३ दारे - तर्क

संख्याशास्त्राचे एक रोचक कोडे वाचनात आले.

(१) तुम्ही एका खेळामध्ये भाग घेतला आहे.
(२) संचालक तुम्हाला माहीती देतो की ३ दारे आहेत
(३) फक्त एका दारामागे वस्तू लपविली आहे
(४) तुम्ही अंदाजे सांगायचे की कोणत्या दारामागे वस्तू आहे
(५) पण एकदा अंदाज सांगीतला की संचालक तुम्ही सांगीतलेले दार सोडून अन्य दार उघडेल की ज्यामागे वस्तू नक्की नसेल ते.
(६) आता तुम्हाला परत एकदा संधी आहे - दार बदलण्याची किंवा पहीली निवडच कायम ठेवण्याची.
तर तुम्ही काय कराल?
________________________________________________________________

(बहुसंख्य लोक म्हणतील परत परत कशाला निवड बदला? आम्ही आहे तेच दार कायम ठेवू)
पण हा शहाणपणाचा मार्ग आहे का?
_________________________________________________________________

आता यामागचा तर्क (गणित) पाहू यात -

१अ) जेव्हा तुम्ही दार निवडलेत तेव्हा तेच दार बरोबर असण्याची शक्यता १/३ होती.
२अ) याचाच अर्थ तुम्ही चूकीचे दार निवडले असण्याची शक्यता २/३ आहे
__________________________________________________________________

आता समजा तुम्हाला तुमची निवड कायम ठेवायची आहे -

३अ) समजा तुमचा पहीलाच अंदाज बरोबर असेल तर - तुम्ही जिंकण्याची शक्यता १/३ X १ = १/३ इतकी असेल
४अ) समजा तुमचा पहीलाच अंदाज चूकीचा असेल तर - तुम्ही जिंकण्याची शक्यता २/३ X ० = ० इतकी असेल.

५अ) म्हणजे "निवड कायम ठेवायची असताना" एकूण शक्यता = १/३ + ० = १/३

____________________________________________________________________

आता समजा तुम्हाला तुमची निवड बदलायची आहे -

६अ) समजा तुमचा पहीलाच अंदाज बरोबर असेल तर आता तुम्ही निवड बदललीत - तुम्ही जिंकण्याची शक्यता १/३ X ० = ० इतकी असेल
७अ) समजा तुमचा पहीलाच अंदाज चूकीचा असेल तर आता तुम्ही निवड बदलत आहात म्हणून- तुम्ही जिंकण्याची शक्यता २/३ X १ = २/३ इतकी असेल.

८अ) म्हणजे "निवड बदलायची असताना" एकूण शक्यता = ० + २/३ = २/३
________________________________________________________________________

म्हणजे निवड बदललीत तर जिंकण्याची शक्यता वाढते.

स्त्रोत - http://www.theproblemsite.com/treasure_hunt/door_hint.asp

field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ऑल सेड अँड डन..............७अ बरोबर आहे का?
शक्यता अचानक २/३ का झाली?
एकाच दाराआड वस्तू आहे त्यामुळे शक्यता ७अ मध्ये १/३ च पाहीजे असे मला वाटते.

कोणी मला पुष्टी देऊ शकेल काय अथवा खोडू शकेल काय?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मलाही हाच प्रश्न पडला आहे.
माझ्यामते हा तर्क असा आहे. तिघांपैकी वस्तु नसलेलं दार उघडल्यावर उरलेल्या दोन्ही दारांपैकी एकामागे वस्तु असण्याची शक्यता १/२ होते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

आधी त्या २ दरवाजांची मिळून संभाव्यता २/३ होती. आता त्यातल्या एकाची संभाव्यता ० आहे हे दाखवल्यामुळे उरलेल्याची संभाव्यता २/३ होते.
मागच्या सत्रात प्रोबॅबिलिटीच्या कोर्समध्ये हेच स्पष्टीकरण ऐकले असले तरी मला अजून पूर्णपणे पटलेले नाही आहे. मलाही ते १/२च असावे असे वाटते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

प्रकाटाआ

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

प्रकाटाआ

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तीन कैदी आहेत. अ, ब, क. तिघेही एकसारखे दिसतात. तिघेही उद्या फासावर जाणार आहेत. तिघांनीही राष्ट्रपतींकडे दयेचा अर्ज केलेला आहे. पण त्या देशात असलेल्या कोटा सिस्टिममुळे त्या तिघांपैकी एकाचा आणि फक्त एकाचाच अर्ज मंजूर होणार. कोणाचा मंजूर होणार हे पूर्णपणे रॅंडम आहे. म्हणजेच प्रत्येकाची मुक्त होण्याची शक्यता १/३ आहे. जेलरला कोणाची मुक्ती होणार ते पत्र आदल्या दिवशी मिळतं.

