सेंट पीटर्सबर्ग पॅरॅडॉक्स

उदय यांच्या लेखात 'सेंट पीटर्सबर्ग पॅरॅडॉक्स' चा उल्लेख आलेला आहे, पण त्याचा तपशील दिलेला नाही. तेव्हा वाचकांचा कौल मागवण्यासाठी ही उत्तम संधी आहे. ज्यांना ह्या पॅरॅडॉक्सची उकल ठाऊक आहे त्यांनी ती 'फोडू' नये, आणि ज्यांना त्याची माहिती नाही त्यांनी गूगलगिरी करण्याचा मोह टाळावा ही विनंती.

तर समजा तुम्ही सेंट पीटसबर्गमध्ये झार निकोलसच्या दालनात शिरता.

झार: वत्सा, असा जवळ ये. माझ्याकडे सोनंनाणं फार झालेलं आहे आणि माझा वेळही जाता जात नाहीये. तेव्हा आपण एक खेळ खेळू. तो असा: हे नाणं मी वर उडवीन. काटा आला तर खेळ संपला आणि छापा आला तर नाणं पुन्हा एकदा उडवीन. अशा प्रकारे जोपर्यंत छापा येतो आहे तोपर्यंत ते उडवत राहीन, आणि काटा आला की खेळ संपला. जर पहिल्याच खेपेला काटा आला, तर तुला मी एक मोहोर देईन. जर दुसऱ्या खेपेला काटा आला तर दोन मोहोरा देईन, तिसऱ्या खेपेला आला तर चार देईन, चौथ्या खेपेला आला तर आठ देईन, पाचव्या खेपेला आला तर सोळा देईन, वगैरे वगैरे.

तुम्ही: फारच सुंदर खेळ आहे. लगेच सुरुवात करूया.

झार: नॉट सो फास्ट. या खेळात भाग घेण्यासाठी तुला काही मोहरा प्रवेश फी द्यावी लागेल.

तर प्रश्न असा की तुम्ही जास्तीतजास्त किती प्रवेश फी द्यायला तयार व्हाल? (म्हणजे झारने पाच मोहरा फी मागितली तर हो म्हणाल का? पन्नास मागितली तर हो म्हणाल का?) तुमचं उत्तर प्रतिसाद म्हणून लिहा. गणित करत बसू नका, तर गट-फीलिंग वापरून मनात पटकन येईल ते उत्तर द्या. या सगळ्या प्रकरणातली मेख लक्षात घ्या: समजा तुम्ही बरीच फी दिलीत, आणि पहिल्यादुसऱ्याच खेपेला काटा आला तर तुमचा तोटा होणार आहे. पण याउलट काटा खूप उशीरा आला तर तुमचा फायदा होणार आहे. पण काटा खूप उशीरा येण्यासाठी आधी एकामागून एक कित्येकदा छापा यावा लागेल आणि तसं होण्याची शक्यता जरा कमीच वाटते…

ता. क. खाली भर घातली आहे.

field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (2 votes)

एक मोहोर.

Hope is NOT a plan!

...तुम्हाला बोली लावायचा अधिकार असेल, तर तुम्ही किती प्रवेशशुल्क ऑफर कराल, असा नसून, झारने कितीपर्यंत प्रवेशशुल्क आकारले तर तुम्ही द्यायला तयार व्हाल (अन्यथा खेळात भाग घेणे नाकाराल), असा आहेसे वाटते.

थोडक्यात, प्रवेशशुल्क ठरवणे तुमच्या हातात नाहीये. प्रवेशशुल्क झारच ठरवणार. पण झारने कितीपर्यंत प्रवेशशुल्क आकारले, तर खेळात भाग घ्यायचा, हे तुम्हाला ठरवायचे आहे.

