गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा -3 : शून्यातून विश्व

क्रि. श 10 व्या शतकापर्यंत शून्य ही एक संख्या असू शकते याचा विचारही कुणी केला नव्हता. ग्रीक तज्ञांनी नाही; अरिस्टॉटल, युक्लिड, अर्किमिडिस, पायथागोरस यांच्यापैकी कुणीही नाही. रोमन्सनासुद्धा हा विचार शिवला नव्हता. भारतीयांच्याही हे लक्षात आले नव्हते. या सर्वांना गणिताचा परिचय होता. परंतु संख्यांच्या स्वरूपाविषयी ते अनभिज्ञ होते. त्याकाळी कदाचित रोजच्या व्यवहारात गणिताला स्थान नसेल. ग्रीक व रोमन्स यांच्या मते ऋण (negative) संख्या असूच शकत नाही. रिक्तपणाच्या खाली काही असू शकत नाही याची पुरेपूर खात्री त्यांना होती. त्यामुळे शून्य या संख्येची त्यांना कधीच गरज भासली नाही.

6 व्या शतकात दक्षिण भारतातील गणितज्ञांनी शून्य ही संकल्पना मांडलेली असली तरी त्यांच्या दृष्टीने शून्याला स्वतंत्र अस्तित्व नव्हते. दशमान पद्धतीत एखादी संख्या लिहिताना जेथे अंक नसेल तेथे अभावसूचक म्हणून शून्य या संज्ञाचा वापर होत असे. 4+6 = 10 यात 1 दशम स्थानी व 0 एकम स्थानी दाखवले जात होते. यातून एकमस्थानी काहीही नाही हे दर्शविणाऱ्या एखाद्या संज्ञेची गरज होती व ती गरज भारतीय गणितज्ञांनी शून्य या संज्ञाद्वारे भरून काढली. अरब तज्ञांनी हीच दशमान पद्धत वापरून गणिताचा विकास केला. या शून्य संज्ञेला ते सिफर म्हणू लागले.

नंतरची सुमारे 400 वर्ष शून्याचा वापर फक्त अभावसूचक म्हणूनच होत असे. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार भागाकार यात त्याचा वापर नव्हता. शून्य, धन की ऋण, याचेही उत्तर त्यांच्यापाशी नव्हते. संख्यामधील रिक्त स्थान भरणारी संज्ञा एवढेच स्वरूप त्याचे होते. 2003 व 2030 या संख्यांना वेगळी दर्शविणारी ती पद्धत होती. अन्यथा या दोन्ही संख्या कदाचित 23 किंवा आणखी काही तरी लांबलचक पद्धत वापरून लिहावी लागली असती.

8 व्या शतकात भारतीय संख्यापद्धत अरब जगात पोचली. अल् ख्वारिझ्मी (क्रि. श 780 - क्रि. श 850) या गणितज्ञाने सिफरला संख्या पद्धतीत सामावून घेतले. नवीनच उदयास आलेल्या बीजगणितातील समीकरणांसाठी याची नितांत गरज आहे हे त्यानी ओळखले.

इंग्रजीतील अल् जिब्रा हा शब्दच अरेबिक भाषेमधील अल् जिब्र या शब्दावरून घेतला होता. अल् जिब्र याचा अर्थ कमी करणे, वा उत्तर शोधणे. याच काळात अमेरिकेतील माया संस्कृतीनेसुद्धा अरबाप्रमाणे शून्याला संख्या पद्धतीत स्थान दिले. परंतु माया संस्कृती अस्तंगत झाली व अरब संस्कृती वृद्धींगत होत गेली.

शून्याला संख्या पद्धतीत स्थान असून संख्या रेषेवर शून्याचा समावेश झाल्यास अनेक प्रश्न सुटतील याची ही एक कथा.

****

बगदाद शहरात रोजच्या प्रमाणे व्यवहार चालू होते. वाळवंटातील हिरवळ असलेले हे शहर मोठे व्यापारी केंद्र होते. केशराचा, मसाले सामांनाचा, रेशमी वस्त्रांचा व्यापार होत असल्यामुळे वातावरण वेगवेगळ्या वासानी दरवळत होते. बाजार उंटाच्या डेर्‍यानी घेरलेला होता. बाजारापासून थोड्याशाच अंतरावर दूरपर्यंत खजूरांची झाडं पसरली होती. बगदाद शहराला ही झाडं शोभा देत होत्या. टायग्रस नदीच्या काठच्या या शहराच्या पलिकडे तळपणारा सूर्य, लांब पसरलेले वाळवंट व जोराचा वारा यामुळे शहरात प्रवेश करण्यापूर्वी प्रवासी पूर्णपणे थकून जात असत. बाहेरचा हा थकवा शहरात शिरल्या शिरल्या कुठेतरी नाहिसा होऊन अंगात तरतरी येत होती. कापडी पडद्यांने बंद केलेल्या घरांनी वेढलेल्या लहान लहान बोळा-बोळातून फिरताना व मध्यभागी असलेल्या मोकळ्या मैदानातील बाजारात प्रवेश करताना आपण एका वेगळ्या जगात प्रवेश करत आहोत की काय असे वाटत होते. रेशमी वस्त्र विकणारे, पुस्तकांची खरेदी-विक्री करणारे, परदेशी चलन वटवणारे, जडी-बुटी विकणारे, आहार धान्याचे व्यापारी, मसाले सामांनाचे व्यापारी, इत्यादीमुळे गजबजलेल्या या बाजारात काही वेळा पाय ठेवायलाही जागा मिळत नव्हती. बाजारभर पसरलेल्या या विविध वासातून सुटका नाही असे वाटत होते. मातीची बैठी घरं व दुकानं, बुरखा घातलेल्या बायकांचा गट व त्यांची कुजबूज, हसणं खिदळणं, आडोश्याला उभारून चाललेल्या गप्पा, यामुळे बाजारातून बाहेर पडणे नकोसे वाटत होते. याच बाजारात कित्येकांचे दैव उजळून निघत होते व कित्येंकांच्यावर दुर्दैव कोसळत होते !