तो अ कडे जातो आणि त्याला सांगतो 'कोण मोकळा होणार हे मी तुला सांगू शकत नाही. फक्त एवढंच सांगू शकतो की ब फासावर जाणार आहे. हे सांगून मी तुला काहीच नवीन माहिती देत नाही. कारण ब किंवा क पैकी एकजण तरी फासावर जाणार हे तुला माहितीच होतं. किंबहुना तुला ब आणि क कोण हे माहीत नाहीत. फक्त इतर दोघांनीही अर्ज केला आहे एवढंच माहीत होतं.' मग तो त्याला वरचं कोडं आणि त्याचं उत्तर सांगतो. आणि त्याला म्हणतो 'तू आणि क सारखेच दिसता. तुला हवं असल्यास मी तुमची दोघांची अदलाबदली करू शकतो. किंमत फक्त एक कोटी. कर फोन.' मुक्तीची शक्यता दुप्पट करण्यासाठी अ मुकाट्याने फोन करतो आणि जेलरला ताबडतोब एक कोटी रुपये मिळण्याची व्यवस्था करतो.

पैसे हातात येईपर्यंत जेलर क कडे जातो. आणि त्यालाही शब्दशः हेच सांगतो. क देखील मुकाट्याने फोन करून जेलरला एक कोटी रुपये मिळण्याची व्यवस्था करतो.

जेलर रातोरात त्या दोघांची अदलाबदली करतो. दुसऱ्या दिवशी ब फासावर जातो. अ व क पैकी एकजण फासावर जातो, एकजण सुटतो. जेलर दोन कोटी रुपये घेऊन हसत बसतो.

आता मला सांगा अ आणि क यांनी अदलाबदली करून काय साधलं? दोघांच्याही शक्यता १/३ वरून २/३ झाल्या का? वरचं गणित आणि हे कोडं यात काही फरक आहे का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

वरचे गणित आणि कोडे यात मला फरक वाटत नाही.
______

ब फासावर जाणार आहे हे निश्चित आहे. => (१) अ फासावर जाईल अथवा (२) जाणार नाही.
समजा अ फासावर जाईल
तर मग क फासावर जाणार नाही.
मग अ ने क ची जागा घेऊन स्वतःचा फायदाच केला
क चा मात्र या स्वॅपींग ने तोटा झाला

समजा दुसरी शक्यता अ फासावर जाणार नाही
म्हणजे क फासावर जाईल.
मग अ ने उलट क ची जागा घेऊन स्वतःला गोत्यात आणले. म्हणजे अ चा या स्वॅपींग ने तोटा झाला.
क चा फायदाच झाला.

_______________________________________

या सगळ्यात साध्य अदलाबदल झाली आणि फायदा जेलरला झाला.
एकाची शक्यता १/३ वरून नशीबाने २/३ झाली
दुसर्‍याची शक्यता १/३ वरून नशीबाने ० झाली.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एकाची शक्यता १/३ वरून नशीबाने २/३ झाली
दुसर्‍याची शक्यता १/३ वरून नशीबाने ० झाली.

हा युक्तिवाद फाशी जाण्यानंतरचा आहे. ज्यावेळी दोघांनीही आनंदाने अदलाबदल केली, त्यावेळी दोघांच्याही फाशी न जाण्याच्या शक्यता २/३ झाल्या का? तुम्ही अ च्या जागी असता तर अदलाबदल स्वीकारली असती का? क च्या जागी असता तर स्वीकारली असती का? अ आणि क या दोघांत एक प्रकारची सिमेट्री जाणवत नाही का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

वरील कोड्यामध्ये निवडणारे अ, आणि क यांच्याकडे दोनच पर्याय आहेत. पण त्याचा त्यांना फाशीला जाण्याकरता निवडला जाण्याशी काही संबंध नाही.

हे उदाहरण दोन सारखे चेंडू एका बॅगेत आहेत तर कोणाताही एका चे^डू निवडण्याची शक्यता १/२ आहे, यासारखेच आहे. अ आणि क पैकी एक जण निवडला जाण्याची शक्यता ते सारखे दिसत असल्याने १/२ आहे. मग त्यांच्या जागा बदलल्या गेल्याने काही फरक पडत नाही.

थोडक्यात, कैद्यांनी उगाचच माँटीच्या नादी लागून प्रत्येकी एक कोटी रुपये घालवले. हुशार जेलरने दोन कोटीची कमाई केली.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हा प्रश्न Monty Hall Problem म्हणून ओळखला जातो. बहुतेक यावर पुर्वी कुठेतरी चर्चा झाली आहे, बहुदा उपक्रमावर.

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0