(प्रवेशशुल्क ठरवणे जर माझ्या हातात असते, तर - शून्य प्रवेशशुल्क अ‍ॅक्सेप्टेबल नाहीये हे गृहीत धरून - मी एक मोहर तरी कशाला, लहानात लहान जे काही लीगल टेंडर असेल - एक कोपेक, एक कवडी, एक नवा पैसा, एक तांबडा सेंट, जे काही असेल ते - त्याहून एक छदामही अधिक दिला नसता. कारण अधिक पैसे देऊन माझे अधिक पैसे मिळवण्याचे चान्सेस वाढत नाहीयेत, मग कशाला द्या? शिवाय काहीही झाले तरी मला किमान एक मोहर मिळण्याची ग्यारंटी आहेच. पण इथे प्रश्न तो नाहीये. प्रवेशशुल्क ठरवणे माझ्या हातात नाहीये. झार जे काही प्रवेशशुल्क आकारेल, त्यावरून खेळ खेळायचा की नाही, एवढेच ठरवणे माझ्या हातात आहे. आणि जास्तीत जास्त कितीपर्यंत प्रवेशशुल्क झारने आकारले, तर ते द्यायची माझ्या मनाची तयारी आहे, जास्तीत जास्त किती रिस्क घ्यायला मी तयार आहे, हे अजमावायचे आहे. मला वाटते ते मी माझ्या सद्य सांपत्तिक स्थितीवरून, किती पैसे मला 'उडवायला' परवडेल, त्यावरून ठरवेन.)

==========
भुंकणारा ब्राह्मण (B. B., अर्थात डबल बी).

एक मोहर

सही: तुका म्हणे होय मनाशी संवाद, आपुलाच वाद आपणाशी.

एकही मोहोर देणार नाही.

पण मग झार खेळ खेळून देणार नाही.

*********
आलं का आलं आलं?

दोन मोहरा.

एक मोहोर

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

एक मोहोर

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

जास्तीतजास्त किती प्रवेश फी द्यायला तयार व्हाल?

एकापेक्षा अधिक मागितल्या असतील तर, झारने मागितलेल्या संख्येच्या निम्मी संख्या एवढ्या मोहरा द्यायला तयार असेन(अर्थात तेवढी ऐपत आहे वगैरे गृहीतक).

अवांतर - हे जयदीप कोडं टाकून गायब होतात, स्वतःला झार समजतात काय? (हल्केच घ्या वगैरे)

एकही मोहोर अज्याबात देणार नाही.

पाच मोहरा देईन.

प्रकाश घाटपांडे
http://faljyotishachikitsa.blogspot.in/

एक मोहर
(एक मोहर देण्यात फार नुकसान होईल असं वाटत नाही, सेफ गेम).

मला जितक्या मोहरा मिळतील त्याच्या १०% देईन . चालेल का?

तीन Smile

===
Amazing Amy (◣_◢)

लगेच प्रतिक्षिप्त प्रतिक्रिया - एक मोहोर
त्यानंतर, पण गणित न करता - दोन मोहरा

ता.क. प्रश्न वाचण्यात चूक झाली, प्रत्येक छापावर आणखी एक मोहोर, असे गैर-समजल्यामुळे वरील प्रतिक्षिप्त उत्तरे दिली. पण वाटले, "पॅरॅडाॅक्स" का म्हटले आहे? प्रत्येक छाप्यावर दुप्पट असे वाचल्यावर समजले. परंतु आता प्रतिक्षिप्त प्रतिक्रिया देता येत नाही Sad

त्या क्षणी माझ्या खिशात किती मोहरा अतिरिक्त (disposable) आहेत त्यावर उत्तर अवलंबून आहे.

(एवढ्या मोहोरा खर्च केल्यावर खाण्यापिण्याची ददात निर्माण होत नाही असं गृहित धरून) चार मोहरा.

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

एकच मोहोर कबूल करीन. झार नाही म्हणाला तर, माझ्याशी खेळण्यामुळे त्याचा वेळ कसा चांगला जाईल, हे त्याला पटवून देईन.

एकच योगी
बाकी सारे भोगी

दोन हे गट फीलींगचं उत्तर. गणित केल्यावर गंमत लक्षात आली.

पाच!