क्रि. श. 800 चा काळ होता. वाळवंटी प्रदेशात पावसाळा, हिवाळा व उन्हाळा याच्यांत फरक जाणवत नसला तरी बगदाद शहर त्यावेळी वसंतागमनाने न्हाऊन निघत होता, खजूराच्या झाडावर पिकलेले खजूर लटकले होते. चारी बाजूने मौजमजेची, आंनदाची चाहूल जाणवत होती. बाजाराच्या समोरच्याच एका छोट्या डोंगरावर बगदादच्या खलिफाचा राजवाडा होता. दिवसाचे 24 तास व वर्षाचे 365 दिवस थंडगार ठेवण्याची अंतर्गत व्यवस्था राजवाड्यात होती, याच राजवाड्यात आज एक मोठी चर्चा होणार होती. या चर्चेसाठी मुहम्मद इब्न मुल्ला उर्फ अल् ख्वारिझ्मी येणार होता. चाळीस वर्षाच्या या ख्वारिझ्मीचे दाढीचे व डोक्यावरच्या केसात कुठे तरी पांढरे केस नुकतेच दिसू लागले होते. अरब जगातील एक अत्यंत प्रसिध्द गणितज्ञ तो होता. भारतातील आर्यभट्टानंतर त्या काळचा महान गणिती अशी त्याची ख्याती होती.

चर्चेत भाग घेणारी दुसरी व्यक्ती म्हणजे खुद्द खलिफा अल् मामून होता. लांबवर पसरलेल्या वाळवंटी प्रदेशाचा तो राजा होता. व बगदाद ही त्याच्या राज्याची राजधानी होती. गेली वीस वर्षे तो राज्य करत होता. त्यानी आपल्या राजवाड्याला House of Wisdom असे नाव ठेवले होते. त्यामुळे जगाच्या कानाकोपर्‍यातून अनेक अभ्यासक या शहराला भेटी देत होते. खलिफाशी चर्चा करत होते. खलीफाच्या दरबारात चर्चेसाठी कुठलाही विषय वर्ज्य नव्हता.

