मुलांसाठी एक शैक्षणिक खेळ - पायमोजा!

आज २२/७ - भारतीय पायदिन. त्यानिमित्ताने सुमारे चौथी ते आठवीच्या मुलांसाठी हा खेळ किंवा उपक्रम सुचवतो आहे.

पायमोजा - म्हणजे पायात घालायचा मोजा असा अर्थ नसून 'पाय (ची किंमत) मोजा' याचं थोडं गोंधळात टाकणारं संक्षिप्तीकरण आहे.

या खेळाचा उद्देश खूप सोपा आहे. घरातली अगदी साधी उपकरणं वापरून पायची किंमत शक्य तितक्या अचूकपणे आणि प्रामाणिकपणे मोजायची. यासाठी अनेक पद्धती वापरता येतील.

१. कागदावर कंपासने वर्तुळ काढायचं. करकटकात व्यासाच्या लांबीपेक्षा अगदी लहान अंतर घेऊन व्यासात तसे किती करकटक बसतात हे मोजायचं. मग वर्तुळाचा परीघही करकटकाच्या लांबीच्या एककांत मोजायचा. शक्य तितका चांगला अंदाज करून उरलेली अर्धवट लांबीही मोजायची (उदाहरणार्थ व्यास = १५.३ युनिट्स, परीघ ४७.८ युनिट्स वगैरे). भागाकार करून पायची किंमत मिळते.

२. एक मोठं गोलाकार भांडं उपडं ठेवायचं आणि त्याभोवती नाणी ठेवून वर्तुळ पूर्ण करायचं. मग त्या वर्तुळात व्यासाप्रमाणे नाणी ठेवायची. परीघ नाण्यांच्या लांबीत मोजायचा, आणि व्यासावरच्या टोकाच्या नाण्याच्या केंद्रापासून ते दुसऱ्या टोकाच्या केंद्रापर्यंतचं अंतर नाण्यांमध्ये मोजायचं. भागाकार केल्यावर पाय मिळतो.

३. जमिनीवर मोठंसं वर्तुळ काढून व्यास आणि परीघ पावलांनी मोजायचा. भागाकार करून पायची किंमत काढायची.

यातल्या कुठच्याच पद्धतीने अचूक ३.१४१५९२... असं उत्तर येणार नाही. बहुतेक चांगल्या प्रयोगांतून उत्तरं ३.१२५ ते ३.१३५ च्या मध्ये कुठेतरी येतील. हे कमी उत्तर का येतं? याचं कारण आपण परीघ मोजतो तेव्हा वर्तुळाऐवजी त्याआतल्या बहुभुजाकृतीची लांबी मोजतो. त्यामुळे ती किंचित कमी (अर्धा-पाव टक्क्याने) येते. जितक्या जास्त भुजा तितकी ही त्रुटी कमी.

याची पुढची पायरी म्हणजे तुम्ही वापरत असलेल्या पद्धतीत एक लहान आणि एक मोठं वर्तुळ काढून उत्तरांची तुलना करायची. अर्थातच मोठ्या वर्तुळासाठी उत्तर पायच्या अधिक जवळ येण्याची अपेक्षा आहे. असं का होतं? एकतर मोजमाप करताना होणारी त्रुटी ही तितकीच असली तरी ती लांबीच्या प्रमाणात कमी येते. दुसरं म्हणजे मोठ्या वर्तुळावर अधिक भुजा असलेली बहुभुजाकृती काढता येते.

तर मंडळी, आपापल्या पोरांना कामाला लावा. तुम्हाला पोरं नसतील तर तुम्ही कामाला लागा. आणि पायमोजा! तुम्हाला मिळालेला विदा (परीघ, व्यास आणि पाय) इथे टाकायला विसरू नका.

5
Your rating: None Average: 5 (2 votes)

Comment viewing options

Select your preferred way to display the comments and click "Save settings" to activate your changes.

