'42’ ची अशीही गोष्ट
'42’ ची अशीही गोष्ट हे शीर्षक वाचल्यानंतर अनेकांच्या मनात वेगवेगळ्या प्रतिक्रिया उमटतील, याची पूर्ण कल्पना आहे. काहींना 1942च्या स्वातंत्र्य लढ्याची आठवण येईल; काहींना दुसऱ्या महायुद्धाच्या काळातील 1942 साली घडलेल्या घटना आठवू लागतील; काहींना ‘समर ऑफ फॉर्टी टू’ या इंग्रजी चित्रपटाची आठवण येईल; काहींना ‘नायंटीन फॉर्टी टू लव्ह स्टोरी’ या हिंदी चित्रपटाची आठवण ताजी करेल; तर काहींना हॅरिसन फोर्डच्या बेसबॉलवरील ‘42’ या चित्रपटाची आठवण येईल. परंतु ही गोष्ट आहे 42 या संख्येबद्दलची व या संख्येच्या करामतीची.
गणिताचे छंद जोपासणाऱ्यांना काही संख्या नेहमीच बुचकळ्यात टाकतात. त्यापैकी 42 हीसुद्धा अशीच एक चमत्कारिक संख्या आहे. गोष्टीसाठी हीच संख्या का निवडली या प्रश्नाला उत्तर नसले तरी 42 बद्दलच्या गणितीय दृष्टिकोनाबरोबर त्याच्याशी जोडलेल्या इतर गोष्टीही तितक्याच मनोरंजक आहेत याबद्दल दुमत नसावे.
गूगलच्या सर्च इंजिनवर 42 ही संख्या टाइप केल्यास त्यासंबंधी 100 कोटीहून अधिक नोंदी सापडतील. विकिपिडियाची पानं उलगडल्यास 42 या संख्येबद्दल मोठ्या प्रमाणात माहिती त्यात असेल. गणित, विज्ञान, तंत्रज्ञान, खगोलशास्त्र, धर्म इत्यादींच्या बरोबरच ‘अलाइस इन वंडरलँड’चे लेखक, लुइस कॅरोलच्या पुस्तकात, डोग्लास अॅडम्सच्या ‘हिचहायकर्स टु द गॅलक्सी’ या वैज्ञानिक कादंबरीत 42 या संख्येचा कशा खुबीने वापर करून घेतला आहे याचे उल्लेख सापडतील. त्याचप्रमाणे संगीत, आर्थिक व्यवहार, टीव्ही मालिका, चित्रपट, व्हिडिओ गेम्स, क्रीडा प्रकार, वास्तुशास्त्र, कार्टून पुस्तकं इत्यादींच्यात 42 या संख्येचा वापर कशा प्रकारे करण्यात आला आहे, याची मनोरंजनात्मक माहिती वाचावयास मिळेल.
डोग्लास अॅडम्सच्या ‘हिचहायकर्स टु द गॅलक्सी’ या पाच पुस्तकांच्या मालिकेतील पाचव्या पुस्तकाच्या शेवटी-शेवटी डीप थॉट या सुपरसंगणकाला ‘जगातील अत्यंत महत्वाच्या प्रश्नाचे उत्तर काय असेल?’ असे विचारल्यावर संगणकाच्या स्क्रीनवर फक्त 42 ही संख्या झळकते. या उत्तरामुळे कादंबरीतीलं पात्रेच नव्हे तर वाचकही नक्कीच बुचकळ्यात पडले असावेत. 42चे हे गौडबंगाल आहे तरी काय याबद्दलची उत्सुकता नक्कीच शिगेला पोचली असेल.
खरे पाहता वाचक नेहमीच कुठल्याही गोष्टीमागील, घटनेमागील रहस्य जाणून घेण्यात व/वा गूढ उकलण्यात सदैव उत्सुक असतो. म्हणूनच मुद्रणाच्या शोधापासूनच्या काळापासून आतापर्यंत रहस्यकथांना (व रहस्यकथालेखकांना) भरपूर मागणी आहे. इतर कुठल्याही साहित्यप्रकारापेक्षा गूढकथा-हेरकथा कादंबरीचे दालन अत्यंत समृद्ध आहे. त्यातही टीव्ही व चित्रपटामुळे गूढकथा-पत्तेदारी कादंबऱ्या लाखोनी, नव्हे करोडोनी, खपत असावेत. या स्मार्ट फोनच्या बहुविध करमणुकीच्या काळातसुद्धा गूढतेची जादू किंचितशीसुद्धा कमी झालेली नाही.