आजच्या चर्चेत भाग घेणार्‍यातील तिसरी व्यक्ती अहंमद बिन अझीझ होती. हाही त्या काळातील एक मोठा गणितज्ञ होता. अगदी बारीक अंगकाठीच्या या अहंमदकडे पाहिल्यानंतर हा भरपूर भुकेला असावा असेच लोकांचा ग्रह होत होता. बटबटीत डोळे असलेल्या अहंमदची चाल सुध्दा झोकांड्या खाल्यासारखी वाटत होती.या तिघामधील आजचा चर्चेचा विषय होता सिफर. सिफर म्हणजे रिक्त जागा वा आपल्या समजूतीप्रमाणे शून्य.
ख्वारिझ्मीकडे बोट दाखवत खलीफ तावातावाने बोलत होता.
"पंधरा वर्षापूर्वी तू जेव्हा भारतीय संख्या पद्धत येथे घेऊन आलास व त्यांच्या श्रेष्ठत्वाविषयी तू मला सांगू लागलास तेव्हा आम्ही सर्व त्या संख्या आनंदाने स्वीकारल्या. आमच्या प्रमाणे संपूर्ण अरब जगताने त्याचे स्वागत केले. परंतु त्या वेळी सिफर म्हणजे दशांश पद्धतीतील अभाव सुचवणारी एक प्रतीक एवढेच तू सांगत होतास. वास्तव संख्येत (real numbers) एखादी जागा रिकामी असल्यास ती भरून काढण्यासाठी सिफरचा वापर होतो हे तुझे म्हणणे आम्हाला त्यावेळी पूर्ण पटले होते. त्यामुळे या सिफरला काही किमंत नाही असे वाटत होते."
अहमंद खलिफाच्या प्रत्येक वाक्यागणिक डोके हलवत होता. " खाविंद, तुमचे म्हणणे पूर्णपणे बरोबर आहे." ख्वारिझमी सांगू लागला, "परंतु मी जेव्हा त्याचा खोलात जाऊन अभ्यास करू लागलो तेव्हा सिफर केवळ अभावसूचक नसून त्याच्यापेक्षा जास्त काही तरी आहे हे माझ्या लक्षात आले."
"जास्त म्हणजे..." खलिफा
"आणखी जास्त .... " अहंमदची पुस्ती
"इतर संख्येप्रमाणे सिफर हीसुद्धा एक संख्या आहे. व त्याला संख्येचा दर्जा दिल्यास अंकगणित व बीजगणित यातील अनेक समस्यांना उत्तर मिळू शकेल, अशी माझी खात्री झाली आहे."
"परंतु शून्य ही संख्या होऊ शकत नाही." अहंमद तावातावाने वाद घालू लागला. "संख्यात जेथे अंक नाही ते स्थान भरून काढण्यासाठी केलेली ती एक सोय आहे. त्यापेक्षा त्याला जास्त किंमत द्यायची गरज नाही. संख्या म्हणून त्याचा वापर करण्याची गरज नाही."
खलिफा दाढी कुरवाळत "अहंमदच्या विधानात सत्य आहे. सिफरला संख्यांचा दर्जा देणे योग्य ठरणार नाही. संख्यांच्यापेक्षा सिफर अत्यंत वेगळे आहे. परंतु आता एकदम ती संख्या कशी काय होऊ शकते?"
"आपण सिफरला संख्येचा दर्जा द्यायला हवी.” ख्वारिझ्मी निश्चयी स्वरात म्हणाला. “आपण तिघानी मिळून हे काम न केल्यास गणित पुढे जाऊच शकणार नाही. अल्लाची मेहरबानी हवी असल्यास ...."
" हे कसे काय शक्य आहे? जे मुळातच अस्तित्वात नाही त्यातून नवीन काही तरी कसे काय काढू शकतो?" इती अहंमद.
"सिफरला संख्या न मानल्यामुळे गणितात प्रगती का होऊ शकणार नाही? "खलिफाचा प्रश्न.
"अहंमद, तुझा प्रश्न अगदी साधा आहे." ख्वरिझ्मी सांगू लागला. "इतर संख्यांना जे नियम लागू होत असतात तेच नियम सिफरलाही लागू केल्यास सिफरसुद्धा संख्या होऊ शकेल. जंहापनाह, तुमच्या प्रश्नाचे उत्तर जरा कठिण आहे." अल् ख्वारिझ्मी येरझारा घालत घालत खजुराच्या भांड्यातील एक खजूर घेतला. " संख्या मोजण्यासाठी आपल्याला सिफरची गरज नाही. ग्रीक व रोमन्स सिफर माहित नसतानासुद्धा संख्या मोजतच होते. त्यांना कधी अडचण आली नाही. संख्यांची बेरीज व गुणाकार यातील रिक्त स्थान दाखवण्याची पद्धत भारतीय गणितज्ञांनी अंमलात आणली. सिफरचा वापर कसा करावा हे आपण त्यांच्याकडून शिकलो. वजाबाकी व भागाकार यांची गोष्टच वेगळी. 8 मधून 8 वजा केल्यास काय शिल्लक राहील? "
"काही नाही." अहंमदचे उत्तर.
" चूक, 8 मधून 8 वजा केल्यास सिफर शिल्लक राहते. यात पुन्हा 7 जमा झाल्यास काय उत्तर येईल?"
" सात" खलिफाचे उत्तर
" खाविंद मला हेच म्हणायचे आहे." ख्वारिझ्मी उत्तेजित स्वरात सांगू लागला. "सिफर जर संख्या नसती तर त्यात 7 जमा करताच आल्या नसत्या. सिफर संख्या नसल्यास तुम्ही तसे करू शकणार नाही. कारण संख्येतच संख्येची बेरीज होऊ शकते. गुणाकार होऊ शकतो. 8-8 चे उत्तर संख्या नसल्यास त्यात 7 ची बेरीज करताच आली नसती. त्यामुळे 0 ही संख्या असलीच पाहिजे. अन्यथा वजाबाकी अशक्य! "
अहंमदचा अस्वस्थपणा जाणवू लागला. त्याचे डोळे विस्फारले. ओठावर जीभ फिरू लागली. खलिफा डोळे मिटून स्वस्थ बसला. त्याला काही सुचतच नव्हते. उत्तर देण्याच्या स्थितीत तो नव्हता.
"अरे यार, मला तुझे हे म्हणणे नक्कीच पटते. तू महान गणितज्ञ आहेस याबद्दल माझ्या मनात बिलकुल संशय नाही. परंतु सिफरच्या बाबतीत माझा एक प्रश्न आहे. कुठलिही संख्या एकतर धन असते किंवा ऋण असते. सिफर या दोन्हीपैकी कुठलीही नाही. तरी आपण तिला संख्या का म्हणावे?"
"हुजूर, तुम्ही बरोबर ओळखलात. सिफर ही एकच अशी संख्या आहे की त्याला आपण धन किंवा ऋण ही संज्ञा त्याच्याशी जोडू शकत नाही. या दोन्ही प्रकारच्या संख्यांना balance करणारी व संख्यारेषेच्या मध्यभागी असणारी अशी ही संख्या आहे. धनसंख्यांची, समीकरणांची वा आलेखांची (graphs) सुरुवातच या संख्येतून होते. अनंतापर्यंत जाणारे धन संख्या संच व ऋण संख्या संच यांना सिफर जोडून ठेवते. "
