हा खेळ संख्यांचा! - सात

  • 7 ही एक अविभाज्य संख्या आहे.
Prime numbers
  • 7 ही एक भाग्यशाली संख्या (lucky number) आहे. भाग्यशाली संख्या ही एक गणितीय संकल्पना असून त्याचा भविष्य, फलजोतिष वा दैववाद इत्यादींशी संबंध नाही. संख्या सिद्धांतात (number theory) एराटोस्थेनिसची चाळणी (Sieve of Eratosthenes) लावल्यानंतर ज्या अविभाज्य संख्या उरतात त्यांना भाग्यशाली संख्या असे म्हटले जाते.
    भाग्यशाली संख्या काढण्याची रीत:
    1 पासून सुरुवात करून क्रमाने (sequence) अंक लिहावे:
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,
    या क्रमातील प्रत्येक दुसरी संख्या (सम संख्या) गाळल्यास नवीन क्रम मिळेल:
    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,
    या क्रमातील दुसरी संख्या 3 असल्यामुळे प्रत्येक तिसरी संख्या गाळल्यास हा क्रम मिळेल:
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25,
    या क्रमातील नंतरची संख्या 7 असल्यामुळे प्रत्येक सातवी संख्या गाळल्यास हा क्रम मिळेल:
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25,
    याच अनुषंगाते करत गेल्यास अविभाज्य संख्यांचा क्रम मिळेल:
    2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107,.....
    (1955 साली गार्डिनर, लाझारिस व इतर यांनी अविभाज्य संख्यांचा सिद्धात या शोधनिबंधातून ही मांडणी केली.या क्रमातील अविभाज्य संख्याना भाग्यशाली अविभाज्य संख्या असे म्हटले जाते. )
  • गणितातील catastrophe सिद्धांतानुसार (catastrophe theory) 7 प्रकारचे फल (functions) आहेत. एखादी गणितीय व्यवस्था संतुलित नसल्यास त्याची कारणमीमांसा या 7 फलांचा वापर करून केला जातो.
  • क्ले मॅथेमॅटिकल इन्स्टिट्यूटने 2000 साली गणितातील अजूनपर्यंत न सुटलेल्या 7 समस्य़ांना उत्तर शोधणार्‍यासाठी 10 लाख डॉलर्सच्या पारितोषकाची घोषणा केली आहे. यापैकी फक्त पॉइन्केर कंजेक्चर समस्येला ग्रिगोरी पेरिलमन (Grigory Perelman)याने 2010 साली योग्य उत्तर शोधले. परंतु इतर अनेक गणितज्ञ मानकरी माझ्यापेक्षा मोठे आहेत म्हणून त्यानी हे पारितोषक घेणे नाकारले.
  • त्रिकोनाच्या बाजूंची लांबी दुपटीने वाढवून त्यांचे शिरोबिंदू जोडल्यास एक मोठा त्रिकोन तयार होतो. या मोठ्या त्रिकोनाचे क्षेत्रफऴ मूळ त्रिकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या 7 पट असते.
  • 7 या संख्येपासून एक गमतीदार संख्या आपल्याला मिळते. 1/7 = 0.142857142857... यात 142857 ही संख्या नंतर नंतर पुन्ह पुन्हा येत राहते. 142857 याचा 1 ते 6 पर्यंतचा पाढा तयार केल्यास या संख्येतील अंकांचीच पुनर्जुळणी होत राहते. 142857x 1 = 142857
    142857x2 = 285714, 142857 x3 = 428571, 142857x4 = 571428
    142857 x5 = 714285, 142857 x6 = 857142 व शेवटी 142857x7 = 999999 असे मजेदार उत्तर येईल.म्हणूनच 142857 या संख्येला आवर्तनीय संख्या (cyclic number) असे म्हटले जाते. अशाच प्रकारचे वैशिष्ट्य 1/17 या अपूर्णांकातही सापडेल. 1/17 = 0.0588235294117647. यात 16 अंकी संख्या आहे. सामान्यपणे 1/p अपूर्णांकात (p-1) अंकानंतर संख्या पुनरावर्तित होत असल्यास त्या संख्येला आवर्तनीय संख्या (cyclic number) असे म्हटले जाते.
  • bridges of Konisberg

    कोनीबर्ग पुलाच्या(puzzle of seven bridges of Konisberg) कूटप्रश्नात नदीच्या मध्यावरील दोन बेटांपासून शहरात येण्याजाण्यासाठी 7 पूल आहेत.प्रत्येक पूल एकदाच एकदाच ओलांडत साती पुलावरून जाणे शक्य होईल का असा प्रश्न विचारला होता. या कोड्याची रचना लिओन्हार्ड ऑयलर (1707-1783) यानी केली होती. आलेख सिद्धांताचा उदय याच कूटप्रश्नातून झाला आहे.

