अंदाज करा - १ ते १०० ची वर्गमुळं

इसवी सन ११८०. वयाच्या ३२व्या वर्षी तुम्ही तुमच्या राज्यातले राजगणिती आहात. अंकगणितावर तुमचं उत्तम प्रभुत्व आहे. राजा तुम्हाला अनेक गणिती प्रश्न विचारतो, सैन्याच्या वेगवेगळ्या कारभारासाठी लागणाऱ्या आकडेवारीचं विश्लेषण करणं हे तुमचं काम आहे. तसंच शेतसारा गोळा करण्यासाठी लागणारी क्षेत्रफळाची गणितं करणं, साऱ्याची योग्य टक्केवारी ठरवणं, त्यानुसार वेगवेगळ्या प्रांतांतून येणारा सारा पुरेसा आहे की नाही हे तपासणं, प्रत्येक विभागासाठी यावर्षी झालेल्या पाऊसपाण्याच्या आकडेवारीनुसार साऱ्याचं ध्येय ठरवणं, कुठच्या प्रांताला दुष्काळानुसार किती सूट देणं अशी अनेक कामं तुमच्याकडे आहेत. ही गणितं करण्यासाठी तुमच्याकडे चार कामसू तरुण अंकगणिती आहेत. त्यांना आकडेमोडी बऱ्यापैकी वेगाने जमतात. १ ते १०० पर्यंत वर्ग त्यांना मुखोद्गत आहेत. टक्केवारी काढणं, गुणाकार भागाकार करणं, हे त्यांना सहज जमतं. तुमचं गणिताचं ज्ञान, आणि त्यांची अंकगणितावरची पकड यावर तुम्ही राजासाठी अतिशय महत्त्वाची कामगिरी करता. राजाही तुम्हाल खाऊनपिऊन सुखी ठेवतो. वाडा किंवा महाल नसला तरी तुमचं चांगलं चौसोपी घर आहे, खायचीप्यायची ददात नाही, घरात अनेक नोकरचाकर आहेत, गेली काही वर्षं काम करून तुम्ही गाठीला काही पैसे जोडलेले आहेत, माफक जमीनजुमला बाळगलेला आहे - जेणेकरून तुम्हाला पुढचं आयुष्य पोटासाठी काही करावं लागणार नाही. सगळं कसं छान आहे.

पण तुमचं गणितावर प्रचंड प्रेम आहे. तुम्हाला हे काम कंटाळवाणं वाटतं. काहीतरी नवीन शिकावंसं वाटतं, नवीन संशोधन करावंसं वाटतं. ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य, श्रीधर, महावीर आणि इतर अनेक गणितज्ञांचे ग्रंथ तुम्ही वाचलेले आहेत. त्यातलं काही तुम्हाला कळलंय, काही कळलेलं नाही. पण एखादा प्रश्न डोक्यात घेऊन त्यावर विचार करत आयुष्य घालवणं, आणि त्याच्या सापडलेल्या उत्तरातून मिळणारा आनंद काय असतो याची तुम्हाला जाणीव आहे. आणि कुठल्याही भौतिक सुखापेक्षा तुम्हाला तो आनंद महत्त्वाचा वाटतो.

म्हणून हे चाललेलं चक्र घाण्याच्या बैलाप्रमाणे चालवत राहाण्यापेक्षा काहीतरी नवीन करण्याची तुमची इच्छा आहे. आणि त्यासाठी योग्य संधी चालून येते.

प्रत्यक्ष भास्कराचार्य तुमच्या राज्यात आलेले आहेत. त्यांना उज्जैनच्या खगोलविज्ञान संस्थेत त्यांच्या गणित विभागात काम करण्यासाठी लायक लोक हवे आहेत. अनेक राज्यांत जाऊन ते काही कूटप्रश्न विचारणार आहेत. ज्यांना या प्रश्नांची उत्तरं अचूकपणे आणि वेगाने देता येतील, त्यांना उज्जैनला जाऊन प्रत्यक्ष भास्कराचार्यांबरोबर काम करण्याची संधी मिळणार!

तुम्ही अर्थातच तुमच्या चार विद्यार्थ्यांबरोबर तिथे जाता. आसपासच्या राज्यांमधले इतर गणितज्ञही स्पर्धेसाठी तिथे आलेले आहेत. भास्कराचार्यांच्या दर्शनानेच तुम्हाला आनंद होतो. त्यांनी मांडलेला कूटप्रश्न असा.

'माझ्याकडे १ ते १०००० या संख्यांची वर्गमुळं आहेत. ही वर्गमुळं पहिल्या नऊ स्थानांपर्यंत अचूक आहेत. तुम्हा सर्वांसमोर तीन अधिकाधिक कठीण आव्हानं आहेत.
१. १ ते १०० संख्यांची वर्गमुळं चार स्थानापर्यंत अचूक काढून दाखवा.
उदाहरणार्थ, ८७४४ चं वर्गमूळ आहे ९३.५०९३५७८. चार स्थानांसाठी अचूक उत्तर असेल ९३.५१. कारण अधिक अचूक उत्तरापेक्षा त्रुटी असेल ती पुढच्या दशमस्थानांत. थोडक्यात, तुमचं उत्तर हे १०००० मध्ये एकच्या आसपास त्रुटी असलेलं हवं.
२. एकदा ही यादी तुम्ही सादर केलीत की तुमचं पुढचं आव्हान सुरू होईल. हीच उत्तरं सुधारून पहिल्या सहा दशमस्थानांपर्यंत अचूक उत्तर काढून दाखवा. तुमचं उत्तर अर्थातच दशलक्षात एकाहून अधिक अचूक असायला हवं. म्हणजे ८७४४ चं वर्गमूळ तुम्ही ९३.५०९४ असं लिहायला हवं.
३. यापुढची पायरी म्हणजे १ ते १०००० या संख्यांसाठी ६ स्थानांपर्यंत अचूक वर्गमूळं सादर करा.

यातल्या पहिल्या पायरीसाठी नक्की कुठच्या पद्धतीने तुम्ही काम करणार हे ठरवण्यासाठी तुमच्याकडे १ तास आहे. त्यानुसार ते काम पूर्ण झाल्यावर तुम्हाला पुढची पायरी कशी गाठणार हे सांगण्यासाठी ४ तास मिळतील. त्यानुसार काम करून ती यादी माझ्याकडे सादर केल्यानंतर तिसरी पायरी कशी पूर्ण करणार हे सांगण्यासाठी १६ तासांचा अवधी मिळेल. कामाची दिशा सादर करणं, आणि काम संपूर्ण करणं यासाठी तुम्हाला एकूण ७ दिवसांचा अवधी मिळेल. प्रत्येक दिवशी चार लोक आणि एक निरीक्षक यांना १० तास मिळतील.'

तुम्ही एक खोल श्वास घेता. तुमच्या सहकाऱ्यांकडे पाहाता. त्यांच्या क्षमतेवर तुमचा विश्वास आहे. पण त्यांनी काय, आणि कसं काम करायचं हे ठरवणं पूर्णपणे तुमच्या हाती आहे.

यापुढे तुम्ही काय कराल? ही तीन कामं कशी आणि सुमारे किती वेळात संपवाल? सात दिवस तुम्हाला पुरतील?

यापुढे उत्तर दिलेलं आहे, त्याआधी जर तुमचा तुम्हाला विचार करायचा असेल तर इथेच थोडावेळ थांबा.

तुम्ही तुमच्या सहकाऱ्यांकडे वळता. त्यांच्या चेहेऱ्यावर 'हे कसं काय जमणार?' असे भाव असतात. कारण त्यांनी जी डोक्यात गणितं केलेली असतात त्यावरून त्यांना 'एक वर्गमूळ सहा दशमस्थळांपर्यं अचूक उत्तर काढणं म्हणजे सुमारे पाच ते दहा मिनिटं लागतात, तेव्हा पन्नास हजार मिनिटं --- एका आठवड्यात हे शक्य नाही.' हे विचार येऊन गेलेले असतात.

'आचार्यांनी जे आव्हान सादर केलेलं आहे, त्यात त्यांनी सांगितल्यापेक्षा अधिक अपेक्षा केलेल्या आहेत. त्यांनी म्हटलं की - पहिल्या आणि दुसऱ्या पायरीसाठी विचार करण्यासाठी १ आणि ४ तास मिळतील. मला वाटतं त्यांची अपेक्षा आहे की आपण हे काम १ आणि ४ तासांत पूर्ण केलं तर ते आनंदी होतील असं त्यांनी आडून सांगितलं आहे. त्यांनी आव्हानात जरी सहा स्थानं म्हटलेलं असलं, तरी त्यांच्याकडे नऊ स्थानांची आकडेवारी आहे हे सांगितलं. याचा अर्थ त्यांची अपेक्षा नऊ स्थानांची किंवा किमान आठ स्थानांची आहे. कदाचित काही आकड्यांसाठी आठव्या स्थानात किंचित गल्लत झाली तर ते समजून घेतील. पण त्यांचा गर्भितार्थ असा आहे की जर इतक्या उच्च दर्जाचं काम तुम्ही सात दिवसांपेक्षा कमी काळात संपवलं तरच तुम्हाला उज्जैनला जायची संधी मिळेल.'

