"पाय"ची प्रायोगिक किंमत : वेगळाच पैलू

नुकत्याच एका चर्चाविषयात "पाय"ची किंमत प्रत्यक्ष मोजमापांनी काढून अंदाजांची सरासरी करण्याबाबत चर्चा झाली. (दुवा)

येथे चर्चाविषयाचा मुद्दा वेगळाच आहे. या चर्चेपुरते असे मान्य केलेले आहे, की काळजीपूर्वक विचार करून अशा प्रकारचा प्रयोग करता येईल, जेणेकरून अंदाजांची सरासरी ठीक-ठाक येईल, आणि वर्तुळाचा परिघ/व्यास ही किंमत मिळेल.

कुठल्याही वर्तुळाचा परिघ/व्यास ही संख्या अचल (कॉन्स्टंट) असते, ही एक सैद्धांतिक बाब आहे. यूक्लिडच्या भूमितीत काही गृहीतके आहेत - विशेषतः सिमेट्रीबाबत. त्यातील एक गृहीतक कित्येक शतके लोकांना पचायचा जड जात आहे. (एक सरळ रेषा घेतली, आणि त्या रेषेवर नसलेला एक बिंदू घेतला, तर आपल्या गृहीतरेषेला समांतर, आणि गृहीतबिंदूतून जाणारी एक आणि एकच अन्य रेषा असते.) हे गृहीतक "स्वयंसिद्ध" मानण्याकरिता एका विशिष्ट प्रकारची (फोल्डिंग) सिमेट्री आपल्याला मान्य असणे आवश्यक आहे.

ही सिमेट्री, आणि हे समांतर गृहीतक मानण्यातून बरेच पुढचे सिद्धांत मिळतात. न-मानल्यास वेगळे कुठले सिद्धांत मिळतात. उदाहरणार्थ (अनेक मधल्या पायर्‍या चढल्या तर) त्रिकोणातील कोनांची बेरीज "पाय" रेडियन मिळते. सामांतर्य-गृहीतक न-मानल्यास त्रिकोणातील कोनांची बेरीज(वेगवेगळ्या भूमिति-शाखांत) एक तर अपरिहार्यपणे >पाय इतकी येते, किंवा अपरिहार्यपणे <पाय इतकी येते. आणि अर्थातच त्यावरून "र" त्रिज्येच्या वर्तुळाचे परिघ एक तर <२*पाय*र असे येते, किंवा >२*पाय*र असे येते. (येथे "पाय" ही शुद्ध गणिती संख्या मानलेली आहे. वर्तुळाचे मोजमाप न-करता या संख्येची व्याख्या गणितातून मिळते. अशामुळे तार्किक इतरेतराश्रय - सर्क्युलर डेफिनिशन - हा दोष येत नाही.) बिगरयुक्लिडीय शाखांमध्ये परिघ/व्यास ही संख्या अचल नसते. वर्तुळाचा व्यास जितका मोठा होत जातो, तसा हा भागाकार बदलत जातो.

प्रत्यक्षात मोजमाप-करण्यासारखे आपले भौतिक विश्व कुठल्या प्रकारच्या भूमितिशाखेशी जुळते? कारण सामांतर्य-गृहीतक मानणार्‍या आणि न-मानणार्‍या सर्व शाखा स्वतःहून तर्कशुद्ध आहेत. कोणी म्हणेल, हे तर सोपे आहे. एखादा त्रिकोण घ्या, त्यातील कोनांचि बेरीज करा. <=> पाय ते बघा. झाले! किंवा "र" त्रिज्येचे वर्तुळ घ्या. त्याचा परिघ मोजा. <=> २*पाय*र काय ते बघा. झाले! (दोन्ही प्रयोग सैद्धांतिकदृष्ट्या तुल्य आहेत.)

मजा अशी, की ज्या प्रमाणात आपण मोजमाप-प्रयोग करू शकतो, त्या प्रमाणात कितीका प्रयोग केले, तरी खात्री वाटण्याइतके नेमके (अ‍ॅक्युरेट) उत्तर मिळेना. कारण व्यास "लहान" असला, तर परिघ/व्यास हा भागाकार "पाय"च्या जवळ येणार, हे त्या वेगळ्या भूमितिशाखांमधले सुद्धा गणित आहे. त्याहुनही प्रचंड (म्हणजे ग्रहतार्यांच्या अंतरापेक्षा प्रचंड) मोठे मोजमाप केले तरच कदाचित वेगवेगळ्या भूमिति-शाखांच्या भाकितांत फरक करता आला असता.

आइन्स्टाईनच्या सापेक्षतावादाच्या थियरीनंतरच कुठे असा कुठला प्रयोग कल्पिणे शक्य झाले, जेणेकरून मोजमापावरून विविध शाखांमध्ये फरक करता येऊ शकतो. अर्थात यापुढची कथा सर्वांना ठाऊकच आहे. आपले विश्व मोजमाप करता युक्लिडियन भूमितिशाखेच्या विपरित असल्याचे दिसते.

अतिशय सूक्ष्म प्रयोग करता आले, आणि त्यांची सरासरी एकीकडे कललेली नाही, अशी काळजी घेणारे आकडेशास्त्र वापरता आले, तर आपल्याला मोजमापात दिसेल, की परिघ/व्यास < गणिती-सैद्धांतिक-पाय.

अर्थात असा सूक्ष्म-प्रामादिक प्रयोग फक्त खगोलशास्त्रीय मोजमापांतच होऊ शकतो.