माझा प्रयोग

कॉफी कपाभोवती टॅक्स (पीन्स) लावुन उत्तर काढले आहे.

https://scontent-ord1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/r90/13726810_1729733200634025_7028808261346532513_n.jpg?oh=edcaaadc836a2c6ab488d42334537e64&oe=5827F8D5
.
२८ पूर्णांक पाच दशांश = २८.५ पिन्स चा परीघ
.
https://scontent-ord1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/13700011_1729734303967248_1183048933528126882_n.jpg?oh=aab19e428c4732c963c1c4b70b856902&oe=582CEEFC
.
८ पूर्णांक नऊ दशांश = ८.९ पिन्स चा व्यास
.
आदर्शउत्तर = 3.14159
माझे उत्तर - २८.९/ ८.९ = ३.२०२२४७१९
.
बरीच एरर आहे.// ३.२०-३.१४ = ०.०६
_____________

हां आता मोजमापाचे युनिट (एकक) टॅकस च ठेवले पण मोठे वर्तुळ घेतले = सिरीअल बोल (बाऊल)
.
https://scontent-ord1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/13813666_1729739733966705_136478945679750705_n.jpg?oh=b9bfbff6d3d77671a6331533dd331ee7&oe=58191134
52 Tacks चा परीघ
.
https://scontent-ord1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/13709752_1729740397299972_3109926542148374596_n.jpg?oh=a78df7e7800eb3ebf8ac7f74298c916a&oe=5833EB76
16 tacks चा व्यास.

उत्तर = ३.२५ // {३.२५०-३.१४ = ०.११}

जास्त एरर आली Sad :( म्हणजे ह्युमन एरर जास्त असणार.
फार नाजूक काम होतं त्यात गडबड झालीये.
फार हलत होतए टॅकस/ पडत होते वगैरे.
_______
पण मला खूप मजा आली. मस्त धागा आहे. ५ स्टार्स माझ्याकडून.

३.२ म्हणजे एरर फार नाही, दोन

३.२ म्हणजे एरर फार नाही, दोन टक्के फक्त. अहो, पेशव्यांच्या काळात पायची किंमत ३.० वापरली जात असे! तसा कायदाच होता.

आणि तुमच्या दुसऱ्या प्रयोगात व्यास १६ नाही, १७ आहे. टाचणीच्या टोकापासून ते दुसऱ्या टोकापर्यंत मोजायचं आहे. त्यामुळे तुमचं उत्तर ३.०६ आहे. तसंही पन्नास भुजा असलेल्या बहुभुजाकृतीचं मोजमाप करून उत्तर ३.१३९५ यायला हवं. तेव्हा ते पुन्हा दोन अडीच टक्क्यांत आहे. पेशव्यांपेक्षा कितीतरी चांगलं!

आणि जर या दोन मोजमापांची सरासरी काढली तर - ३.१३! वॉव!

शेवटचे ;)

(स्माईल) युहु!!! थँक्स अ लॉट.
.
आज, लकीली आज मोठ्ठे गोल डूल घातलेत.
(दात काढत) (दात काढत) (दात काढत) .................................... प्रदर्शन (डोळा मारत)

.
https://scontent-ord1-1.xx.fbcdn.net/v/t1.0-9/13731710_1729762987297713_3033231593282282500_n.jpg?oh=79717da64c8e160f777cf263dbbbae5e&oe=58303E70
.
परीघ = 20.05 tacks
व्यास = ६.५ tacks

इथे प्रचंड एरर येणार कारण एक तर एकदा टॅकस लावल्यावर कानातले उचलता आले नाही.
दुसरे वर्तुळ लहान आहे म्हणजे अति मोठे नाही.
तीसरे म्हणजे कशावरुन ते वर्तुळ परफेक्ट वर्तुळ आहे???

२०.०५/६.५ = ३.०८४६

नॉट बॅड. २५ बाजूंसाठी ३.१३

नॉट बॅड. २५ बाजूंसाठी ३.१३ अपेक्षित आहे.
एकंदरीत सर्वच मोजमापं सुमारे दोन टक्क्यात येत आहेत. नाणी वापरा अशी सूचना मी करेन. अगदी कमी (२५-३०) नाणी वापरूनही उत्तरं अर्ध्या टक्क्यात येतात.