तुमचे साथीदार अवाक आहेत. त्यांना जे काम अशक्य वाटत होतं ते तुम्ही ते दुप्पट कठीण करून ठेवलेलं आहे. पण तुम्ही गणिती आहात, आणि ते निव्वळ अंकगणिती आहेत. त्यामुळे तुम्हाला जे शक्य कोटीतलं दिसतं ते त्यांना अशक्य वाटतं. तुम्ही दोन मोठे कागद काढता. एका विद्यार्थ्याला त्यावर प्रत्येकी शंभर चौकटी काढायला सांगता. पहिल्याचं शीर्षक '४-५ स्थानं' दुसऱ्याचं शीर्षक '९-१० स्थानं'. प्रत्येक चौकटीच्या कोपऱ्यात १ ते १०० आकडे लिहायचे. हे काम दहा मिनिटात झालं पाहिजे. तो हे काम करत असताना विद्यार्थी क्रमांक २ ला ४९ ते ६३, क्रमांक ३ ला ६४ ते ८०, आणि क्रमांक ४ ला ८१ ते १०० या आकड्यांची जबाबदारी देता. पद्धत अशी -

'८१ चं वर्गमूळ ९. १०० चं वर्गमूळ १०. याचा अर्थ, ८२ ते ९९ ची वर्गमूळं ९ पेक्षा अधिक आणि १० पेक्षा कमी असणार. एक सोपी पद्धत म्हणजे ८२ चं वर्गमूळ = ९ + १/१९, ८३ चं वर्गमूळ ९ + २/१९... असं करत करत ९९ चं वर्गमूळ ९ + १८/१९' ही उत्तरं तुला सुमारे पंधरा मिनिटांत काढता येतील. आणि ती पहिल्या दोन ते तीन स्थानांपर्यंत अचूक असतील. पण आपल्याला अधिक अचूक उत्तरं हवी आहेत. खरं तर ८२ चं वर्गमूळ काढण्यासाठी ९ + १/१८ करावं लागतं (एक लाखात २ इतकं अचूक उत्तर) तर ९९ चं वर्गमूळ काढण्यासाठी १० - १/२० करावं लागतं (दहा लाखात १ इतकं अचूक उत्तर). तेव्हा १/१८ = ०.०५५५५ ते १/२० = ०.०५ चे १८ टप्पे कर जे सरळ रेषेत कमी होत जातील. ते साधारण ०.०५५५५, ०.०५५२४२, ०.०५४९३३३... अशा उतरत्या भाजणीत येतील. त्यातला पहिला आकडा नऊत मिळवला, तर ८२ चं वर्गमूळ मिळेल, त्यात दुसरा आकडा मिळवला की ८३ चं वर्गमूळ मिळेल, त्यात तिसरा मिळवला की ८४ चं... हे काम सुमारे १५ मिनिटांत व्हायला हवं.' तिसऱ्या विद्यार्थ्याला हेच ८ ते ९ साठी सांगता 'प्रथम ६५ चा वर्ग पाच स्थानापर्यंत अचूक काढा. त्यासाठी ८+१/१६ हा प्राथमिक वर्ग वापरा. ६५ ला त्याने भागून जे उत्तर येईल त्याची सरासरी घ्या. ही आठपेक्षा काहीने अधिक असेल. ८० चा वर्ग काढण्यासाठी ९ - १/१८ ने सुरुवात करा. पहिल्याला सांगितलेल्या पद्धतीनेच ६५ ते ८० चे वर्ग काढण्यासाठी वाढत जाणारे १५ आकडे काढा.' चौथ्या विद्यार्थ्याला सांगता की तुला कमी वर्ग काढायचे असले तरी काम किंचित कठीण आहे. तुला ५० चा वर्ग काढावा लागेल, त्यासाठी ७ मध्ये सुमारे ०.०७ मिळवावे लागतील. नक्की किती हे भागाकार पद्धतीने अचूक काढ. ६३ च्या वर्गासाठी ८ -१/१६ हा प्राथमिक वर्ग वापरावा लागेल. मात्र ५७ चा वर्ग तुला स्वतंत्रपणे तपासावा लागेल. तो जर तुला मिळालेल्या उत्तरांपेक्षा वेगळा असेल तर आसपासच्या वर्गांमध्ये त्यानुसार थोडा बदल करावा लागेल. म्हणजे जर तो ०.०००१ ने मोठा असेल तर वरच्या वर्गांतून ०.००००५, ०.००००२५ अशा वजाबाक्या करून तेही वर्ग थोडे दुरुस्त करावे लागतील.

चौथ्या विद्यार्थ्याला तुम्ही सांगता, की जसजसे हे आकडे भरले जातील त्यानुसार इतर आकडे भर. म्हणजे उदाहरणार्थ, ९९ च्या वर्गमुळाला ३ ने भागलं की ११ चं वर्गमूळ मिळेल. त्याला २ ने गुणलं की ४४ चं वर्गमूळ मिळेल. ८४ च्या वर्गमुळाला २ ने भागलं की २१ चं वर्गमूळ मिळेल. ९६ च्या वर्गमुळातून २४, ६ ची वर्गमुळं मिळतील. ९० च्या वर्गमुळाला ३ ने भागलं की १० चं वर्गमूळ मिळेल. ९८ च्या वर्गमुळाला ७ ने भागलं की २ चं वर्गमूळ मिळेल. २ च्या वर्गमुळाला गुणून ८, ३२ ची वर्गमुळं मिळतील. ७५ च्या वर्गमुळाला ५ ने भागलं की ३ चं वर्गमूळ मिळेल.... इत्यादी.
तिन्ही विद्यार्थी सुमारे २० मिनिटांत परत येतात. त्यांनी पहिल्या कागदावरती ५० आकडे भरलेले असतात. दरम्यान चौथ्या विद्यार्थ्याने सुमारे ३० आकडे भरलेले असतात. उरलेली वर्गमुळं चौघे मिळून १० मिनिटांत पूर्ण करतात.

अशा रीतीने अर्ध्या तासात तुम्ही ५ स्थानं अचूक असलेली १ ते १०० पर्यंतच्या वर्गमुळांची एक प्रत भास्कराचार्यांकडे पाठवता.

आता पुढचं लक्ष्य १ ते १०० पर्यंतची वर्गमुळं आठ स्थळं किंवा त्याहून अचूक पद्धतीने काढणं. त्यासाठी तुम्ही काही खास आकडे निवडलेले आहेत. २, ५, ९८, ९६ या चार संख्यांची प्रथम अचूक वर्गमुळं काढायची. त्यासाठी भागाकार पद्धत वापरायची. जर तुमच्याकडे पाच स्थानांपर्यंत अचूक वर्गमूळ असेल तर भागाकार पद्धतीने (भागाकार व भाजकाची सरासरी) नऊ ते दहा स्थानापर्यंत अचूक वर्गमूळ मिळतं. पहिल्या चार वर्गमुळांसाठी चौघांना मिळून दहा मिनिटं लागतील फारतर. त्यानंतर तुम्हाला एक आकडी गुणाकारांनी व भागाकारांनी ३, ६, ८, १२, १८, २०, २४, २७, ३२, ३६, ४५, ४८, ५०, ५४, ७२, ७५ अशी वर्गमुळं मिळतील. यासाठी चौघांना अजून पाच मिनिटं लागतील. पहिल्या वीस मिनिटांतच तुमच्याकडे आता पूर्ण वर्ग धरून १०० पैकी ३२ आकडे असतील. त्यानंतर ९९, ९०, १३, १५ या आकड्यांची वर्गमुळं भागाकार पद्धतीने पुढच्या दहा मिनिटांत काढायची. त्यातून तुम्हाला ११, ४४, १०, ४०, ५२, ६० या आकड्यांची वर्गमुळं दोन मिनिटांत मिळतील. ४१ आकडे, २७ मिनिटं. जसजसं तुम्ही या चौकटी भरत जाल तसतसं तुम्हाला प्रत्येक उत्तरासाठी अधिकाधिक वेळ घालवावा लागेल. याला काही हरकत नाही, कारण तुमच्याकडे भरपूर वेळ आहे. नंतर ८८, ८७, ८६, ८५, ८४, ८३, ८२, ८० ची वर्गमुळं भागाकार पद्धतीने काढायला सांगता. प्रत्येक आकड्यासाठी प्रत्येक विद्यार्थ्याला दहा मिनिटं लागली तरीही वीस मिनिटांत तुमच्याकडे ही आठ उत्तरं येतात. त्यावरून २२, २१, २० ची वर्गमुळं सुमारे एका मिनिटात मिळतात. आता तुमच्याकडे ४८ मिनिटांत ५२ आकड्यांची नऊ ते दहा स्थानापर्यंत अचूक उत्तरं आहेत. यापुढे तुम्हाला जवळपास सगळी वर्गमुळं भागाकार पद्धतीने करावी लागतील. म्हणजे प्रत्येक जण तासाला ६ उत्तरं देणार, ४ लोक २ तासांत उरलेली ४८ उत्तरं लिहून काढतील.

याचा अर्थ तुम्ही दुसरं काम चार माणसांच्या ३ तासांच्या आत पूर्ण केलं, तेही सहा स्थानांऐवजी ८ ते १० स्थानांपर्यंत. पुढचं काम याच्या शंभरपट आहे. यासाठी तुम्हाला चार लोकांचे प्रत्येकी ३०० तास लागतील का? कारण तुमच्याकडे फक्त चार माणसांचे प्रत्येकी ३६-३७ तास आहेत. यासाठी तुम्हाला काहीतरी वेगळं करायला हवं. त्यासाठी प्रत्येक वर्गमुळाला सरासरी ३० सेकंद किंवा कमी लागायला हवेत. पुन्हा, गृहितक असं आहे की तुम्हाला मोठं गणित (दहा आकडे गुणिले दहा आकडे) करायला दहा मिनिटांच्या आसपास लागतात. कारण ते आकडे लिहून काढायचे, पद्धती वापरायची, चूक झालेली आहे की नाही हे तपासून पाहायचं, आणि उत्तर योग्य जागी लिहायचं - हे सगळं करायला वेळ प्रचंड लागतो. यासाठी लहान आकड्यांपासून वर जात जायचं - कारण ५१ चं वर्गमूळ माहीत असताना २०४ चं वर्गमूळ काढणं हा सोपा गुणाकार झाला. तो तीसेक सेकंदांत सहज व्हावा. १०० ते २०० पैकी २५ आकड्यांना ४ने, ११ आकड्यांना ९ने आणि ६ आकड्यांना १६ ने भाग जातो. त्यातले काही सामायिक असतील, पण चाळीसेक आकडे सोप्या पद्धतीने मिळतील. पण ही पद्धत अत्यंत एफिशियंट असली सर्व आकड्यांसाठी तुम्हाला यावर विसंबून राहाता येणार नाही.

हे टाळण्यासाठी तुम्हाला आधी वापरलेली पद्धत वापरावी लागेल. ९९०० च्या वर्गमुळापासून ९९०१ च्या वर्गमुळापर्यंत जायला तुम्हाला ०.००५०२५०६२२ मिळवावे लागतात. तर ९९९९च्या वर्गमुळापासून ते १०००० च्या वर्गमुळापर्यंत जायला ०.००५०००१२५ मिळवावे लागतात. म्हणजे शेजारच्या दोन संख्यांतल्या वर्गमुळांमधला फरक हळूहळू कमी होत जातो. तो सरळ रेषेत कमी होत जातो असं गृहित धरून उत्तम उत्तरं येतात. हा फरक आहे ०.००००२४९३७२. हा ९९ पायऱ्यांत विभागायचा - प्रत्येक पायरी ०.०००००२५१९. म्हणजे ९९०० चं वर्गमूळ आपल्याकडे आहेच. ९९०१चं वर्गमूळ काढायचं. त्यांमधला फरक ०.००५०२५०६२२. तेव्हा ९९०२ चं वर्गमूळ काढताना हा फरक मिळवायचा आणि ०.०००००२५१९ वजा करायचे. तुमचं उत्तर आठ दशमस्थळांपर्यंत अचूक येतं. गुणाकारांपेक्षा बेरजा वजाबाक्या या कितीतरी अधिक वेगाने करता येतात. त्यामुळे या पद्धतीने सुमारे १०० आकड्यांचं उत्तर ८ ते ९ स्थानांपर्यंत अचूक एका चाळीस ते पन्नास मिनिटांत काढता येतं. यातल्या उत्तरांना २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, १० ने भागून अनेक खालचे आकडे भरत जाता येतात. म्हणजे १०० आकडे चाळीस मिनिटांत मिळाले तर पुढचे अजून साठ सत्तर आकडे अर्ध्या तासात मिळू शकतात.