-सविता
----------------------------
|| स्वतः मेल्याशिवाय स्वर्ग दिसत नाही ||

एक मोहोर, अर्थात ह्याहून अधिक प्रवेशमूल्यामधील रिस्क मला मान्य नाही.

ह्याचे कारण. कोणत्या तरी फेकीमध्ये - उशीरा वा लवकर - काटा येणार हे उघड आहे. अनन्त फेकींमध्ये एकदाहि काटा येणार नाही ह्या शक्यतेची रिस्क घ्यायला मी तयार आहे. तसेहि मी एकाऐव़जी हजार मोहोरा दिल्या तरीहि ती रिस्क माझ्यावर राहणार आहेच. तेव्हा मी एक मोहोर दिली काय वा हजार दिल्या काय मला मिळायचे तेच मिळणार तर मग बेस्ट बार्गेन एक मोहोर मी का न घ्यावी?

(मला विचार तेव्हा करायला लागता असता जेव्हा खेळींची संख्या मी देऊ केलेल्या प्रवेशमूल्यावर ठरली असती. उदा. एक मोहोर = एक खेळी, दोन मोहोरा = दोन खेळ्या इत्यादि. त्यातहि १,२,४,८,१६... ह्या भूमितिश्रेणीहून अधिक वेगाने वाढणार्‍या मूल्यश्रेणीकडे मी बघितलेच नसते कारण तिच्यामध्ये माझ्याकडूनच झारला पैसे निश्चित मिळाले असते. परंतु खेळामध्ये अशी काही अट घातल्याचे मला दिसत नाही. काटा येईपर्यंत नाणेफेक करायला झार तयार आहे!)

दोन मोहरा. गणित अजुन केलेले नाही त्यामुळे गंमत माहीत नाही.

जर पहिल्याच खेपेला काटा आला, तर तुला मी एक मोहोर देईन. जर दुसऱ्या खेपेला काटा आला तर दोन मोहोरा देईन, तिसऱ्या खेपेला आला तर चार देईन, चौथ्या खेपेला आला तर आठ देईन, पाचव्या खेपेला आला तर सोळा देईन, वगैरे वगैरे.
इथे छापा हवं का?कारण काटा आला, तर खेळ संपला. मग कशा मिळणार मोहोरा?

वाचनातली चूक कळली. कृपया हा प्रतिसाद न वाचणे.

.

'काटा' बरोबर आहे. ज्या काही मोहरा मिळायच्या त्या खेळ संपल्यावर मिळतील. चालू असेपर्यंत नाही. त्या किती मिळणार हे खेळ केव्हा संपतो यावर अवलंबून आहे.

- जयदीप चिपलकट्टी (होमपेज)

वरच्या झारच्या गोष्टीतील पॅरॅडॉक्स येथे नाही परन्तु कोडे असे आहे:

संपूर्ण थांबलेले घडयाळ आणि रोज एक मिनिट पुढे जाणारे घडयाळ ह्यातील अधिक चांगले कोणते?

संपूर्ण थांबलेले घडयाळ.

घड्याळ काम करत नाही हे लक्षात आल्यावर त्याचा उपद्रव होणार नाही, आणि हे चटकन लक्षात येईल. पण घड्याळ रोज एक मिनीट पुढे जातं हे चटकन लक्षात येणार नाही म्हणून त्याचा उपद्रव बराच जास्त होईल.

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

उत्तर बरोबर आहे पण का?

मला दोन्ही घड्याळे सारखीच निरुपयोगी वाटली, पण 'का' चं उत्तर - दिवसातून निदान एकदा तरी ते बरोबर वेळ दाखवतं म्हणून?

उत्तराशी असहमत. पण दिवसातून दोनदा बरोबर वेळ दाखवतं.

१२ ताशी घड्याळाचं गृहितक मनात धरलं होतं वाटतं. Smile

दिवसात किती वेळा अचूक वेळ दाखवते या निकषावर घड्याळ घेतात की आपल्याला हवे तेव्हा प्रेडिक्टेबल आणि लहानश्या फरकाने का होईना पण बदलती वेळ दाखवणे हा बेटर निकष आहे ?