अहंमद फळ्यावरील काही संख्या पुसून काढत " तू जे काही सांगत आहेस ते अंशत: खरे असू शकेल. सिफर हे आकडे मोजण्यासाठी नक्कीच उपयोगी पडू शकते याबद्दल दुमत नाही. संख्यांच्या बाबतीतील काही प्रश्नांची उत्तरं ही संख्या देऊ शकते हेही मान्य. उदाहरणार्थ, जेथे काहीही नसल्यास तेथे किती आहेत या प्रश्नाचे उत्तर सिफर होऊ शकेल. बेरीज - वजाबाकीबद्दलचे तुझे हे प्रयत्न नक्कीच प्रशंसनीय आहेत. परंतु संख्यांचा वापर गुणाकार व भागाकारासाठीसुद्धा व्हायला हवा." असे म्हणत त्यानी फळ्यावर काही आकडे काढले व तो म्हणाला " तुझे सिफर हे करू शकत नाही हे तुला मान्य असायला हवे. "
खलिफाचे लक्ष ख्वारिझ्मी काय उत्तर देतो याकडे होते.
" भागाकारासंबंधी मी विशेष प्रयत्न केले आहेत व त्यासाठी भरपूर वेळही घालवला आहे. परंतु आपण प्रथम गुणाकारापासून सुरुवात करू या. ते तुलनेने सोपे आहे." अल् ख्वारिझ्मीने कमरेला बांधलेल्या पिशवीमधून मूठभर नाणी बाहेर काढून ठेवत " मी तुला याच्यातील एक नाणं देतो " असे म्हणत अहंमदच्या समोर एक नाणे ठेवला. " याला 4 ने गुणिल्यास किती नाणी होतील?"
" 4 " अहंमदचे उत्तर.
" म्हणजे मी तुला एकेक नाण्याचे चार वाटे द्यायला हवेत. मी तुला आता 2 नाणी देतो. व त्याचे 4 पट म्हणजे किती नाणी?"
" 8, ख्वारिझ्मी, हे सर्व आपण अंकगणितात शिकलेलो आहोत. याचा या सिफरशी काय संबंध? " अहंमदचा प्रतीप्रश्न.
अल् ख्वारिझ्मी त्याला गप्प बसण्याची खूण करत " तुझं 8 उत्तर बरोबर आहे. यासाठी मला दोन दोन नाण्याचे 4 वाटे द्यायला हवेत. "
ख्वारिझ्मी अहंमदच्या हातातील दोन्ही नाणी परत घेतो. "आता मी तुला सिफर नाणे दिलेले आहेत. आणि सिफरला तू जर 4 ने गुणिल्यास मला सिफरचे 4 वाटे द्यावे लागतील. बरोबर?"
अहंमदचे डोळे गरागरा फिरू लागले. " तू सिफरचा गुणाकार करू शकत नाही. ते अशक्य आहे. " अहंमद.
"चूक, मित्रा, मी तुला अगोदर सांगितल्याप्रमाणे चार वाटे देतो. फक्त त्यात एकही नाणं नसणार. "
खलिफा डोळे विस्फारत म्हणाला. "म्हणजे तुझ्या मते शून्याशी गुणाकार केल्यास उत्तर शून्यच येणार. परंतु दुसर्‍या कुठल्याही संख्येला 4 ने गुणिल्यास उत्तर म्हणून तीच संख्या कधीच येणार नाही. "
"बरोबर आहे हुजूर, सिफर ही एक अजब, मजेशीर व एकमेव अशी संख्या आहे. तरीसुद्धा आपण त्यापासून दूर जाऊ नये व त्याची भीती बाळगू नये. गणितातील इतर नियम सिफरलाही लागू करावे."
"मग 0 x 0 याचे उत्तर काय असेल? " अहंमदचा खोडकर प्रश्न.
अहंमदकडे एक नजर टाकत "नाण्याचा एकही वाटा नाही व त्या वाट्यात एकही नाणं नाही. असे असल्यास त्याचे उत्तर सिफरच असणार."
"गंमतीशीर आहे. भागाकाराचे काय?" खलिफा
अल् ख्वारिझ्मीला हा कठिण प्रश्न अपेक्षितच होता. " हुजूर, शून्याने भागाकार हे समजून घेण्यासाठी थोडेसे कष्ट घ्यावे लागतील. तरीसुद्धा मी प्रयत्न करतो. 100 नाण्यामधून एकेक नाण्याचा वाटा करायचे असल्यास 100 वाट्या होतील. 10 वाटे केल्यास प्रत्येक वाट्यात 10 नाणी असतील. कमी वाट्या म्हणजे वाट्यातील नाण्यांची संख्या जास्त."
त्यांना आपण जे काही सांगत आहे ते कळले की नाही यासाठी खलिफा व अहमदकडे नजर टाकून तो पुढे सांगू लागला. "वाट्याची संख्या कमी केल्यास वाट्यात जास्त नाणी बसणार. मी भाजक (diviser) जितका लहान लहान करत जाईन त्याच प्रमाणात भागाकाराचे उत्तर मोठे मोठे होत जाणार. भाजक 1 असल्यास उत्तर 100 ला पोचले. मी आणखी कमी करत करत सिफर पर्यंत आणल्यास उत्तर आणखी मोठे मोठे होत जाईल."
"मोठे म्हणजे किती मोठे?" अस्वस्थ खलिफाचा प्रश्न, खलिफाच्या या अस्वस्थेमुळे चवरीने घालणाऱ्या नोकरांची तारांबळ उडत होती.
"खाविंद, आपण प्रथम अपूर्णांकाचे बघू या. अपूर्णांकाने भागाकार करता येते हे आपल्याला माहित आहे. 100 ला 1/2 ने भागाकार करणे म्हणजे 2 ने गुणाकार केल्यासारखे. व त्याचे उत्तर 200 येईल. जर 1/10 ने भागाकार केल्यास उत्तर 1000 येईल. 1/1000 ने भागिल्यास उत्तर 100000 येईल. परंतु सिफर यापेक्षा कित्येक पटीने लहान आहे. त्यामुळे सिफरने भागिल्यास उत्तर फारच मोठा असणार.”
"मोठा म्हणजे किती मोठा.... " खलिफा
"हुजूर, माफ करा, मी जरा जास्तच वेळ घेत आहे. याचे उत्तर शोधण्यासाठी मी शेवटी आलेखांचा वापर केला. वाटा इतका लहान होत गेला की नंतर त्यात काही शिल्लक राहिले नाही. त्याचवेळी संख्या वाढत वाढत अनंतापर्यंत (infinity) पोचली. परंतु इन्फिनिटी ही संख्या नाही हे आपल्याला माहित आहे. त्यामुळे सिफरने भागिल्यास उत्तर इन्फिनिटी येणार हे मात्र नक्की. "
"याचाच अर्थ सिफर काही कामाचा नाही, हे तुला मान्य असायला हवे." अहंमद तिरकसपणे म्हणाला.
"तरीही सिफर ही एक संख्या होऊ शकते. काऱण जरी याच्या भागाकारातून एक निर्दिष्ट उत्तर येत नसले तरी सिफरने भागाकार करणे शक्य आहे, हे मान्य करायला हवे. सिफर संख्या नसती तर भागाकाराचा प्रश्नच उपस्थित झाला नसता."
अहंमदच्या पदरी निराशा. खलिफा दाढी खाजवत विचार करू लागला. तितक्यात एक नोकर खलिफासाठी निरोप घेऊन आला. आणि त्याच्या कानात कुजबुजला. अल् मामूम खलिफा उभा राहिला. "मला आता जायला हवे. या नवीन संख्याचे फार छान समर्थन केलस. तू जेव्हा भारतीय अंक पद्धती घेवून आलास तेव्हा मला तेवढे महत्व कळले नव्हते. परंतु माझ्या अपेक्षेपेक्षा किती तरी पटीत त्या पद्धतीचे मूल्य आहे हे आता कळू लागले. बीजगणित व अंकगणित यांना या सिफरच्या अभावसूचकतेमुळे वेगळी कलाटणी मिळाली. तरीसुद्धा मी अजूनही सिफरला संख्या म्हणण्यास धजत नाही. याची आपण उद्या चर्चा करू या." असे म्हणत सर्व उपस्थितांचे निरोप घेत लवाजम्यासह तो बाहेर पडला.