जसजसे तुम्ही लहान आकड्यांकडे याल तसतसं तुम्हाला एकावेळी शंभर आकडे करता येणार नाहीत. उदाहरणार्थ, ५००० च्या आसपास तुम्हाला एकावेळी १०० ऐवजी पन्नासच वर्ग काढता येतील. ५०० च्या जवळ १० च आकडे एकावेळी करता येतील. पण तुम्हाला फार खाली जावं लागणार नाहीच. याचं कारण म्हणजे जसजशी तुम्हाला वरची वर्गमुळं मिळत जातील, तसतसं तुम्हाला खालचे आकडे भरणं सोपं होत जाईल. उदाहरणार्थ, ८००० ते १०००० ची वर्गमुळं मिळाली की केवळ २ ने भागून २००० ते २५०० ची वर्गमुळं मिळतील. ३ ने भागून ८८० ते ११०० ची वर्गमुळं मिळतील. ४ ने भागून ५०० ते ६२५ पर्यंतची वर्गमुळं मिळतील. म्हणजे एका दिवसात ३००० ते ४००० वर्गमुळं सहज मिळतील. तीही आठ ते नऊ स्थानं इतकी अचूक.

ही पद्धत वापरली तर तुमचं काम सुमारे चार दिवसांत संपेल. भास्कराचार्यांनी दिलेल्या आव्हानाच्या दुप्पट कठीण आव्हान तुम्ही जवळपास निम्म्या वेळात पूर्ण केलं तर ते नक्कीच तुमच्यावर खूष होतील.

field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (1 vote)

प्रतिक्रिया

नमस्कार गुरुजी!
आज आमच्याकडे गुरुपोर्णिमा.

१) "उदाहरणार्थ, ८७४४ चं वर्गमूळ आहे ९३.५०९३५७८. चार स्थानांसाठी अचूक उत्तर असेल ९३.५१. "

- चार स्थानांसाठी ९३.५०९४ ना?

२) वर्गमूळ काढण्याची युक्ती असावी. इतक्या कमी वेळात शक्य नाही {मला}.

३) अवातंर: शालेय विद्यार्थ्यांसाठी गणिताची अॅप्स धडाधड येत आहेत त्यांनी नक्की काय लाभ होत असेल?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

चार स्थानं म्हणजे दशांश चिन्हानंतरची चार स्थानं नाहीत, तर फर्स्ट फोर सिग्निफिकंट डिजिट्स. उदाहरणार्थ एखाद्या वस्तूचं वजन ०.००१५३२ टन असेल आणि ते एक टक्का अचूकपणे सांगायचं असेल केवळ पहिली तीन दशांश स्थानं घेऊन उपयोगाचं नाही. कारण ते वजन किलोमध्ये १.५३२ आहे, ग्रॅममध्ये १५३२ आहे. तेव्हा शून्य नसलेले पहिले अमुक तमुक इतके आकडे, असं म्हणायचं आहे.

वर्गमुळं काढण्याच्या अनेक युक्त्या आहेत. उदाहरणार्थ, ४४ चं वर्गमूळ काढायचं असेल तर ४४०० चं वर्गमूळ काढून त्याला १० ने भागायचं. आता ६६ चा वर्ग ४३५६, आणि ६७ चा वर्ग ४४८९. तेव्हा ४४०० चं वर्गमूळ या दोहोंच्या मध्ये कुठेतरी असणार. ६६ च्या जवळ. किंबहुना, ६६ आणि ६७ च्या सुमारे १/३ अंतरावर. तेव्हा ६६.३३३३३ असं उत्तर मानता येतं. तेव्हा ४४ चं वर्गमूळ ६.६३३३३३. हे फारच अचूक आहे. दहाहजारात एकहून कमी त्रुटी असलेलं. कॅल्क्युलेटरने काढलेलं उत्तर ६.६३३२४९५८...

गणिताची अॅप्स आहेत, किंबहुना कॅल्क्युलेटर आहेच. त्यामुळे उत्तरं किती अचूक काढता येतात यापेक्षा ती उत्तरं काढण्यासाठी काय विचारपद्धती राबवावी लागते, आणि आपल्या पूर्वजांना जेव्हा हे प्रश्न पडले तेव्हा त्यांनी ती उत्तरं शोधण्यासाठी काय केलं असावं याविषयी विचार करायला लावण्यासाठी हा लेख आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

>>आणि आपल्या पूर्वजांना जेव्हा हे प्रश्न पडले तेव्हा त्यांनी ती उत्तरं शोधण्यासाठी काय केलं असावं याविषयी विचार करायला लावण्यासाठी हा लेख आहे.>>

आवडलं.

त्रिकोणाच्या पायाला समांतर रेषा दोन्ही भुजांना भागतात वापरून एका अंशाचा साठ,एकशेवीस भाग करणारी युक्ती भारी आहे॥

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हे नक्की कळलं नाही. साठ आणि एकशेवीसचे कोन कंपासच्या सहाय्याने काढणं खूपच सोपं आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एका अंशाचे साठ‌ भाग‌ अस‌ं म्ह‌णाताय‌त‌ ते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--------------------------------------------
ऐसीव‌रील‌ ग‌म‌भ‌न‌ इत‌रांपेक्षा वेग‌ळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.

अच्छा, असं होय. पण ती युक्ती कुठची हे कळलं नाहीच.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पुर्वी दोन ताय्रांतले कोनीय अंतर मोजताना हे वापरलय. पुस्तकात वाचलंय,नेटवरही असेल. वर्निअर हे त्यातलाच प्रकार.

राशनल,इरराशनल नंबर्स , नंबरलाइनवर / भुमितीय दाखवणे फारच मजेदार आहे.
वर्गमूळात दोन चे उत्तर काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण या स्वरुपात.
शाळा कॅालेजात हे उरकल्यासारखं शिकलो ते नंतर शांतपणे वाचताना खुप गम्मत वाटली.
वर्तुळाचा व्यास ( जुना लेख आठवला. व्यासांचं आज एकदा तरी नाव यावं)१.४ पट केला की क्षेत्रफळ दुप्पट हे कॅम्राच्या अॅपर्चरमध्ये वापरणे इत्यादी उदाहरणांनी विषय सोपा झाल्यासारखा वाटतो.
थोडं अवांतर झालं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एक शाळेत (साधार‌ण‌त: ५वी-६वीत) शिक‌व‌लेली पद्ध‌त अंधुक‌शी आठ‌व‌तेय- भागाकारासारखे, ज्या स‌ंख्येचं व‌र्ग‌मूळ काढाय‌चंय ती संख्या भाज्याच्या ठिकाणी, आणि तिच्याहून ल‌हान, अशा मोठ्यात मोठ्या पूर्ण व‌र्ग‌ संख्येचं व‌र्ग‌मूळ (ह्या व‌र्ग‌मुळाला आप‌ण क्ष‌ म्ह‌णू) भाज‌काच्या ठिकाणी लिहून कायतरी विचित्र भागाकार क‌राय‌चे होते. ह्याने पूर्ण व‌र्ग संख्यांचंच व‌र्ग‌मूळ प‌ट‌क‌न काढ‌ता येतं, व‌र्ग‌मूळात अपूर्णांक आले की ते गंडाय‌चं. शिक्षकांनाही ते शिक‌व‌ण्यात फार इंट‌रेस्ट न‌व्हता. ब‌हुतेक ती प‌द्ध‌त ही आहे, (Method 2 प‌हा.), आणि ब‌रीच लांब‌ल‌च‌क आहे.

प‌द्ध‌त दोन: एका वैदिक ग‌णिताव‌र‌च्या पुस्त‌कात, फ‌क्त तीन ओळींत व‌र्ग‌मूळ आणि घ‌न‌मुळं क‌शी काढाय‌ची (कितीही द‌शांश स्थळांप‌र्य‌ंत, अर्थात‌च) ही प‌द्ध‌त दिलेली स्प‌ष्ट आठ‌व‌ते आहे. त्याच्यात, व‌र ड‌क‌व‌लेल्या दुव्यात दिल्याप्र‌माणेच सुरुवात क‌रुन, फ‌क्त द‌रवेळी इट‌रेश‌न पाय‌रीत, चौथ्या क्वाड्र‌ंटात अस‌लेल्या संख्येचं 'द्वंद्व' भाज्यातून व‌जा क‌रुन, त्या प‌हिल्या, क्ष‌ संख्येने भाग द्याय‌चा. ह्याने उत्त‌र‌ं ब‌ऱ्यापैकी प‌ट‌क‌न मिळाय‌ची, प‌ण तीस‌प‌र्यंत पाढे, पंच‌वीस‌प‌र्य‌ंत व‌र्ग, १० प‌र्यंत घ‌न तोंड‌पाठ अस‌लेल्याच माण‌सांना तिचा जास्त वेगाने वाप‌र क‌र‌ता याय‌चा.

शेवट‌चं म्ह‌ण‌जे अनुमान प‌द्ध‌त. पुढ‌च्या-माग‌च्या दोन व‌र्गांची व‌र्ग‌मुळं घेऊन, एकेक सिग्नीफिकंट डिजीट वाढ‌व‌त जाऊन अनुमान काढाय‌चं. वेळ‌खाऊ, आणि अचूक‌ही नाही.

संपाद‌न: अख्खी प‌द्ध‌त लिह‌त ब‌स‌ण्याऐव‌जी दुवा मिळाला. तो व‌र वैदिक‌ ग‌णितात‌ल्या भागात ड‌क‌व‌ला आहे. अव‌श्य पहावा. अचूक‌तेच्या दृष्टीने अतिश‌य क‌मी किच‌क‌ट हीच प‌द्ध‌त आहे. साधार‌ण ६ द‌शांश स्थ‌ळांप‌र्य‌ंत अडीच-तीन तासांत स‌ग‌ळ्या न-पूर्ण व‌र्ग स‌ंख्यांची व‌र्ग‌मुळं मिळ‌तील. चार स‌हाय्य‌क म्ह‌ट‌ल्याव‌र त‌र काय...!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तारांवरी पडावा केव्हा चुकून हात:
विस्तीर्ण पोकळीचा गंधार सापडावा

मी ती पद्धत पाहिली. खरं सांगायचं तर ती नीट कळली नाही. त्यापेक्षा भागाकार वापरून एक अतिशय सोपी पद्धत सक्सेसिव्ह अप्रॉक्झिमेशन करत जात वापरता येते.