त्यामुळेच डीप थॉट या (काल्पनिक) महासंगणकाकडून मिळालेल्या जगातील अत्यंत महत्वाच्या प्रश्नाचे उत्तर 42 ही संख्या नक्कीच कुणालाही धक्कादायक ठरू शकेल. डीप थॉटला हे उत्तर शोधण्यासाठी 75 लाख वर्ष लागली म्हणे. त्या कादंबरीतील इतर कॅरेक्टर्सना हे उत्तर नक्कीच पटलेले नसावे. कारण या उत्तरातून काही बोध होत नसावे. मुळात या प्रश्नातच काहीतरी गोलमाल आहे असे डीप थॉटला वाटत असावे. संगणकाला हा प्रश्न गार्बल्ड वा चुकीचा वाटत असावा. कदाचित 42 या उत्तराला शोभेल अशा प्रश्नाची पुनर्मांडणी करण्यास या संगणकाला अजून एका नव्या संगणकाची रचना करावी लागेल व त्यासाठी भरपूर वेळ खर्ची घालावे लागतील. कदाचित हे नवे संगणक दुसरे-तिसरे काही नसून पृथ्वी हेच एक संगणक असू शकेल. यानंतर नेमके काय होते हे समजून घेण्यासाठी डोग्लास अॅडम्सची पुस्तकं मुळापासून वाचायला हवीत.
डोग्लास अॅडम्सची ही पुस्तकं वाचून प्रेरित झालेले अनेक उत्साही छंदोपासक 42 या संख्याभोवतीचे गूढ उकलणे हा छंद जोपासून आहेत. हा छंद जोपासणाऱ्यांची संख्याही झपाट्याने वाढत आहे. मुळात या छंदाची सुरुवात गप्पा-टप्पाच्या ओघात, हास्यचुटकीवरून वा एखाद्या तिरकस विधानावरून झाली असावी. उदाहरणार्थ, प्रश्नाची पुनर्मांडणी करत ‘सगळ्याच गोष्टींचे उत्तर काय?’ असे गूगलवर (इंग्रजीत) टंकित केल्यावर बहुतेक वेळा 42 असेच उत्तर आले असावे. फ्रेच-जर्मन-स्पॅनिश अशा इतर युरोपियन भाषेतून विचारल्यावरसुद्धा गूगलवर हेच उत्तर आल्यामुळे आश्चर्यचकित झालेल्यांची संख्या कमी नसावी. तसेच गूगलच नव्हे तर क्वाँट, उल्फ्रॅम अल्फा वा चॅटबॉटसारख्या सर्च इंजिनवर प्रश्न विचारल्यावरही हेच उत्तर आल्यामुळे प्रश्न विचारणारे अचंबित झाले असतील. (कदाचित भारतीय भाषेपर्यंत हे लोण अजूनही पोचले नसेल.)
या 42च्या छंदाची सुरुवात 2013मध्ये फ्रान्स येथील एका खाजगी प्रशिक्षण केंद्रातून झाली. त्याचे नाव ‘फॉर्टीटू नेटवर्क’ असे ठेवण्यात आले. अॅडम्सच्या पुस्तकवाचकांनीच (किंवा ‘42’ चित्रपट पाहून आलेल्यापैकी कुणीतरी) हे नाव ठेवले असावे. आज या नेटवर्कचे जगभर सुमारे 15 तरी प्रमुख केद्र असावेत.
42 या संख्येभावती अनेक आख्यायिका व काही मजेशीर गोष्टी वाचावयास मिळतील. उदाहरणार्थ,
डोग्लास अॅडम्सच्या पुस्तकात उल्लेख असलेल्या 42 या संख्येच्या मागे लेखकाचे वैशिष्ट्यपूर्ण अशी एखादी गोष्ट असावी असे वाटण्याचा संभव आहे. परंतु त्यांच्या बरोबरच्या ऑनलाइन चर्चेत त्यांना हा प्रश्न विचारल्यानंतर अगदी थोडक्यात त्यानी दिलेले उत्तर असे होतेः हा एक जोक होता. मला एक साधी, सरळ, सोपी व लहान अशी संख्या हवी होती. त्यावेळी सुचलेली ही संख्या आहे. त्यात 2 आधारांकाची (बेसची) बायनरी वा 10 बेस असलेली दशमान पद्धतीतील वा 13 आधारांक (बेस) असलेल्या पद्धतीतील संख्या असे काहीही नाही. तिबेटच्या राजांची संख्या याला काही अर्थ नाही. मी डेस्कसमोर बसलो. खिडकीतून बाहेर बघत होतो. व 42 ही संख्या सुचली व मी टाइप करत गेलो. एवढाच त्यामागील इतिहास. बस्स...