****

दुसऱ्या दिवशीची दुपारची वेळ होती. नेहमीप्रमाणे दरबार भरला. सिंहासनावर खलिफा व खालच्या मऊ गालिच्यावर मांडी घालून अहंमद व ख्वारिझ्मी बसले.
“मी तुला आज दोन प्रश्न विचारणार आहे. तुझे उत्तर बरोबर असल्यास तुझ्या या सिफरला संख्येचा दर्जा देऊन टाकू.”
“तुझ्या म्हणण्याप्रमाणे कुठल्याही संख्येला शून्याने भागिल्यास उत्तर म्हणून अती प्रचंड संख्या येते व त्याची व्याख्या करता येत नाही. हे बरोबर आहे ना? आता तू मला सांग, शून्याने शून्याचा भागाकार करता येते का ? व करता येत असल्यास त्याचे उत्तर काय असू शकेल?"
हा प्रश्न ऐकून अहंमद गालातल्या गालात हसत होता. मात्र ख्वारिझ्मी क्षणाचाही विलंब न लावता सांगू लागला. "हुजूर, ज्या भागाकाराचा आपण उल्लेख करत आहात ती एक भागाकारामधील अपवादात्मक बाब आहे. अस्तित्वातच नसलेल्या वस्तूंचे वाटे करून ठेवता येत नाही व विशेषकरून त्यात काहीही नसताना. ही एक असाधारण स्थिती आहे. व अव्याख्यात व अनिश्चित अशी ही बाब आहे."
" याचाच अर्थ सिफर ही संख्या नाही का?" अहंमदचा प्रतीप्रश्न.
"याचा अर्थ गणिताविषयीचे आपले अज्ञान असे म्हणता येईल. व हे अज्ञानच विशिष्ट बाब समजून घेण्यातील मुख्य अडथळा आहे."
"म्हणजे सिफर ही संख्या आहेच!" खलिफा
" शंभर टक्के!" ख्वारिझ्मी
खलिफा म्हणाला " ठीक आहे. आता माझा दुसरा प्रश्न. अरिस्टॉटल यानी घातांकाची कल्पना मांडली. त्यामुळे त्याच त्याच संख्येचा अनेक वेळा गुणाकार लिहिणे सोपे झाले.. उदा,
4x4 = 42;
4x4x4 = 43. यावरून 40 वा सामान्यपणे X0याचे उत्तर काय असू शकेल?"
" खाविंद, फार सुरेख प्रश्न!" अहंमदची टिप्पणी.
" मला माहित आहे.” खलिफाची प्रतिक्रिया. “याचे उत्तर काय?”
अल् ख्वारिझ्मी उत्तर देऊ लागला " x3 याचे गुणक x2, x किंवा x, x, x (यात x तीनदा) असे असतील. x2 चे गुणक x, x (यात x दोनदा) येतील त्याचप्रमाणे x1मध्ये x एकदाच येईल. बीजगणिताच्या प्राथमिक नियमानुसार......”
“ते मला कळले. म्हणजे x0 यामध्ये x ही नसणार व 0 ही नसणार.”
“तसे नव्हे हुजूर, कारण x1 म्हणजे x0 गुणिले x. असणार. जर x0 याचे उत्तर 0 असल्यास x1 ही शून्य झाले असते. कारण 0 गुणिले 0 ही शून्यच झाली असती. परंतु तशी स्थिती नाही. हुजूर, x1 म्हणजे x च असणार. त्यामुळे x0 ची किंमत 1 असायला हवी."
"काय...!" अहंमद जवळ जवळ ओरडला.
खलिफा मात्र गालातल्या गालात हसत होता. "ख्वारिझ्मी, फारच छान. तू पुन्हा एकदा बाजी मारलीस. मित्रा, फार सुंदर मांडणी. तू चांगल्या प्रकारे शून्याचे समर्थन करू शकलास. सिफरची गणना संख्यामध्ये होत राहणार. व केवळ अभावसूचक म्हणून नव्हे. आपली संख्या रेषा ऋण इन्फिनिटीपासून धन इन्फिनिटीपर्यंत जात असल्या तरी त्याच्या मधोमध शून्य असणार."