ओके. धन्यवाद. पण आज मुलीला हा

ओके. धन्यवाद. पण आज मुलीला हा प्रयोग सांगेनच.

डूल

'डूल' हा शब्द कैक वर्षांनी पुनः दिसला. लहान मुलींच्या कानातल्या 'चमचम'ला डूल म्हणतात ना?

ह्म्म्म कानातल्याला म्हणतो

ह्म्म्म कानातल्याला म्हणतो आम्ही. आई आणि मी लहानपणी तुळशीबागेत जात असू "डूल" आणायला.

पेशव्यांच्या काळात पायची

पेशव्यांच्या काळात पायची किंमत ३.० वापरली जात असे! तसा कायदाच होता.

ही थट्टा आहे का खरं? आणि नियम बोले तो? बांधकामाची गणितं बिणितं या आकड्याने करत काय?

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

हे खरं आहे. बांधकामाच्या

हे खरं आहे. बांधकामाच्या गणितांपेक्षा शेतीच्या मोजमापांत पायची किंमत वापरली जायची. ती ३ असली पाहिजे असा नियम होता.

कायद्याने पायची किंमत ठरवण्याचा प्रयत्न अमेरिकेतही बऱ्यापैकी अलिकडे झालेला आहे. १८९७ साली इंडियानामध्ये 'शैक्षणिक प्रगतीसाठी' एक बिल सेनेटपर्यंत पोचलेलं होतं. त्यात वर्तुळाचं चौरसात रूपांतर करण्याची एक बोगस पद्धत कायदेशीर ठरवण्याचा प्रयत्न होता. जर त्यावर एका मान्यवर प्रोफेसरने आणि काही वर्तमानपत्रांनी कडाडून टीका केली नसती तर ते पारितही झालं असतं. त्यात ही पद्धत यशस्वी होण्यासाठी पायची किंमत सुटसुटीतपणे ३.२ अशी घेतलेली होती. विकीपीडियाचा दुवा.

बापरे ... मराठीतुन... व्यास,

बापरे ... मराठीतुन... व्यास, परिघ... अगदि जड जातय ... आम्ही ना मराठीचे ना इंग्रजीचे... बाकी पायमोजा मस्त...

काही कठीण नाही हो. कुठलंही

काही कठीण नाही हो. कुठलंही सर्कल घ्यायचं, कुठच्याही पद्धतीने सरकम्फरन्स आणि डायामीटर मोजायची, आणि पायची व्हॅल्यू काढायची. बाकी काही नाही.

http://aisiakshare.com/node/6

http://aisiakshare.com/node/625

या प्रयोगात सहभाग घेतला नव्हता. पण आज घेतलाय. त्यामुळे खूप मजा आली.

ब्ल्यूबेरी पाय

ब्ल्यूबेरी पाय
Blueberry pi

https://flic.kr/p/KozCba

क्षेत्रफळ ५५ फळे, व्यास ८ किंवा ९ फळे
पायची किंमत : २.७१६ ते ३.४३७५

वॉव! क्षेत्रफळावरून पाय

वॉव! क्षेत्रफळावरून पाय काढण्याची कल्पना फारच आवडली. त्यासाठी ब्लूबेरी वापरण्याची कल्पनाही मस्तच. जर व्यास सरासरी ८.५ घेतला, तर पायची किंमत ३.०४५ इतकी येते. इतक्या भरड पद्धतीने इतकं चांगलं उत्तर येईल असं वाटलं नव्हतं. (चांगलं उत्तर म्हणजे सरासरीपेक्षा एरर मार्जिन बघायला पाहिजे वगैरे ठीक आहे.)

आणखी एक पद्धत

पाय ‘मोजण्या’ची आणखी एक सोपी पद्धत आहे.