(रिष्टवाचासाठीचा प्रश्न आहे असे मानून)घड्याळ हातात घालायचेच असेल तर ते 'चालू' असलेले घालावे. बंद घड्याळ मनगटावर घातले तर एकतर बॅटरी न परवडणारा दरिद्री, किंवा हुकलेला वेडा यापैकी एक प्रतिमा तयार होण्याची शक्यता आहे. घड्याळात दोष असल्याचे आधीच माहीत असल्याने चालू घड्याळात किती वाजलेत यावर आपण विश्वास ठेवू नये. इतर कोणी चोरुन घड्याळात किती वाजलेत हे पाहिलेच तर त्यांनाच त्याची शिक्षा होईल.

आपल्याला योग्य वेळ शोधण्यासाठी मोबाईल, आजूबाजूची भिंतघड्याळे वगैरे उपलब्ध असतातच.

चिं. वि. जोशांच्या कोठल्याशा पुस्तकात हा प्रसंग आहे. (आठवणीप्रमाणे उद्धृत करण्याचा प्रयत्न.)

एकदा आपला हीरो (नक्की आठवत नाही, पण बहुतेक चिमणराव) घरातले भिंतीवरले भले मोठे घड्याळ बिघडले म्हणून दुरुस्तीसाठी घड्याळजीकडे घेऊन चाललेला असतो. रस्त्यातून चालणार्‍या एका बाईस घड्याळाचा धक्का लागतो, तशी ती त्याला झापते: "मेल्या, घड्याळ घालण्याची एवढीच हौस आहे, तर मग एखादे रिष्टवाच का घेत नाहीस?"

तात्पर्यः

- भिंतघड्याळे ही योग्य वेळ शोधण्यासाठी नेहमीच उपयुक्त असतात, असे नाही.
- हातात बंद घड्याळ घालण्यापेक्षा भिंतीवरले घड्याळ घालण्याने अधिक हेटाई होते. त्यापेक्षा बंद पडलेले रिष्टवाच परवडते.
- आजूबाजूच्या बघ्यांस तुमच्या हातातले रिष्टवाच असो की भिंतीवरले घड्याळ, ते चालू आहे की बंद याचे अजिबात सोयरसुतक नसते.
- साइझ म्याटर्स.

=====================================================================================================================================

याचे आणखी एक उदाहरण: घड्याळजीच्या दुकानातली भिंतीवरली घड्याळे (चालू असली तरी) नेहमी र्‍याण्डम वेळ दाखवतात, आणि असे प्रत्येक घड्याळ वेगवेगळी वेळ दाखवते.१अ

१अ धिस इज़ नॉट अ बग, बट अ फ़ीचर. बाय डिझाइन.

==========
भुंकणारा ब्राह्मण (B. B., अर्थात डबल बी).

वरच्या प्रतिसादात पांढरं करून लिहीलेलं आहे. इतरांची मतं प्रभावित होऊ नयेत म्हणून. (प्रतिसादात दिसणारी ओळ सिलेक्ट करून माऊस तसाच खाली ओढत आणला की दिसेल.)

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

(थोडेसे नि:संदर्भ असले, तरी हे उदाहरण आठवले.)

या पेरेलमान ने एका कर्जबाजार्‍याची गमतीदार गोष्ट सांगितली (कुठले पुस्तक वगैरे ते मला आता आठवत नाही).

एका ऋणकोचे धनकोकडे १ रूबलचे देणे असते.
१. देण्याची तारीख येता ऋणको म्हणतो : वर्षाला १००% व्याजाने पुढच्या वर्षी मी तुला १च्या ठि़काणी २ रूबल देतो. इतक्या मोठ्या टक्केवारीने परतावा धनकोला कुठेही मिळू शकत नसल्यामुळे धनको हे मान्य करतो.
२. पुढच्या वर्षी देण्याची तारीख येता ऋणको म्हणतो : वर्षाला १००% व्याजाने पुढच्या वर्षी मी तुला २च्या ठि़काणी ४ रूबल देतो. इतक्या मोठ्या टक्केवारीने परतावा धनकोला कुठेही मिळू शकत नसल्यामुळे धनको हे मान्य करतो.
...
न. पुढच्या वर्षी देण्याची तारीख येता ऋणको म्हणतो : वर्षाला १००% व्याजाने पुढच्या वर्षी मी तुला २न-१च्या ठि़काणी २ रूबल देतो. इतक्या मोठ्या टक्केवारीने परतावा धनकोला कुठेही मिळू शकत नसल्यामुळे धनको हे मान्य करतो.
...
अशा तर्‍हेने ऋणको धनकोला कधीच पैसे देत नाही.

