अविभाज्य संख्याः न संपणारा शोध

elements
फेडेक्स या अमेरिकन कंपनीमध्ये जॉन पेस फायनान्स मॅनेजर म्हणून काम करत होता. परंतु जमा-खर्चाच्या आकडेवारी व एक्सेल शीट्समधील रकानेच्या रकाने भरण्यापेक्षा आतापर्यंत ज्ञात असलेल्या अविभाज्य संख्येपेक्षा अजून एक यापेक्षा मोठी अविभाज्य संख्या शोधण्यामध्ये त्याला जास्त रुची होती. गेली 14 वर्ष तो अशा संख्याच्या मागे अक्षरशः जिवाचे रान करत होता. आतापर्यंत माहित असलेल्या अविभाज्य संख्येतील अंकापेक्षा आणखी जास्त अंक असलेली अविभाज्य संख्या त्याला शोधायचे होते. 26 डिसेंबर 2017 रोजी त्याचे हे उद्दिष्ट पूर्ण झाले. त्यानी शोधलेल्या अविभाज्य संख्येत हजार-दोन हजार नव्हे तर तब्बल 2 कोटी 30 लाख अंक होते. ही संख्या प्रिंट करण्याचे ठरविल्यास व यातील आकडे दोन फाँट साइझमध्ये घेतले तरी एखादे मोठे पुस्तकच होईल.

सामान्यपणे धन पूर्णांकांना 'स्वाभाविक संख्या' म्हणतात. ज्या संख्येला 1 व ती स्वतः, यांखेरीज दुसऱ्या कोणत्याही संख्येने भाग जात नाही, तिला 'अविभाज्य संख्या' म्हणतात. उदा.,1 ते 20 पर्यंतच्या संख्येत 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 यांना अविभाज्य संख्या आणि 1 वगळता बाकीच्या 4, 6, 8, 9, 10, 12,14, 15, 16,18, 20 संख्यांना 'संयुक्त संख्या' म्हणतात. अविभाज्य संख्यांचे गुणक (वा अवयव) 1 व तीच संख्या असते. उदा 5 चे गुणक 1 व 5, 11 चे गुणक 1 व 11 19 चे गुणक 1 व 19 इ परंतु 4 ही संख्या 2 X 2 याप्रमाणेही मांडता येईल. 8 ही संख्या 2 X 2 X2 वा 9 ही संख्या 3 X 3, 10 ही संख्या 2 X 5 ..... या प्रमाणे मांडता येते. यावरून अविभाज्य नसलेल्या संख्यांचे गुणक नेहमीच अविभाज्य संख्या असतात असे म्हणता येईल.

क्रि.श.पू 300 च्या सुमारास युक्लिड या गणितीने एलिमेंट्स या 13 ग्रंथांच्या खंडामध्येसुद्धा अविभाज्य संख्यांचा उल्लेख केला आहे. ‘एकाहून मोठी प्रत्येक संख्या अविभाज्य संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहिता येते’, या अंकगणितातील मूलभूत विधानाची सिद्धताही युक्लिडने दिली आहे. अविभाज्य संख्यांना अंत नाही, या विधानाच्या पुष्ट्यर्थ त्यानी केलेली सिद्धता हे तर्कशास्त्राच्या भाषेत लिहिलेले सुंदर काव्यच असल्याचे अनेक गणितज्ञांचे मत आहे. गणितावरील ही पुस्तकं आधुनिक विज्ञान व तर्कशास्त्र यांच्यापेक्षा श्रेष्ठ ठरतात. तेवीसशेहून अधिक वर्षे आपण या सिद्धता मूळ रूपात शिकत आहोत, यातच युक्लिडच्या सिद्धांतांचे माहात्म्य दिसून येते.