  • इतर संख्याप्रमाणे 7 या संख्येभोवती कुठलेही वैशिष्ट्य नसले तरी या संख्येचा वापर मानसशास्त्रीय चाचणीत होत असतो. विस्मृती वा स्मृतीभ्रंश असलेल्या रुग्णांना 100 तून 7 वजा करत जाण्याची ही चाचणी असते; 100, 93.86, 79, 72..... इ.इ. 4 वा 5 वजा करत जाण्यापेक्षा 7 ही संख्या मेंदूला श्रम देणारी ठरते.
  • इलेक्ट्रॉनिक डिस्प्ले बोर्डवरील आकडे प्रदर्शित करण्यासाठी 7 प्रकाश नलिकेंचा वापर केला जातो. या नलिकांच्या रचनेतून 0 ते 9 पर्यंतचे अंक सहजपणे वाचता येतात.
  • शेजारील आकृती 7 वर्तुळ प्रमेयाबद्दलची आहे. एका मोठ्या वर्तुळातील परिघाला स्पर्श करणार्‍या व एकमेकानांही स्पर्श करणार्‍या कुठल्याही आकाराच्या 6 वर्तुळाच्या समोरासमोरील स्पर्शबिंदूंना जोडून रेषा ओढल्यास त्या एकाच बिंदूत छेद घेतात. ही रचना कुठल्याही आकाराच्या लहान - मोठ्या वर्तुळाला पूर्णपणे लागू होते.
  • अंतरराष्ट्रीय मानकसंस्थेने मीटर, किलोग्राम, सेकंद, ऍम्पीअर, केल्विन, मोल आणि कँडेला अशी 7 मापक (SI Units) निर्दिष्ट केलेले आहेत.
  • जेम्स बाँडपटात मुख्य गुप्तहेराचा क्रमांक 007 असतो.
  • आठवड्याचे सात दिवस, जगातील पुरातन व आधुनिक सात आश्चर्य, इंद्रधनुष्यातील सात रंग, संगीतातील सात स्वर, ख्रिश्चन धर्मीयांची सात पापांची (seven deadly sins) यादी, आकाशातील सप्तर्षी तारकासमूह, हिंदू-विवाह प्रसंगातील सप्तपदी, साता समुद्रापलिकडे, इ.इ. 7 या संख्येशी निगडित असलेल्या इतर काही गोष्टी.
  • काही म्हणी:
  • आपल्या कानी सात खडे
  • सात सुगरणी, भाजी अळणी
  • सात हात ढलपी, नऊ हात लाकूड

या पूर्वीच्या शून्य, एक, दोन, तीन, चार, पाच,सहा वरील लेखासाठी)

....क्रमशः
field_vote: 
4
Your rating: None Average: 4 (4 votes)

प्रतिक्रिया

सप्तरंग, सप्तर्षी, सात सूर यांच्या पलिकडे जाऊन ७ अंकाबाबत बरीच नवी माहिती मिळाली!
अनेक आभार!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

७च्या काही गमतीजमती खास आवडल्या. बहुतेक आकाशात लोकांनी पाहिलेल्या सात विशेष ग्रह-तार्‍यांमुळे सातला इतकं महत्त्व आलं असावं काय असा प्रश्न पडतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

रोचक माहिती दिल्या बदद्ल आभार.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हा भाग विशेष आवडला

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सगळ्याच संकल्पना आवडल्या.

