झेनोच्या कासवाची रेस
ग्रीक साम्राज्यातील अथेन्स शहरात त्या दिवशी जल्लोश होता. अथेन्स शहरातील एकूण एक श्रीमंत (व त्यांच्या fashionable बायका!) रेसच्या मैदानावर गर्दी करत होते; गप्पा मारत होते; हसत खिदळत होते. कारण आजची रेस अत्यंत वेगळ्या प्रकारची होती. यापूर्वी याच मैदानावर कित्येक प्रकारचे चित्तथरारक खेळ त्यांनी पाहिले होते. भुकेले वाघ - सिंह बघता बघता गुलामांना खाल्लेले दृश्य, गुलामांच्या आपापसातील जीवघेण्या कुस्त्या, घोड्यांच्या पायाला कोवळ्या मुलांना बांधून त्यांच्या रक्तांची चिळकांडी उडेपर्यंत पळवलेल्या घोड्यांची शर्यत, जिवंत माणसाला उभे करून केलेला भालाफेक, थाळीफेक, रथांची शर्यत.... इत्यादी अनेक प्रकारचे, क्रूरपणातच जमा असलेल्या शर्यतींच्या प्रकारांचा या अथेन्सवासीयांना खरोखरच कंटाळा आला होता. ते सर्व नवीन thrillच्या शोधात होते. त्यामुळे आजच्या कासवाच्या शर्यतीबद्दल कमालीची उत्सुकता होती. ही शर्यत त्यांच्या दृष्टीने सर्वस्वी वेगळ्या प्रकारात मोडत होती. सर्वात महत्वाचे म्हणजे आजच्या या कासवाच्या शर्यतीची कॉमेंट्री अथेन्स शहरातील प्रसिद्ध तत्वज्ञ खुद्द झेनो करणार होता. त्याची कॉमेंट्री सुरु झालीसुद्धा...!
कासवासारख्या क्षुल्लक प्राण्याच्या रेससाठी उपस्थित असलेल्या सर्व अथेन्सवासीयांचे हृत्पूर्वक स्वागत. माझे नाव झेनो. व या जगावेगळ्या रेसची रनिंग कॉमेंट्री मी करणार आहे. परंतु ही रेस कोण जिंकणार हे (फिक्सिंग व डोपिंग नसतानासुद्धा) आधीच ठरल्यासारखे आहे. टार्क्विन या कासवाला अगोदरच 100 यार्डाची आघाडी देण्यात अचिलिसने भयंकर चूक केली आहे. नेमके काय घडले हे मी तुम्हाला सविस्तर सांगतो. म्हणजे माझा मुद्दा तुमच्या लक्षात येईल.
टार्क्विन कासवाला जेव्हा 100 यार्डाची आघाडी मिळाली तेव्हा या रेससाठी म्हणून त्यानी एक रणनीती ठरवली. दुसऱ्या कुठल्याही गोष्टीचा विचार न करता, चित्त विचलित होऊ न देता, - हळूच का असेना - वेगात किंचितही बदल न करता, न थांबता पुढे पुढे जात राहायचे. परंतु रेसची सुरुवात एका निर्दिष्ट रेषेपासून करायला हवी. या रेषेवर दोन्ही भिडू आल्यानंतरच रेस सुरु होणार व जो पुढे जाईल तो रेस जिंकणार. त्यासाठी अचिलिसला टार्क्विन ओलांडत असलेल्या रेषेपर्यंत पोचणे आवश्यक आहे. टार्क्विन अगोदरच पुढे गेलेला असल्यामुळे अचिलिसला तेथपर्यंत पोचण्यासाठी काही वेळ लागणार हे मात्र निश्चित. कदाचित काही मिनिटं लागणार. परंतु या काही मिनिटात टार्क्विन त्याच्या वेगमर्यादेनुसार आणखी पुढे जाणार. अचिलिसला पुन्हा हे अंतर कापावे लागणार. त्यासाठी कदाचित काही सेकंद लागणार. अचिलिसला पुन्हा ते अंतर पार करावे लागणार. परंतु त्या वेळात टार्क्विन आणखी पुढे जाणार. व पुन्हा एकदा अचिलिसला .... मी काय सांगत आहे हे आतापर्यंत तुमच्या लक्षात आले असेलच. तार्किकदृष्ट्या व गणितीयदृष्ट्या अचिलिस हा कधीच रेसच्या सुरुवातीच्या रेषेपर्यंत पोचू शकणार नाही. त्याचे स्टार्टिंग पॉइंटला पोचणे जवळजवळ अशक्य आहे.