****

अरबस्तानच्या त्या उन्हाळ्यातील या एका आविष्कारामुळे बीजगणित, कॅल्क्युलस, भूमिती, या विषयांना कलाटणी मिळाली. शिवाय अभियांत्रिकी, विज्ञान इत्यादींच्या वापरातील गणित शाखा समृद्ध झाल्या. संख्यारेषेवर शून्याचे अस्तित्व नसते तर आपण एवढे प्रगती करू शकलो नसतो.

तरीसुद्धा पुढील 500 वर्षे या शून्याचे अस्तित्व नाकारण्यात आले. त्याच्या कारणाचा शोध हा एक वेगळा लेख होऊ शकेल!

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः

field_vote: 
4.5
Your rating: None Average: 4.5 (4 votes)

प्रतिक्रिया

या विषयावरील 'यू ट्यूब'वरील एक व्हिडिओ...

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

शैली मस्त आवडली. पण ते शून्याला शून्याने भागल्यास उत्तर इनडिटरमिनेट येते वैग्रे प्राचीन भारतीय गणितग्रंथांमध्ये नमूद आहे. नक्की कुठला गणिती ते आता आठवत नाही. पुस्तकात पाहून सांगतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

कथा रोचक.
दोन दुरुस्त्या सुचवाव्या वाटतात.
"सिफ़र " ह्या शब्दाचा नेमका अर्थ मला थाउक नव्हता अलिकडपर्यंत; पण तो पर्शियन शब्द आहे, अरबी नाही, हे नक्की.
दिवसाचे 24 तास व वर्षाचे 365 दिवस थंडगार ठेवण्याची अंतर्गत व्यवस्था राजवाड्यात होती
गर्रर्रर्र...
मुस्लिम लोकांचं क्यालेंडर चांद्र पद्धतीचं असतं, ते सुमारे ३५५ दिवसाचं असतं ना म्हणे? म्हणून तर रमझान दरवेळी ग्रेगोरियन क्यालेंडराच्या
भाषेत १० दिवस आधी येत येत कधी हिवाळयत, तर कधी पावसाळयत असा मस्त्पैकी वर्षभर फिरत असतो.
बगदाद हे ११व्या १२व्या शतकापर्यंत मुस्लिम संस्कृतीचं , खलिफाचं इपिसेंटार असल्ल्यानं तिथं चांद्र पद्धतच वापरत असावेत.
वाचकासही तो माहौल फिरवून आणायला त्याच संज्ञा वापरणं इष्ट ठरेल.
शिवाय २४ तासाऐवजी दिवसाचे ते कसे भाग करीत हे ही पहायला हवं.(आपल्याकडे कसे आठ प्रहर असतात, तसे त्यांच्याकडे काय असेल ते.)
.
हे असच बानु मुसा बंधूंबद्दल्ही लिहिता आलं तर मजा येइल.
त्यांनी अकराव्या बाराव्या शतकात आख्खे युरोप प्रबोधन्पूर्व काळात चाचपडत असताना पृथ्वीचा परीघ व त्रिज्या बर्‍यापैकी अचूक मोजली होती.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

सिफ्र हा अरबीच. खालील लिङ्क पहा.

http://www.etymonline.com/index.php?term=zero

बाकी मुस्लिम धार्मिक वर्ष कसं का असेना, व्यवहारात दुसरं क्यालेंडर वापरायचे, कारण रुबायतकार ओमर खय्यामने एका वर्षाचा टैम पीर्यड अचूक मोजला होता ६ दशांश स्थळांपर्यंत. त्यामुळे धर्मात कै का असेना, ते व्यवहाराशी मिळत नै म्हटल्यावर दुसरी अ‍ॅरेञ्जमेण्ट करणे भागच होते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

ऐसा क्या? (जॉनी लिव्हरचा सुप्रसिद्ध "ऐसा क्यां" वाला केरळी चेहर्‍अयचा फोटो आठवावा.)
ओमर खय्याम माचो दिसतो.
.
एल्खाबद्दल उर्वरित टिप्पण्या :-
या दोन्ही प्रकारच्या संख्यांना balance करणारी व संख्यारेषेच्या मध्यभागी असणारी अशी ही संख्या आहे. धनसंख्यांची, समीकरणांची वा आलेखांची (graphs) सुरुवातच या संख्येतून होते. अनंतापर्यंत जाणारे धन संख्या संच व ऋण संख्या संच यांना सिफर जोडून ठेवते.
संख्यारेशा आणि आलेख ह्या कल्पना तेव्हा ठाउक होत्या?
वापरात होत्या?
.
.

त्यामुळे सिफरने भागिल्यास उत्तर इन्फिनिटी येणार हे मात्र नक्की.
इन्फिनिटी शून्याच्या आधीपासून निदान तत्वतः मान्य होती काय?
.
.
त्यामुळे x0 ची किंमत 1 असायला हवी.

