भारतीय गणितातील संकल्पनांचा इतिहास

नुकतीच फेसबुकावर एक चर्चा झाली त्यात कोणीतरी एक लेख सादर केला होता - त्यात लेखकाने 'भारतात अतिशय पुरातन काळापासून कोटी, शंकू इतकंच काय तर १ वर ५० शून्य असलेल्या संख्येलाही नाव होतं. यावरून गणित किती पुढारलेलं होतं पाहा.' असं काहीसं म्हटलं होतं. संख्येला नाव आहे म्हणजे ती संख्या वापरात होती असं नाही; आणि मोठ्ठ्या संख्यांना नावं असणं म्हणजे गणिताची प्रगती असंही नाही. मात्र त्या चर्चेच्या दरम्यान एका इंडॉलॉजिस्ट एका चांगल्या लेखमालेचा दुवा दिला. भारतीय आणि इतर देशांत गणिताची प्रगती कशी झाली याचा त्यांनी चांगला आढावा घेतला आहे. सर्वात महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे 'पाहा पाहा, त्यांना त्या काळी वर्गमुळात दोनची किंमत काढता येत होती. म्हणजे ते कित्ती थोर होते.' या प्रकारचा छाती भरभरून आलेला अभिमान कुठेही नाही. त्यातले लेख वाचताना काही सारांशात्मक नोंदी करत गेलो. त्यात स्वतःच्याही काही टिप्पणी लिहिल्या आहेत. त्या इथे सादर करतो आहे. हे सगळं नोट्स काढल्याप्रमाणे असल्यामुळे भाषेचा ओघ चांगला नाही, तेवढं चालवून घ्यावं ही विनंती.

त्यांच्या मते शून्याचा वापर असलेली दशमान पद्धत ही सातव्या शतकाच्या अलिकडे-पलिकडे सुरू झाली. नवव्या शतकातले बरेच पुरावे सापडतात, तेव्हा त्याकाळी निश्चितच प्रस्थापित होती. बाकी गणितातल्या इतर संकल्पना, आणि पद्धती कधी आल्या त्यावर काही माहिती मिळेल अशी खात्री आहे.

पुढचा थोडा भाग वाचला त्याबद्दल काही नोंदी. शूल्बसूत्रं - वेदांची परिशिष्टं म्हणून शूल्बसूत्रं येतात. यात विशिष्ट आकाराच्या यज्ञचौकटी तयार करण्यासाठी म्हणून काही सूत्रं आहेत. त्यात चौरसाचा आकार दुप्पट करण्यासाठी त्याच चौरसाचा कर्ण बाजू म्हणून वापरावं असं दिलेलं आहे. यातून पायथागोरसचा थिअरम त्यांना माहीत होता असं म्हणता येत नाही. कारण एक सोपी आकृती काढून हे सिद्ध करता येतं. तसंच काही पायथॉगोरिअन ट्रिपलेट्स (३,४,५), (५,१२,१३) वगैरे त्यांना माहीत होती. हेही मूळ थिअरम माहीत नसताना केवळ मोजमापं करून शोधून काढता येतं. त्यात वर्तुळाच्या आकाराचा चौरस काढण्याची कृती दिलेली आहे. त्यातून ज्या पायच्या किमती येतात त्या ३.०४ ते ३.०९ अशा आहेत. इतकी प्रचंड एरर म्हणजे त्यांनी केवळ 'साधारण' 'अंदाजे' जवळपास जाणारी अॅप्रोक्झिमेशन्स दिलेली आहेत. वर्गमुळात २ काढण्याचं सूत्रही कसं आलं असावं याचं गुप्ता यांनी उत्तम विश्लेषण दिलेलं आहे. तेही असंच प्रॅक्टिकल सोल्यूशन आहे. दुर्दैवाने या लेखात 'शेजारची आकृती पाहा' असं लिहिलं आहे तिथे आकृत्या दिसत नाहीत. पण साधारण युक्तिवाद असा. दोन सारख्या आकाराचे चौरस घ्यायचे आणि त्यापासून एक मोठा चौरस करण्याचा प्रयत्न करायचा. एकाच्या चार पट्ट्या कापल्या, आणि दुसऱ्या चौरसाच्या चार बाजूंना ठेवल्या तर अपूर्ण चौरस तयार होतो - चार टोकांना रिकामे चौरस असलेल्या. मग त्या प्रत्येक पट्टीचा सुमारे एक पंचमाश भाग कापायचा, त्याचे चार तुकडे करायचे आणि त्यांनी तो रिकामा भाग भरून काढायचा. मग अजून थोडा भाग तिथे जास्तीचा होतो, तो कमी करायचा.... असं करत गेलं की उत्तरं १.५, १.४, १.४१... अशी सुधारत जातात.