माझे हे म्हणणे ऐकल्यानंतर तुम्हाला टार्क्विनवर बेटिंग करावेसे वाटेल. परंतु आता वेळ निघून गेलेली आहे. .... रेस सुरु झालेली आहे. अचिलिस पुढे पुढे जात आहे. ... टार्क्विनच्या जवळ पोचलासुद्धा... अगदी जवळ आला आहे... आणखी जवळ आला आहे... परंतु हे काय अचिलिस टार्क्विनला ओलांडून पुढे गेलासुद्धा!.. मला माझ्या डोळ्यावर विश्वास बसत नाही.....हे शक्य नाही..... कधीच शक्य नाही. ....
असे म्हणत म्हणत झेनो कॉमेंट्री बॉक्समध्ये कोसळतो.
संदर्भ:Zeno (born 488 BCE) Paradox of Achillis and Tortoise
अचिलिस स्टार्टिंग पॉइंटपर्यंत पोचणार नाही या झेनोच्या स्पष्टीकरणातच काही तरी चूक असावी, असे रेसचा ज्या प्रकारे शेवट झाला त्यावरून नक्कीच वाटेल. झेनोच्या या प्रकारच्या स्पष्टीकरणात विसंगती दडलेली आहे. मुळात या स्पष्टीकरणात दोन असमान गोष्टी - तर्क व अनुभव - एकमेकाशी संबंधित असून दोन्ही खऱ्या ठरू शकतात हा दावा केला आहे. झेनोचा तर्क, अचिलिस टार्क्विनच्या रेषेपर्यंत पोचणारच नाही यावर ठाम आहे. परंतु प्रत्यक्ष अनुभवात अचिलिस त्या रेषेपर्यंत पोचतो; एवढेच नव्हे तर टार्क्विनला मागे टाकत, त्याला हरवून रेस जिंकतो. त्यामुळे तर्क बरोबर की अनुभव बरोबर या विरोधाभासाच्या संभ्रमावस्थेत आपण सापडतो.
काही जणांना या तर्कपद्धतीतच दोष आहे असे वाटण्याची शक्यता आहे. परंतु ही तर्कपद्धती काळ व अवकाशात सातत्य असून त्यांचे बारीकातील बारीक असे अगणित तुकडे करता येतात यावर आधारलेली आहे. अवकाशाचा बारीकसा तुकडा केला तरी अवकाश तसाच राहतो. पाण्याने तुडुंब भरलेल्या विहिरीतील पाणी व त्यातील पाण्याचा एक थेंब यात (पाणी या संज्ञेशी इमान राखल्यास) फरक करता य़ेत नाही. अवकाशही तसाच आहे. अवकाशाचे गुणविशेष असलेल्या लांबी, रुंदी, उंची, वा खोली यावरून अवकाशाचे लहान लहान तुकडे केले तरी शेवटच्या तुकड्यातही अवकाशाचेच गुणविशेष सापडतील. काळाचे सुद्धा मिनिट, सेकंद, मायक्रोसेकंद, नॅनोसेकंद .... असे अगदी बारीक बारीक क्षणात विभागणी करता येते. त्यामुळे अचिलिसच्या मनात काळ व अवकाश यांच्यातील दरी पार करून टार्क्विनच्या स्टार्टिंगच्या रेषेपर्यंत पोचणारच हा एक आशावाद दडलेला होता. मुळात यातच काही तरी गोची आहे. काऱण एक असा क्षण येतो की काळ व/वा अवकाश यांचे आणखी बारीक तुकडे करणे अशक्यातली गोष्ट ठरू शकते. म्हणूनच अचिलिस स्टार्टिग पॉंइंटपर्यंत पोचतो व टार्क्विनला मागे टाकून रेस जिंकतोही!