(थोडा विचार करता हे गणित अगदीच नि:संदर्भ नाही.)

(१) एकूण पाहता लोकांना हा खेळ फारसा किफायतशीर वाटला नाही अशा अर्थाने की तो खेळण्यासाठी अगदी डोक्यावरून पाणी म्हणजे चारपाच मोहरांपेक्षा जास्त फी द्यायला कुणी फारसं राजी दिसलं नाही. या खेळाबद्दल पहिल्यांदा जेव्हा मी ऐकलं तेव्हा माझीही प्रतिक्रिया अगदी अशीच झाली होती, आणि आत्तासुद्धा ती फार बदललेली नाही. पण त्याचं 'अपेक्षामूल्य' (expectation value) जर काढलं तर त्याला 'पॅरॅडॉक्स' का म्हणतात ते स्पष्ट होतं.

(२) गणितात शिरण्यापूर्वी अपेक्षामूल्य म्हणजे काय ते ढोबळपणे सांगतो. (प्रवेश फीचा मुद्दा सध्या बाजूला ठेवा.) समजा तुम्ही हा खेळ खेळलात आणि तुम्हाला 'अ' इतक्या मोहरा झारकडून मिळाल्या. तुमचा मित्र खेळला आणि त्याला 'ब' मिळाल्या, आणखी एका मित्राला 'क' मिळाल्या. म्हणजेच सरासरी प्रत्येकाला (अ+ब+क)/३ इतक्या मिळाल्या. अशी जर हजारो, लाखो, कोट्यवधी खेळ्यांची सरासरी काढली तर जी काही येईल तिला या खेळाचं अपेक्षामूल्य म्हणतात. प्रथमदर्शनी आश्चर्याची गोष्ट अशी की हे अपेक्षामूल्य 'अनंत' आहे. याचा अर्थ प्रवेश फी कितीही जरी ठेवली (सात कोटी मोहरा वगैरे) तरीदेखील सरासरीने विचार करता हा खेळ झारला पूर्णपणे आतबट्ट्याचा आहे. एका खेळीत त्याला फायदा होईल किंवा तोटा, पण हजारो-लाखो खेळ्यांचा सरसकट विचार करता हमखास तोटा होणार आहे.

(३) हे अपेक्षामूल्य काढण्यामागे एक सैद्धान्तिक बैठक आहे, पण त्यामागचं सोपं तत्त्व असं: समजा तुम्हाला उद्या ४० रुपये मिळणार आहेत, पण ते मिळतील अशी फक्त ७०% खात्री आहे. तर या परिस्थितीचं अपेक्षामूल्य ४० x ०.७० = २८ रुपये इतकं झालं. हाच तर्क झारच्या खेळातही राबवता येतो.
पहिल्याच खेपेला काटा येण्याची शक्यता १/२ आहे, आणि मिळणार १ मोहोर. म्हणजे अपेक्षामूल्य = १/२ x १ = १/२.
दुसऱ्या खेपेला काटा येण्याची शक्यता १/४ आहे (कारण पहिल्या खेपेला छापा, दुसऱ्यांदा काटा म्हणून १/२ x १/२ = १/४), आणि मिळणार २ मोहरा. म्हणजे अपेक्षामूल्य = १/४ x २ = १/२.
तिसऱ्या खेपेला काटा येण्याची शक्यता १/८ आहे (कारण पहिल्यांदा छापा, दुसऱ्यांदा छापा, तिसऱ्यांदा काटा म्हणून १/२ x १/२ x १/२= १/८), आणि मिळणार ४ मोहरा. म्हणजे अपेक्षामूल्य = १/८ x ४ = १/२.
(हेच गणित असंच पुढे नेता येतं, आणि दरवेळेला उत्तर १/२ हेच येतं.) तेव्हा अशा प्रत्येक शक्यतेकडून आलेलं मूल्य १/२ आहे, पण यापैकी नेमकी एक कुठली तरी शक्यता प्रत्यक्षात येणार आहे. म्हणून एकूण अपेक्षामूल्य