पुढचा भाग जैन गणिताविषयी आहे. शूल्बसूत्रांचा कालखंड सुमारे ८०० ते ६०० बीसी. जैन गणिताचा या लेखात सांगितलेला कालखंड ६०० बीसी ते ५०० एडी. त्यात त्यांनी अनंत या कल्पनेचा अभ्यास केला असं म्हटलेलं आहे. तसंच एका गणिताचं उदाहरण सांगितलेलं आहे - पृथ्वीच्या त्रिज्येचा बराच उंच दंडगोल घेतला तर त्यात किती मोहरीचे दाणे मावतील? लेखात या गणितासाठी काही रिकर्सिव्ह गोष्टी त्यांनी वापरल्या असं म्हटलेलं आहे, पण नक्की काय कसं ते सांगितलेलं नाही. हा आकडा जघन्य-पारित-असंख्यता (unenumerable of low enhanced order) या नावाचा आहे, पण तरीही संख्या तिथे संपत नाहीत असं म्हटलेलं आहे. (हा भाग लेखात मोघमपणेच आलेला आहे, त्यामुळे मला नीट समजला नाही) अनंतपणाबद्दल इथे विचार केलेला दिसतो. जैनांनी पाच प्रकारचे अनंत सांगितले आहेत. एका दिशेला अनंत, दोन दिशांना अनंत, अनंत क्षेत्रफळ असलेलं, सगळीकडेच अनंत (बहुधा अनंत घनफळ), कायमचं अनंत (परपेच्युअली इनफायनाइट). तसंच अनेक ठिकाणी आत्तापर्यंत जगलेल्या माणसांची संख्या २चा ९६वा घात अशी दिलेली आहे. हा आकडा अर्थातच चूक आहे, पण त्यांनी उत्पत्तीसाठी काय निकष लावले हे माहीत नाही. तिसऱ्या शतकातल्या एका ग्रंथात परम्युटेशन्स - कॉंबिनेशन्सबद्दल विचार आहे. दहाव्या शतकात एका ग्रंथात या ग्रंथावर टिप्पणी आहे, आणि त्यात ही गणितं करण्यासाठी आवश्यक असणारे बायनॉमिअल एक्स्पान्शनचे आकडे दिलेले आहेत. पुढे वर्गमुळाचं वर्गमूळ म्हणजे त्या संख्येचा एक चतुर्थांशावा घात, आणि त्याचं वर्गमूळ म्हणजे एक अष्टमांशावा घात या कल्पना येतात. पायची किंमत ग्रीकांप्रमाणे त्यांनीही सोयीसाठी दहाचं वर्गमूळ = ३.१६२३ असं वापरलेलं दिसतं.

जैन खगोलशास्त्र - सूर्य प्रजापती या ग्रंथात चांद्रमासाचा काल २९.५२ दिवस असा दिलेला आहे, जो २९.५१ शी अतिशय उत्तम जुळतो. (अर्थात हे फार कठीण नाही.) मात्र हे भारतीय संशोधन आहे की बॅबिलोनियन ग्रंथांतून मिळवलेलं ज्ञान आहे हे निश्चित नाही. कारण त्यात दिवसाच्या लांबीच्या बदलाबद्दल काही विधानं आहेत ती भारतापेक्षा बॅबिलॉनला अधिक लागू पडतात.

बख्शली मॅन्युस्क्रिप्ट - १८८१ मध्ये सापडलेलं लिखाण - हे सुमारे चौथ्या शतकातलं आहे असा अंदाज आहे. वेगवेगळ्या इतिहासकारांनी ३०० ते ५०० असे आकडे मांडलेले आहेत.

त्यात बहुतांश गणितं ही तीन किंवा दोन व्हेरिएबल्सची सायमलटेनियस इक्वेशन्स आहेत. तसंच वर्गमूळ काढण्याची एक उत्तम इटरेटिव्ह पद्धत दिलेली आहे. √Q = √(A2 + b) = A + b/2A*(1 – 2/((A+ b/2A))). या पद्धतीने अनेक वर्गमुळं पाचव्या दशमस्थळापर्यंत काढता येतात. (शूल्बसूत्रात दिलेल्या वर्गमुळात दोनच्या किमतीचं हे सर्वसाधारणीकरण आहे बहुतेक. तपासून पाहायला हवं.)