परंतु येथे आणखी एका तर्कविसंगतीत आपण अडकण्याची शक्यता आहे. अवकाशाच्या बारीकातल्या बारीक तुकड्याला लांबी, रुंदी वा उंची असे काही नसणार. जर तसे काही असल्यास तो बारीकातील बारीक तुकडा होऊ शकणार नाही. त्याचे पुन्हा तुकडे करता येतात. जर अवकाशाचा एक अविभाज्य भाग असलेल्या तुकड्याला कुठलेही डायमेन्शन नसल्यास अशा सहस्रावधी - कोट्यावधी तुकड्यापासून बनलेल्या अवकाशाला डायमेन्शन्स का असावेत? हाच उपमान काळ या संकल्पनेलाही लागू होतो. काळाचे तुकडे करत असताना एक वेळ अशी येते की यापुढे त्याचे विभाजन करणे शक्य होत नाही. या बारीक क्षणाचे तुकडे होत नसल्यास अशा अपरिमित व अगणित क्षणांपासून बनलेल्या काळाला कालावधी कसा काय असू शकतो? त्यामुळे आता आपल्याला दोन विरोधाभासांचा सामना करावा लागणार आहे. व हे दोन्ही विरोधाभास खरे ठरल्यास दोन संभाव्य गोष्टी असंभाव्यतेकडे नेण्याची शक्यता आहे. यात काही तरी गोधळ आहे हे मात्र नक्की!
यातून आपली सहजासहजी सुटका नाही. याचे उत्तर शोधण्यासाठी गणिताच्या जंजाळात अडकून पडावे लागेल. आरामखुर्चीत बसून कासवाच्या रेससंबंधी केलेले तार्किकभाष्य विश्वासार्हही नाही व ते नैसर्गिक नियमांना अनुसरूनही नाही. गडद अंधारात विजेचा पांढरा बल्ब वापरून उजेड करता येतो. परंतु उजेडात काळा बल्ब वापरून अंधार करता येत नाही. येथे तर्क लढवता येत नाही. म्हणूनच वाद - प्रतिवादात एकमेकाच्या चुका शोधण्यापुरतेच तर्ककर्कशपणा ठीक ठरेल. यातही तर्क चुकीचा नसतो; परंतु प्रत्यक्ष अनुभवाशी जेव्हा तर्कपद्धतीचा पडताळा पाहण्याचा प्रयत्न होतो तेव्हा घोटाळा होतो.
म्हणूनच झेनोला धारातिर्थी पडावे लागले!
झेनोचा पॅराडॉक्स
हाच विरोधाभास वेगळ्या प्रकारे सांगता येईल
एका आटपाट नगरीत विशुद्ध गणित (Prue Mathematics) विषयातील एक तज्ञ व दुसरा उपयोजित गणित (Applied Mathematics) विषयातील तज्ञ विद्यार्थ्यांना गणिताचे धडे देत असत. त्यांच्या प्रशिक्षणामुळे विद्यार्थी तार्किकरित्या विचार करू लागले. हुशार होऊ लागले व तेथील राजाला अडचणीचे प्रश्न विचारू लागले. राजाला गणितज्ञांचेच कृत्य आहे हे कळल्यानंतर दोन्ही गणितज्ञांना पकडून तुरुंगात टाकतो. एके दिवशी त्यांना राजाच्या समोर न्याय निर्णयासाठी हजर केले जाते. त्यांना आजन्म कारावासाची शिक्षा सुनावली जाते. शिक्षेत सूट हवी असल्यास राजा त्यांच्या समोर पर्याय ठेवतो.
