोब मांडत. बर ही अनंत संकल्पना आपण फक्त विश्वाचा महास्फोट सिद्धांत ह्यातल्याच विश्वाला लावून बघतोय. असो...

आता अजून एक उदाहरण बघू एकच व्यक्ती थोर भौतिकशास्त्रज्ञ आहेच आणि गणिततज्ञ देखिल.
उदाहरण आहे गॅलिलओचे आणि त्यांच्या अनंत ह्या विषयी दोन पॅरडोक्सचे. एक आहे संख्या विषयी आणि दुसरा आहे भूमिती मधला.

तिसरे उदाहरण गणिततज्ञ म्हणून अधिक काम केलेले जॉर्ज कँटर, कोनवे वगैरे. ही गणिततज्ञ मंडळी अनंत संकल्पनेच्या किती शक्यता होतात हे बघतात. अपरिमेय संख्यांचा खजिना शोधतात.

गणिततज्ञानीं अनंत संकल्पनेत हवे तसे स्वातंत्र घ्यावे. कल्पनेची भरारी घ्यावी. पण भौतिकशास्त्राला मुळातच अनंत असू शकते का? इथ पासून विचार करावा लागतो.

वर प्रतिसाद मध्ये बऱ्याच जणांनी अनंत विषय जरा जड गेला अस सांगितलं. म्हणून ही प्रतिक्रिया.
अनंत ही संकल्पना आहेच आणि ती ठोस पायावर उभी आहे. पण ही संकल्पना वास्तव आहे का?
आणि सामान्यांपासून ते असामान्यपर्यंत ह्या संकल्पनेला एकाच अर्थाने बघत आहेत का?

उदय नागांवकर

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

+१

भौतिकशास्त्रज्ञ बहुधा "प्रॅक्टिकली इनफायनाइट"ही संकल्पना वापरतात. आणि पुन्हा ही कल्पना (संख्येचे अनंतत्व] तौलनिक [रिलेटिव्ह] असते. एकच संख्या एका दृष्टीकोनात इन्फायनाइट आणि दुसर्‍या दृष्टीकोनात फायनाइट असू शकते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--------------------------------------------
ऐसीव‌रील‌ ग‌म‌भ‌न‌ इत‌रांपेक्षा वेग‌ळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.