शून्याची संकल्पना - बॅबिलोनियन ६० पायाचे आकडे वापरत. पण शून्याचा वापर नव्हता. त्यामुळे अनेक आकडे २०१६ की २१६ हे संदर्भाने ठरत असे. मला वाटतं साठसारखा मोठ्ठा पाया असल्यामुळे बराच काळ त्यांना शून्याची गरजही पडली नसावी. सुमारे ४०० बीसीपासून त्यांनी शून्य दाखवण्यासाठी २''१६ असं लिहायला सुरुवात केली. पण तीही लिखाणाची सोय म्हणूनच, गणिताची सोय त्याने होते म्हणून आज वापरली जाणारी शून्याधारित दशमान पद्धती त्यामागे असेल असं नाही. १३० साली टोलेमीने शून्य हे चिन्ह वापरलं, पण हीही सोयच होती, आणि केवळ काही खगोलशास्त्रज्ञांत प्रचलित होती. ५०० साली आर्यभटाने स्थानाधारित अंकगणनेची पद्धत तयार केली, पण यात शून्याला स्थान नव्हतं असं या लेखात म्हटलेलं आहे. स्थानाला 'ख' म्हटलं, आणि बहुधा रिकाम्या स्थानाला नुसतंच ख म्हटलं. (हा भाग मला नीटसा कळलेला नाहीये). पण ६५० साली व्यवस्थित शून्यासहित दशमान पद्धती भारतात वापरात होती असं बऱ्याच इतिहासकारांचं म्हणणं आहे. ८७६ सालच्या एका शिलालेखात शून्य पहिल्यांदा स्पष्ट दिसतं. '२५० हस्त लांब आणि १८७ हस्त रुंद बाग तयार केली. त्यातून दिवसाला ५० हार होतील इतकी फुलं मिळतील.' अशा प्रकारचा उल्लेख आहे. शून्य थोडं लहान, आणि थोडं वर काढलेलं आहे.

शून्य ही एक संख्या म्हणून ब्रह्मगुप्ताने तिला स्थान दिलं. शून्य या संख्येचे गुणधर्म त्याने सांगितले. कुठच्याही आकड्यातून तोच आकडा वजा केला की शून्य राहातं, कुठचीही संख्या शून्यातून वजा केली की आपल्याला ती ऋण संख्या मिळते, आणि शून्यातून कुठचीही ऋण संख्या वजा केली की तीच धन संख्या मिळते असे नियम त्याने सांगितले. शून्याला भागलं की शून्य मिळतं. मात्र शून्याला शून्याने भागलं तर शून्य मिळतं असं तो म्हणतो. क्ष/० चं उत्तर तो क्ष/० असं सांगतो व उत्तर देणं सफाईने टाळतो. Smile

८३० साली ब्रह्मगुप्ताच्या लेखनाबद्दल लिहिताना गणित सार संग्रह मध्ये महावीर लिहितो की शून्याने भागलं की संख्या बदलत नाही. हा गोंधळ शिल्लक होताच. मात्र भास्कराने अजून तीनशे वर्षांनी तो थोडा सोडवला. त्याने म्हटलं की शून्याने भागलं की अनंत मिळतं.

माया संस्कृतीतही ६७० च्या सुमाराला शून्यासकट वीसमान पद्धती होती.

भारतातून ही पद्धत अरबांकडे गेली, तसंच पूर्वेकडे चीनमध्येही गेली. बाराव्या शतकात फिबोनाचीने युरोपात ती पसरवली. मात्र ती पद्धत सर्वत्र प्रस्थापित झाली नाही. कार्डन नावाच्या गणिततज्ञाने वर्ग आणि घन समीकरणांची उत्तरं शून्य न वापरता काढली. त्याने शून्य वापरलं असतं तर हे खूप सोपं गेलं असतं असं लेखात म्हटलेलं आहे.

पुढचा लेख हा पायविषयी आहे, त्यातून भारतीय विज्ञानाच्या आणि गणिताच्या इतिहासावर फार प्रकाश पडत नाही.