पहिल्या काही विषम संख्या क्रमाने घ्या:

१, ३, ५, ७, ९, ११ वगैरे

त्या उलट्या करा (म्हणजे ‘एक भागिले’ करा):
१/१, १/३, १/५, १/७, १/९, १/११ वगैरे

आता यांची आळीपाळीने बेरीज-वजाबाकी करत जा:
१/१ - १/३ + १/५ - १/७ + १/९ - १/११ वगैरे

कंटाळा येईल तिथे थांबा. समजा १/९ पाशी थांबलात तर उत्तर ०.८३४९ इतकं येतं. त्यापुढे एक पाऊल जाऊन १/११ ला थांबलात तर उत्तर ०.७४४० इतकं येतं. ह्या दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढा, आणि तिला ४ ने गुणा. उत्तर ३.१५७८ येईल. ही पायची अंदाजे किंमत झाली. अधिक कष्ट करायची तयारी असेल (म्हणजे १/३३ पर्यंत जाऊन वगैरे) तर उत्तर जास्त बरोबर येईल हे सांगणे नलगे.

येनकेनप्रकारेण पायमोजायचा असेल तर ही पद्धत फार चांगली नव्हे, कारण यात कष्ट जास्त, मजा कमी (रंगीत फोटो वगैरे नाहीत) आणि त्यामानाने त्रुटी जास्त. पण ह्या पद्धतीचं वेगळेपण असं की तिचा भूमितीशी संबंध नाही. ‘पाय’ हा आकडा साध्या अंकगणितात सुद्धा दडलेला आहे, ‘पाय’ म्हटलं की भूमितीच आठवली पाहिजे असं नाही ही गोष्ट बहुतेक मुलांना शाळेत सांगत नाहीत.

- जयदीप चिपलकट्टी (होमपेज)

ही पद्धत वापरून

ही पद्धत वापरून पाहिली.
'२न-१'पर्यंत बेरीज आणि '२न+१'पर्यंतची बेरीज याची सरासरी याला मी सरासरी(न) असं नाव देतो.

सरासरी(४) पासून ३.१ दिसायला लागतो. (बदलणारे आकडे फक्त पुढच्या दशमस्थानात)
सरासरी(१८) पासून ३.१४ दिसायला लागतो.
सरासरी(३५) पासून ३.१४१ दिसायला लागतो.
सरासरी(२६१)पासून ३.१४१५ दिसायला लागतो.
सरासरी(४३४) पासून ३.१४१५९ दिसायला लागतो.

याउलट [सरासरी(न) + सरासरी(न+१)]/२ यांची सीरिज फारच लवकर कन्व्हर्ज होते. न = ४२ लाच ३.१४१५ दिसायला लागतो. न = ५९ ला ३.१४१५९ दिसतो. न = ११४ ला ३.१४१५९२ दिसतो, न = २२२ ला ३.१४१५९२६ दिसायला लागतो. पुढचं तपासायला कंटाळा आला.

वा वा २न-१ वगैरे नंबर थिअरी

वा वा २न-१ वगैरे नंबर थिअरी .... सुपर्ब!
जचि व राघा दोघांचेही प्रतिसाद फार आवडले.

३४६५ खडे घेऊन हे गणित

३४६५ खडे घेऊन १/११ पर्यंत हे गणित करता येते.
खड्यांचे १/१, १/३ ... १/११अंश ढीग करता येतात.
ढीग एकत्र, वजा वगैरे करता येतात. शेवटी भागाकार करता येतो.
१३ पर्यंत करायचे, तर ढीग करायला फार वेळ लागेल, एखादे मूल कंटाळू शकेल (माझ्यासारखे)

या चित्रफितीत बघणे

३४६५ खडे वापरून केलेल्या गणिताचे मानचित्रण येथील फितीत बघणे.
https://youtu.be/4XIoekFm_UM

मस्त. ३.१५७९ पर्यंत पटकन

मस्त. ३.१५७९ पर्यंत पटकन पोचायला होतं. ही चित्रफीत किंचित कमी वेगाची ठेवली तर अधिक परिणामकारक ठरेल. तसंच वापरलेली वर्तुळं चौरसाच्या चार कोनांमध्ये विभागली तर हळुहळू वर्तुळही तयार करता येईल. हे करण्यासाठी किती कष्ट आहेत हे माहीत नाही.