दशमान पद्धतीत 10 ही जशी आधारांक (बेस) असते, तसे बायनरीत 2 ही बेस असते. या बायनरी पद्धतीत 42 ही संख्या 101010 असे लिहिले जाते. बायनरीमध्ये लक्षात ठेवायला सोपी असलेल्या 42चे छंद असलेल्यांनी 10 ऑक्टोबर 2010 रोजी जंगी पार्टीचे आयोजन केले. अॅडम्सने उल्लेख केलेल्या 13 बेस असलेली संख्या अप्रत्यक्षपणे 42चे प्रतिनिधित्व करते. यासाठी 6 गुणिले 9चे उत्तर काय हा प्रश्न विचारावा लागेल. प्रश्न गोंधळून टाकणारा असला तरी 6 x 9 = 54 हे उत्तर 13 बेस असलेल्या पद्धतीत लिहिल्यास ते 42 (4x13)+2 = 54) म्हणून लिहावे लागेल.
गणितज्ञांच्या 42बद्दलच्या अशा काही उदाहरणाहून प्रेरित होऊन संगणक तज्ञंसुद्धा आपणही मागे नाही हे सिद्ध करण्यासाठी प्रयत्न करत आहेत. त्यामुळे गणितविश्वात 42 या संख्येला एक वेगळे वैशिष्ट्य प्राप्त झाले आहे. तरीसुद्धा गणिताच्या दृष्टिकोनातून या संख्येकडे बघितल्यास अजूनही अनेक गंमतीशीर गोष्टी कळू लागतील.
युजिन चार्ल्स कॅटलान (1814–1894) या फ्रेंच-बेल्जियन गणितज्ञाने c(n) ही संख्या कंसाच्या जोड्यासारखे n प्रकारे लिहिता येते, यावरून एका सूत्राचा शोध केला. कंस हे नेहमीच जोड्यानेच येतात. जितके कंस उघडल्या जातात तेवढ्याच बंद कराव्या लागतात. उदाहरणार्थ, c(3) = 5 प्रकारे लिहिता येऊ शकतेः
( ( ( ) ) ); ( ) ( ) ( ); ( ( ) ) ( ); ( ( ) ( ) ); ( ) ( ( ) )
या श्रेणीतील (sequence) nth पद शोधण्यासाठी c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)!) या सूत्राचा वापर केला जातो.
convex बहुभुजाकृतीच्या (ज्या बहुभुजाकृतीच्या आतील कोन 180 अंशापेक्षा कमी अंशाचा असू शकतो त्या आकृतीच्या) शिरोबिंदूना सरळरेषेंनी जोडून किती त्रिकोनांची रचना करता येते याचा शोध घेत असताना कॅटलान संख्यांचे वैशिष्ट्य लिओनार्ड ऑयलर या स्विस गणितज्ञाच्या लक्षात आले.
काही सुरुवातीच्या अरिथमॅटिक संख्याः 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13,14,15,17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54… इ.इ
उदाः 12 चे विभाजक 1 , 2 , 3 , 4, 6 आहेत व या विभाजकांची मांडणी अशी करता येईलः 12 = 1 + 2 + 3 - 4 + 6;. त्याचप्रमाणे 42 चे विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 आहेत व या विभाजकांची मांडणी अशी करता येईलः 42= 1+2+3-6+7+14+21
काही सुरुवातीच्या admirable संख्याः 12, 20, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, … इ.इ
17 10 15
12 14 16
13 18 11
हे सर्व गंमतीशीर असले तरी 42 ही संख्या सैद्धांतिक गणितीय अभ्यासकांच्या दृष्टीने फार महत्वाचे नाही असेच वाटत असावे. इतर कुठल्याही संख्येप्रमाणे 42सुद्धा एका आकड्यांची करामत असेल असेही वाटले असेल.
काही संगणकतज्ञांना व गणितज्ञांना मात्र 42बद्दल जबरदस्त आकर्षण वाटत असावे. कारण अलीकडेच 3 घातांक असलेल्या 3 संख्यांची बेरीज करताना अचानकपणे 42 ही संख्या सापडली. व या अभ्यासकांना 100च्या आतील संख्यामध्ये 42 ही संख्या जास्त ‘त्रासदायक’ आहे असे वाटू लागले.