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (1 vote)

प्रतिक्रिया

SmileSmile
गणित पचवता आलं नाही फारसं शाळा कॅालेजांत पण आवड फार आहे. लिहित राहा. Newton, Euler ,Guass,.....ते Hawking सर्वांची वाट पाहतो.ग्रीक लोकांचा सिद्धता द्यायचा आटापिटा पाहिला की अगदी गहिवरून येतं.

ही चर्चा करताना साधारण चौदाव्या-पंधराव्या शतकापर्यंत भारतात त्याकाळच्या आधुनिक गणिताचा अभ्यास चालू होता हे माहीत होतं. पण सुमारे सोळाव्या शतकापासून सगळी युरोपीय नावं दिसायला लागतात एवढंच माहीत होतं. त्याच काळापासून भारताच्या जागतिक आर्थिक स्थानातही किंचित ऱ्हास व्हायला सुरुवात झाली असं वाचल्याचं आठवत होतं. त्यामुळे या दोन्हींचा काही संबंध आहे का? हा प्रश्न घोळत होता. तो अजूनही पूर्णपणे सुटलेला नाही. पण गेल्या दोन हजार वर्षांच्या प्रगतीचा किमान एक धावता आलेख काढावा असा काहीसा विचार होता.

या लेखांमधल्या सुरुवातीच्या प्रास्ताविक लेखात इतर भारतीय गणितज्ञांचीही नावं आलेली आहेत. त्यातलं मुख्य नाव १४ व्या शतकातल्या माधवाचं. प्रास्ताविकापुढच्या लेखांत त्याचा उल्लेख येत असला तरीही पुरेशी माहिती येत नाही. ती आणि इतरांची माहिती घालून लेख लवकरच अपडेट करतो. गेल्या पाचेकशे वर्षांत कुठे काय घडलं - विशेषतः गणित, भौतिकी, रसायन आणि तंत्रज्ञान याबाबत - ते शोधून काही लेखन करायची इच्छा आहे.

आहात राव खरे गुर्जी तुम्ही.
मला ह्याच्या एक शतांश सुध्दा गणित येत नाही.
बरेच म्हणा ते.

छान आहे लेख. आवडला!

पृथ्वीच्या त्रिज्येचा बराच उंच दंडगोल

पृथ्वी स्फिअर आहे हे त्यांना माहिती होतं असा निष्कर्ष निघतो यातून राईट? की पृथ्वी डिस्क आहे असं वाटायच त्यांना?

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

उत्तम लेख. अजून विस्तारपूर्वक हवा होता.

मध्यंतरी शून्याच्या शोधाबद्दल जालावरच कुठेतरी वाचलं होतं. आठवलं की लिंक पेस्टतो.

येथे समस्त बहिरे बसतात लोक
का भाषणे मधुर तू करिशी अनेक

ऐसीवरच तीन वर्षांपूर्वी शुल्बसूत्रामधील भूमितिज्ञानाविषयी तीन लेखांची एक मालिका मी लिहिली होती. त्यांचे दुवे:

शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग ३.

http://aisiakshare.com/node/2400

शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग २.

http://aisiakshare.com/node/2310

शुल्बसूत्रांमधील भूमिति - एक धावती ओळख. भाग १.

http://aisiakshare.com/node/1914

त्यंपैकी भाग २ मध्ये '२'चे वर्गमूल शुल्बकारांनी कसे दिले आहे आणि ते त्यांना कसे मिळाले असावे ह्याविषयी विस्तृत चर्चा आहे. जिज्ञासूंनी ती पाहावी असे सुचवितो.

शुल्बकारांनी '२'चे वर्गमूल 'प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्तच्च चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन। सविशेष:। (बौधायन २.१२), म्हणजेच १+१/३+१/३*४-१/३*४*३४+सविशेष
किंवा चालू भाषेत १.४१४२१५६...असे दिले आहे.

याबद्दल जास्त उत्सुकता असलेल्यांनी किम प्लोफ्कर यांचे "मॅथेमॅटिक्स इन इंडिया" नामक अद्ययावत, आधुनिक आणि काँप्रिहेन्सिव्ह पुस्तक वाचावे अशी शिफारस करतो. विशेषतः घासूगुर्जींना. त्यांना अपेक्षित असलेल्या प्रकारची मांडणी आणि कव्हरेज तिथे अतिशय उत्तमरीत्या बघावयास मिळतो.

