सध्या स्कॉटलंडने ग्रेट ब्रिटनपासून फारकत घ्यावी काय ह्या विषयाने वृत्तपत्रांचे रकाने भरून वाहत आहेत. त्या अनुषंगाने मुळात हे दोन एकेकाळचे प्रतिस्पर्धी देश एकत्र झालेच कसे ह्याविषयीची इंग्लंड आणि स्कॉटलंड ह्यांच्या राजघराण्यांतील गुंतागुंतीची नाती आणि संबधित व्यक्तींचा मनोरंजक इतिहास ह्याबाबतची डोक्यात असलेली बरीचशी अडगळ साफ करण्याचा हा प्रयत्न आहे.

आठव्या हेन्री टयूडरच्या (१४९१-१५४७) सहा बायका. पहिली कॅथेरिन ऑफ आरागॉन. हिला एक मुलगी - मेरी, जिला नंतर ब्लडी मेरी असे उपपद मिळाले. लग्नानंतर चौदा वर्षांमध्ये कॅथेरिन हेन्रीला राजपुत्र आणि राज्याचा वारस देऊ शकली नाही ह्या खर्‍या कारणासाठी तिला १५३३ मध्ये घटस्फोट देण्यात आला आणि हेन्रीचे मन जडलेली अ‍ॅन बुलीन लगेचच राणी झाली. तिची मुलगी म्हणजे एलिझाबेथ (१५३३-१६०३), जी एलिझाबेथ पहिली म्हणून नंतर राज्यावर आली. लग्नानंतर तीन वर्षांत व्यभिचाराच्या कारणासाठी अ‍ॅन बुलीनचा शिरच्छेद झाला. तिच्या लवाजम्यामधील जेन सीमोर हिच्यावर हेन्रीचे मन एव्हांना बसले होते आणि अ‍ॅन बुलीनच्या शिरच्छेदानंतर लवकरच हेन्रीने जेन सीमोरशी विवाह केला. हेन्रीला हवा असलेला राजपुत्र, जो हेन्रीनंतर सहावा एडवर्ड (१५३७-५३) म्ह्णून राज्यावर आला, तो सीमोरपासून हेन्रीला मिळाला पण लग्नानंतर सव्वा वर्षात त्या बाळंतपणामध्ये जेन परलोकी गेली. तीन वर्षानंतर गुंतागुंतीच्या राजकारणाचा परिणाम म्हणून हेन्रीने अ‍ॅन ऑफ क्लीव्ज ह्या युरोपातून आयात केलेल्या राजकन्येशी १५४० मध्ये विवाह केला पण पहिल्यापासून हेन्रीचे तिच्यावर कधीच मन बसले नाही. तिलाहि हेन्रीमध्ये काहीच स्वारस्य नव्हते म्हणून परस्परसहकार्याने हे लग्न घटस्फोटात मोडले. एव्हांना हेन्रीचे लक्ष अ‍ॅन ऑफ क्लीव्जच्या लवाजम्यातील कॅथेरिन हॉवर्डवर बसले होते आणि जुलै १५४० मध्ये हेन्री आणि कॅथेरिन हॉवर्ड विवाहबद्ध झाले. विवाहानंतर लवकरच कॅथेरिन हॉवर्डच्या विवाहबाह्य संबंधांवर कुजबूज ऐकू येऊ लागली होती, परिणामत: व्यभिचाराच्या आरोपाखाली १५४२ मध्ये तिचा शिरच्छेद करण्यात आला. १५४३ मध्ये हेन्रीने कॅथेरिन पार हिच्याशी विवाह केला पण तदनंतर हेन्री स्वत:च १५४७ मध्ये मृत्यु पावला.

त्याच्यानंतर १० वर्षे वयाचा राजपुत्र सहावा एडवर्ड राज्यावर आला पण १५५३ साली त्याचा वयाच्या १६व्या वर्षी मृत्यु झाला.

कॅथेरिन ऑफ आरागॉन हिला घटस्फोट देऊन अ‍ॅन बुलीनशी लग्न करण्याला पोपची संमति नव्हती ह्या कारणाने हेन्रीने इंग्लंडमध्ये पोपचा अंतिम अधिकार मानण्यास नकार देऊन प्रॉटेस्टंट विचाराला चालना दिली होती आणि सर्व युरोपभर प्रॉटेस्टंट विरुद्ध कॅथलिक अशी रस्सीखेच सुरू झाली होती. कॅथेरिन ऑफ आरागॉनची मुलगी मेरी ही सहाव्या एडवर्डनंतर वारसाहक्काने राज्यावर आली. ती कट्टर कॅथलिक होती आणि तिच्या पाच वर्षांच्या राजवटीत तिने प्रॉटेस्टंटांचा जो छळ केला आणि कित्येकास यमसदनास पाठविले त्यामुळे तिला ’ब्लडी मेरी’ असे नाव मिळाले. तिच्यानंतर १५५८ मध्ये पहिली एलिझाबेथ राज्यावर आली. तिच्या यशस्वी आयुष्यामध्ये बिटनवर येऊ घातलेले स्पेनचे परचक्र उलटविणे, स्पॅनिश आर्माडा (नौदल) नष्ट करणे अशा कार्यामधून ब्रिटनमध्ये राष्ट्रीय भावना रुजविणे ह्या महत्त्वाच्या गोष्टी मानल्या जातात. शेक्स्पीअर, फ्रान्सिस बेकन, वॉल्टर रॉलि, फ़्रन्सिस ड्रेक हे हिचे समकालीन. १६०३ मध्ये तिचा मृत्यु झाला. अखेरपर्यंत ती अविवाहितच राहिली. (ईस्ट इंडिया कंपनीची स्थापना तिच्याच कालखंडामध्ये पडते.)