संगीतातले सात स्वर आणि आठवड्याचे सात वार, सर्व संस्कृतींमधे समान का असावेत?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

सात वार समान असण्याचं कारण म्हणजे, "वार" ही संकल्पना भारतीय संस्कृतीने, ज्योतिर्विदांनी ग्रीको-रोमनांकडून उचलली म्हणतात.
रामायण -महाभार्तादी प्राचीन ग्रंथांतील जुन्या भागाम्त काल निर्देशासाठी तिथी आणि नक्षत्रे ह्याचा उल्लेख आहे. राशी आनि वार ह्यांचा कुठेही उल्लेख नाही. अलेक्झांडरच्या स्वारीनंतर जो पश्चिमेशी संपर्क प्रस्थापित झाल, त्यातून ह्या कल्पना आप्ण उचलल्या म्हणे.(उपक्रमवाले म्हणे.)

ह्यामुळेच नुसते ७ वार आहेत इतकीच समानता अनही, तर रविवार-sunday, mo(o)nday-सोमवार अशा अजून काही समानता आहेत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

ह्यामुळेच नुसते ७ वार आहेत इतकीच समानता अनही, तर रविवार-sunday, mo(o)nday-सोमवार अशा अजून काही समानता आहेत.

पण मग जपान्यांतही वार सातच आहेत, पण (रविवार आणि सोमवार वगळता) वारांची नावे* वेगळी आहेत, याचे कारण काय असावे?

*रविवार-सोमवार-आगवार-पाणीवार-झाडवार-सोनवार**-भुईवार.

**पक्षी: सोन्याचा (सुवर्णाचा) वार.

(उपक्रमवाले म्हणे.)

ते असो. तुमचे म्हणणे काय आहे?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

..........
"Don't be humble. You're not that great." - Golda Meir.

जपानी वारांची नावे सुद्धा पाश्चिमात्यांकडून :
हा विकिपेडिया दुवा सहज सापडला, त्याहून खोलावर गेलेलो नाही. सात ग्रहांपैकी पाचांना पंच-(चिनी)-मूलद्रव्यांची नावे देणे ही चिनी परंपरा आहे. उदाहरणार्थ मंगळवार=अग्निवार आहे.

(उपक्रमावर या बाबतीत लिहिणार्‍या अनेक लेखकांपैकी मी आहे. "मन" यांनी नेमक्या लेखकाचा दुवा दिलेला नाही. पण जर माझ्या लेखनाचा उल्लेख असेल, तर माझ्या युक्तिवादाचा त्यांनी केलेला सारांश ठीक आहे.)

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

http://mr.upakram.org/node/191 ह्या धाग्यावर यनावाला ह्यांचे पुढील विधान आहे:-
"** रामायणात तसेच महाभारत्तात कुठेही वार आणि राशी यांचे उल्लेख नाहीत. तिथी आणि नक्षत्रे आहेत. "

मी स्वतः ज्यांना जालीय माहितीतील विश्वसनीय सूत्रे मानतो किंवा जालीय संदर्भमूल्य द्यावेसे वाटते अशा सदस्याने दिलेली माहिती निश्चितच विचारार्ह आहे.
@नवी बाजू :- आमचे अधिक काही म्हणणे नाही.(आपणासारख्या मोठ्या, थोर्थोर विद्वानांची चर्चा सुरु असताना वाचन,अवलोकन,ग्रहण करणेच इष्ट.)

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

सार नव्हे, तर पाच स्वर सार्वत्रिक आहेत.
निसर्गात ज्या-ज्या वस्तू "स्टँडिंग वेव्ह"ने कंपित होतात - तंतू=कंठमणी/तंतुवाद्य, वा हवेचा स्तंभ=बासरी - त्यांत "ओव्हरटोन्स" असतात. म्हणजे सर्वात कमी वारंवारितेचे कंपन असते, त्याच्यासह दुप्पट-तिप्पट वारंवारितेची कंपनेसुद्धा होत असतात. हे कसे काय होते, ते आपण भौतिकशास्त्रात शिकतो.
दुप्पट वारंवारितेचे कंपन हे इतके स्पष्ट ऐकू येते, की एकपट-दुप्पट वारंवारिता यांत काहीतरी तादात्म्य आहे (काहीतरी एकसमान आयडेंटिटी आहे) असे आपल्याला वाटते. दोन तारा घेतल्या, आणि एकीची किमान वारंवारिता दुसरीच्या किमान वारंवारितेच्या दुप्पट असली, तर त्या दोन्ही तारा "जुळल्या"चा भास होतो. कारण एकपट वारंवारितेच्या तारेच्या दुप्पट-ओव्हरटोनशी दुसरी तार खरोखर समसमान असते. त्यामुळे एकपट-दुप्पट वारंवारितासुद्धा "जुळली" असा सुंदर-सुरेल भास होतो.