वर्तुळ न करणे ही चिपलकट्टी यांची सूचना

जयदीप चिपलकट्टी यांनी जाणीव करून दिली आहे, की भूमिती (परिघ/व्यास गुणोत्तर) न वापरता, बीजगणितातून पाय ची किंमत काढता येते.
त्यामुळे त्यांना मान देऊन वर्तुळ वगैरे करणे ठीक नाही.

अर्थात त्या समीकरणाची सिद्धता
π/४ = arctan(१) = १/१ - १/३ + १/५ - १/७ ...
या गणितातून आहे. म्हणजे भूमिती वापरणे शक्य आहे.
तरी तसे करण्यासाठी जी कल्पकता लागेल, ती मला पाच मिनिटांत सुचत नाही आहे.
बहुधा १-एकक त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या १/८ सेक्टर मध्ये वर्तुळाच्या आत-बाहेर-आत-बाहेर रेषा काढायचा काही उद्योग करावा लागेल.

मला फक्त या गणितातून भूमिती

मला फक्त या गणितातून भूमिती कशी तयार होते हे दाखवता येईल का हे विचारायचं होतं. तांत्रिक प्रश्न म्हणून हा प्रचंड किचकट आहे याची कल्पना आहेच. मी फक्त 'हे मस्त आहे, यात अजून असं करता आलं तर आणखीन मस्त होईल' अशाच प्रकारची प्रतिक्रिया दिली होती. बाकी तुम्ही जे केलं आहे त्याचं कौतुक निश्चितच आहे.

समीपीकरणात हे होत आहे

समीपीकरणात हा पुढीलप्रमाणे π/४ चा आधी जरा जास्त, मग थोडा कमी, पुन्हा जास्त असा अंदाज होत आहे.
खड्यांनी ही भूमिती कशी साधावी, हे मला सहजस्पष्ट नाही. खड्यांची संख्या १, ३, ५, ७, ९, ११ यांनी भाग जावा अशी घेतलेली आहे. ते गणित कमीअधिक कोनमापनाच्या दृष्टीने सहजस्पष्ट नाही.
Gregory_leibniz_pi

छानच!

पायमोजा आवडला.
आता मला जरा २२ आणि ७ हेच आकडे का हे साध्या सोप्या शब्दांत (लहान मुलांना शिकवता येईल अश्या) सांगा.

याचं उत्तर देणं तसं सोपं आहे.

याचं उत्तर देणं तसं सोपं आहे. पायची किंमत ही ३ पेक्षा किंचित अधिक असते. आता ही किती अधिक? तर ०.१४१५९२६... म्हणजे नक्की किती? ते आपल्याला अपूर्णांकात सांगावं लागतं. त्यासाठी जवळातला जवळचा सोपा अपूर्णांक कुठचा? त्यासाठी १/०.१४१५९२६ ची किंमत काढून बघुया. ती येते ७.०६२५... हे छानच आहे. म्हणजे ९९ टक्के अचूकपणे पाहायचं झालं तर हा आकडा ७ आहे. म्हणजे पायची किंमत ३ + १/७ अशी लिहिली तर खूपच अचूक येते. कारण ती १ टक्का एरर आहे तीसुद्धा मूळ पायच्या किमतीत नाही तर त्या ०.१४१६ चा एक टक्का आहे. तेव्हा २१/७ + १/७ = २२/७.

किंवा उलटा विचार करायचा झाला तर १/७ = ०.१४२८... हे ०.१४१६ च्या खूपच जवळ आहे. त्यामुळे ३ + १/७ हे पायच्या मूळ किमतीच्या खूप जवळ जातं. त्यामुळे २२/७.

२२/७ हे अतिशय सोपं गुणोत्तर पायच्या किमतीच्या ०.०४% पर्यंत अचूक उत्तर देतं. त्यापुढचं चांगलं गुणोत्तर म्हणजे ३५५/११३ = ३.१४१५९२९... हे किमान हजारपट कमी त्रुटी असलेलं आहे. पण ते सोयीस्कर नाही.