१/२ + १/२ + १/२ + …. = अनंत

(४) या सगळ्यावरून वाटतं असं की झारने कितीही फी मागितली तरी लोकांनी खेळायला हो म्हणायला हवं, कारण 'सरासरी'चा विचार करता खेळणाऱ्याचा फायदाच आहे. पण अर्थात लोक फक्त सरासरीचा विचार करत नाहीत. त्यामध्ये 'रिस्क' चा भाग येतोच, पण 'रिस्क' हा एकमेव मानसशास्त्रीय घटक यामागे आहे असं मला वाटत नाही. उद्या आणखी लिहीन.

- जयदीप चिपलकट्टी (होमपेज)

वाट पहातो आहे. लवकर लिहिणे.

हो.

पुढचं लवकर सांगा. दातात अडकलेल्या सुपारीप्रमाणे त्रास होतोय.

त्रैलोक्यसुंदरीचे चुंबन घ्या.

(आता, त्रैलोसु कोठे सापडेल, ते विचारू नका. शोधा, म्हणजे सापडेल! दातात अडकवायला सुपारी सापडली ना? इच्छा असेल, तर मार्ग दिसेल / त्रैलोसु... आपले, गरज ही शोधाची जननी आहे, वगैरे वगैरे.)

==========
भुंकणारा ब्राह्मण (B. B., अर्थात डबल बी).

इतक्या सार्थ प्रतिसादाला कोणी रे निरर्थक दिली..?!

घ्या करून टाकलं त्याला इनोदी!

-सविता
----------------------------
|| स्वतः मेल्याशिवाय स्वर्ग दिसत नाही ||

एका टोकाला अत्यंत क्लिष्ट विचार आणि आकडेमोड करु शकणारे आणि तीच सवय असलेले ष्टाटिष्टिशियन्स आणि दुस-या टोकाला अट्टल जुगारी हे लोक्स वगळता आमच्यासारखे नव्वद एक टक्के संसारी जन या खेळासाठी एका दमडीच्या वर ज्यास्ती देणार नाहीत हे समजून समाधान वाटले. त्यामुळे असले आचरट खेळ झारांनी चालू ठेवले तरी बहुतांश समाज सुरक्षित राहील आणि आमचे जमाखर्चाचे कोष्टक आणि मेंदूचे मर्यादित सर्किट कोलमडणार नाही याचे समाधान वाटले.

शिवाय सेकंड ईअरला ष्टाटिष्टिक्स सोडले ते शिक्षकांशी न पटल्याने असे आजपावेतो समजत होतो.. पण अंतर्मनाने नकळत कुठेतरी धोका जाणला होता आणि मला वाचवले हे आता कळतेय..

गविंच्या प्रतिसादात प्रस्थापित समाजातील जडत्व, फारशी तोशिस न लावून घेण्याची वृत्ती, "कसं का असेना, चाल्लय ना" असा डोकावणारा satus quoवाद , आणि थोडक्यात "ठेविले अनंते" ही खास सुखी/समाधानी स्थिरस्थापित समाजाची दृष्टी आणि कित्येकदा "आपल्यासारखेच इतरही अनेक आहेत" हे जाणून अत्मसंतोष करुन घेणे हे बर्‍याचदा दिसते.