उदाहरणार्थ १४८ ही संख्या घेऊ. तिचे साधारण जवळचे दोन अवयव पाडायचे. त्या पूर्णांक संख्या असल्याच पाहिजेत असं नाही. उदाहरणार्थ १० गुणिले १४.८. आता यांची सरासरी काढा. १२.४. ही सरासरी वर्ग आहे का हे तपासून पाहाण्यासाठी १४८ ला १२.४ ने भागा. ११.९४. म्हणजे १२.४ गुणिले ११.९४ =१४८. हे अवयव आधीच्या १० आणि १४.८ पेक्षा खूपच जवळ आहेत. आता यांची सरासरी काढा. १२.१७. हे वर्गमूळ आहे असं गृहित धरून पुन्हा १४८ ला भागा. उत्तर येतं १२.१६१. यांची सरासरी काढली की १२.१६५५. हे अचूक वर्गमुळाशी पहिल्या सहा दशमस्थळांपर्यंत तरी जुळतं.

ही प्रक्रिया करताना सुरूवात १० आणि १४.८ ने केली. जर १४४ हा बाराचा वर्ग आहे म्हणून जर १२ पेक्षा किंचित मोठा आकडा घेतला असता - समजा १२.१, तर एका टप्प्यात १२.१६५७ - पहिल्या पाच दशमस्थळांपर्यंत अचूक आकडा आला असता.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ब‌रीच ज‌ल‌द आणि अचूक आहे बाकीच्या प‌द्ध‌तींपेक्षा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तारांवरी पडावा केव्हा चुकून हात:
विस्तीर्ण पोकळीचा गंधार सापडावा

म‌स्त प‌द्ध‌त‌ आहे. लिनिअर इंट‌र‌पोलेश‌न आणि ही प‌द्ध‌त ज‌व‌ळ‌पास सार‌ख्याच रेट‌ने कॉन्व्ह‌र्ज होतील‌सं वाट‌तंय‌.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

दुसरा दुवा पाहिला, ती पद्धत अधिक समजली. ही पद्धत बरीच प्रॉमिसिंग वाटते. त्यातून चार स्थानं मिळवण्यासाठी प्रत्येक संख्येमागे ३ ते ५ मिनिटं लागतील असा अंदाज आहे. याने पहिली दोन कामं वेगाने होतील यात शंका नाही. मात्र तिसरं काम करण्यासाठी आठवडा पुरेल का? पन्नास हजार मिनिटं म्हणजे सुमारे आठशे तास. तुमच्याकडे दोनशेऐशी तास आहेत.

दुसरी गोष्ट अशी, की 'आम्ही हे अत्यंत यांत्रिकपणे केलं' हे सांगितल्यावर भास्कराचार्य प्रसन्न होणार आहेत का? त्यांना आकडेमोडक नको असून या पद्धतींचं सार लक्षात घेऊन नवीन पद्धती निर्माण करणारे गणितज्ञ हवे आहेत. हे त्यांनी स्पष्ट सांगितलेलं नाहीये, पण तुम्हाला जर एखाद्या थोर गणितज्ञाला आपणही कच्च्या गुरुचे चेले नाहीत हे दाखवून द्यायचं असेल तर पद्धतींच्या चौकटींच्या पलिकडे विचार करायला हवा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पन्नास हजार मिनिटं

न‌कोच आहेत. फ‌क्त मूळ स‌ंख्यांची काढाय‌ची ह्या प‌द्ध‌तीने. आणि संयुक्त स‌ंख्यांम‌ध्ये त्यांच्या भाज‌कांच्या व‌र्ग‌मूळांचा गुणाकार क‌राय‌चा.
तुम्ही जे दुस‌ऱ्या प्र‌तिसादात म्ह‌ट‌लंय, की २ चं व‌र्ग‌मूळ मिळालं की ८ इ.चं ल‌गेच मिळेल हे (माझ्यादृष्टीने) 'फेअर‌ली ऑब्व्हिअस' आहे.
हा प्र‌श्न वाच‌ल्याक्ष‌णी हा प्र‌कार 'प्राईम नंब‌र डेन्सिटी' ह्या विष‌याव‌र जाणार इत‌क‌ं ल‌गेच क‌ळ‌लं होतं. १०००० प‌र्यंत मूळ संख्या सुमारे २००० हून क‌मी अस‌तील, कार‌ण १ ते १०० म‌ध्येच २५ आहेत. त्यामुळे ४ स‌हाय्य‌कांक‌डे अस‌लेले म‌नुष्यतास मो़जून माझ्याक‌डे सुमारे, चोवीस सात्ते अडुस‌ष्टासे, आणि त्याची चौप‌ट म्ह‌ण‌जे स‌हाशे ब‌हात्त‌र इत‌के तास आहेत. ह्यात मी माझे ध‌र‌लेले नाहीत. मी गुणाकार क‌राय‌ला ब‌सेन. स‌हा अंकी स‌ंख्यांचे गुणाकार‌ही उर्ध्वतीर्य‌क आदी प‌द्ध‌तींनी सुमारे एका मिनीटात होतात. म्ह‌ण‌जे, सुमारे १०००० मिनीटं ध‌रु. तो झाला अक्खा एक आठ‌व‌डा. त्यात, पूर्ण व‌र्ग संख्या, (ज्या आहेत श‌ंभ‌र), मूळ संख्यांची घात‌मालिका इत्यादी संख्या वेळ‌ घेणार नाहीत. त‌र, स‌हाशे ब‌हात्त‌र म्ह‌ण‌जे सुमारे ४०००० मिनीटं. त्यात‌ही २००० हे ब‌र‌ंच व‌र‌चं अनुमान आहे. ख‌रोख‌र त्या साधार‌ण बाराशे आहेत. म्ह‌ण‌जे ह‌वीयेत ख‌रोख‌र इंटेन्स आक‌डेमोडीची ३६०० मिनीटं.- साठ तास. त्यात ते स‌हाय्य‌क क‌ंटाळ‌ले, की त्यांना गुणाकार क‌राय‌ला द्याय‌चं, आणि मी मूळं काढाय‌ला ब‌साय‌चं. व्हेरीएश‌न इन्क्रिजेस प्रॉड‌क्टीव्हीटी असं कुठेसं वाच‌ल्याचं आठ‌व‌त‌ंय.
दुस‌रा मुद्दा: ही प‌द्ध‌त अजिबात यांत्रिक नाही. कुठ‌लीच 'प‌द्ध‌त' यांत्रिक न‌स‌ते. आपण ते यांत्रिकतेने क‌र‌तो. साधार‌ण स‌हावीत ही प‌द्ध‌त मी अशीच म‌जा म्ह‌णून अभ्यास‌लेली. त्यानंत‌र त्या प‌द्ध‌तीव‌र‌चं चिंत‌न, व‌र्ग ब‌हुप‌दीम‌ध्ये स‌ंख्येचं स्थान क‌सं ब‌स‌वाय‌चं इत्यादी त्यान‌ंत‌र लिहीलेलं आहे. ते मी विस‌र‌लो. धाग्यात‌ल्या बाकी कोण‌त्याही प‌द्ध‌ती इत‌की अचूक अनुमानं उत्त‌र‌ं इत‌क्या वेगाने देतील‌सं वाट‌त नाही.

अवांत‌र: जेईई म‌ध्ये लॉग्जची भान‌ग‌ड टाळाय‌ला मी त्या १ ते शंभ‌र‌प‌र्य‌ंत‌च्या २५ मूळ स‌ंख्यांचे लॉग तोंड‌पाठ केले होते. त्यावरून हे आठ‌व‌लं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तारांवरी पडावा केव्हा चुकून हात:
विस्तीर्ण पोकळीचा गंधार सापडावा

मला धाग्यातल्या कूटप्रश्नावरून वाटलं की काही नवीन झटपट अचूक पद्धत सापडली की काय!
एक गमतिदार घटना नंतर लिहितो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एक आय‌ड्या आहे डोक्यात‌. π -- पाय‌ची किंम‌त‌ शोधाय‌ला मागे कुठ‌ल्याशा धाग्यात‌ म्ह‌णाला होतात‌ ना एखाद्या धान्याचे दाणे वाप‌रुन व‌र्तुळ काढाय‌च‌ं; त‌स‌च‌ ह्याही वेळी क‌र‌ता येइल की.
एक चौर‌स‌ काढाय‌चा साधार‌ण न‌व्व‌द बाय न‌व्व‌द दाण्यांचा. म‌ग हळुह‌ळू त्याचा आकार‌ वाध‌व‌त जाय‌चं. एकूण त्यात किती दाणे माव‌तात‌ ते मोजून‌ क्षेत्र‌फ‌ळ ठ‌र‌वाय‌चं. स‌र्वात ज‌व‌ळ जाणाऱ्या बाजूची लांबी म्ह‌ण‌जे व‌र्ग‌मूळ‌.
किंवा अंदाजानं अर्धं अर्धं किंवा एक तृतीयांश‌ अंत‌र‌ काप‌त‌ जाय‌ची जी व‌र‌ती च‌र्चा आहे, त‌स‌च‌ बाय‌न‌री ट्री सार‌खं काहीत‌री क‌र‌ता यील‌.
.
.
अजून एक उपाय‌ म्हंजे सिलेंड‌र‌च्या πr2h ह्या फॉर्म्युल्याचा वाप‌र‌ क‌राय‌चा. किंवा एक काग‌द‌/पुठ्ठा/प्लास्टिक छाप गुंडाळी क‌र‌ता येणारी व‌स्तू घेउन त्याचा शंकू (cone, आइस्क्रिम खाय‌चा अस‌तो त‌सा, कीम्वा विदूष‌काच्या टोपीचा अस‌तो त‌सा) ब‌न‌वाय‌चा. शंकू cone चा फॉर्म्युला अस‌तो (१/३)πr2h . म‌ग आप‌ल्याला ह‌वे तित‌के दाणे त्यात‌ ओताय‌चे. स‌म‌जा ९९०० ओत‌ले. शंकू असा काही फिर‌वाय‌चा की दाणे त्यात‌ काठोकाठ ब‌स‌ले पाहिजेत. पुढ‌चं काम सोप्प‌य‌. उंची मोजा फ‌क्त‌. π स्थिरांक ज‌व‌ळ‌पास‌ ठौक‌च्चे. म‌ग उर‌ली त्रिज्या. त्याव‌रुन काहीत‌री क‌र‌ता यील‌.
थोड‌क्यात सांगाय‌चं त‌र‌ शंकूत माव‌णाऱ्या दाण्यांची संख्या आप‌ल्याला ह‌व्या अस‌लेल्या संख्येइत‌की ह‌वी. त्याव‌रुन त्रिज्या/व्यास‌ मोजून व‌र्ग‌मूळ मिळेल‌.
.
.
अवांत‌र --
https://en.wikipedia.org/wiki/Ban%C5%AB_M%C5%ABs%C4%81
बानु मूसा म्ह‌णुन एक सिरिय‌न‌ का अर‌बी ग‌णिती होता. त्यानं इ.स‌. ८५० च्या आस‌पास‌ पृथ्वीचा प‌रीघ‌ का व्यास‌ ब‌र्राच‌ अचूक मोज‌ला होता म्ह‌णतात‌ निव्व‌ळ सूर्याची साव‌ली, एका श‌ह‌राचं दुस‌ऱ्या श‌ह‌रापासून‌चं अंत‌र‌ आणि त्या प्र‌वासात होणारा कोन इत‌क‌च‌ मोजून‌. त्यावेळी आज‌चा प‌श्चिम युरोप, आज‌चं प्र‌ग‌त‌ ज‌ग‌त‌ अंद‌हार‌ युगात चाच‌प‌डत‌ होतं.
अर्थात‌ व‌र‌ती दिलेल्या विकीलिंकेत त्याच्या ह्या मोज‌मापाच्या तंत्राब‌द्द‌ल काहीही माहिती दिलेली नाहिये. ज‌य‌ंत‌ नार‌ळीक‌रांच्या एका पुस्त‌कात ती वाच‌ली होती.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ही प‌द्ध‌त ज‌व‌ळ‌पास‌चा पूर्णांक शोधाय‌ला उप‌योगी आहे. घास‌क‌ड‌वींना फ‌क्त तेव‌ढंच न‌कोय‌, अपूर्णांक‌ही पाहिजे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