नवीन भाषा

नवीन भाषा शिकत असल्यामुळे वेगळा प्रयोग केला. ठराविक आकाराच्या चौरसाच्या आत किती मोठं वर्तुळ मावू शकेल आणि त्यांच्या क्षेत्रफळाचं गुणोत्तर किती असेल ह्याचं गणित केलं. चौकोन : वर्तुळ ह्यांच्या क्षेत्रफळाचं गुणोत्तर = π / ४

रँडम आकडे घेऊन हा प्रयोग केला. रँडम आकडे ० ते १ ह्या रेंजमध्ये मिळतात. वर्तुळाची त्रिज्जा = ०.५, चौकानाची एक बाजू = १ एकक. रँडम आकडे तयार केल्यास किती आकडे वर्तुळाच्या आत येतील आणि बाहेर, पण चौकोनाच्या आत येतील ह्याचं गुणोत्तर मोजून त्याला चारने गुणल्यास π ची किंमत मिळेल. हा प्रयोग जेवढ्या जास्त वेळा करू तेवढी π च्या किंमतीतली त्रुटी कमी होत जाईल. त्याचा तक्ता -

किती वेळ प्रयोग केला π ची किंमत
१० २.८
१०० ३.२४
१००० ३.११२
१०००० ३.११८
१००००० ३.१५२५६
५००००० ३.१४३१०४

यापुढे जचि ह्यांनी दिलेल्या अंकगणिती पद्धतीने π साठी कार्यक्रम लिहिला. त्यात "ह्या दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढा, आणि तिला ४ ने गुणा." हे वाक्य नीट समजलं नाही. दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढायची नसून फक्त बेरीज करायची आहे, हे π ची किंमत किती हे माहीत असल्यामुळे लक्षात आलं. किती आकड्यांची बेरीज केली ह्या‌वरून मिळणारी π ची किंमत पुढीलप्रमाणे.

किती आकडे वापरले π ची किंमत
१० ३.०४१८
१०० ३.१३१५
१००० ३.१४०५
१०००० ३.१४१४९
१००००० ३.१४१५८
५००००० ३.१४१५९

(अवांतर - जचि ह्यांच्या भाषेतली चूक गणितासंदर्भात काढल्यामुळे आज आमच्या घरी प्यार्टी आहे. अवश्य येण्याचे करावे.)

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

पार्टी आणि नैतिकता

> त्यात "ह्या दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढा, आणि तिला ४ ने गुणा." हे वाक्य नीट समजलं नाही. दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढायची नसून फक्त बेरीज करायची आहे, हे π ची किंमत किती हे माहीत असल्यामुळे लक्षात आलं.

माझ्या उदाहरणातलं पहिलं उत्तर ०.८३४९, आणि दुसरं उत्तर ०.७४४०. या दोन्हीची सरासरी (०.८३४९+०.७४४०)/२ = ०.७८४९५. तिला ४ ने गुणलं की उत्तर येतं ३. १५७८. आता यात न कळण्यासारखं काय आहे? पार्टी करायची तर करा, पण त्यामागे सबळ कारण नको का?

- जयदीप चिपलकट्टी (होमपेज)

मी म्हणत्ये म्हणजे खरंच असणार.

तुमचा सिद्धांत कितीही योग्य असेल पण त्याची मांडणी गोंधळवणारी होती. आणि हे मी म्हणत्ये म्हणजे खरंच असणार.

(अवांतर - एक्सेलसम्राटांकडे दुर्लक्ष करण्यात येत आहे.)

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

आयला, ज.चिं.सारख्या गणिताच्या

आयला, ज.चिं.सारख्या गणिताच्या प्रोफेश्वराची गणितातली चूक काढणं एकवेळ क्षम्य आहे. पण माझ्यासारख्या एक्सेलसम्राटाचीही चूक दाखवायची? आणि तेही एकाच प्रतिसादात? आणि तेही आपल्या खिळखिळ्या, नुकत्याच शिकलेल्या कॉंप्युटरी भाषेच्या कार्यक्रमावरून? अदिती तुम्हारी ये जुर्रत कैसे हुई? मात्र मी एवढंच विचारून, नैतिकतेचा मुद्दा वगैरे न काढता कदाचित हे लवेचेप्र असतील असं समजून सोडून देतो... करा हवी तितकी प्यार्टी.