अविभाज्य संख्यांची निर्मिती करण्यासाठी अनेक हौशी व व्यावसायिक गणितज्ञ प्रयत्न करत होते/आहेत. अविभाज्य संख्या शोधण्यासाठी 2n − 1 हे सूत्र गेली कित्येक वर्षे गणितज्ञ वापरतात. यात n ही एक स्वाभाविक संख्या आहे. गणितामध्ये मेर्सेने अविभाज्य संख्येचा फार ठिकाणी वापरला जातो. मरिन मेर्सेने या फ्रेंच गणितज्ञाने 17व्या शतकात अविभाज्य संख्यांचा अभ्यास करताना Mn = 2n − 1 या सूत्राचा शोध लावला. (यात n ही एक स्वाभाविक संख्या आहे). सूत्रातून मिळालेल्या अविभाज्य संख्यांना मेर्सेने प्राइम असे म्हटले जाते. सुलभीकरणासाठी nच्या ऐवजी p व 2p च्या ऐवजी 2p या संज्ञा वापरल्या जात आहेत. Mn = 2p − 1 या सूत्रात p साठी एखादी संख्या निर्दिष्ट करत सर्वात मोठ्या अविभाज्य संख्यांचा शोध घेतला जातो. या सूत्राप्रमाणे इतर काही महत्वाची सूत्रे खालील प्रमाणे आहेतः
1 विल्सनच्या सिद्धांतावर आधारलेले सूत्र (1770) elements 2
2 डायफोंटिनचे सूत्र (1976)
3 मिल्सचे सूत्र (1947)
4 राइटचे सूत्र (1938)
5. अविभाज्य संख्यांचे फल सूत्र
6 प्लौफचे सूत्र (2019)
याच्याही व्यतिरिक्त बहुपदी व आवर्तनाचा वापर करूनही अविभाज्य संख्याची निर्मिती करता येऊ शकते.

आपण या सूत्रांच्या फार खोलात न शिरता मोठ-मोठ्या अविभाज्य संख्याच्या निर्मितीसाठी गेल्या 30-40 वर्षात फार मोठा वेग आला आहे. तरीसुद्धा “निर्विवादपणे हीच सर्वात मोठी अविभाज्य संख्या व यानंतर अजून एकही अविभाज्य संख्या असणार नाही” असे युक्लिडच्या विधानाला आव्हान देऊ शकणारी सिद्धता गणितज्ञांच्या आवाक्यात आली नाही हेही तितकेच खरे.

एखाद्याने दावा केलेली संख्या खरोखरच अविभाज्य आहे की नाही याची पडताळणी करण्यासाठी काही चाचण्या व अल्गॉरिदम्स आहेत. एखादी विषम संख्या अविभाज्य संख्या आहे की नाही हे शोधण्यासाठी trial division, (या चाचणीत संख्येचे गुणक शोधून संख्येची अविभाज्यता ठरविली जाते.) Miller–Rabin primality test, (हे अल्गॉरिदम फेर्माच्या सिद्धांतावरून घेतलेले आहे.) AKS primality test, Lehmer primality test इत्यादी प्रकारच्या चाचण्यांचा वापर केला जातो.

AKS primality test चाचणीचे जनक कानपुरच्या इंडियन इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नालॉजी येथील मनिंद्र अग्रवाल, नीरज कायल व नितिन सक्सेना हे संगणक वैज्ञानिक असून त्यांच्या या चाचणीला 2002 मध्ये मान्यता मिळाली. या पूर्वी 1919 मध्ये भारतीय गणितज्ञ रामानुजन यानीसुद्धा अविभाज्य संख्या संबंधी काही गृहितकांचा उल्लेख केला होता. त्याच्या या प्रयत्नाला गणिती जगतात रामानुजन प्राइम म्हणून ओळखले जाते. एखादी संख्या अविभाज्य आहे की नाही हे या संस्थळावर शोधता येईल.. उदाः, मोबाइल क्रमांक, आधार क्रमांक, पॅन क्रमांक, डेबिट/क्रेडिट क्रमांक, जन्म तारीखासारख्या महत्वाच्या तारिखा इत्यादी संख्यामधून फेरफार केलेली (व 9 आकड्यापेक्षा कमी असलेली) विषम संख्या, अविभाज्य संख्या आहे की नाही याचा शोध घेण्याचा एक मजेदार खेळ खेळता येईल.
elements
गणितीजगतात मेर्सेन प्राइमचा शोध घेणे हा एक छंद आहे. आजतागायत सापडलेल्या अविभाज्य संख्येपेक्षा अजून एका मोठ्या अविभाज्य संख्याचा शोध लावण्यासाठी हौशी अभ्यासक व गणितातील तज्ञमंडळी उत्सुक आहेत. एके काळी अशा अविभाज्य संख्येच्या शोधासाठी कागद-पेन्सिल वापरून आकडेमोड याला पर्याय नव्हता. संवाद सुविधाही बेताच्या होत्या. त्यामुळे एखाद्याने त्याच्या दृष्टिकोनातून मोठी अविभाज्य संख्या शोधली तरीही गणितीजगतात सर्वापर्यंत पोचण्यासाठी बराच काळ जात असे. यासाठी 20व्या शतकात संगणकांचा वापर करण्यात आला. परंतु त्या काळातील संगणकांतील प्रोसेसर व मेमरी यांच्या मर्यादित क्षमतेमुळे यासंबंधात फार मोठे यश मिळू शकले नाही. एकविसाव्या शतकात मात्र प्रगत संगणक तंत्रज्ञानामुळे याविषयी फार मोठी प्रगती झालेली आहे.