शंकूत दाण्यांऐव‌जी द्राव भ‌र‌ला त‌र ह्या प‌द्ध‌तीला (अचूक‌तेच्या दृष्टीने) ज‌र्रा अर्थ आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तारांवरी पडावा केव्हा चुकून हात:
विस्तीर्ण पोकळीचा गंधार सापडावा

प्र‌श्न रोच‌क आहेत‌.

१ ते १०० प‌र्यंत‌च्या संख्यांची पूर्णांकातील‌ व‌र्ग‌मुळे त‌र वैसेभी स‌हाय्य‌कांना मुखोद्ग‌त आहेत‌च‌. स‌ब‌ब तो प्र‌श्न इल्ले. अचूक‌तेची प‌रिमाणे प्र‌त्येक प्र‌श्नात वेग‌वेग‌ळी अस‌ली त‌री मुळात एक‌च प्र‌श्न आहे. गिव्ह‌न मार्जिन ऑफ एर‌र‌म‌ध्ये ब‌स‌णारी व‌र्ग‌मुळे ह‌वीत‌.

स‌कृद्द‌र्श‌नी दोन‌ प‌द्ध‌ती आठ‌व‌ताहेत‌.

प‌द्ध‌त १. गुड ओल्ड बाय‌सेक्श‌न‌ मेथ‌ड‌.

उदा. ८४ ही संख्या घ्या. हिचे व‌र्ग‌मूळ ९.स‌म‌थिंग आहे.
९.५^ = ९०.२५, स‌ब‌ब ९ ९.२५^२ = ८५.५६२५, स‌ब‌ब ९ ९.१२५^२ = ८३.२६५६२५, स‌ब‌ब‌ ९.१२५ ९.१८७५^२ = ८४.४१०१५६२५, स‌ब‌ब‌ ९.१२५ ९.१५६२५^२ = 83.8369140625, स‌ब‌ब‌ ९.१५६२५

९.१७१८७५^२ = 84.1232910156, स‌ब‌ब‌ ९.१५६२५

9.1640625^२ = 83.9800415039, स‌ब‌ब‌ 9.1640625

9.16796875^२ = 84.051651001, स‌ब‌ब‌ 9.1640625

9.166015625^२ = 84.0158424377, स‌ब‌ब‌ 9.1640625

9.1650390625^२ = 83.9979410172, स‌ब‌ब‌ 9.1650390625

9.16552734375^२ = 84.006891489, स‌ब‌ब‌ 9.1650390625

9.16528320313^२ = 84.0024161935.

स‌ब‌ब‌ ९.१६५ हे ८४ चे व‌र्ग‌मूळ चार स्थानांप‌र्यंत अचूक आहे. ११ स्टेप्स लाग‌ल्या.

प‌द्ध‌त‌ २. व‌न‌फॉर‌टॅन यांनी सांगित‌लेली.

८४ चे व‌र्ग‌मूळ‌ ९.स‌म‌थिंग आहे. ९१ ते ९९ च्या व‌र्गांत काय दिस‌ते ते पाहू.

९१^२ = ८२८१, ९२^ = ८४६४. अर्थात‌ ९.१^२ = ८२.८१, ९.२^ = ८४.६४.

त्यामुळे १ हा प‌हिला द‌शांश‌चिन्हाच्या उज‌वीक‌ड‌चा आक‌डा होय‌. व‌र्ग‌मूळ‌ = ९.१...

आता पाहू ९११ ते ९१९ च्या व‌र्गांत‌.

९११^२ = ८२९९२१, ९१२^ = ८३१७४४, ९१३^२ = ८३३५६९, ९१४^२ = ८३५३९६, ९१५^२ = ८३७२२५, ९१६^२ = ८३९०५६, ९१७^२ = ८४०८८९.

स‌ब‌ब‌ दुस‌रा आक‌डा हा ६ अस‌ला पाहिजे. व‌र्ग‌मूळ‌ = ९.१६..

आता पाहू ९१६१ ते ९१६९ च्या व‌र्गांत‌.

९१६१^२ = 83923921, ९१६२^२ = 83942244, ९१६३^२ = 83960569, ९१६४^२ = 83978896, ९१६५^२ = 83997225, ९१६६^२ = 84015556.

स‌ब‌ब‌ तिस‌रा आक‌डा हा ५ अस‌ला पाहिजे. व‌र्ग‌मूळ‌ = ९.१६५...

आणि या प‌द्ध‌तीत‌ प्र‌त्येक स्टेप‌ला एक‌च व‌र्ग गुणाकाराने मिळ‌व‌ला त‌री चाल‌तो. (क्ष‌ + १)^२ = क्ष‌^२ + (२*क्ष‌ + १) हे सूत्र वाप‌रून बाकीचे स‌र्व व‌र्ग फ‌क्त बेर‌जेने काढ‌ता येतील‌.

स‌ब‌ब म‌ला ही दुस‌री प‌द्ध‌त‌ जास्त सोयीस्क‌र‌ वाट‌ते.

ही दुस‌री प‌द्ध‌त‌ आहे त‌शी स‌र्व प्र‌श्नांक‌रिता वाप‌र‌ता येईल‌ असे म‌ला वाट‌ते. त‌री दिलेल्या कंडिश‌न‌प्र‌माणे क्र‌. ३ मात्र‌ वेळेत पूर्ण होईल‌से वाट‌त नाही. १ आणि २ होऊ श‌केल.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

ही पद्धधत योग्य असली तरी प्रचंड वेळखाऊ आहे. एक क्लू देतो. तीनही कामं एका आठवड्यात करणं सहज शक्य आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

टाईम‌ ट्रॅव‌ल‌ क‌रून, काळात मागे जाऊन, हातात‌ एक एक्सेल शीट थ‌म‌व‌लेली चाल‌ते का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

गाव‌ठी प‌द्ध‌त:

वाय‌ अक्षाव‌र‌ १ ते १००, एक्स‌ अक्षाव‌र‌ १ ते १० असं मांडाय‌च‌ं. १ ते १० चे व‌र्ग‌ प्लॉट‌ केले त‌र‌ उज‌वीक‌डे थोडासा ब‌हिर्व‌क्र‌ झालेला क‌र्व्ह‌ ब‌न‌व‌ता येईल‌. त्याव‌रून‌ प‌र्फेक्ट‌ व‌र्ग‌ न‌स‌लेल्या म‌ध‌ल्या अंकांची मुळं अंदाजे सांग‌ता येतील‌.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

********
हवा तेज चलता है दिनकर राव. टोपी संभालो. उड जाएगा.

ही पद्धत मी स्वतः वापरून पाहिलेली आहे. मिळणारी उत्तरं सुमारे हजारात एक ते शंभरात एक इतकी साधारण अचूक असतात. एक ते दहामधली उत्तरं अचूक मिळत नाहीत. पण जर क्ष अक्षावर शून्य ते दहाऐवजी एक ते चार, चार ते सात आणि सात ते दहा असे तीन कागद वापरले तर हजारात एक ते दहा हजारात एक इतकी चांगली उत्तरं मिळू शकतात. आणि ही पद्धत बरीच वेगवानही आहे. मला वाटतं चौघांनी मिळून आठदहा ग्राफ पेपर वापरून काम केलं तर तीनचार तासांत पहिलं काम व्हावं. मात्र सहाव्या दशमस्थळापर्यंत पोचणं कठीण आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पण लीनियर अप्रॉक्झिमेशन वापरून तुम्ही बैलाच्या डोळ्याचं लक्ष्य साधलेलं आहे.