ब्रिटनकडून आपली नजर आता स्कॉटलंडकडे आणि स्कॉटलंडची tragic heroine मेरी क्वीन ऑफ स्कॉट्स हिच्याकडे वळवू. इंग्लंड आणि स्कॉटलंड ह्या दोन शेजार्‍यांमधील परस्परद्वेषाला आणि चुरशीला २००० वर्षांचा इतिहास आहे. ’Braveheart’ ह्या अलीकडे बर्‍याच गाजलेल्या चित्रपटात त्याची चुणूक आपल्याला दिसते. १४व्या-१५व्या शतकांपर्यंत युरोपात फ्रेंच आणि स्पॅनिश राष्ट्रांचा वरचष्मा अधिक असे आणि इंग्लंड हे त्यांच्या समोर दुय्यम महत्त्वाचा देश होता. विशेषेकरून फ्रेंच लोक इंग्लंड आणि स्कॉटलंडमधल्या वादात स्कॉटलंडची बाजू उचलून धरून इंग्लंडची कोंडी करण्याचा प्रयत्न सतत करीत असत. फ्रेंच आणि स्कॉट्स ह्यांच्यामधील ह्या जुन्या मैत्रीच्या संबंधांना Auld Alliance (Auld - Old चे स्कॉटिश रूप) असे म्हणतात.

इंग्लंडचा आठवा हेन्री आणि फ्रान्सचा बारावा लुई ह्यांच्यामधील झगडयात फ्रान्सला मदत म्हणून उत्तरेकडून स्कॉटलंडचा राजा चौथा जेम्स ह्याने इंग्लंडवर आक्रमण केले. परिणामत: १५१३ साली फ्लॉडेन फील्डच्या लढाईत स्कॉटिश बाजूचा पराभव होऊन चौथा जेम्स स्वत: लढाईत मारला गेला.

आठव्या हेन्रीची थोरली बहीण मार्गारेट टयूडर हिचे लग्न स्कॉटलंडच्या चौथ्या जेम्सबरोबर झाले होते. त्यांचा मुलगा पाचवा जेम्स (जन्म १५१२) हा एक वर्षाचा असतांना बापानंतर राज्यावर आला. Auld Alliance खाली त्याचे पहिले लग्न फ्रेंच राजा फ़्रान्सिस पहिला ह्याची मुलगी मॅडेलीन हिच्याबरोबर १५३६ मध्ये झाले. लग्नानंतर सहा महिन्यात ती क्षयरोगामुळे वारली आणि जेम्सने मेरी ऑफ गीज (Mary of Guise) ह्या फ्रेंच उमराव घराण्यातील मुलीशी दुसरे लग्न केले. त्यांचे जगलेले एकुलते एक अपत्य म्हणजे मेरी क्वीन ऑफ स्कॉट्स् (जन्म १८४२.) तिच्या जन्मानंतर आठवडयामध्येच तिचा बाप जेम्स पाचवा ह्याचा मृत्यु झाला आणि मेरी स्कॉटलंडची राणी बनली.

तिच्या अल्पवयामध्ये स्कॉटलंडचे राज्य तिच्या नावाने तिची आई अणि अन्य राज्यपालक चालवॊत होते आणि मेरीचे बहुतेक बालपण फ्रान्समध्येच गेले. वयाच्या पाचव्या वर्षी तिचा विवाह फ्रेंच राजा हेन्री दुसरा ह्याचा मुलगा राजपुत्र (Dauphin - दोफॅं) फ्रान्सिस ह्याच्याबरोबर ठरविण्यात आला. ह्यापूर्वी आठव्या हेन्रीने तिचा विवाह त्याचा मुलगा एडवर्ड ह्याच्या करण्याचा घाट घातला होता आणि मेरीच्या वयाच्या दहाव्या वर्षी हा विवाह होईल असा करारहि करण्यात आला होता पण एव्हांना प्रॉटेस्टंट विरुद्ध कॅथलिक हा झगडा स्कॉटलंडमध्येहि पोहोचला होता आणि स्कॉटलंडमध्ये कॅथलिक पक्षाची सरशी होऊन मेरीचे प्यादे फ्रेंच बाजूकडे गेले. वयाचे सहावे वर्ष चालू असतांना १५४८ सालात मेरीची रवानगी फ्रन्समध्ये झाली. पुढची १३ वर्षे ती फ्रान्समध्येच राहिली आणि एप्रिल १५५८ मध्ये राजपुत्र फ्रान्सिसबरोबर तिचा विवाह झाला.

त्यानंतर काही महिन्यांतच जुलै १५५९ मध्ये जाउस्टिंगच्या खेळात डोळ्यामध्ये भाला शिरून हेन्री दुसरा ह्याचा मृत्यु झाला आणि फ्रान्सिस हा फ्रान्सिस दुसरा म्हणून फ़्रान्सचा राजा होऊन मेरी राणी बनली.

दुसरा फ्रान्सिस अल्पायुषी ठरला. त्याच्या कानामध्ये त्याला काही विकार होऊन तो विकार मेंदूपर्यंत पसरला आणि डिसेंबर १५६० मध्ये त्याचे आयुष्य संपुष्टात येऊन Queen Mary ही Dowager Queen Mary झाली. तदनंतर नऊ महिन्यांनी ती स्कॉटलंडला परतली. जॉन नॉक्सच्या नेतृत्वाखाली प्रोटेस्टंट पंथाने तेथे चांगलाच जम बसविला होता आणि मेरी कॅथलिक असल्यामुळे तिला विरोध सुरू झाला. दरम्यान आपली आजी मेरी टयूडर हिच्या संबंधातून आपण पहिल्या एलिझाबेथनंतर इंग्लंडच्या राज्याचे वारस आहोत असे जाहीर करून घेण्याचा अयशस्वी प्रयत्नहि तिने केला.