3 घातांक असलेल्या n = a3 + b3 + c3 या सूत्रात n पूर्णांक असून या n साठी a, b, c या संख्या कोणत्या असतील हा अभ्यासकांच्या समोरचा प्रश्न होता. घातांक 3 असलेले 3 संख्यांच्या गटामध्ये एखादी संख्या ऋण संख्या असू शकेल. 2 घातांक असलेल्या संख्यांच्या बेरजेच्या संख्यांपेक्षा 3 घातांक असलेल्या संख्यांची बेरीज असलेल्या संख्या जास्त प्रमाणात असतील. तुलनेने 2 घातांक असलेल्या 2 संख्यांच्या बेरजेत भरपूर मर्यादा आहेत.
2007 साली 156 या संख्येसाठी 156 = (26,577,110,807,569)3 + (−18,161,093,358,005)3 + (−23,381,515,025,762)3या संख्यांचा शोध लागला. यावरून अशा संख्या शोधणे अत्यत जिकिरीचे वाटत आहे.
उदाः n = 1 साठी 13 + 13 + (–1)3 = 1 असे लिहिता येईल.
किंवा 93 + (–6)3 + (–8)3 = 729 + (–216) + (–512) = 1 असेही लिहिता येईल.
याचाच अर्थ एखाद्या nसाठी अनेक प्रकारच्या तीन संख्या असलेले गट शोधता येतील.
1936 साली कुर्ट माल्हेर या जर्मनीच्या गणितज्ञांने कुठल्याही p या संख्येतून 1 साठी या सूत्राचा शोध लावलाः (9p4)3 + (3p – 9p4)3 + (1 – 9p3)3 = 1
त्याचप्रमाणे 2 साठी 1908मध्ये ए एस वेरेब्रुसोव्ह यानी या सूत्राचा वापर केलाः
(6p3 + 1)3 + (1 – 6p3)3 + (–6p2)3 = 2
यावरून 2च्या कुठल्याही 2 व 3 घातांक असलेल्या संख्येचा शोध घेऊ शकतो. उदाः 16 या 2च्या 3 घातांकाच्या दुप्पट असलेली संख्या p = 1च्या सूत्रावरून 143 + (–10)3 + (–12)3 = 16 मांडता येईल.
2019मध्ये 3 या संख्येची मांडणी 13 + 13 + 13 = 3; 43 + 43 + (–5)3 = 3 अशा प्रकारे करण्यात आली.
या प्रकारच्या संख्यांच्या शोधासाठी गणितज्ञ संगणकांची मदत घेऊ लागले. 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 ... या संख्येसाठी 3 घातांक असलेले गट शोधू लागले. 2000 साली हार्वर्ड विद्यापीठाचे नोम एल्कीस यानी यासंबंधी एक पद्धत शोधली होती. त्याचाच वापर करून जर्मनीचे Andreas-Stephan Elsenhans व Jörg Jahnel गणितज्ञ 1 ते 1000 यामधील संख्यांसाठी 3 घातांक असलेल्या (परंतु 1014 पेक्षा कमी असलेले) 3 संख्यांचा गट शोधू लागले. त्यांच्या मते 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975 या संख्याच फक्त या सूत्रात बसतात. 100 पेक्षा कमी असलेल्यात फक्त 33, 42, 74 या तीन संख्या आहेत.
2016मध्ये सँडर ह्युइसमन या नेदरलँड्सच्या गणितज्ञांने 74 साठी खालील प्रकारे मांडणी केलीः
(–284,650,292,555,885)3 + (66,229,832,190,556)3 + (283,450,105,697,727)3
2019मध्ये ब्रिस्टॉल विद्यापीठाचे अँड्र्यू बुकर यानी 33 साठी 8,866,128,975,287,528)3 + (–8,778,405,442,862,239)3 + (–2,736,111,468,807,040)3 या संख्या शोधल्या.
2020मध्ये बुकर व एम आय टीचे अँड्र्यू सुदरलँड यांनी मिळून 42ची मांडणी
42 = (–80,538,738,812,075,974)3 + (80,435,758,145,817,515)3 + (12,602,123,297,335,631)3 अशा प्रकारे केली.
165, 795 व 906 साठी अलिकडेच 3 घातांक असलेल्या संख्यांचे गट शोधण्यात गणितज्ञ यशस्वी झाले आहेत. व 1000 खालील 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 व 975 या संख्यांसाठी शोधकार्य चालू आहे.
डोग्लास अॅडम्सची 42 ही संख्या खरोखरच एकमेवाद्वितिय असल्यास अशा प्रकारे मांडणी करता आली नसती. तरीसुद्धा या संख्येभोवती अजूनही रहस्य वलय आहे असे म्हणण्यास भरपूर वाव आहे.