आत्याबाईला मिशा असत्या तर काका म्हटले असते = काका व्हायला पुरुष असण्याची गरज नाही. फक्त आत्याबाईला मिश्या लावा की झाले काम.

गुर्जी,गणिताचा इतिहास हाच व्यापक विषय घ्याना! जिथे भारतातील संदर्भ देता येतील तिथे शेपुट लावा. हा घेतलेला विषय रोचक असला तरी मजा नाही.

जर्नी ऑफ थाउजंड माइल्स बिगिन्स विथ द फर्स्ट स्टेप. गणिताचा विकास कसा झाला, त्याबरोबर विज्ञानाचा विकास कसा झाला आणि त्यातून कुठचे समाज कसे पुढे गेले किंवा मागे पडले हा खरा व्यापक विषय आहे. ते सगळं मला झेपण्याइतका माझा अभ्यास नाही. लोकांनीही त्याच्या वेगवेगळ्या पैलूंत भर घातली तर बरं होईल. इतर मोठमोठ्या लेखकांनीही आधीच यावर काम करून ठेवलेलं आहे. त्यांच्या लेखनाची ओळख करून देणंही जमेल तसं व्हावं.

कोल्हटकरांनी शुल्बसूत्रांमधली भूमिती उलगडून दाखवलेली आहे. तसंच लेखन या प्रगतीच्या प्रत्येक टप्प्याबद्दल झालं तर उत्तम.

गेल्या ५०० वर्षांतले काम बघायचे असेल तर केरळ स्कूल ऑफ मॅथेमॅटिक्सला डावलून पुढे जाता येणार नाही. तीच गोष्ट शिवाजी महाराज आणि सवाई जयसिंगाची. सवाई जयसिंग म्ह. तो जंतरमंतर वेधशाळावाला. त्याचे योगदान हा एक वेगळाच विषय आहे. पण महाराजांचा संबंध काय इथे? तर राज्याभिषेकानंतर त्यांनी जशी नवी नाणी पाडली, नवा शक सुरू केला, फारसी-संस्कृत डिक्शनरी तयार करवून फारसीच्या जागी संस्कृत शब्द वापरणे सुरू केले, तसेच पंचांगशुद्धी करण्याकरिता म्हणून कृष्ण दैवज्ञ नामक ज्योतिषाकडून 'करणकौस्तुभ' नामक ग्रंथही लिहवून घेतला. काही थोडे फुटकळ लेख वगळता त्या ग्रंथावर फारसे काम झालेले नाही.

आत्याबाईला मिशा असत्या तर काका म्हटले असते = काका व्हायला पुरुष असण्याची गरज नाही. फक्त आत्याबाईला मिश्या लावा की झाले काम.

//जर्नी ऑफ थाउजंड माइल्स बिगिन्स विथ द फर्स्ट स्टेप.//

सहमत. जमेल तसं लिहा. आवड आहे.

लेख आवडला.
आता यातील मुद्द्यांनाच घेऊन मोठी लेखमाला केलीत तर वाचायला आवडेल

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

वरील लेखातील शून्यासंबंधीचा उल्लेख वाचताना शून्यासंबंधीची ही कथा आठवली

नानावटी आजोबा, तुमचा लेख उत्तमच आहे.

पण खाली अजोंची बॅटिंग मात्र खतरनाक आहे.

त्यातली अजोंची काही मला आवडलेली निवडक वाक्य

आम्हाला कळण्यासाठी इतर काही वाक्यरचना करता आली तर पाहा. संदर्भ लागत नाहीय.

वास्तविक उंट तिरके चालत नाहीत. हत्ती तिरके चालू शकतच नाहीत असे नाही

अतिरेक, अति अतिरेक असे शब्द त्याहीपेक्षा अतिरेकाने वाचा, माझे भाव पोहोचतील

वाईड नाही, वाइल्ड

धर्म तर निरुपयुक्त आहेतच, पण शास्त्रांत केवळ गणितच 'स्पाईनलेस' आहे, हेच तर केव्हाचा सांगतोय.

पण inefficiently एखादी गोष्ट करायची असेल तर गणित लागत नाही.

अशीच वाक्ये जेव्हा तो लिव्हरवाला शास्त्रज्ञ म्हणतो तेव्हा ती तुम्ही वारंवार क्वोट करता. मला मात्र बकवास म्हणता. अन्याय हो अन्याय!!