१५६५ मध्ये मेरी टयूडर संबंधातून तिच्या नात्यात असलेल्या हेन्री स्टयुअर्ट, लॉर्ड डार्न्ली ह्याच्याशी तिचा विवाह झाला. दोघेहि कॅथलिक असल्यामुळे ह्या लग्नाकडे स्कॉटिश जनता संशयानेच पाहात होती. प्रेमविवाह म्हणून सुरू झालेला हा संबंध लवकरच तणावाखाली आला कारण मेरीचे आपला इटालियन सेक्रेटरी रिझिओ ह्याच्याशी अनैतिक संबंध असावेत अशी शंका लॉर्ड डार्न्लीच्या मनामध्ये होती आणि त्यातून मेरीच्या समोरच रिझिओचा खून करणात आला. ह्यावेळी लॉर्ड डार्न्लीचे मूल - भावी जेम्स सहावा - मेरीच्या पोटात होते.

सहाव्या जेम्सचा जन्म जून १५६६ मध्ये झाला. मेरी आणि लॉर्ड डार्न्ली ह्यांच्यामधील ताणतणावाची वार्ता सार्वत्रिक झाली होती आणि त्याचा परिणाम म्हणून की काय लॉर्ड डार्न्लीचा निवास असलेल्या राजवाडयात मोठा स्फोट होऊन फेब्रुवारी १५६७ मध्ये त्याचे आयुष्य संपले.

एव्हांना मेरी कॅथलिक स्कॉटिश लॉर्ड बॉथवेल ह्याच्या प्रभावाखाली आली होती आणि लॉर्ड डार्न्लीच्या खुनामध्ये त्या दोघांचाहि हात आहे अशी शंका बर्‍याच जणांना येऊ लागली होती. मे १५६७ मध्ये आपल्या पहिल्या बायकोला घटस्फोट देऊन बॉथवेलने मेरीशी लग्न केले. त्याचा पहिल्या बायकोशी घटस्फोट मान्य नाही म्हणून कॅथलिक आणि ते कॅथलिक आहेत म्हणून प्रॉटेस्टंट अशा दोन्ही गटांचा त्यांना विरोध होता. पाठलाग करणार्‍यांपासून स्वत:चा बचाव करीत दोघे इतस्तत: पळत असतांना बॉथवेल डेन्मार्कला निघून गेला आणि मेरी बंदी झाली. स्कॉटलंडच्या राज्यावरील आपला हक्क सोडण्यास तिला भाग पाडण्यात आले आणि तिच्या जागी तिचा अज्ञान मुलगा जेम्स सहावा १ वर्ष आणि १ महिना इतक्या वयाचा असतांना राज्यावर आरूढ झाला. पुढची काही वर्षे त्याच्या राजपालकांनी त्याचे राज्य चालविले.

१५६८ मध्ये बंधनामधून पळून जाण्यात मेरी यशस्वी झाली आणि सीमेपलीकडे इंग्लंडत तिने आश्रय घेतला. ह्यानंतर २० वर्षांचे उरलेले आयुष्य मेरीने इंग्लंडमध्ये वेगवेगळ्या ठिकाणी नजरकैदेतच काढली.

मेरीचे इंग्लंडात असणे हे बर्‍याच जणांना मान्य नव्हते. ती कॅथलिक असून पहिल्या एलिझाबेथनंतर इंग्लंडच्या राज्यावर ती हक्क सांगत आहे म्हणजे इंग्लंडमध्ये पुन: कॅथलिक सत्ता बसविण्याचा हा प्रयत्न आहे अशी शंका ह्याच्या मुळाशी होती.

१५८६ साली ’बॅबिंग्टन कट’ उघडकीस आला. ह्यामध्ये सांकेतिक भाषेमधला मेरी आणि तिच्या कॅथलिक पाठीराख्यांची पत्रे सापडली. एलिझाबेथ राणीला नष्ट करून मेरीची सुटका करायची आणि त्ला इंग्लंडचे राज्य मिळवून द्यायचे असा तो कट होता. ह्या कटामागे स्पेनचाहि हात होता. ह्या तथाकथित कटाबद्दल बर्‍याच शंका आहेत पण त्याचा परिणाम असा झाला की ऑक्टोबर १५८६ मध्ये मेरीची ३६ उमरावांच्या कोर्टापुढे चौकशी होऊन तिला मृत्युदंड सुनावण्यात आला. त्याची अंमलबजावणी करण्याचा हुकूम देण्यास एलिझाबेथने काही काळ खळखळ केली पण १ फेब्रुवारी १५८७ ह्या दिवशी हुकूम निघाला आणि ७ फेब्रुवारीला संध्याकाळी मेरीचे शीर धडापासून वेगळे करून शिक्षेची अंमलबजावणी झाली. तिचा मुलगा स्कॉटलंडचा राजा जेम्स सहावा ह्याने आपल्या आईचे प्राण वाचविण्यासाठी करंगळीहि उचलली नाही.

अनेक वळणे घेतलेल्या ह्या गोष्टीची अखेर आता जवळ आली आहे. १६०३ मध्ये पहिली एलिझाबेथ जग सोडून गेली. तिच्यानंतर उर्वरित वारस म्हणून जेम्सने ’इंग्लंडचा पहिला जेम्स आणि स्कॉटलंडचा सहावा जेम्स’ अशा बिरुदाने १६२५ पर्यंत राज्य केले. ह्या काळात राजा जरी एक असला तरी इंग्लंड आणि स्कॉटलंड ही अलग राज्येच होती. १७०७ मध्ये Act of Union दोन्ही पार्लमेंटांनी मंजूर करेपर्यंत ही स्थिति टिकून राहिली. १७०७ पासून चालत आलेली ही स्थिति अशीच राहते किंवा कसे हे लवकरच कळेल.

काही माणसं डावखुरे का असतात? हा एक अती पुरातन काळापासून विचारत आलेला प्रश्न आहे. प्लॅटो, चार्ल्स डार्विन, कार्ल सॅगन, डेब्बी मिलमन, स्टीफन जे गूल्ड, नोअम चॉम्स्की, अल्बर्ट आइन्स्टाइन (आइन्स्टाइनला डावखुर्‍यांच्या कळपात ओढण्याचा आटोकाट प्रयत्न केला जातो.