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

अरे हो.. ही स्थिती अचिव्ह करायला दोनतीन दशके तडतड केलीय... Wink

बाकी ष्टाटिष्टिशियन्सदेखील संसारी असू शकतात बरेचदा..
आणि आपल्यासारखे अन्य बरेच आहेत याचा आनंद सर्वच प्रकारचे लोक शोधत असतात. त्यांना तेवढे मिळत नाहीत हा वेगळा भाग. पण आनंदी तेही होतात आपल्यासारखे लोक दिसले कीच. फार विरोधक मिळाले की आनंद अशी क्याटेगरी असते का?

वरचा प्रतिसाद अर्धवट राहिला. तर मला विचारायचे आहे ते हे :-
जिद्द, स्पर्धा, ईर्ष्या झालच तर ह्याशिवाय raise the bar चं प्रेशर,....
अगदि आहोत तेच स्टेटस मेंटेन करायलाही लै धावावं लागणं.....
ह्या सगळ्याच्या बाहेर नेमकं पडायचं ते कसं?
नक्की काय केल्यानं ह्यातून सुटका होउ शकते ?
हा ... हा असा निवांतपण कुट्थे मिळतो नक्की ?

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

आपल्या आत .. आणि अन्यत्र कोठेही शाखा नसते.

>> त्यामुळे असले आचरट खेळ झारांनी चालू ठेवले तरी बहुतांश समाज सुरक्षित राहील

अगदी तसं वाटत नाही. अधिक परताव्याच्या आशेने भलती रिस्क घेणारे 'पुरेसे' लोक समाजात आढळतातच.

--------------------------------------------
गमभन मॉड्युल आता ऑफीसमधूनही चालत आहे.

प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एम सी पी

होय की.. अनेक सागवान लागवडी अन त्यात बागडणारे एमू डोळ्यासमोर आले.. Smile

हा हा हा.

त्या वेळी मी सागवानात गुंतवणूक केली नाही. कंपन्यांच्या फसवणुकीपेक्षा "सरकारने सागाच्या झाडांची तोड करण्यास बंदी घालणारा फतवा काढला तर मग काय उपयोग त्या सागाच्या झाडांचा?" असा विचार त्यामागे होता.

--------------------------------------------
गमभन मॉड्युल आता ऑफीसमधूनही चालत आहे.

प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एम सी पी

एमूमधी मलाही रक्कम टाकता आली नव्हती.
quest gold coin च्या वेळीही खिशात पुरेसे पैसे नसल्याने हळहळलो होतो.
(नंतर आपण कसे ह्या मोहापासून दूर राहिलो हेही चतुरपणे सांगत होतो परिचितांत.)

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

ते म्याग्नेटिक गाद्या असंही कायसं असायचं ना?
आणि टाईम शेअर असंही कायसंसं.

*********
आलं का आलं आलं?

सेंट पीटर्सबर्ग पॅरॅडॉक्स हा आज पहिल्यांदाच ऐकला. तुमच्या सूचनेप्रमाणे गुगल करण्याचा मोह टाळलेला आहे. प्रश्न वाचल्यानंतर गट फिलिंगने आलेले उत्तर म्हणजे २ मोहोरा.
माझ्या मते यात दोन तृटी आहेत.
१) अपेक्षामूल्य जरी अनंत असले तरी त्यासाठी अनंतवेळा हा खेळ खेळावा लागेल जे शक्य नाही.
२) अपे़क्षामूल्य काढण्यासाठी जे गणित आहे त्यातील probabilities यांची range खूप जास्त आहे. पहिल्या नाणेफेकीसाठी ०.५ आहे, २० व्या नाणेफेकीसाठी अंदाजे १०-६ आहे. त्यामुळे अपे़क्षामूल्यात या probabilities चे जे काही linear combination केले आहे ते योग्य वाटत नाही (because of 6 orders of magnitude difference). याचे गणितीय स्पष्टीकरण माझ्याकडे नाही, कदाचीत sensitivity analysis करून काही उत्तर मिळू शकेल. माझ्या मते tail probabilities या अपे़क्षामूल्याच्या गणितात घेउ नयेत.
यानंतर मी जे गणित केले ते खाली देतो आहे.
.
गृहितके:
१) खेळ हा सांत पायर्‍यांपर्यंत खेळला जातो ('न' वेळा नाणेफेक)
२) सलग 'म' वेळेला काटा आला तर मिळालेले पैसे २
.
या गृहितकांच्या आधारे अपेक्षामूल्य आहे
(१/२)*२ + (१/२)*२ + (१/२)*२ +.....+(१/२)न+१*२ = न/२
.
यानंतर प्रत्य़क्ष किती पैसे मिळतील यासाठी मी एक simulation केले. एका simulation मध्ये हा खेळ १०,००० वेळा खेळलो आणी असे २५ वेळा केले, म्हअजे एकूण २,५०,००० वेळा. त्यापैकी जास्तीतजास्त सलग छापा आला तो १८ वेळा, पण फक्त एकदा. simulation चे results खालीत चित्रात आहेत. या संपूर्ण खेळींत मला किमान मिळालेले पैसे आहेत ०, कारण पहिल्या वेळेलाच छापा आला आणी जास्तीतजास्त मिळालेले पैसे आहेत २,६२,१४४ कारण एकदा १८व्या वेळेस छापा आला.
.
खालील लिंकवर जाऊन मोठे वाचण्याजोगे चित्र बघता येइल.
https://fbcdn-sphotos-b-a.akamaihd.net/hphotos-ak-xpf1/t31.0-8/1399180_1...
.