चॉकलेटचा तुकडा समोरच्या भिंतीला चिकटून ठेवला जाईल. व हे चॉकलेट तुम्हाला खावून संपवायचे आहे. त्यासाठी फक्त एक अट आहे. काही ठराविक वेळेत चॉकलेट व तुमच्यातील अंतर अर्ध्या अर्ध्याने कमी करत करत चॉकलेटपर्यंत पोचणे. ही अट पाळून चॉकलेट खाल्ल्यास ताबडतोब सुटका होईल. हा पर्याय नको असल्यास व तसे लिहून दिल्यास फक्त 10 वर्षे शिक्षा भोगावी लागेल. आहे तयारी?
दोघेही तज्ञ आपापसात चर्चा करू लागले. विशुद्ध गणितज्ञाच्या मते ही अट आपण कधीच पाळू शकणार नाही. कारण दर ताशी अर्धे अर्धे अंतर कापत गेले तरी शेवटी काही अंतर उरणारच की. त्यामुळे आताच पर्याय नको असे लिहून दिल्यास आपल्याला फक्त 10 वर्षेच शिक्षा होणार. मलाही गणितातील काही न सुटलेल्या कूट प्रश्नावर विचार करायचा आहे व त्यासाठी हा वेळ पुरेसा आहे. आपण तसे राजाला कळवू या.
उपयोजित गणितज्ञ मात्र पर्याय स्वीकारावा या मताचा होता. आपण अर्धे अर्धे अंतर कापत गेल्यास एका क्षणी आपण चॉकलेटच्या अगदी जवळ पोचू. माझी जीभ कमीत कमी 4 सेंमी लांबून चॉकलेट चाटू शकते. व खावून संपवूनही टाकू शकते. त्यामुळे हा पर्याय स्वीकारून मी माझी सुटका करून घेणारच.
उपयोजित गणितज्ञ मौजमजा करत घरी व विशुद्ध गणितज्ञ जेलची हवा खात जेलमध्ये!
https://plus.google.com/photo
https://plus.google.com/photos/102676953318994666706/albums/5760574468142225889?banner=pwa
चेतन सुभाष गुगळे
भ्रमणध्वनी - ०९५५२०७७६१५
Electronic Mail Address :- chetangugale@gmail.com
पटलं नाही
झेनोच्या युक्तिवादातला पॅराडॉक्स बारीकातल्या बारीक अगणित तुकडे करण्यामुळे निर्माण होत नाही. तर अगणित तुकड्यांची बेरीज ही सांत, मोजण्याइतकी असू शकेल यावर सामान्य माणसाचा असणारा अविश्वास यामुळे तो पॅराडॉक्स वाटतो. आरामखुर्चीत बसण्याचा, अनुभव आणि तर्क यात फारकत असण्याचाही संबंध नाही. आरामखुर्चीतच बसून इन्फायनाइट सिरीजची बरोबर बेरीज केली तर हा पॅराडॉक्स नाहीसा होतो. त्याला गणिती जंजाळात अडकणं का म्हटलं आहे कळत नाही. अतिशय सोपं गणित आहे ते. अकरावीतली मुलं सहज करतात.
येऊ शकतो. यात केवळ तांत्रिक अडथळा आहे इतकंच. पण प्रकाशाऐवजी तुम्ही ध्वनिलहरींचा विचार केलात तर नॉइज कॅन्सलेशन हेडफोन मिळतात. ते चालू केले की आवाजात शांतता निर्माण होते.
बहुधा चुकलेले आख्यान
झेनोच्या विरोधाभासांचे हे आख्यान बहुधा चुकलेले आहे. झेनोचा विरोधाभास ज्ञानशास्त्रातला (epistemology मधला) आहे. आकिलीस कासवाला ओलांडून गेला या घटनेच नकार झेनो करत नाही. आपण हे जाणू शकतो, ते कसे? याबाबत झेनोचा प्रश्न आहे. हा प्रश्न खरोखरची शर्यत लावून सुटायचा नाही.
बर्ट्रांड रसेलच्या मते हा प्रश्न कँटोरच्या सिद्धांतांपर्यंत सुटत नाही.