आंध्र प्रदेश राज्यामधील मेडक जिल्ह्यामध्ये कोंडापूर या नावाचे एक गाव आहे. या गावाच्या दक्षिणेला साधारण 1 किमी अंतरावर 35 ते 40 फूट (11 मीटर) उंचीचे एक टेकाड आहे. भारतीय पुरातत्त्व विभागात कार्य करणारे एक ब्रिटिश पुरातत्त्व शास्त्रज्ञ हेन्री कझिन्स (Henry Cousens) यांनी विसाव्या शतकाच्या पहिल्या दशकात येथे उत्खनन केले होते. या नंतर 1941-42 मध्ये हैद्राबाद संस्थानाचे निझाम यांच्या संस्थाना मध्ये हा भाग मोडत असल्याने या संस्थानाच्या पुरातत्त्व विभागाचे एक अधिकारी, जी. याझदानी या शास्त्रज्ञाच्या नेतृत्वाखाली संशोधन करणार्‍या एका पथकाने या जागेवर उत्खनन कार्य केले होते.

(मागील भागांचे दुवे)
भाग १
भाग २
भाग ३
भाग ४

(मागील भागावरून पुढे)

(मागील भागावरून पुढे)

प्राचीन भारताच्या काळात जे यज्ञ केले जात त्यांचे यज्ञाचे इच्छित फल प्राप्त होण्यासाठी यज्ञ तंतोतंत मुळाबरहुकूम केला जाणे अपेक्षित होते आणि त्यामुळे यज्ञविधीमधील मन्त्रोच्चारण, त्यांचे व्याकरण, शब्दांचे अर्थ कळण्यासाठी व्युत्पत्ति, ऋक्-छन्दांचे ज्ञान, यज्ञास योग्य काळ आणि यज्ञांमधील कृति अशा सहा गोष्टी शिक्षा, व्याकरण, निरुक्त, छन्दस्, ज्योतिष आणि कल्प ह्या सहा निरनिराळ्या वेदांगांनी नियमित केल्या गेल्या आहेत. ह्या सहा वेदांगांपैकी कल्प हे वेदांग नाना यज्ञांचे विधि कसे करावेत हे सांगण्यासाठी निर्माण झाले आहे. कल्पसूत्रांचे मुख्यत: दोन विभाग आहेत. पहिला गृह्यसूत्रे, ज्यांमध्ये व्यक्तींच्या घरांमध्ये होणारे बिवाह, जन्म, मृत्यु अशा प्रकारचे कौटुंबिक विधि कसे केले जावेत हे सांगितले आहे. दुसरा श्रौतसूत्रे, ज्यांमध्ये अधिक मोठे. सार्वजनिक स्वरूपाचे असे विधि (अनेक मन्त्रपाठक आणि अनेक प्रकारचे अग्नि ह्यांच्यासह केले जाणारे) वर्णिले आहेत. ह्यांपैकी यज्ञामधील एक वा अनेक वेदि अथवा चिति कोणत्या आकारांच्या आणि लांबीरुंदीच्या असाव्यात, त्यांचे एकमेकांशी प्रमाण काय असावे असावी हे सांगणे हे शुल्बसूत्रांचे एक प्रमुख कार्य आहे आणि ह्यातूनच आपल्याला वेदकालीन भारतात भूमितिज्ञान किती आणि कशा प्रकारचे होते ह्याची कल्पना येते.

वेदांच्या निरनिराळ्या शाखांशी संलग्न अशी नऊ शुल्बसूत्रे माहीत आहेत. त्यांमध्ये बौधायन, आपस्तम्ब, कात्यायन आणि मानव अशी चार प्रमुख शुल्बसूत्रे आहेत. ’शुल्ब’ अथवा ’शुल्व’ म्हणजे दोरी अथवा रज्जु. यज्ञवेदि बांधण्यासाठी अंतराअंतरावर गाठी बांधलेल्या रज्जूच्या वापराने लांबी मोजणे, वर्तुळ काढणे अशा गोष्टी केल्या जातात. सर्व शुल्बसूत्रांमध्ये प्रारंभी अनेक भौमितिक आकृतींचे आणि त्यांच्या वैशिष्टयांचे वर्णन केले आहे आणि तदनंतर वेदि कशा बांधायच्या ह्याचे विवरण आहे. ह्यावरून शुल्बसूत्र हा शब्द निर्माण झाला आहे. सर्व शुल्बसूत्रांमधून सर्वसाधारणपणे त्याच गोष्टी वेगवेगळ्या शब्दांमधून सांगितल्या आहेत. आधुनिक शब्दात बोलायचे तर शुल्बसूत्रे ही वेदिनिर्माणाचे manual अथवा user-guide आहेत. विशिष्ट आकारांच्या विटांचे काही पातळ्यांपर्यंत थर उभारून आणि त्यांना निरनिराळे आवश्यक आकार देऊन वेदि तयार होतात. काही वेदी त्रिकोण, आयत, चौरस, वर्तुळ अशा सोप्या आकारांच्या असतात तर काही त्याहून थोडया अवघड अशा तुल्यचतुर्भुज - Rhombus, तुल्यलंबक - Trapezium आणि अतुल्यलंबक -Trapezoid - अशा आकारांच्या असतात. श्येन, कूर्म अशा प्राण्यांसारख्या दिसणार्‍या वेदीहि असतात. त्यांचे क्षेत्रफळ आणि अशा क्षेत्रफळांचे एकमेकात संबंध हे निश्चित केले आहेत. हे सर्व कार्य शास्त्रविहित मार्गाने करण्यासाठी लागणारे भूमितिज्ञान शुल्बसूत्रांमधून मांडण्यात आले आहे.