हे खूपच छान. पहिल्यांदा समजले तेव्हा पाचवी सहावीत डोके चक्रावून गेले होते. पण भाग गंमतीशीर आहे खरा हा.
.
तरीसुद्धा पुढील 500 वर्षे या शून्याचे अस्तित्व नाकारण्यात आले. त्याच्या कारणाचा शोध हा एक वेगळा लेख होऊ

प्लीज्ख, लिहाच. वाचायला आवडेल.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

अहो ओमर खय्याम हा जबराट माणूस होता. टैमपास म्हणून त्याने रुबाया लिहिल्या त्या त्याच्या इतर गणिती कामापेक्षा प्रचंड फेमस झाल्या पुढे. त्यानेही कप्पाळावर हात मारला असेल ते पाहून ROFL अल्जेब्रा ऑफ ओमर खय्याम नामक त्याच्या गणिती कामावर ग्रंथ लिहिलेला फेमस आहे.

बाकी आलेख अन संख्यारेषा या तुलनेने नव्या कल्पना असणेच जास्त संभव आहे असे वाटते. अगोदर चित्रे काढली तरी भूमिती सोडून चित्रे काढत नसत. 'ग्राफ ऑफ ए फंक्षन' वैग्रे नंतरचे.

अन ०/०=इन्फिनिटी हे विधान अंमळ हुकलेले आहे. त्या इक्वेशनची एलेच्चेस अनडिफाईन्ड आहे. त्याला तुम्ही इन्फिनिटी नैतर वेताळ काहीही म्हणा.

बाकी इन्फिनिटीचे अस्तित्व "ॐ पूर्णमदः पूर्णमिदं" सारख्या श्लोकांतून तात्विक पातळीवर मान्य केलेले दिसतेच.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

अन ०/०=इन्फिनिटी
असं कुणीच म्हटलं नाहिये.
x/0 = इन्फिनिटी असं म्हटलय. ते व्हॅलिड आहे.
०/० हे डोक्यापारचं प्रकरण आहे, असच लेखातही म्ह्टलय.
खय्याम काय किंवा गिबन काय, ऐतिहासिक जिनियस सारख्या लोकांना भेटायची फार इच्छा आहे राव.
काही टाइम मशीन वगैरे बनवता येइल का.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

ईव्हन क्ष/० हेही अनडिफाइन्डच आहे. कशालाही ० ने भागणे हे अनडिफाईन्ड. गणिताच्या बेशिक गृहीतकांपैकी एक आहे हे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

गर्रर्रर्र
माझ्या शालेय पाठ्यपुस्तकात चुकीची माहिती दिली होती काय???
(मल गणित समजत नसे. कित्येकदा मी गणिते पाठ करुन पास होइ.)

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

सुंदर लेख. प्रचंड आवडत आहे लेखमाला. विशेषतः गणिताच्या धड्यात रेशमाचा आणि डेट्सचा उल्लेख फार भावतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

संख्या ही पूर्णतः मानवी मनाची उपज आहे. त्यांच्यात नैसर्गिक असं काहीच नाही. संख्या ही भाषेतील विशेषणे आहेत. ३-२=१ ला तसा काहीच अर्थ नाही. ३ आब्यांतून २ काढले तर १ उरतो याचे ते सूचक आहे.
एखाद्या बहुवचनी नामावर विशेषणाचा आरोप करण्यासाठी ती नामे सारखी असणे जरूरीचे आहे. याला पुढे जाऊन ती समानच असावीत असे अपेक्षिणेही वाजवी आहे. म्हणजे ३ दशहारी आंब्यातून वास्तवतः २ तोतापूरी आंबे वजा करणे अयोग्य ठरावे. असे करता येतच नसावे वा जे आले आहे असे सुचविले आहे ते तसे नसावेच. अगदी अतिरेक करून म्हणता येईल जगातल्या कोणत्याही दोन गोष्टी सारख्या नसतातच. अगदी दोन फोटोन पण त्यांच्या पेक्षा करोडोपटीने, इ छोटे होऊन पाहिले तर भिन्न निघावेत. आणि नाही निघाले तरी केवळ त्यांचे स्थान, काळ, इ भिन्न आहेत म्हणून ते गणितीय प्रक्रियांस पात्र नाहीत असे म्हणता यावे. या समानच्या आग्रहाचा अतिच अतिरेक केला तर जगात 'ह्या सम हा' हे तत्त्व उरेल आणि १ ही एकमात्र नैसर्गिक संख्या उरेल. आता त्या पुढे जाऊन त्या एका गोष्टीचे संपूर्ण वर्णन करण्याचा धोषा लावला तर तेही करता येत नाही. म्हणून अगदी पूर्णार्थाने एक ही संख्या देखिल लंगडेपणानेच वापरता येते.
शून्य म्हणजे ती एक बाबही नसणे. वा अशा अनेक वा सर्वच बाबी नसणे. एखादी बाब नसते तेव्हा ती एकतर भूतकाळात असते किंवा कल्पनेत असते. जी बाब कुठेच नाही तिचे द्र्ष्ट्याकडून प्रकटीकरणच होऊ शकत नाही. म्हणून ० ही संख्या अनैसर्गिक आहे.

म्हणून गणित म्हणजे मूलतः समान नसलेल्या गोष्टींना समान मानणे. असलेल्या गोष्टींना नाहीत असे मानणे. ज्याच्या सीमा आखता येत नाहीत अशा संकल्पनांना काटेकोर सीमा आहेत असे मानणे. त्याअंगाने गृहितके करत जाणे. तसतसा पुढे हिशेब करत जाणे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

संख्या म्हणजे चिन्हे आहेत. ती इतकी जण्रल आहेत की त्यांचा विकास व्हायला लै शतके जावी लागली असणार. भौतेक रसेलने म्हटल्याप्रमाणे, "दोन दिवस आणि दोन दगड" यांमध्ये दोन हे एक समान सूत्र आहे हे कळायलाही लै युगे उलटली असणारेत.

