गणितज्ञांच्या इतिहासातील (काही) सोनेरी पाने...5

गणिताच्या अचूकतेचा अंत (व संगणकीय प्रणालीचा उदय)

We must know. We will know.
David Hilbert

19व्या शतकाच्या उत्तरार्धात मानवी ज्ञान संकलनात फार मोठ्या प्रमाणात घडामोडी घडत होत्या. एका प्रकारे ते एक वादळच होते. औद्योगिक क्रांतीने पाश्चिमात्य देशातील समाजाची जीवन शैलीच पूर्णपणे बदलून टाकली होती. विज्ञान व तंत्रज्ञानातूनच विकास होत राहील व त्यांना दुसरा कुठलाही पर्याय नाही असेच त्याकाळच्या समाजाला वाटू लागले. या झंझावातातसुद्धा गणित मात्र आपले स्वत्व टिकवून होते व ते जास्तीत जास्त अचूक कसे राहील यावर भर दिले जात होते. परंतु या शतकाच्या शेवटच्या दशकात मात्र गणितज्ञांनाच आपल्या या शास्त्राच्या अचूकतेविषयी शंका वाटू लागली. अनेकांना विज्ञानातील संकल्पना – विशेष करून अनंतता (infinity) ही संकल्पना – गणिताच्या सिद्धांतात आणण्यावर भर का देऊ नये असे वाटू लागले. खरे पाहता गणिताच्या विश्वासार्हतेबद्दल संशय व्यक्त करणारा हा विषय अनेक वेळा गणिताच्या व तत्वज्ञाच्या अभ्यासकांच्या चर्चेत आलेला विषय होता. एक मृत पावलेला, चावून चावून चोथा झालेला तो विषय होता.

1874 साली संच (सेट) सिद्धांताचा जनक, जीऑर्ग कँटॉर (1845 - 1918) या जर्मन गणितज्ञाने या मृत पावलेल्या राक्षसाला पुन्हा एकदा जागे केले. गणितातील काही विरोधाभासामुळे (paradox) त्याच्या मनात संशयाचे भूत संचारले. गणितातील काही मूलभूत समस्यामुळे गणित हे पूर्णपणे अचूक नाही; काही प्रसंगात हे का ते असा प्रश्न उद्भवू शकतो, असे त्याला राहून राहून वाटत होते. याचीच ‘री’ ओढणाऱ्यात कुर्ट गोडेल व अ‍ॅलन ट्युरिंग हे दोन गणितज्ञ आघाडीवर होते.

याच्याही अगोदर काही वर्षापूर्वी गणितज्ञांत दोन तट पडले होते. त्यापैकी एक तट डेव्हिड हिल्बर्टच्या (1862- 1943) नेतृत्वाखाली थोडासा वेळ दिल्यास गणित सर्व काही साध्य करू शकते असे गणितावर विश्वास दर्शविणारे विधान करणाऱ्यांचे होते. हिल्बर्ट हा त्याकाळचा अत्यंत प्रतिभाशाली व नावाजलेला गणितज्ञ होता. “We must know. We will know.” हे त्याचे सुप्रसिद्ध विधान त्याकाळी गणितजगातील सर्वांच्या तोंडी होते. गणितातील विरोधाभास व त्यातील काही चुकीच्या गोष्टी निपटून काढून गणिताच्या परिशुद्धतेची जपणूक करण्यासाठी त्यातील स्वयंसिद्धकांची (axioms) पुनर्व्याख्या करावी यावर हा गट लक्ष केंद्रित करू लागला.

कुर्ट गोडेल

त्यांच्या या अभियानाला हिल्बर्ट प्रकल्प असे नाव दिले गेले. या प्रकल्पातील चर्चेतून योग्य प्रकारात व्याख्या असलेल्या स्वयंसिद्धकांचे तीन महत्वाचे गुणधर्म आहेत, असे निष्कर्ष काढण्यात आले. एक, त्यांच्यात सुसंगती असल्यामुळे एकदा बरोबर व नंतर चूक अशा प्रकारच्या विरोधाभासाला त्यांच्यात वाव नसणार; दोन, त्या सांत (finite) असल्यामुळे त्यांची सिद्धता तार्किकरित्या व अल्गॉरिदम्स वापरून अगदी दोन्ही टोकापर्यंत जाऊन दाखविता येते; व तीन, त्यांच्यातील प्रत्येक विधानातून बरोबर की चूक हे निर्दिष्टपणे सूचित करता येत असल्यामुळे त्या स्वयंपूर्ण असणार. सुसंगती, संपूर्णता, निर्णय प्रक्रिया (consistency, completeness, decision process) या गटाचे कळीचे प्रश्न होते. त्या काळच्या अनेक अभ्यासकांना या शंकांचे निरसन कधीच होणार नाही असेच वाटले असेल. कदाचित तिची उत्तरे तर्कशास्त्राच्या अपूर्णतेच्या क्षेत्रात असू शकतील.