1996मध्ये जॉर्ज वोल्टमन या संगणक तज्ञाने जगातील सर्वात मोठ्या अविभाज्य संख्यांच्या शोधाला उत्तेजन देण्यासाठी Great Internet Mersenne Prime Search ( GIMPS ) या कंपनीची स्थापना केली. अविभाज्य संख्यांच्या संबंधीच्या प्रकल्पांना सर्व प्रकारे मदत करणारी कदाचित ही एकमेव संस्था असेल. जॉर्ज वोल्टमन यानी अविभाज्य संख्यासंबंधी Prime95 व MPrime असे संगणक प्रणाली लिहिलेली आहेत. स्कॉट कुरोस्की या संगणक तज्ञाच्या the PrimeNet व Internet server या प्रणालीच्या मदतीने जॉर्ज वोल्टमन यानी लहान-मोठ्या वेग-वेगळ्या प्रकारच्या संगणकांतील नंबर क्रंचिंगसाठी संगणक प्रणाली लिहून अविभाज्य संख्यांच्या संशोधकांना एक प्रगत सुविधा उपलब्ध करून दिली आहे.

खरे पाहता आजतागायत सापडलेल्या मोठ्या अविभाज्य संख्येपेक्षा अजून एका मोठ्या अविभाज्य संख्येचा शोध म्हणजे एका प्रकारे गवताच्या मोठ्या राशीत सुई शोधल्यासारखे आहे. तरीसुद्धा जागतिक दाखला स्थापित करण्यासाठी, गणिताच्या इतिहासात आपले नाव नमूद होण्यासाठी व इतर अन्य कारणाबरोबर संशोधनाचा थरार अनुभवण्यासाठी हजारो जण या संस्थेचे सदस्यत्व घेत आहेत. गणित जगतात एक नवीन इतिहास घडविण्याची या संशोधकांची महत्वाकांक्षा आहे. या संस्थेच्या अधिकृत सदस्यांना संस्थेच्या संगणक प्रणालींना विनामूल्य वापरण्यास अनुमती आहे. या संशोधनाच्या थराराबरोबरच ही संस्था आजतागायत माहित असलेल्या अविभाज्य संख्येपेक्षा अजून एक यापेक्षा मोठी अविभाज्य संख्या शोधणाऱ्यांना 3000 डॉलर्सचे बक्षीसही देत आहे. इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फौंडेशन या अजून एका संस्थेने 10 कोटी (100 मिलियन) अंक असलेल्या मेर्सेन अविभाज्य संख्याच्या संशोधकाला 150000 डॉलर्सचे बक्षीस देणार आहे.

युक्लिडच्या काळापासून आतापर्यंत शोध लावलेल्या मोठ - मोठ्या अविभाज्य संख्यांचा या तक्त्यात उल्लेख आहे. जॉन पेसने 26 डिसेंबर 2017 रोजी लावलेल्या शोधाचा क्रमांक 50वा आहे. या तक्त्यातील सर्व संख्यांची किमान एकदा तरी त्यांच्या विभाज्यतेची खात्री करून घेतलेली आहे. जाहीर केलेल्या या मोठ-मोठ्या अविभाज्य संख्यांच्या अधेमधे अजूनही एखादे अविभाज्य संख्या असण्याची शक्यता नाकारता येत नाही.