शुल्बसूत्रांमधील भूमितिज्ञान हे आज आपण शिकतो तशा प्रकारचे म्हणजे गृहीतकृत्ये आणि त्यांमधून तर्काने निघणारी प्रमेये आणि त्यांच्या सिद्धता अशा प्रकारचे नाही. अमुक एक भौमितीय आकार कसा काढावयाचा हे एक स्वत:सिद्ध सत्य म्हणून मांडायचे अशी शुल्बसूत्रांची रचना आहे. केलेल्या विधानाची सिद्धता किंवा ते तसे का ह्याबाबतचे कोठलेच विवेचन त्यात नाही. ह्याचे कारणे असे संभवते की शुल्बसूत्रे हा काही भूमितिशास्त्राचा ग्रंथ नाही. त्यांचे स्वरूप यज्ञविधि करणार्‍या ऋत्विजांसाठीचे hand-manual अथवा user-guide असे आहे आणि म्हणून त्यात दिलेल्या सूचनांचे शास्त्रीय स्पष्टीकरण तेथे न मिळणे साहजिक आहे.

शुल्बसूत्रांमधील भूमितिज्ञान कसे होते ह्याची काही उदाहरणे आता पाहू. (जमिनीत मेखा - सूत्रांच्या भाषेत शंकु - उभ्या करून आणि त्यांना पुरेशा लांबीच्या रज्जूच्या दोन टोकांनी बांधून एकमेकांशी काटकोन करणार्‍या दोन रेषा कशा काढायच्या, तसेच वर्तुळ अथवा त्याचा चाप कसा काढायचा, चौरस वा आयत कसा काढायचा अशा स्वरूपाच्या प्राथमिक कृति येथे वगळून पुढे जाऊ. काटकोन अथवा लंब ह्या संकल्पना स्पष्टपणे कोठे उल्लेखिलेल्या दिसत नाहीत पण दिलेल्या कृतींचा परिणाम तोच होतो.)

१)पायथागोरसच्या नावाने ओळखले जाणारे प्रमेय.

दीर्घचतुरस्रस्याक्ष्णयारज्जु: पार्श्वमानी तिर्यङ्मानी च यत्पृथग्भूते कुरुतस्तदुभयं करोति। तासां त्रिकचतुष्कयोर्द्वादशिकपञ्चिकयो: पञ्चदशिकाष्टिकयो: सप्तिकचतुर्विंशिकयोर्द्वादशिकपञ्चत्रिंशिकयो: पञ्चदशिकषट्त्रिंशिकयोरित्येतासूपलब्धि:। बौधायन १.१२.
(येथे दाखविलेले सूत्रांचे संदर्भ ह्या http://hinduonline.co/digitalLibrary.html संस्थळावरील शुल्बसूत्रांच्या देवनागरी आवृत्तीवरून दाखविले आहेत. ही आवृत्ति बर्‍याच जागी अशुद्ध दिसते पण पुस्तकांच्या digital आवृत्त्यांहून स्पष्ट असल्याने आवश्यक तशी शुद्ध करून तीच वापरली आहे. निरनिराळ्या पुस्तकांमधून सूत्रांचे अनुक्रमांक निरनिराळे दिसतात.)

सरळ अर्थ - आयताचा अक्ष्णयारज्जु ते दोन्ही करतो जे पार्श्वमानी आणि तिर्यङ्मानी वेगवेगळे करतात. ३ आणि ४, १२ आणि ५, १५ आणि ८, ७ आणि २४, १२ आणि ३५, १५ आणि ३६ येथे ही उपलब्धि मिळते.

टिप्पणी - आयताच्या कर्णावर चौरस उभारला तर त्याचे क्षेत्र हे दोन बाजूंवर उभारलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके असते. (मुख्य ’प्राची’ म्हणजे म्हणजे पूर्वपश्चिम रेषा. चौरसाची वा आयताची ’प्राची’ला समान्तर असलेली म्हणजेच तिच्या पार्श्वस्थानी असलेली बाजू म्हणजे ’पार्श्वमानी’. तिला लंब करणारी करणारी रेषा ती ’तिर्यङ्मानी’ - चौरसाची वा आयताची आडवी बाजू आणि आयताच्या संदर्भात लहान बाजू. भारतीय पद्धतीने पूर्वपश्चिम रेषा ही उभी - vertical - असते. पूर्व दिशा वर आणि पश्चिम दिशा खाली असते. तिला लंबमान उत्तरदक्षिण रेषा ही आडवी असते. त्यातहि उजवी बाजू ही दक्षिण आणि डावी ही उत्तर. (आठवा - दक्षिणे लक्ष्मणो यस्य वामे च जनकात्मजा - रामरक्षास्तोत्र आणि वामांगी रखुमाई दिसे दिव्य शोभा - पांडुरंगाची आरती.) ’अक्ष्णयारज्जु’ ह्याचा अर्थ चौरसाचा वा आयताचा कर्ण.

काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू - भुज आणि कोटि - ह्यांवरील चौरसांच्या क्षेत्राची बेरीज ही कर्णावरील चौरसाच्या क्षेत्राइतकी ह्या पायथागोरसच्या नावाने ओळखल्या जाणार्‍या प्रमेयाचा तथ्यांश प्राचीन भारतीयांनाहि माहीत होता हे ह्या आणि पुढे दर्शविलेल्या शुल्बसूत्रावरून दिसते. त्याची ’सिद्धता’ भारतात माहीत होती किंवा अशा सिद्धतेची आवश्यकता त्यांना भासली होती असा काही पुरावा आता उरलेला नाही पण तत्त्व माहीत होते हे निश्चित. त्यांना हे कोठून मिळाले अथवा हे भारतातच कोणाला स्वतन्त्रपणे सापडले होते, भारतीयांपाशी हे ज्ञान केव्हापासून होते ह्याचाहि काही पुरावा उरलेला नाही पण त्याचा यज्ञविधींसारख्या बाबीत वापर केला जात होता ह्यावरून भारतीयांना हे स्वतन्त्ररीत्या जाणवले असावे असे मत बनारसच्या संस्कृत कॉलेजातील प्राध्यापक जॉर्ज थिबो ह्यांच्या On the Shulvasutras ह्या १८७५ साली प्रकाशित झालेल्या पुस्तकात व्यक्त करण्यात आले आहे.

२) दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा चौरस निर्माण करणे.
समचतुरस्रस्याक्ष्णयारज्जुर्द्विस्तावतीं भूमिं करोति । बौधायन १.९.

सरळ अर्थ - चौरसाचा कर्ण त्याच्या दुप्पट क्षेत्र निर्माण करतो.

टिप्पणी - समचतुरस्र म्हणजे चारहि बाजू समान असलेला आणि शेजारच्या बाजू एकमेकांस लंब असलेला चौरस. अशा चौरसाचा कर्ण, ज्याला येथे ’अक्ष्णयारज्जु’ असे म्हटलेले आहे, हा बाजू मानून नवा चौरस उभारला तर त्याचे क्षेत्रफळ मूळ चौरसाच्या दुप्पट असते.

३) दिलेल्या चौरसाच्या तिप्पट क्षेत्रफळाचा चौरस निर्माण करणे.

प्रमाणं तिर्यग्द्विकरण्यायामस्तस्याक्ष्णयारज्जुस्त्रिकरणी। बौधायन १.१०.

सरळ अर्थ - रुंदी दिल्याप्रमाणे आणि त्याचा कर्ण आडवी बाजू अशा आयताचा कर्ण तीनपट देतो.

टिप्पणी - दिलेल्या चौरसाच्या बाजूएवढी तिर्यङ्मानी बाजू आणि त्याच्या कर्णाइतकी पार्श्वमानी बाजू असा आयत काढून त्याच्या कर्णावर नवा चौरस बेतला तर त्याचे क्षेत्रफळ मूळच्या चौरसाच्या तिप्पट असेल. ’द्विकरणी’ म्हणजे ’दुप्पट करणारा’ म्हणजेच वर दाखविल्याप्रमाणे चौरसाचा कर्ण. अशा कर्णाइतकी लांबी असलेली पार्श्वमानी बाजू आणि मूळच्या चौरसाच्या बाजूइतकी तिर्यङ्मानी बाजू असलेला आयत काढल्यास तिप्पट क्षेत्राचा चौरस मिळेल.

४) ह्याच मार्गाने पुढे जाऊन मूळ चौरसाहून चौपट, पाचपट इत्यादि कोठल्याहि पटीचे क्षेत्रफळ असलेला चौरस क्रमाक्रमाने करता येईल.

५) मूळ चौरसाच्या कोठल्याहि पटीइतके क्षेत्रफळ असलेला चौरस निर्माण करण्याचा आणखी एक सोपा मार्ग कात्यायन देतो.

यावत्प्रमाणानि समचतुरस्रस्यैकीकर्तुं चिकीर्षेदेकोनानि तानि भवन्ति तिर्यक् द्विगुणान्येकत एकाधिकानि त्र्यस्रिर्भवति तस्येषुस्तत्करोति। कात्यायन ६.७.

सरळ अर्थ - जितके चौरस एकत्र करावयाचे असतील तेथे आडवी बाजू (चौरसांच्या संख्येच्या) एकाने कमी, (दुसर्‍या बाजूची) दुप्पट (संख्येहून) एकाने अधिक असा जो (समद्विभुज) त्रिकोण त्याची उंची ते करते.

टिप्पणी - दिलेल्या चौरसाच्या ’न’ पट क्षेत्राचा चौरस निर्माण करावयाचा असेल तर असा एक (समद्विभुज) त्रिकोण काढा ज्याचा पाया मूळ चौरसाच्या बाजूच्या ’न - १’ पट असेल आणि एका बाजूची दुप्पट केल्यास ती दुप्पट मूळ चौरसाच्या बाजूच्या ’न + १’ पट असेल, म्हणजेच ती बाजू मूळ चौरसाच्या बाजूच्या ’(न + १)/२’ इतकी पट असेल. अशा त्रिकोणाची उंची (इषु) इष्ट चौरस निर्माण करेल.

शेजारच्या आकृतीत अबक ह्या त्रिकोणात बक = न - १, अम हा ’बक’वर लंब. त्यावरून अम^२ = अब^२ - बम^२ = [(न + १)/२]^२ - [(न - १)/२]^२ = न. त्रिकोणाची ही उंची अम ही बाजू धरून काढलेल्या चौरसाचे क्षेत्र ’न’ इतके असेल. (येथे मूळ चौरसाची बाजू = १ एकक असे मानले आहे.)

६) चौरसाची जितकी पट करायची ती संख्या अन्य कोठल्या संख्येचा वर्ग असल्यास वापरायचा सोपा मार्ग.

द्विप्रमाणा चतु:करणी त्रिप्रमाणा नवकरणी चतु:प्रमाणा षोडशकरणी। यावत्प्रमाणा रज्जुर्भवति तावन्तस्तावन्तो वर्गा भवन्ति तान्समस्येत्। कात्यायन ३.६, ३.७.

सरळ अर्थ - दुप्पट मापाने चार पट, तिप्पट मापाने नऊ पट, चौपट मापाने सोळा पट )क्षेत्र मिळते.) रज्जु जितका पट तितक्या तितक्या पटीने चौरस. त्यांना एकत्र करावे.
टिप्पणी - मूळ चौरसाच्या दुप्पट बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्र मुळाच्या चौपट असते, तिप्पट बाजून नऊ पट आणि चौपट बाजूने सोळा पट क्षेत्र मिळते.

७) एक संख्या दोन वर्गसंख्यांची बेरीज असेल तर त्या संख्येच्या पटीचा चौरस दिलेल्या चौरसापासून निर्माण करणे.

पदं तिर्यङ्मानी त्रिपदा पार्श्वमानी तस्याक्ष्णयारज्जुर्दशकरणी। एवं द्विपदा तिर्यङ्मानी षट्पदा पार्श्वमानी तस्याक्ष्णयारज्जुश्चत्वारिंशत्करणी। कात्यायन २.४, २.५.

