संख्याजगताच्या अद्भुत कथा...6

अनंतता (∞): गणिताला तारक व मारक अशी संकल्पना

लक्ष, दशलक्ष, कोटी, दशकोटी, शतकोटी, परार्ध, शत परार्ध.. शत परार्ध + 1 .... अशा प्रकारच्या मोठ मोठ्या संख्यांची लहानपणी खेळलेली स्पर्धा आपल्याला नक्कीच आठवत असेल. परंतु मोठेपणी संसाराच्या रहाटगाडग्यात अडकून पडल्यामुळे अशा मोठ मोठ्या संख्यांचे कौतुक करणे आपण विसरून गेलो. व त्यातही इन्फिनिटी (∞) ही संख्या पुसटशी होत गेली. परंतु ∞ मुळात अस्तित्वात होती वा आहे का?

उदाहरणार्थ, आइन्स्टाइनच्या सापेक्षता सिद्धांतात काळ व अवकाश (space & time) अनंतापर्यंत विस्तार होत होत, कृष्ण विवरात विरून जातात अशी संकल्पना मांडलेली आहे. त्याच प्रमाणे कॅल्क्युलसमध्ये कुठलीही प्रक्रिया सातत्याने बदलत गेल्यास अवकाश व काळ यांची अनंतामध्ये विभागणी करणे शक्य होईल.

याचा अर्थ भौतशास्त्रज्ञांना इन्फिनिटीचे महत्व कळले व इतरांना नाही असा अर्थ होत नाही. जेव्हा खगोल शास्त्रातील समीकरणांची उत्तरं इन्फिनिटीच्या जवळ पास असतात तेव्हा हे खगोलशास्त्रज्ञ सिद्धांतांचीच पुनर्लेखन करतात!

जरी या गृहितकांना बाजूला सारले तरी गणितातील सेट सिद्धांत मात्र इन्फिनिटीला चिकटून आहे. संख्यासंबंधी कठोरपणे विश्लेषण करत गेल्यास गणितातील हे अमूर्त भांडं कुठल्याही संख्याबद्दल जास्त विस्ताराने सांगू शकेल. शून्य सेटबद्दलचा आपला अनुभव ताजा आहे. सर्व संख्यांचे एक सेट आहे असे कल्पना करता येईल. मग हा सेट किती मोठा असू शकेल? तुम्ही कितीही मोजत गेला तरी त्या संख्या संपणार नाहीत व शेवटी आपण कंटाळून अनंतापर्यंत असे म्हणत त्याचा नाद सोडणार!

परंतु 1924 साली मांडलेल्या हिल्बर्टचे काल्पनिक हॉटेल याला छेद देणारा ठरू शकेल. कारण हिल्बर्टने त्या हॉटेलमध्ये इन्फायनेट खोल्या आहेत अशी मांडणी केली आहे. जेव्हा या सर्व खोल्या पूर्ण भरल्या तेव्हा कुठून तरी कित्येक बसलोड भरून प्रवासी आले व खोल्यांची मागणी करू लागले.
हॉटेलच्या मॅनेजरने ही समस्या कशी हाताळली असेल?

आपली अंतःप्रेरणा हे शक्य नाही असे म्हणेल. परंतु गणिताला व विशेष करून इन्फिनिटीला हे मान्य असणार नाही. मॅनेजरच्या मते ही समस्या सोडवणे शक्य आहे. त्यासाठी खोली नं 1 मधल्या प्रवाश्याला खोली नं 2 मध्ये, 2 मधल्याला 4 मध्ये, 3 मधल्याला 6 मध्ये असे हलवल्यास सर्व विषम संख्यांच्या खोल्या रिकामे होतील व आगंतुक प्रवाश्यांची रहायची व्यवस्था करता येईल.

काही अनंत संख्या इतर अनंत संख्यापेक्षा मोठ्या असू शकतात. यावरून सेटमधील संख्या कितीही वेगवेगळ्या प्रकारच्या असल्या तरीही त्या अनंतापर्यंत पोचतात. सेट सिद्धांताला अशा विसंगत गोष्टींची चांगलीच सवय जडली आहे. गंमत म्हणजे पूर्ण संख्यांची यादी अनंतापर्यंत जाते, एवढेच नव्हे तर त्या संख्यांचे दशांशसुद्धा अनंतापर्यंत जाऊ शकतात!

तर लहानपणच्या मोठ्या संख्येच्या स्पर्धेप्रमाणे लहानातील लहान संख्येची स्पर्धा ठेवायची का?

अधिक माहितीसाठी

या पूर्वीचे लेख 1, लेख 2, लेख 3, लेख 4, लेख 5

समाप्त.

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

अनंत या संकल्पनेबद्दल जितकं लिहिता आलं असतं तितकं पुरेसं आलेलं नाही या लेखात. हिल्बर्ट होटेलचा उल्लेख चांगला आहे. मात्र त्यातून जी सत्यं उभी राहातात ती डोक्याला गरगरवून टाकणारी आहेत. ती गरगर आली नाही.

सम संख्या अधिक की विषम संख्या? असं विचारलं तर कोणीही सांगू शकेल की जितक्या सम संख्या तितक्याच विषमही. कारण प्रत्येक सम संख्येनंतर एक विषम संख्या येते. हे कितीही मोठ्या संख्येबद्दल लागू पडतं. मग आता पुढचा प्रश्न. सम संख्या अधिक की सम + विषम संख्या किंवा सगळ्याच नैसर्गिक संख्या? आता कोणीही म्हणेल की सम संख्या कमी, एकूण नैसर्गिक संख्या अधिक. कारण नैसर्गिक संख्यांमध्ये सम संख्या असतात शिवाय तितक्याच विषम संख्याही असतात. पण इथेच गंमत सुरू होते. प्रत्येक नैसर्गिक संख्येसाठी तिच्या बरोब्बर दुप्पट अशी एक सम संख्या मांडता येते. त्यामुळे नैसर्गिक संख्या अनंत आहेत, सम संख्या अनंत आहेत, पण ही दोन्ही अनंतं सारख्याच आकाराची आहेत. हे चक्रावून टाकणारं आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते..या विसंगतीची आठवण आली

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उद‌य‌ (अन‌न्त_यात्री)

लेख आवडला.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0