ज्या संगीतशैलींमध्ये स्वरांना नावे देतात, त्या शैलींमध्ये दुप्पट वारंवारिता असलेल्य स्वरांना एकच नाव असते.

तिप्पट वारंवारितेची स्टँडिंग वेव्ह ऐकू येते, पण थोडीशी अस्पष्ट. त्यामुळे अशा दोन तारा घेतल्या तर त्या थोड्याफार-जुळल्या असे कानाला ऐकू येते.

अशाच प्रकारे क्ष/३ किंवा ३क्ष/२ अशा गुणोत्तरांच्या किमान वारंवारितेच्या दोन तारा घेतल्या तर त्या काहीशा जुळल्यासारख्या वाटतात : एका तारेचा कुठलासा ओव्हरटोन दुसर्‍या तारेच्या कुठल्याशा ओव्हरटोनशी तंतोतंत जुळतो. (क्ष, य, दोन्ही संख्या लहान असाव्यात - फार दूरचे ओव्हरटोन ऐकूच येत नाहीत, जुळणार कुठून)

दुप्पट ओव्हरटोनला तर आपण पहिल्याच स्वराचे नाव दिलेले आहे. बाकीच्या गुणोत्तरांना आपण नवी स्वरांची नावे देतो. एकपट आणि दुप्पट यांच्या दरम्यान अशी चार गुणोत्तरे येतात :
१/१(९/८ गाळलेले आहे*) ३२/२७, ४/३, ३/२, १६/९, २/१
असे हे पाच स्वर.

*हे फारच क्लिष्ट होत चालले आहे. ९/८ गाळण्याचे कारण असे, की ९/८ची तार आणि ३२/२७ची तार एकत्र वाजली तर त्या दोहोंत २५६/२४३ असे गुणोत्तर जुळल्याचा भास होत नाही. कारण "क्ष" आणि "य" फारच मोठ्या संख्या आहेत, आणि ते ओव्हरटोन मानवी कानांना नीतसे ऐकूच येत नाहीत. उलट कर्कश "बीट्स" ऐकू येतात. म्हणून येथेच थांबवतो.

आता मूळ वारंवारितेच्या पाचपट ओव्हरटोनही काहीसा ऐकू येतोच. त्याची २, ३, सह गुणोत्तरे घेतली तर सात स्वर मिळतात. (खरे तर ७ पेक्षा जास्त खूपच गुणोत्तरे मिळतात, पण त्यांच्यापैकी जास्तीतजास्त सात कर्णमधुर क्रमाने निवडता येतात. जर ५/४ घेतले, तर ३२/२७ गाळावे लागते, वगैरे. जर ३२/२७ घेतले, तर ५/४ गाळावे लागते.)