सरळ अर्थ - आडवी बाजू एक पट, उभी बाजू तिप्पट तर कर्ण दहा पट निर्माण करतो. तसेच आडवी बाजू दोन पट, उभी बाजू सहा पट. तर कर्ण चाळीस पट निर्माण करतो.

टिप्पणी - दिलेल्या चौरसाच्या बाजूच्या एक पट आडवी बाजू, तीन पट उभी बाजू असा आयत काढल्यास त्याच्या कर्णावरील चौरस मूळ चौरसाच्या दहा पट असेल. दिलेल्या चौरसाच्या बाजूच्या दोन पट आडवी बाजू, सहा पट उभी बाजू असा आयत काढल्यास त्याच्या कर्णावरील चौरस मूळ चौरसाच्या चाळीस पट असेल.

८) वेगवेगळ्या क्षेत्रांच्या दोन चौरसांच्या बेरजेइतक्या क्षेत्राचा चौरस निर्माण करणे.

नानाचतुरस्रे समस्यन्कनीयस: करण्या वर्षीयसो वृध्रमुल्लिखेत्। वृध्रस्याक्ष्णयारज्जु: समस्तयो: पार्श्वमानी भवति। बौधायन २.१.

सरळ अर्थ - वेगवेगळ्या आकाराचे चौरस एकत्र करू पाहणार्‍याने लहान चौरसाच्या बाजूइतक्या अंतरावर मोठयाच्या बाजूवर खूण करावी. खुणेपासून काढलेला कर्ण ही (इष्ट) एकत्रित (चौरसाची) बाजू आहे.

टिप्पणी - शेजारच्या आकृतीमध्ये अबकड हा छोटा आणि यरलव हा मोठा चौरस आहेत. यर रेषेवर यम = अब इतके अंतर मोजा. मव ही बाजू धरून काढलेला चौरस हा इष्ट चौरस आहे कारण मव^२ = यम^२ + यव^२ = अब^२ + यव^२.

९) वेगवेगळ्या क्षेत्रांच्या दोन चौरसांच्या वजाबाकीइतक्या क्षेत्राचा चौरस निर्माण करणे.

चतुरस्राच्चतुरस्रं निजिहीर्षन्यावन्निजिहीर्षेत्तस्य करण्या वर्षीयसो वृध्रमुल्लिखेत्। वृध्रस्य पार्श्वमानीमक्ष्णयेतरत्पार्श्वमुपसंहरेत्। सा यत्र निपतेत्तदपच्छिन्द्यात्। छिन्नया निरस्तम्। बौधायन २.२.

सरळ अर्थ - एका चौरसातून दुसरा चौरस वजा करण्यासाठी ज्यास वजा करायचे आहे त्याच्या बाजूने मोठयाच्या बाजूवर खूण करावी. मोठयातून (आयताकृति) भाग वेगळा काढावा. त्याची उभी बाजू फिरवून (दुसर्‍या) उभ्या बाजूवर आणावी. ती जेथे पडेल तेथे खूण करावी. ह्या खुणेने कार्य संपते.

टिप्पणी - शेजारच्या आकृतीमध्ये अबकड हा छोटा आणि यरलव हा मोठा चौरस आहेत. यर रेषेवर ’म’ बिंदु असा शोधा असा की यम = अब. यमनल हा आयत पुरा करा. ह्या आयताची मन ही बाजू ’न’भोवती फिरवून तिला यल रेषेवरील ’प’पर्यंत आणा. आता पल^२ = पन^२ - लन^२ = मन^२ - लन^२ = यल^२ - अब^२. पव ही बाजू धरून निर्माण केलेला पप_१प_२ल चौरस हा इष्ट चौरस होय जो तुटक रेषेने दाखविला आहे.

१०) दिलेल्या आयताच्या क्षेत्राचा चौरस करणे.

दीर्घचतुरस्रं समचतुरस्रं चिकीर्षंस्तिर्यङ्मानीं करणीं कृत्वा शेषं द्वेधा विभज्य विपर्यस्येतरत्रोपदध्यात्। खण्डमावापनेन तत्संपूरयेत्। तस्य निर्हार उक्त:। बौधायन २.५.

सरळ अर्थ - आयताचा चौरस करू इच्छिणार्‍याने आडव्या रेषेला बाजू मानून (त्यावर चौरस करावा). (आयताच्या) उर्वरित भागाचे दोन भाग पाडून (एकाला) उलटून बाजूस लावावे. (उरलेला) खंड (चौरस) तुकडयाने भरून घ्यावा. त्यांची वजाबाकी आधी सांगितली आहे.

टिप्पणी - शेजारच्या आकृतीत अबकड हा दिलेला आयत आहे. त्याच्या डक ह्या तिर्यङ्मानीवर (आडव्या आखूड बाजूवर) यरकड हा चौरस उभारा. उरलेल्या अबरय ह्या भागाचे अबनम आणि मनरय असे दोन समान भाग करा. अबनम भागाला रमअ_१ब_१क असे दक्षिण बाजूस उभे लावा. मूळचा आयत आता मनरअ१ब१ड अशा अनियमित आकारामध्ये संक्रमित झाला आहे. त्याच्या कोपर्‍यावर उरलेल्या चौरस आकाराच्या खंडाला नपअ_१र असे नाव द्या.

आता मपब_१ड हा चौरस आहे हे स्पष्ट आहे. त्यामधून नपअ_१र ह्या चौरसाला वजा केले असता उरलेल्या क्षेत्राचा चौरस कसा निर्माण करावयाचा हे वर क्र.९ मध्ये दर्शविले आहे. त्या मार्गाने इष्ट चौरस निर्माण करा.

११) पार्श्वमानी तिर्यङ्मानीहून बरीच मोठी असल्यास अशा आयताचा चौरस करण्यासाठी सोपा मार्ग.

अतिदीर्घश्चेत्तिर्यङ्मान्याऽपच्छिद्यापच्छिद्यैकसमासेन समस्य शेषं यथायोगमुपसंहरेदित्येक: समास:। कात्यायन ३.३.