.
१०,००० वेळा हा खेळ खेळल्यानंतर सरासरी मिळालेले पैसे हे ६ ते ३६ मध्ये आहेत. त्याचा histogram खालीलप्रमाणे

X अक्षावर मिळालेल्या मोहोरा आहेत आणि Y अक्षावर वारंवारता.
.
जर मला १०,००० वेळा झार बरोबर खेळण्याची संधी मिळणार असेल तर मी प्रत्येक खेळीला ७ किंवा ८ मोहोरा देण्यास तयार आहे. उलट गणित केले तर 'न' ची किंमत १४/१६ येते. थोडक्यात माझा असा दावा आहे की अपेक्षामूल्य काढण्यासाठी जे linear combination केले जाते ते १४ किंवा १६ नाणेफेकींच्या पुढे valid नाही.
मी आणखी काही simulations केली, त्याचे तपशील देत नाही पण माझे असे निरिक्षण आहे की जर
.
probability*number of games
.
तर त्या probabilities अपेक्षामूल्याच्या गणितात घेउ नयेत.
या निकषाप्रमाणे जर एकदाच खेळता येणार असेल तर मी केवळ १ मोहोर द्यायला तयार होइन, जर १०० खेळींसाठी प्रत्येकी ४ मोहोरा, १००० खेळींसाठी प्रत्येकी ५.५ मोहोरा, १०,००० खेळींसाठी प्रत्येकी ७.५ मोहोरा, १,००,००० खेळींसाठी प्रत्येकी ९ मोहोरा आणि १०,००,००० खेळींसाठी प्रत्येकी १०.५ मोहोरा द्यायला मी तयार होईन.
जर मी पुढची ५० वर्षे सेकंदाला एक खेळी केली तर एकंदरीत १.६ अब्ज खेळ्या करू शकीन. त्यासाठी प्रत्येक खेळीसाठी १६ मोहोरा मोजण्याची माझी तयारी आहे.

जचि, पुढे लिहिताय ना?

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

गट फील उत्तर: १

थोडा विचार करून -
पहिल्या खेपेला काटा येण्याची probability: ५०% त्यामुळे ०.५ च्या अधिक उत्तर असलं पाहिजे.
मग २५%*२ + १२.५%*४ + ...चं summation किती येईल हे माझ्या बापाला पण माहित नाही पण साधारणतः १ वैगेरे असावं.

त्यामुळे सुधारित उत्तर: १.५

आता बाकीचे कमेंट्स वाचतो आणि गुगळेंना विचारतो paradox काय आहे तो...

--------------
Comedy is a distortion of what is happening, and there will always be something happening. ― Steve Martin, Born Standing Up: A Comic's Life

गट फील उत्तरः १