** पेटीवरच्या/पियानोवरच्या स्वरांची गुणोत्तरे यापेक्षा साधारणपणे वेगळी असतात. यात बारा स्वर असतात, त्यांतील वारंवारितेची गुणोत्तरे २-१२ अशी समसमान असतात.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मानसशास्त्रीय चाचणीत ७ चा वापर का केला जातो याची आणखी काही माहिती आहे का? '७ ही संख्या मेंदूला श्रम देणारी ठरते' असे तुम्ही जे विधान केले आहे, त्याला काही आधार असणार - तो दिला तर त्यावर अधिक प्रकाश पडण्याची शक्यता. कारण सात वार, सात स्वर वगैरे इतक्या सातशी निगडीत गोष्टी सारख्या कानावर पडत असतानाही ७ कठीण राहण्याचे कारण समजत नाही. मग ८ का नाही किंवा ९ का नाही असे प्रश्न मनात आले.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एक ते पाच आकडे वजा करणं हे तसं सोपं आहे कारण बऱ्याच वेळा गणित करताना एक आकडी, हातचा न घेता गणित करावं लागतं. म्हणजे ८८ - ५ = ८३ हे सांगणं सोपं आहे. शिवाय पाचच्या बाबतीत तर १०० मधून किंवा इतर कुठल्याही आकड्यातून लागोपाठ वजाबाकी करत जाणं खूपच सोपं आहे. तेच तेच आकडे शेवटी येत रहातात, दशमस्थळ कमी होतं. १०० मधून सहा वजा करत जाणं थोडं कठीण आहे, पण येणारा आकडा ही सम संख्याच असली पाहिजे हे लॉजिक वापरून योग्य उत्तर काढायला मदत होऊ शकते. आठ बाबतीतही तेच. नऊ वजा करणं खूपच सोपं आहे. कारण आधीच्या संख्येतला एकंस्थानचा आकडा एकने वाढवायचा आणि दशमस्थानचा आकडा एकने कमी करायचा. दहा सोपं, अकरा सोपं... त्या मानाने पुरेशा लहान आकड्यात सात वजा करत जायला त्यातल्या त्यात कठीण पडतं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहितीबद्दल धन्यवाद!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मानसशास्त्रीय चाचणीत ७ चा वापर का केला जातो याबद्दलच्या अधिक माहितीची मलाही उत्सुकता आहे. याबद्दलची थोडीशी माहिती कुठे तरी वाचनात आल्यामुळे या लेखात तसा उल्लेख केला गेला. जाणकारांकडून याची अपेक्षा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

7 ही एक भाग्यशाली संख्या (lucky number) आहे. भाग्यशाली संख्या ही एक गणितीय संकल्पना असून त्याचा भविष्य, फलजोतिष वा दैववाद इत्यादींशी संबंध नाही. संख्या सिद्धांतात (number theory) एराटोस्थेनिसची चाळणी (Sieve of Eratosthenes) लावल्यानंतर ज्या अविभाज्य संख्या उरतात त्यांना भाग्यशाली संख्या असे म्हटले जाते.

याबद्दल (म्हणजे ७ ही भाग्यशाली संख्या असण्याबाबत) आणखी एक प्रवाद असा ऐकला होता, की १ ते ६ असे आकडे असलेले दोन फासे फेकले असता जी वेगवेगळी फलिते येऊ शकतात (२पासून १२पर्यंत), त्यांपैकी ७ हे फलित सर्वाधिक वेगवेगळ्या पद्धतींनी येऊ शकते. तस्मात्, असे दोन फासे यदृच्छया फेकले असता, ७ हे फलित येण्याची शक्यता सर्वाधिक. आणि म्हणूनच, दोन फाशांवर आधारित जुगारात सातावर आकडा लावल्यास आकडा लागण्याची शक्यता सर्वाधिक*. म्हणून भाग्यशाली संख्या.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

..........
"Don't be humble. You're not that great." - Golda Meir.

हा विचार आधी केला नव्हता पण ७ येण्याची शक्यता दोन (६ बाजूच्या) फास्यांमध्ये सर्वाधीक म्हणजे १/६ आहे.

१ ते ६ आकडे फास्यांवर असल्यामुळे ही गंमत होते. एका फास्यावर १ ते ६ पैकी कोणताही आकडा असेल तरी दुसर्‍या फास्यावर असा आकडा येईल की बेरीज ७ होईल, अशी शक्यता नेहमीच उरते. पण ८ आणि जास्त किंवा ६ आणि कमी आकड्यांबाबत हे होत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

बाय सिमेट्री हा वेगळा युक्तिवादसुद्धा वापरता येतो. शक्य बेरजांपैकी ही मधली बेरीज आहे. जर मधल्या बेरजा असलेली अधिक काँबिनेशने असतील, तर सर्वात मधल्या संख्येकरिता सर्वाधिक काँबिनेशने असतील.
तीन फासे टाकल्यास दोन संख्या "सर्वात मधल्या" येतात.

खूप-खूप फासे टाकले (टेंड तो इन्हिनिटी) तर फलितांच्या संभवनीयतेचे नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन होते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हा युक्तिवाद जास्त चांगला आहे. कोणतेही आकडे वापरले तरी हरकत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

या लेखमालेतील हा लेख सर्वात जास्त आवडला.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0