आत्तापर्यंत अनेक लोकांनी अनेक पद्धती सांगितलेल्या आहेत. तेव्हा लवकरच मी माझं उत्तर सांगेन. पण त्याआधी आत्तापर्यंतच्या उत्तरांबाबतच्या टिप्पणी

१. बहुतांश उत्तरामध्ये 'हा आकडा घ्या, त्यावर अशा प्रक्रिया करा, त्यातून तुम्हाला अमुक वेळात चार स्थानं, सहा स्थानं मिळतील. ते झालं की पुढचा आकडा घ्या, त्याच प्रक्रिया करा....' या प्रकारची कॉंप्युटर प्रोग्रामिंगसारखी for n = 1 to 100 पद्धतीची प्रणाली दिलेली आहे. जर कुठलेतरी रॅंडम आकडे दिलेले असतील तर ही प्रणाली योग्य आहे. पण एकामागोमाग एक येणारे आकडे आहेत, त्यांची आदल्या आकड्यांशी आणि इतरही आकड्यांशी काही नाती आहेत, ही नाती वापरून काही सोपं करता येईल अशा प्रकारचा काहीच युक्तिवाद नाही. उदाहरणार्थ - २ चं वर्गमूळ ४ स्थानांपर्यंत काढलं तर ८ आणि ३२ ची वर्गमुळं साधे गुणाकार करून तितक्याच अचूकपणे मिळतात. ९९ चं वर्गमूळ काढलं की लगेच ११ चं वर्गमूळ मिळतं. २ आणि ३ ची वर्गमुळं दहा मिनिटं खर्चून काढली असतील असतील तर काही सोपे आणि काही किचकट गुणाकार करून एका पायरीत ६, ८, १२, १८, २४, २७, ३२, ३६, ४८, ५४, ७२, ९६ ची वर्गमुळं तितक्याच अचूकपणे अजून दहा मिनिटांत मिळतात.

२. १ ते १०० आकड्यांतली १० वर्गमुळं माहीत आहेत. उरलेल्या ९० पैकी २५ मूळ संख्या आहेत. म्हणजे त्यांची वर्गमुळं तुम्हाला स्वतंत्रपणे काढावी लागणार. पण उरलेल्या आकड्यांची वर्गमुळं वर दिल्याप्रमाणे प्रत्येकी मिनिट ते दोन मिनिटांत मिळू शकतील.

३. ज्या पद्धती दिलेल्या आहेत त्या सर्वसाधारण आहेत. पण आपल्याला विशिष्ट कामासाठी उपयुक्त पद्धती हव्यात. उदाहरण द्यायचं झालं तर
९९ चं वर्गमूळ चार स्थानापर्यंत १० सेकंदांत काढता येतं. ९९ हे १००पेक्षा १ टक्का कमी आहेत, तेव्हा १०० च्या वर्गमुळातून अर्धा टक्का वजा करा. उत्तर ९.९५० (अचूक उत्तर आहे ९.९४९८७४३७...) हे उत्तर जवळपास लाखात एक इतकं अचूक आहे. अशा तोंडी गणिताने अनेक वर्गमुळं काढता येतात. ९८ चं वर्गमूळ? ९८ हे ९९ पेक्षा जवळपास १.०१ टक्क्यांनी कमी आहेत, तेव्हा ९.९५ मधून सुमारे ०.०५०२ वजा करा. हे तोंडी करता येतं, आणि पाच मिनिटांत ९० ते १०० ची वर्गमुळं लिहिता येतात. खरं तर अधिक अचूकपणे, आणि अधिक वेगानेही हे करता येईल, पण मुद्दा असा की भास्कराचार्यांनी काय मागितलं आहे, ते कमीतकमी कष्टांत आणि वेळात मिळवण्यासाठीची पद्धत वापरणं केव्हाही श्रेयस्कर. असे अल्गोरिथम ऑप्टिमायझेशनचे प्रयत्न दिसले नाहीत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हे बरोबर.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पुस्तक काढून न्युटनने कोणती पद्धत वापरली ते वाचून काढले पुन्हा. क्षवर्ग वजा दोन ( तीन/चार/पाच/~~~~) बरोबर शून्य या समिकरणाचे उत्तर काढण्यासाठी [ एकूण कोणत्याही घात असलेल्या समिकरणाचे] त्यानेच शोधलेल्या कॅल्क्युलसचा उपयोग केला.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हिंदु ग‌णित‌शास्त्राम‌ध्ये व‌र्ग‌मूळ‌ आणि घ‌न‌मूळ‌ काढ‌ण्याचे algorithms दिलेले आहेत‌. माझी स‌ंद‌र्भाची पुस्त‌के आत्ता माझ्याज‌व‌ळ‌ न‌स‌ल्याने ते algorithms येथे मूळ‌ श्लोकांस‌ह‌ त‌प‌शीलात‌ देऊ श‌क‌त‌ नाही प‌ण‌ २-३ दिव‌सांन‌ंत‌र‌ देऊ श‌केन‌. महावीराचार्याच्या ग‌णित‌सार‌स‌ंग्र‌हाम‌ध्ये ते निश्चित‌प‌णे आहेत‌. लीलाव‌ती किंवा ग‌णिताध्यायाम‌ध्येहि असू श‌क‌तील‌, निश्चित‌ ब‌घून‌ २-३ दिव‌सांनी सांग‌तो.

म्ह‌ट‌ले त‌र‌ अड‌च‌ण‌ अशी आहे की द‌शांश‌ अपूर्णांक‌ हिंदु ग‌णिताला माहीत‌ न‌व्ह‌ते . त्यामुळे अमुक‌ स्थानाप‌र्य‌ंत‌ उत्त‌र‌ द्यावे असे स‌र‌ळ‌स‌र‌ळ‌ विचार‌ता येणार‌ नाही प‌ण‌ त्याव‌र‌ सोपा उपाय‌ म‌ला सुच‌तो तो असा. दिलेल्या मार्गाने शेव‌ट‌च्या (एक‌म स्थानाच्या) आक‌ड्याप‌र्य‌ंत‌ पोहोच‌ल्याव‌र‌ पूर्ण‌ स‌ंख्येत‌ व‌र्ग‌मूळ‌ मिळाले त‌र‌ छान‌च‌. नाही मिळाले त‌र‌ २/४/६/८...शून्ये वाढ‌वून‌ algorithm चालू ठेवाय‌चा. आलेल्या उत्त‌राम‌ध्ये उज‌वीक‌डून‌ १/२/३/४..स्थानांन‌ंत‌र‌ द‌शांश‌बिन्दु टाक‌ला म्ह‌ण‌जे हाव्या तित‌क्या सूक्ष्म‌तेचे उत्त‌र‌ मिळेल‌.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक1
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

म्ह‌ट‌ले त‌र‌ अड‌च‌ण‌ अशी आहे की द‌शांश‌ अपूर्णांक‌ हिंदु ग‌णिताला माहीत‌ न‌व्ह‌ते . त्यामुळे अमुक‌ स्थानाप‌र्य‌ंत‌ उत्त‌र‌ द्यावे असे स‌र‌ळ‌स‌र‌ळ‌ विचार‌ता येणार‌ नाही प‌ण‌ त्याव‌र‌ सोपा उपाय‌ म‌ला सुच‌तो तो असा. दिलेल्या मार्गाने शेव‌ट‌च्या (एक‌म स्थानाच्या) आक‌ड्याप‌र्य‌ंत‌ पोहोच‌ल्याव‌र‌ पूर्ण‌ स‌ंख्येत‌ व‌र्ग‌मूळ‌ मिळाले त‌र‌ छान‌च‌. नाही मिळाले त‌र‌ २/४/६/८...शून्ये वाढ‌वून‌ algorithm चालू ठेवाय‌चा. आलेल्या उत्त‌राम‌ध्ये उज‌वीक‌डून‌ १/२/३/४..स्थानांन‌ंत‌र‌ द‌शांश‌बिन्दु टाक‌ला म्ह‌ण‌जे हाव्या तित‌क्या सूक्ष्म‌तेचे उत्त‌र‌ मिळेल‌.

परफेक्ट. २ चं वर्गमूळ काढायचं तर २०० चं काढून त्याला दहाने भागायचं. किंबहुना वेगाने उत्तरं काढण्यासाठी या पायरीचा वापर करावा लागतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

अजूनेक‌ मेथ‌ड‌ सुच‌ली. लिनिअर इंट‌र‌पोलेश‌न‌च्या साध्या गाव‌ठी त‌त्त्वाव‌र आधारित‌. पुन्हा ते ८४ चेच उदा. घेऊ. ८१ आणि १०० च्या म‌ध्ये ८४ आहे, स‌ब‌ब‌ ९ पॉईंट स‌म‌थिंग हे व‌र्ग‌मूळ येईल‌.

आता, १००-८१ = १९. स‌ब‌ब, ९ ते १० या १ लांबीच्या स्क्वेअर‌ रूट च्या इंट‌र्व‌ल‌क‌रिता स्क्वेअर‌म‌ध्ये १९ इत‌के व्हॅरिएश‌न आहे.

ते व्हॅरिएश‌न‌ युनिफॉर्म‌ आहे असे स‌म‌जू. स‌ब‌ब‌ (८१ + क्ष‌)^(१/२) = ९ + (क्ष‌/१९), व्हेअर‌ क्ष‌ इज अॅन इंटिज‌र‌ फ्रॉम दि सेट‌ [०, १९].

आता, ८४ क‌रिता क्ष‌ = ३. स‌ब‌ब ८४^(१/२) = ९ + (३/१९) = 9.15789473684 = 9.158. (फ‌र्स्ट अप्रॉक्सिमेश‌न‌)

आता, 9.158^२ = 83.868964.

स‌ब‌ब व‌र्ग‌मूळ‌ = फ‌र्स्ट अप्रॉक्सिमेश‌न‌ + (८४ - 83.868964)/१९ = 9.158 + 0.00689663157 = 9.16489663158 = 9.165 (सेकंड अप्रॉक्सिमेश‌न‌).

हेच उत्त‌र म‌गाशीही द‌म‌छाक केल्याव‌र आलेले होते.

सो, ज‌न‌र‌लाय‌झिंग:

(क्ष‌ + १)^२ = क्ष‌^२ + (२*क्ष‌ + १).

म्ह‌ण‌जेच‌, (क्ष‌ + १)^२ व क्ष‌^२ यांम‌ध्ये एकूण (२*क्ष‌ + १) इत‌क्या पूर्णांक संख्या आहेत‌.

त्यांपैकी (क्ष‌^२ + य‌) या संख्येसाठी, जिथे य‌ इज अॅन इंटिज‌र‌ फ्रॉम दि सेट‌ [०, (२*क्ष‌ + १)].

(क्ष‌^२ + य‌)^(१/२) = क्ष‌ + [य‌/ (२*क्ष‌ + १)] = अ. हे झाले फ‌र्स्ट अप्रॉक्सिमेश‌न‌.

आता अ^२ आणि (क्ष‌^२ + य‌) यांची तुल‌ना क‌रून, अ म‌ध्ये | अ^२ - (क्ष‌^२ + य‌) | / (२*क्ष‌ + १) इत‌के मिळ‌वा किंवा व‌जा क‌रा.

(ज‌र अ^२ मोठा असेल त‌र‌ व‌जा नाय‌त‌र अधिक‌) & रिपीट द प्रोसेस‌.