या साऱ्याने गणितविश्व ढवळून निघाले. या प्रकारच्या बौद्धिक वादानंतर 1930 साली हिल्बर्टचे जन्मस्थान असलेल्या कोनिस्बर्ग येथे गणिती काँग्रेसचे आयोजन करण्यात आले. दोन्ही तटातील वादांच्या मुद्यावर चर्चा करून प्रकल्पाच्या निष्कर्षाबद्दल सहमत घडवून आणणे हा या काँग्रेसचा उद्देश होता. शेवटच्या सत्रात सर्व वरिष्ठ गणितज्ञांची करडी नजर रोखलेली असताना 25 वर्षाच्या तरूण कुर्ट गोडेलने (1906 –1978) हात वर करून कुठलीही प्रणाली एकाच वेळी सुसंगत, परिवर्ती व स्वयंपूर्ण असू शकत नसल्यामुळे हिल्बर्ट प्रकल्प पूर्ण होणे अशक्य आहे, हे त्यानी सिद्ध करून दाखविले.

वर्षभरात कुर्ट गोडेलचा On Formally Un-decidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems हा शोध निबंध प्रकाशित झाला. यात त्यानी अपूर्ण (व/वा अनिर्णीत) सिद्धांताविषयी गुंतागुंतीची असली तरी तर्कशुद्ध अशी मांडणी केली होती. अशा प्रकारे हिल्बर्टच्या प्रकल्पाचा अंत झाला. विरोधाभासरहित अशी निश्चित प्रणालीची रचना करण्याचे कितीही प्रयत्न केले तरी त्यातील काही विधानं बरोबर की चूक हे सिद्ध करण्याच्या पलीकडच्या असतात अशी त्याची मांडणी होती. गोडेलचा हा सिद्धहेतू (proof) गणिताच्या इतिहासातील निर्णायक टप्पा असा समजला जातो. (youtube : https://www.youtube.com/watch?v=YrKLy4VN-7k)

गोडेलचाच हा वारसा अॅलन ट्युरिंग (1912 –1954) या ब्रिटिश गणितज्ञाने पुढे चालविला. जरी हा गणितज्ञ दुसऱ्या महायुद्धाच्या काळी शत्रुपक्षाचे गुप्त संदेश उलगडून मित्रपक्षाला निर्णायक विजय मिळवून मदत करणाऱ्या एनिमा (Enigma) मशीनचा जनक म्हणून ओळखला जात असला तरी त्या पूर्वी, 1937 च्या सुमारास, त्यानी लिहिलेल्या शोधनिबंधामुळे गणितातच नव्हे, तर संपूर्ण समाजातच मोठ्या प्रमाणात बदल झाला. गोडेलचीच तर्कपद्धती वापरून अॅचलन ट्युरिंगने त्या शोधनिबंधात निर्णय समस्याबद्दल (“decision problem”) काही मूलभूत मांडणी केली होती. त्याच्या मते कुठल्याही प्रणालीत काही सुनिश्चित क्रमाने गेले तरी यदृच्छ वा निर्दिष्ट समस्येचे उत्तर सापडेलच याची खात्री देता येत नाही. गोडेलच्या अनेक समस्यांना नेमके उत्तर मिळत नाही या विधानाला जोडून अशा समस्या कोणते आहेत याचाही अंदाज घेत येत नाही, असे ट्युरिंगने त्यात भर घातली. त्याच्या या विधानाच्या पुष्ट्यर्थ त्यानी यासाठी एक क्रांतीकारक अशा विचारप्रयोगाच्या कल्पनेची मांडणी केली.

अॅलन ट्युरिंग

त्यानी एका काल्पनिक मशीनची रचना केली. त्याला युनिव्हर्सल मशीन असे नामकरण केले. (youtube: https://www.youtube.com/watch?v=gJQTFhkhwPA) ही सुलभ यंत्रणा बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार - भागाकार सारख्या गणिती प्रक्रिया पाहिजे तितक्या वेळा ती अचूकपणे करू शकते. यात एका बाजूला कधीच न संपणारी लांब लचक टेप असलेली तबकडी व दुसऱ्या बाजूला मशीनमधून बाहेर पडणाऱ्या टेपला गुंडाळून ठेवणारी दुसरी तबकडी जोडलेली असते व या टेपवर चौरसाच्या आकृत्या असतात व त्या चौरसावर खुणा असतात. वरच्या बाजूला त्या टेपवरील खुणा ओळखणारे व त्यात सुधारणा करून ती खूण बदलू शकणारे एक हेड असते. खालच्या बॉक्समध्ये टेपला उजवीकडे किंवा डावीकडे सरकवणाऱ्या तरफा जोडलेल्या आहेत. व त्यात मशीनला सूचना देणारी प्रोग्रामसदृश एक यंत्रणा असते. ही यंत्रणा बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार....व अशाच प्रकारच्या पुन्ह-पुन्हा कराव्या लागणाऱ्या गणितीय पद्धती करू शकत होती. मग त्या कितीही गुंतागुंतीच्या असल्या तरीसुद्धा!

ट्युरिंगची ही अमूर्त कल्पना आज जरी अगदीच क्षुल्लक वाटत असली तरी जगभरातील संगणक व स्मार्टफोन्स ट्युरिंग मशीनचे वास्तवातील दृश्य स्वरूप आहेत, असे म्हणता येईल. गोडेल व ट्युरिंगच्या गणितातील मर्यादा स्पष्ट करणाऱ्या अफाट कल्पनेमुळे आधुनिक मशीन्सचे युग अवतरले व मानवी ज्ञानच मर्यादा ओलांडून भरारी घेऊ लागली, असे नक्कीच म्हणता येईल.

क्रमशः

...सोनेरी पाने...1
...सोनेरी पाने...2
...सोनेरी पाने...3
...सोनेरी पाने...4