7 डिसेंबर 2018 रोजी पॅट्रिक लारोश यानी 51व्या क्रमांकावरील आजमितीपर्यत लावलेली सर्वात मोठी अविभाज्य संख्या आहे. त्यातील Mn (= 2p – 1) या सूत्राप्रमाणे p चे मूल्य 82589933 आहे. या अविभाज्य संख्येत 24,862,048 अंक आहेत. या संख्येची टेक्स्ट फाइल 25 Mb एवढी भरू शकेल. (सामान्यपणे पुस्तकाची टेक्स्ट फाइल 1-2 Mb असते.) एका ओळीत 75 आकडे व एका पानात 50 ओळी असे या संख्येतील अंक प्रिंट केल्यास 6629 पानं लागतील. पानाच्या एकाच बाजूला संगणकाच्या प्रिंटरवर प्रिंट केल्यास 14 रीम पेपर लागतील.

2016 साली शोधलेल्या मोठ्या अविभाज्य संख्यांच्या संबंधातील हा व्हिडीओ याविषयी भरपूर काही सांगत आहे.

आपणही या प्रकल्पात भाग घेऊ शकता. आणि आपण शोधलेल्या अविभाज्य संख्येत 10 कोटी (100 मिलियन) अंक असल्यास इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फौंडेशन संस्थेच्या 150000 डॉलर्सच्या बक्षीसावर दावाही करू शकता!

संदर्भ 1 2

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (1 vote)

प्रतिक्रिया

अत्यंत रोचक. नंबर थिअरी आवडता विषय आहे.
_____________
$१५०,००० ओह माय गॉड!!! लाइफ बन जायेगा Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी1
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Education is becoming a stick that some ppl use to beat other ppl into submission or becoming something that ppl feel arrogant about In reality, it is this great mechanism of connecting and equalizing - Tara Westover

"सर्वात मोठी अविभाज्य संख्या शोधण्यामध्ये त्याला जास्त रुची होती" "खरे पाहता सर्वात मोठ्या अविभाज्य संख्येचा शोध म्हणजे एका प्रकारे गवताच्या मोठ्या राशीत सुई शोधल्यासारखे आहे." "या संशोधनाच्या थराराबरोबरच ही संस्था सर्वात मोठी अविभाज्य संख्या शोधणाऱ्यांना 3000 डॉलर्सचे बक्षीसही देत आहे. "

अशा वाक्यांमूळे मांडणीमध्ये थोडा गोंधळ उत्पन्न होते आहे असे वाटते. ह्या वाक्यांमुळे असे सूचित होते की संख्यांच्या अनंतामध्ये अ) एक संख्या अशी आहे की ती १ आणि तीच संख्या ह्यांखेरीज दुसऱ्या कोणत्याहि संख्येने विभागली जात नाही (It is a prime number) आणि ब) अशा prime numbers मध्ये ती सर्वात मोठी संख्या आहे.

(ब) हे विधान युक्लिडच्या सिद्धान्ताच्या पूर्ण विरोधात आहे कारण prime numbers च्या मालिकेस अन्त नाही. विवेचनाला टोकदारपणा येण्यासाठी वर वर्णिलेले संशोधन हे आजतागायत माहीत असलेल्या सर्वात मोठ्या prime number च्या पलीकडील prime numbers शोधण्याच्या दिशेने केले जात आहे हे स्पष्ट होणे आवश्यक आहे आणि तशा शब्दरचनेची आवश्यकता आहे.