या प‌द्ध‌तीने १, २ आणि ३ हे तीन‌ही एका आठ‌व‌ड्यात होतील यात सौंश‌य‌ इल्ले.

तो मैं ये नौक‌री प‌क्की स‌म‌झूं?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी1
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

तो मैं ये नौक‌री प‌क्की स‌म‌झूं?

म‌ला उर्मिला ट्रेड‌र्स‌म‌ध्ये नोक‌री माग‌णारा रा० द‌० श‌र्मा आठ‌व‌ला!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

********
हवा तेज चलता है दिनकर राव. टोपी संभालो. उड जाएगा.

माहिती नाय बा हा संद‌र्भ‌. विस्क‌टून सांगाल किंवा लिंक ड‌क‌वाल‌ काय‌?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

गोलमाल, रामप्रसाद दशरथप्रसाद शर्मा

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

ध‌न्य‌वाद‌. अॅक्चुअली ते "तो मैं ये रिश्ता प‌क्का स‌म‌झूं" च्या चालीव‌र विचार‌लेलं असंच आप‌लं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

एका आकड्याच्या एक सहस्रांश / दशसहस्रांश उत्तरासाठी इतकी दमछाक होत असेल तर १०० आकडे सहासात स्थानापर्यंत एका दिवसाच्या आत आणि १०००० आकडे सात दिवसात नाही झेपायचे. तुमच्या पद्धतीपेक्षा सुमारे चौपट वेगवान पद्धत हवी.

८४ चं वर्गमूळ काढायचं तर

८४ = ८१ + ३. म्हणजे ९ + ३/१८ हे पहिलं अप्रॉक्झिमेशन. ९.१६६ (तुम्ही ३/१९ का घेतले कळलं नाही. ओह, १०० - ८१) त्याचा वर्ग येतो ८४.०१५५ म्हणजे वर्गमूळ आत्ताच १०००० मध्ये एकहून अचूक आहे. हे गणित काही सेकंदांत होतं. याहीपेक्षा अधिक अचूक गणित इतर पद्धतींनी करता येतं, ज्यासाठी प्रत्येक वर्गमुळाला साधारण तितकाच वेळ लागतो. ९+०.०५५५ (८२ चं वर्गमूळ) + ०.०५५२ (८३ चं वर्गमूळ) + ०.०५४९ = ९.१६५६ वर्ग = ८४.००८२. वर्गमूळ सुमारे लाखात ५ इतकं अचूक. या पद्धतीला सुमारे ५ ते १० मिनिटं लागतात, आणि त्यातून ८२ ते ९९ ची वर्गमुळं मिळतात.

तुम्हाला या विषयात बरीच माहिती आहे, पण ती माहिती वापरून वेगाने काम करण्याचं कसब नाही. त्यामुळे दुर्दैवाने आत्ता तरी नोकरी देणं शक्य नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Sad

ठीक आहे. अजून मेथ‌डी सुच‌तात का पाह‌तो.

सो द‌म‌छाक आहे कार‌ण व‌र्ग द‌र‌वेळेस‌ क‌रून प‌हावा लाग‌तोय, अॅमाय‌ रैट्ट‌?

बाकी ते (२*क्ष‌ + १) ऐव‌जी २*क्ष‌ नं भाग‌ल्याव‌र कॉन्व्ह‌र्ज‌न्स अजून फास्ट होईल‌ काय‌?

आणि ते ०.५५५ नंत‌र‌चे डिजिट्स क‌से आले?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

बाकी ते (२*क्ष‌ + १) ऐव‌जी २*क्ष‌ नं भाग‌ल्याव‌र कॉन्व्ह‌र्ज‌न्स अजून फास्ट होईल‌ काय‌?

हो. कारण क्ष^2 + 1 च्या वर्गमुळाचं अप्रॊक्झिमेशन क्ष + 1/2क्ष होतं - क्ष पुरेसा मोठा असेल तर - सुमारे पाचपट वगैरे. म्हणून 26 चं वर्गमूळ 5.1 हे खूपच अचूक आहे 10000 मध्यये 2 ची एरर. ती दुरुस्त करण्यासाठी 1/(8क्ष^3) ची टर्म वजा करावी लागते. मग 26 चं वर्गमूळ 5.099 येतं, आणि एरर पन्नास साठ पटीने कमी होते. पण मुळात क्ष 9 किंवा जास्त असेल तर पहिली एरर टर्मच लाखात एकपेक्षा कमी होते.

आणि ते ०.५५५ नंत‌र‌चे डिजिट्स क‌से आले?

लवकरच विस्तृत उत्तर टाकणार आहे. पण थोडक्यात 81 ते 99 पर्यंत डेल्टा टर्म .0555 ते .0501 अशी बदलते. (1/18 ते 1/20) ती 18 स्टेप्समध्ये लीनियरली बदलली की .003 ने कमी होत जातात. मग सरळ रेषेऐवजी जास्त चांगला कर्व्ह मिळतो. 82 आणि 99 ची वर्गमुळं काढली की मधली सगळी साध्या बेरजेने मिळतात.

10000 ते 9900 मधले वर्गदेखील असेच झपकन मिळतात.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

अनेक ध‌न्य‌वाद, थोड‌क्यात ब‌स चुक‌ली म्ह‌णाय‌ची.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

श्रावण लागायच्या आत उत्तर लिहा गुरुजी.
दर महिन्याला एक दिमागकादही धागा काढलात तर संचालकपदावर कायम आणि बॅटमॅनची नोकरी पक्की. SmileWink
(नायतर मनोबा-बॅटमॅन तरवारबाजी चालू) Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

क्र‌मांक १ क‌रिता १०००० ते ९९९९९ इत‌के पूर्णांकाचे व‌र्ग काढायचे. हे फ‌क्त गुणाकार अस‌ल्याने सोप्पं आहे. म‌ग त्यांना दोन, चार, स‌हा, आठ‌, इ इ शून्यांनी भागाय‌चे. "त्यात‌ले कोण‌ते व‌र्ग" १ ते १०० म‌ध‌ल्या कोण‌त्या अंकाच्या खूप ज‌व‌ळ‌ प‌ड‌तात ते पाहाय‌चे. त्यांची क‌रेस्पॉंडिंग मूळे ती उत्त‌रे.
=================================

म्हणजे ८७४४ चं वर्गमूळ तुम्ही ९३.५०९४ असं लिहायला हवं.

८७४४ हे १०० पेक्षा मोठं आहे. उदा. एडिट क‌रा.
=======================================
क्र‌मांक २ - हाच‌ प‌सारा १,०००,००० पुढ‌च्या पूर्णांकांचा क‌राय‌चा.
=======================================
क्र‌मांक‌ ३ साठि हाच‌ प‌सारा १००,०००,००० पुढ‌च्या पूर्णांकांचा क‌राय‌चा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

१.०००० ते ९.९९९९ (किंवा x१००००) यांचे व‌र्ग या क‌रिता काढाय‌चे कार‌ण‌ या व‌र्गांची मुळे म्ह‌ण‌जे इप्सित द‌शांशानंत‌र (दंशानंत‌र‌च‌ वाट‌तं वाचाय‌ला) चार आक‌डे अस‌लेला हा एक्झोस्टिव सेट आहे.
म्ह‌णून तुम्ही दिलेल्या वेळातील ९/१० वेळ व‌र्ग काढ‌त ब‌सा आणि १/१० वेळ क‌रेस्पॉंड क‌र‌त ब‌सा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

यासाठी किती संख्यांचे वर्ग करावे लागतील? एका पाच अंकी संख्येचा वर्ग करायला सुमारे ३ मिनिटं लागतात असं गृहित धरलं तर १ ते १०० आकड्यांची चार स्थानांपर्यंत वर्गमूळं काढायला किती वेळ लागेल? त्यांची सहा स्थानांपर्यंत अचूक उत्तरं काढायला किती वेळ लागेल? नुसती पद्धत कोणीही सांगू शकतं. इथे प्रोजेक्ट मॅनेजमेंटचा प्रश्न आहे. तुम्हाला ही उत्तरं काढायला किती रिसोर्सेस लागतील आणि ते तुम्ही कसे वापराल हे समजावून सांगायचं आहे. त्यासाठी तुम्ही वापरलेली पद्धत सर्वात एफिशियंट आहे का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मंजे त्यांना ग‌णित फार येत नाही, त्यात‌ल्या कोण‌त्या मेथ‌ड्स माहीत नाहीत आणि कामाचं डिविज‌न तेव‌ढं क‌राय‌चं आहे असं आहे का? मूळात त्यांना व‌र्ग‌ंमूळ काढाय‌ची कोण‌ती प‌द्ध‌त माहीत आहे किंवा नाही असं ध‌राय‌चं? कार‌ण‌ आत्ता आप‌ण‌ ज‌से मूळ‌ काढ‌तो त‌से काढ‌त ब‌स‌ले त‌र चंद मिनिटे पुरे आहेत. काय गृहित ध‌राय‌चं आणि काय नाही हे क‌ळ‌त नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

बाय‌द‌वे म‌ला स‌ग‌ळ्यात अमेझिंग वाट‌णारी प्राचीन भार‌तातील ग‌णिती गोष्ट म्ह‌. कुट्ट‌क स‌मीक‌र‌णाची उक‌ल‌. ब्र‌ह्म‌गुप्ताने ६२८ साली सांगित‌लेला च‌क्र‌वाल अल्गोरिद‌म ज‌ब‌र‌द‌स्त आहे निव्व‌ळ‌. त‌स‌ली कुट्ट‌के सोड‌वाय‌ला गोऱ्यांना त्यानंत‌र अजून ह‌जारेक व‌र्षे लाग‌ली. ब‌हुधा कोशी या ग‌णित‌ज्ञाने आय‌ थिंक पेश‌वेकाळात क‌धीत‌री त्याचा कंटिन्यूड फ्रॅक्श‌न‌व‌र आधारित अल्गोरिद‌म प्र‌थ‌म शोधून काढ‌ला.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