संख्येला नाव आहे म्हणजे ती संख्या वापरात होती असं नाही

नैतर काय हो. नुसतं विमान टंकलेलं दिसलं रामायणात कि अख्खी बोइंगची फॅक्टरी होती म्हणायचं. असं कुठं असतं का? मला अगदी पूर्ण आत्मविश्वास आहे कि विमानच काय अगदी फेरस ऑक्साईड्स, अ‍ॅल्यूमिना आणि क्रूड ऑईल देखिल नसणार भारताच्या पोटात त्या काळी!!! खोटारडे कुठले!

सही: तुका म्हणे होय मनाशी संवाद, आपुलाच वाद आपणाशी.

इंग्रजी शब्दकोशात X,V,L,M या रोमन संख्या आणि 1,2,3,4 .....Arebic का म्हटलेलं असतं? म्हणजे अरेबिक पद्धत का?आपल्याकडे दश, शत, सहस्र अशी नावेच होती का?
( इकडे थोडा अवांतर झालाय पण नंतर कुठेतरी येऊ द्या)

ह्याचे कारण असे की ०,१,२,३ इत्यादि चिह्ने आणि त्यावर आधारित अंकगणित जरी मूळची भारताची जगाला दिलेली देणगी आहे तरी पाश्चात्य जगाला त्याचा परिचय अरब व्यापारी/प्रवासी ह्यांच्या माध्यमातून झाला आणि त्यांना 'अरेबिक' असे नाव चिकटले. ह्याचे खरे श्रेय भारताचे आहे हे आता सर्व मान्यताप्राप्त ग्रंथात मोकळेपणे लिहिलेले असते पण सर्वसामान्य वापरात जुनेच वर्णन टिकून आहे.

ह्याचे बरेच विवेचन माझ्याच हिंदु गणितातील 'वर्गप्रकृति' ह्या धाग्यामध्ये आणि त्याखालील चर्चेमध्ये मिळेल. विशेषेकरून त्यामधील पुढील उतारा पहा.

माझ्याजवळील 'Hindu-Arabic Numerals by Smith and Karpinski ह्या पुस्तकावरून पुढील माहिती घेतली आहे. हीच माहिती अनेक संस्थळांवर तुम्हास भेटेल. त्याचा जन्म (अंदाजे) ११७५ आणि मृत्यु १२२६ इसवी. तो लिओनार्डो दा विंचीच्याच पिसा गावचा. वडिलांच्या बोनाचिओ (Bonaccio) ह्या नावावरून त्याला "filius Bonacci" - Son of Bonacchi -Fibonacci - फिबोनाची असे ओळखू लागले. मूरिश शाळेत शिक्षण संपवल्यावर तो व्यापाराच्या निमित्ताने ग्रीस, ईजिप्त, सीरिया, सिसिली, प्रोवांस अशा बर्‍याच ठिकाणी फिरला. ह्या प्रवासामध्ये हिंदु-अरब अंकशास्त्राचा त्याला परिचय झाला आणि ही पद्धत अन्य कोणत्याहि पद्धतीपेक्षा श्रेष्ठ असल्याची त्याला खात्री झाली. ही पद्धति सर्वत्र पसरावी म्हणून त्याने Liber Abaci_नावाचे पुस्तक १२०२ मध्ये लिहिले. व्यापारी वर्गाला हिशेब ठेवण्यासाठी तिचा उपयोग होईल असे त्याला वाटत होते पण स्थितिप्रिय व्यापारी, चर्चचे नेते इत्यादींनी ह्याबाबत बरेच वर्षे खळखळच केली. त्याच्या मृत्यूनंतर बरेच वर्षांनी १२७५ साली ह्या पद्धतीला उत्तेजन मिळू लागले, यद्यपि छपाईची कला अजून अस्तित्वात नसल्याने तिचा प्रसार संथच होता. (व्यापार्‍यांनी हिशेबासाठी हे अंक वापरण्यावर फ्लॉरेन्समध्ये १२९९ साली बंदी आणण्यात आली होती. पादुआ विद्यापीठामध्ये पुस्तकांच्या किंमती अक्षरातच लिहाव्या, अंकात नाही -"non per cifras, sed per literas claros"- असा नियमच होता).

फिबोनाचीचे फिबोनाची नंबर्स अर्थात सर्वांनाच माहीत असतात.