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सर्वात प्रथम लेख वाचल्याबद्दल, (प्रतिसाद दिल्याबद्दल) व दुरुस्त्या सुचविल्याबद्दल मी अत्यंत आभारी आहे. Extremely sorry for those mistakes. पहिल्या परिच्छेदातच एवढ्या गंभीर चुका असल्याबद्दल आपल्याला लेख वाचू नये असेही वाटले असेल.
आपण सुचविल्याप्रमाणे सुधारित लेख अपलोड करत आहे. (अजूनही चुका असण्याची शक्यता नाकारता येत नाही. कृपया सहन करावे.)
जाता जाता
बोलत असताना, लिहिताना अर्थाचा अनर्थ कसा होतो याचे एक मासलेवाईक उदाहरणः
आमच्या कॉलेजमध्ये पावसाळ्याच्या दिवसात फक्त दिलीप गमबूट घालून येत असे
ऐवजी
आमच्या कॉलेजमध्ये पावसाळ्याच्या दिवसात दिलीप फक्त गमबूट घालून येत असे.
सुज्ञास जास्त सांगणे न लगे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कोणतीही अविभाज्य संख्या घेतल्यास (अ) त्याच्यापेक्षा मोठी असणारी लगेचची (next) अविभाज्य संख्या शोधण्याचे सूत्र शोधत असतील. किंवा (ब)हीच ती आणि दुसरी कोणतीही नाही अशीही सिद्धता शोधल्यास बक्षिस ठेवले असेल. कारण त्यानंतर 'अनन्त संख्येतली माहीत असलेली सर्वात मोठी अविभाज्य संख्या' असे वाक्प्रचार संपतील. ७ आणि ३१ मध्ये ३१ हीच ७ नंतर लगेचच येणारी अविभाज्य संख्या आहे, दुसरी कोणतीही नाही हे सिद्ध करता यायला हवे.

खरं म्हणजे अशा काही गमतीदार गोष्टी सांगणारे वक्ते हवे आहेत गणेशोत्सव ,वसंत व्याख्यानमाला इत्यादी उपक्रमांत मुलांच्यासाठी.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

धन्यवाद.

खरं म्हणजे अशा काही गमतीदार गोष्टी सांगणारे वक्ते हवे आहेत गणेशोत्सव ,वसंत व्याख्यानमाला इत्यादी उपक्रमांत मुलांच्यासाठी.

अशा प्रकारच्या मेंदूला चालना देणारे आशय मुलांच्यापर्यंत पोचविणे अत्यंत गरजेचे आहे हे मान्य करत असताना सुजाण वयस्कर वाचक तरी असले लेख वाचतात की नाही याबद्दल मला शंका वाटते. (ताजे उदाहरण - ओरिगामीवरील कागद अभियांत्रिकी वा डिझायनर्स बेबी या लेखांना मिळालेला अत्यल्प/शून्य प्रतिसाद.)

काहीवेळा माझे अशा प्रकारचे लेख दुर्बोध आहेत की काय असे वाटते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तसं नाही. दुर्बोध नाही. पण इथे ऐसीवर येऊन कोण बाळगोपाळ येऊन वाचणार?
ज्या वयात उत्सुकता/कुतुहल भयानक असते तेव्हा हे ऐकले गेले पाहिजे. पण सगळे लागलेत मार्कांच्या मागे!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ताजे उदाहरण - ओरिगामीवरील कागद अभियांत्रिकी वा डिझायनर्स बेबी या लेखांना मिळालेला अत्यल्प/शून्य प्रतिसाद.

ऐसीवरचे लेख आता सोशल मीडियावरूनही शेअर होतात. तिथे वाचणारे लोक प्रतिसाद देत नाहीत, पण लेख शेअर वगैरे करतात. वाचनं किती झाली त्यावरून अंदाज येतो. उदा. डिझायनर बेबीजना ७००+ वाचनं मिळालेली आहेत - एकही प्रतिसाद नसताना. कागद अभियांत्रिकी गेल्या महिन्याभरातला ऐसीच्या फेसबुक पानावरचा सर्वात लोकप्रिय लेख आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

नवीन तरुण पिढी हे असे लेखन वाचते का फेसबुकातून कसं कळेल?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

फेसबुकाला आपली वयं, आपण कुठे राहतो वगैरे सगळं माहीत आहे. फेसबुकवरून हे लेख कोणी वाचले हेही शोधता येतं. दोन आणि दोन मिळवणं कठीण नाही.

मात्र फेसबुक ही माहिती आपल्याला सहज उपलब्ध करून देईल का? माहीत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

फेसबुकातून मुलं वाचत असतील तर चांगलंच आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सुंदर लेख. आवडला.

मी गणितात एम.एस्सी झालेलो असलो तरी मी आहे एक हत्ती.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उत्कृष्ट. तुमचे लेख नेहमीच रोचक विषयांवर असतात.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

'अविभाज्य संख्यां'ना (हिंदीत) 'अटूट अंक' म्हणता येईल काय?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

आणि मराठीत "अभंगांक"..?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक1
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0