१) च‌क्र‌वाल‌ प‌द्ध‌ति भास्कराचार्यांनी प्र‌थ‌म‌ ज‌गापुढे मांड‌ली. तिच्या बांध‌णीम‌ध्ये ब्र‌ह्म‌गुप्ताने त‌त्पूर्वी मांड‌लेल्या Brahmagupta's Lemma ह्या पाय‌रीचा उप‌योग‌ झाला.
२) ही प‌द्ध‌ति वाप‌रून‌ सोड‌व‌लेल्या ग‌णिताला 'व‌र्ग‌प्र‌कृति' असे नाव‌ होते. हे 'कुट्ट‌क‌' न‌व्हे. कुट्ट‌क‌ ax - by = c अशा स्व‌रूपाचे अस‌ते त‌र‌ व‌र्ग‌प्र‌कृति स‌मीक‌र‌ण‌ x^2 - ny^2 = C अशा स्व‌रूपाचे अस‌ते. (क्ष‌ आणि य‌ ह्या स‌ंख्या पूर्णांक‌ आहेत‌.)
३) x^2 - ny^2 = 61 ह्या व‌र्ग‌प्र‌कृतीचा प‌हिला उल्लेख‌ भास्क‌राचार्यांच्या लेख‌नात‌ दिस‌तो अणि च‌क्र‌वाल‌ प‌द्ध‌तीने x = 1766319049, y = 226153980 असे त्याचे स‌र्वात‌ ल‌हान‌ उत्त‌र‌हि तेथेच‌ दिस‌ते. हेच‌ ग‌णित‌ युरोपीय‌ ग‌णिताला १६व्या श‌त‌कात‌ जाण‌व‌ले. कोठ‌ल्यात‌री अज्ञात मार्गाने हे ग‌णित‌ भार‌तातून‌ ४०० व‌र्षांम‌ध्ये युरोपात‌ पोहोच‌ले होते. फ‌र्मा, ओय‌ल‌र‌ अशा दिग्ग‌जांनी ह्याच्याशी झ‌टाप‌ट‌ केली होती. अखेरीस‌ व‌र‌चे उत्त‌र‌ १७व्या श‌त‌कात‌ साप‌ड‌ले. ते 'पेल‌' नावाच्या व्य‌क्तीने शोध‌ले अशा स‌म‌जूतीने त्याचे नाव‌ Pell's Equation असे प‌ड‌ले आहे, य‌द्य‌पि ते भास्कराचार्यांना १२व्या श‌त‌कात‌च‌ माहीत‌ होते हीहि गोष्ट‌ स‌र्व‌मान्य‌ झाली आहे. स‌न्द‌र्भासाठी येथे प‌हा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

थॅंक्स, आय स्टॅंड क‌रेक्टेड‌. स‌म‌हाऊ कुट्ट‌क‌ = पेल्'स इक्वेश‌न असे म‌नात ब‌स‌ले होते ख‌रे..असो.

बाकी ती पेल्'स इक्वेश‌नची स्टोरी म‌ला माहितीये, प‌ण ते व‌र्ग‌प्र‌कृतीवालं ग‌णित भार‌तातून युरोपात गेलं असं म्ह‌णाय‌ला काही आधार आहे का? कार‌ण युरोपीय सोल्यूश‌न‌ची प‌द्ध‌त भार‌तीय प‌द्ध‌तीपेक्षा वेग‌ळीय पूर्ण‌च (माझे स्म‌र‌ण ब‌रोब‌र असेल त‌र‌)...

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

ते व‌र्ग‌प्र‌कृतीवालं ग‌णित भार‌तातून युरोपात गेलं असं म्ह‌णाय‌ला काही आधार आहे का?

हे ग‌णित‌ भार‌तातून युरोपात गेले ह्याला नोंद‌व‌लेला पुरावा अर्थात‌च‌ नाही. प‌ण‌ ह्या ग‌णिताचे वैशिष्ट्य‌ अशाम‌ध्ये आहे की व‌र‌क‌र‌णी इत‌क्या सोप्या दिस‌णाऱ्या ग‌णिताचे स‌र्वात‌ ल‌हान‌ उत्त‌र‌ इत‌के प्र‌च‌ंड‌ आहे. हे ग‌णित‌ भास्क‌राचार्यांना प्र‌थ‌म‌ सुच‌ले असेहि न‌सेल‌. क‌दाचित आज‌ स‌ंपूर्ण‌ विस्मृतीत‌ गेलेल्या अन्य‌ कोणा अभ्यास‌कास‌ ते त‌त्पूर्वी स‌र्व‌प्र‌थ‌म‌ दिस‌ले असेल‌ आणि भास्क‌राचार्यांनी त्याचा उप‌योग‌ केला इत‌केच‌ असेल‌.

त्याच‌ त‌र्काने व‌र्ग‌प्र‌कृतीच्याअस‌ंख्य‌ ग‌णितांम‌धून‌ हेच‌ ग‌णित‌ युरोपीय‌न‌ ग‌णित‌शास्त्र्यांना दिस‌ले ह्याचा अर्थ‌ मी असा लाव‌तो की हे ग‌णित‌ कोठ‌ल्यात‌री अज्ञात मार्गाने भार‌तातून‌ युरोपात‌ पोहोच‌ले असावे. प‌क्षी ज‌से त्यांना न‌क‌ळ‌त‌ झाडांच्या बिया इक‌डून‌ तिक‌डे नेऊन‌ टाक‌तात‌ त‌द्व‌त कोणा ख‌लाशाच्या/व्यापाऱ्याच्या/सैनिकाच्या हातून‌ त्याच्या न‌क‌ळ‌त‌ हे श‌त‌कृत्य‌ पार‌ प‌ड‌ले अस‌णार‌.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ह‌म्म ओक्के. असेल‌ही. ज‌से ते मेरुप्र‌स्त‌राब‌द्द‌ल ऑय‌ल‌र‌ला जेसुईटांक‌र‌वी क‌ळाले होते आणि त्याने त्याब‌द्द‌ल एक छोटासा पेप‌र‌ही लिहिला होता. "हिंदूंना ह‌जारो व‌र्षांपूर्वीच बाय‌नॉमिअल थेर‌म‌चा शोध लाग‌ला होता" व‌गैरे....मुळात भार‌तीय ग‌णिताचा बाहेर झालेला प्र‌सार हा विष‌य कित‌प‌त नीट डिस्क‌स्ड आहे याची म‌ला क‌ल्प‌ना नाही. ते हिंदू-अर‌बी आक‌डे, सुरुवातीच्या इस्लामिक काळातील ख‌लिफांच्या स्पॉन्स‌र‌शिप‌मुळे झालेली काही भाषांत‌रे, इ. माहितीये प‌ण पूर्ण नाही. स्पेसिफिक‌ली या विष‌याब‌द्द‌लचे एखादे पुस्त‌क आहे का? उदा. डेव्हिड‌ पिंग‌री व‌गैरे लोक याब‌द्द‌ल काय म्ह‌ण‌तात इ. काही पाह‌ण्यात आलेय का?

जॉर्ज चेरोव‌र्गीस नाम‌क एक केर‌ळी प्रोफेस‌र आहेत‌, तूर्तास इंग्लंड‌म‌ध्ये ग‌णितेतिहास इ. शिकव‌तात‌. त्यांचा हाय‌पोथेसिस असा आहे की केर‌ळ स्कूल ऑफ मॅथेमॅटिक्स‌म‌धील इन्फिनिट सेरीज‌च्या काही क्लृप्त्या त‌त्र‌स्थ ख‌लाशी, इ. मार्गे युरोपात पोच‌ल्या असाव्या आणि कॅल्क्युल‌स‌च्या आधार‌भूत टेक्निक्स‌म‌ध्ये त्यांचा काही वाटा असावा. त्याब‌द्द‌ल उहापोह क‌र‌णारा एक मोनोग्राफ‌च मी म‌ध्ये विक‌त घेत‌ला होता. त्याव‌रून इत‌केच स‌म‌ज‌ले की शोध सुरू आहे आणि तूर्त काही य‌श आले नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

Smile

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ही गणितं वाचायचा फार कंटाळा येतो. (त्यातून माझ्याकडे कॅलक्यूलेटरही आहे.) या पद्धतींचे व्हिडिओ बनवून डकवाल का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

गुर्जी, माझ्याक‌डे ग्राफिक‌ल मेथ‌ड‌ आहे. ब‌घा प‌ट‌तीय का.

१. ८१ ते १०० ह्या स‌ंख्यांचे व‌र्ग‌मुळ काढाय‌ची.
२. ह्या व‌र्ग‌मुळातुन ९ व‌जा क‌राय‌चे, म्ह‌ण‌जे तुम‌च्याक‌डे ० ते १ ह्या रेंज म‌ध‌ले २० आक‌डे येतील्.
३. "य‌' अक्षाव‌र हे ० ते १ म‌ध‌ले आक‌डे आणि "क्ष" अक्षाव‌र १ ते २० अशी रेंज घेउन स्मुथ ग्राफ काढाय‌चा. स्मुथ हे म‌ह‌त्वाचे.
४. हा ग्राफ इव‌ला इव‌ल‌ न‌ काढ‌ता, मोठ्या आकाराचा काढाय‌चा. कार‌ण हा ग्राफ नंत‌र टेम्प्लेट म्ह‌णुन वाप‌राय‌चा आहे.
५. आता तुम्हाला ६४ ते ८१ म‌ध‌ल्या स‌ंख्यांचे व‌र्ग‌मुळ काढाय‌चे असेल त‌र ह्याच ग्राफ च्या "क्ष्" अक्षाला प‌हिल्या बिंदुला ६४ आणि शेव‌ट‌च्या बिंदु ला ८१ असाइन क‌राय‌चे.
६. आता ६४ पासुन ८१ प‌र्य‌ंत प्र‌त्येक संख्ये साठी 'य्" अक्षा व‌र‌ती ० ते १ ची व्हॅल्यु मिळेल्. ती ८ म‌धे मिळ‌वाय‌ची. ग्राफ चा आकार मोठा अस‌ल्यामुळे ३ डिजिट प‌र्य‌ंत व्हॅल्यु मिळ‌तील्.

ह्या मेथ‌ड‌चा उप‌योग मोठ्या स‌ंख्यांच्या व‌र्ग‌मुळाला जास्त चांग‌ला होइल्.
हा ग्राफ काढ‌ताना ८१ ते १०० वाप‌राय‌च्या ऐव‌जी दोन मोठे व‌र्ग वाप‌र‌ले त‌र अचुक‌ता वाढेल्.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ही पद्धधत खरंच खूप चांगली आहे. प्रत्यक्षात किती स्थानं मिळतील यापेक्षा ही बॆच प्रोसेसिंग पद्धती वापरणं प्रचंड किफायतशीर ठरतं. मात्र एकच टेंप्लेट लागू करायची असेल तर क्ष अक्षावर किती टक्क्यानी वर्गमूळ वाढलं की नक्की किती टक्क्यांनी वर्ग वाढतो हे य अक्षावर हवं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उत्तर धाग्याच्या शेवटी चिकटवलेलं आहे, हे सांगण्यासाठी आणि धागा पुन्हा वर काढण्यासाठी हा प्रतिसाद.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0