सरळ अर्थ - आयत अतिदीर्घ असल्यास तिर्यङ्मानीने (आखूड बाजूने) पार्श्वमानीवर शक्य तेवढे छेद घेऊन चौरस करावेत आणि त्यांचा वर क्र. ५ मध्ये दिल्याप्रमाणे एक चौरस करावा. उरलेल्या आयताकृति भागाचा क्र. १० मध्ये दिल्याप्रमाणे चौरस करावा. दोन्ही नवे चौरस क्र. ८ प्रमाणे जोडून इष्ट चौरस होईल.

१२) चौरसामधून त्याच क्षेत्राचा आयत करणे.

समचतुरस्रं दीर्घचतुरस्रं चिकीर्षंस्तदक्ष्णयाऽपच्छिद्य भागं द्वेधा विभज्य पार्श्वयोरुपदध्याद्यथायोगम्। बौधायन २.३.

सरळ अर्थ - चौरसाचा (त्याच क्षेत्राचा) आयत करण्यार्‍याने कर्णाने चौरसाचे दोन भाग करून त्यामधील एका भागाचे दोन भाग करून ते (दुसर्‍या) भागाच्या दोन बाजूंवर बसवावे.

टिप्पणी - शेजारच्या आकृतीत दर्शविल्याप्रमाणे यरलव ह्या चौरसाचे रव ह्या कर्णाने दोन भाग केले. नंतर रलव ह्या भागाचे रलस आणि वलस असे दोन भाग केले. रलव उचलून यर शेजारी लावला, जेणेकरून रल ही रेषा यर ह्या रेषेवर पडेल. तसेच वलस ह्या भागाचे केले. आता अरवब हा आयत मिळाला ज्याचे क्षेत्र मूळ चौरसाइतके आहे.

१३)दिलेल्या चौरसाइतक्या क्षेत्राचा आणि एक बाजू दिलेली असणारा आयत निर्माण करणे.

अपि वै तस्मिँश्चतुरस्रं समस्य तस्य करण्यापच्छिद्य यदतिशिष्यते तदितरत्रोपदध्यात्। बौधायन २.४.

सरळ अर्थ - त्या (चौरसावर) (दिलेल्या बाजूचा) आयत निर्माण करून त्याच्या कर्णाने छेदून जे उरते ते इतरत्र ठेवावे.

ह्यावरून फारसा बोध होत नाही कारण सूत्र फार त्रोटक आहे. बिभूतिभूषण दत्ता ह्यांनी सौन्दरराज आणि द्वारकानाथ यज्वा ह्या टीकाकारांच्या टीकांचा आधार घेऊन पुढील अर्थ दिला आहे.

’यावदिच्छं पार्श्वमान्यौ प्राच्यौ वर्धयित्वा उत्तरपूर्वां कर्णरज्जुमायच्छेत्। सा दीर्घचतुरस्रमध्यस्थायां समचतुरस्रतिर्यङ्मान्यां यत्र निपतति तत उत्तरं हित्वा दक्षिणांशं तिर्यङ्मानीं कुर्यात्। तद्दीर्घचतुरस्रं भवति।’ ह्याचा अर्थ असा: (चौरसाच्या) दोन पार्श्वमानी बाजू पूर्वेकडे इष्ट लांबीपर्यंत वाढवून (आणि तो आयत पूर्ण करून) त्याची उत्तरपूर्व कर्णरेषा काढा. ती कर्णरेषा चौरसाच्या तिर्यङ्मानी बाजूस जेथे छेदेल तेथून उत्तर बाजू सोडून देऊन दक्षिण बाजू ही (इष्ट आयताची) तिर्यङ्मानी बाजू करा. असा (इष्ट)आयत निर्माण होईल.

प्रारंभीच म्हटल्याप्रमाणे भारतीय पद्धतीने वर पूर्व, डावीकडे उत्तर आणि उजवीकडे दक्षिण हे येथे लक्षात ठेवले पाहिजे. शेजारच्या आकृतीवरून ही कृति स्पष्ट होते. अबकड हा दिलेला चौरस आहे आणि म ही इष्ट आयताची लांबी आहे. (त्यामुळे म > अब हे स्पष्ट आहे.) डअ आणि कब ह्यारेषा अनुक्रमे य आणि र पर्यंत इतक्या वाढवा की यड = रक = म. यरकड हा आयत पूर्ण करा. त्याची यक ही कर्णरेषा अब ह्या अबकड चौरसाच्या तिर्यङ्मानीला जेथे छेदते त्या बिंदूस प असे नाव द्या. लपव ही यडला समान्तर रेषा काढा, ती अशी की ल आणि व हे बिंदु अनुक्रमे यर आणि कड ह्या रेषांवर असतील. लपव रेषेच्या उत्तरेकडील म्हणजे डाव्या बाजूचा भाग सोडला तर उरलेला आयत लरकव हा इष्ट आयत आहे.

हे विधान असे ताडून पाहता येते: त्रिकोण यलप + चौकोन लरबप + त्रिकोण पबक = त्रिकोण यपअ + चौकोन अपवड + त्रिकोण पकव. आता त्रिकोण यलप = त्रिकोण यपअ आणि त्रिकोण पबक = त्रिकोण पकव. ह्यावरून चौकोन लरबप = चौकोन अपवड. म्हणून चौकोन लरबप + चौकोन पबकव = चौकोन अपवड + चौकोन पबकव, म्हणजेच आयत लरकव = चौरस अबकड.

(भाग २ मध्ये पुढे चालू. भाग २ मध्ये वर्तुळापासून चौरस बनविणे, ’२’ ह्या संख्येचे वर्गमूळ असे विषय असतील.)

आधार -
1) Ancient Hindu Geometry - Bibhutibhushan Datta,
2) The Shulvasutras - George Thibaut,
3) Ancient Indian Mathematics and Vedha - Laxman Vishnu Gurjar.