बाकी, जगात पूर्णांशाने समान अशा कुठल्याच दोन गोष्टी नाहीत-इलेक्ट्रॉनच्या क्वांटम नंबरमध्येच या फरकाला सुरुवात होते. त्यामुळे समान नसलेल्याला काही गरजांपुरते समान मानणे सो दॅट आकलन सुलभ होईल हे तर सर्वच शास्त्रांचे वैशिष्ट्य आहे, एकट्या गणिताचे नव्हे.

बाकी ० ही संख्या अनैसर्गिक आहे हे म्हणणं पार्शली खरं आहे. अंधार म्हणजे प्रकाशाचा अभाव, तशी अभावात्मक उदाहरणे अन्यही सांगता येतील. तस्मात अभावाची कल्पना नैसर्गिकपणे येते. पण या कल्पनेचीच एक संख्या करून तिच्यावर काही सोयींसाठी वेगळे निर्बंध लावणे हे झालं 'अनैसर्गिक'.

एखादी बाब नसते तेव्हा ती एकतर भूतकाळात असते किंवा कल्पनेत असते. जी बाब कुठेच नाही तिचे द्र्ष्ट्याकडून प्रकटीकरणच होऊ शकत नाही. म्हणून ० ही संख्या अनैसर्गिक आहे.

एखादी बाब नसणे हे भविष्यकाळातसुद्धा असतेच की. उदा. सुरवंटाचे फुलपाखरू होणे हे त्याच्या डीएने मध्ये लिहिलेलं आहे. काय आहे ते 'पाहता' सुद्धा येतं. त्याला कल्पना कशी म्हणणार? फारतर त्याचं रिप्रेझेंटेशन वेगळं आहे इतकं म्हणा. आज सुरवंट दिसतोय तर फुलपाखरू होणारच-अनलेस तसे होण्याअगोदर तो सुरवंट मेला तर. त्यामुळं निव्वळ रिप्रेझेंटेशन वेगळे असणे हे अभावाचे कारण होऊ शकत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

एखादी बाब नसणे हे भविष्यकाळातसुद्धा असतेच की.

आम्हाला कळण्यासाठी इतर काही वाक्यरचना करता आली तर पाहा. संदर्भ लागत नाहीय.

त्यामुळं निव्वळ रिप्रेझेंटेशन वेगळे असणे हे अभावाचे कारण होऊ शकत नाही.

प्रतिनिधीकरण नामाचे असते, विशेषणाचे नाही. विशेषण हे खोलात जाऊन तोड तोड तोडले तर नामसंच असते. सुंदर बाई म्हणताना सौंदर्याचा स्प्लिट वाढवून सर्व विशेषणे टाळता येतात आणि जे म्हणायचे तेच म्हणता येते. व्हिडियोच्या जागी सवते सवते चित्र पाहताना त्रास होतो तसा होईल, पण करता येते. सबब प्रतिनिधीकरण हा मुद्दा नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

ऊप्स. मला म्हणायचे होते की एखादी गोष्ट नसणे म्हणजे ती गोष्ट भविष्यात बनणे असेही असू शकते. अभावाची सार्वकालिकता गृहीत धरणे अंमळ अडचणीचं आहे.

आणि इथे प्रतिनिधीकरण हा एकच मुद्दा आहे. नुकत्याच जन्मलेल्या बाळाला मिशा नसतात, म्हणजे त्यांचे विशिष्ट काळसर रंगाचे रिप्रेझेंटेशन नसते इतकेच. डीएनेरूपात अस्तित्वात असतातच की.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

थोकड्यात "अंक" हे वेळ या मितीचा विचार करता 'कॉन्स्टन्ट" नसतात असे काहिसे म्हणायचे आहे काय?
मला तुम्हा दोघांचीही चर्चा अजिबातच कळलेली नाही Sad

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

मला तुमचे पहिले वाक्य कळले नाही. अंकांचा आणि वेळेचा परस्परसंबंध नसतो असे काही म्हणावयाचे आहे का?

बाकी चर्चेबद्दलः कीस काढतो आहोत, खास कै नै.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

तसे नाही. ० हा भूतकाळात / भविष्यकाळात शुन्य नसेल वगैरे वाचले (असेच म्हणायचे आहे का समजले नै. पण असे वाटले खरे)
तसे असेल तर अंक हे वेळेच्या मितीवर कॉन्स्टन्ट नसतात असे म्हणायचे आहे का? अशी शंका आली. म्हणजे मी t=0 या वेळी "१" म्हटले तर त्याचे मुल्य हे वेळ बदलताच (समजा t=n) ला बदलेल/वेगळे असेल, असे काहीसे?

बाकी कीस काढताय हे कळ्ळे. पण इतका अनझेपणेबल कीस काढताय की पुछो मत! Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

ओह तसे! तर मग विथ रिस्पेट टु टैम अंक हे कॉन्स्टंटच असतात. त्याचा त्या उदाहरणाशी संबंध नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

ओके. मग ठिके!
पण, म्हंजे मला वरची मूळ चर्चा/किस समजलेली नाही हे नक्की झाले. पण असो. Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

माझा जो मूळ प्रतिसाद आहे त्याचा सूर असा काहीसा आहे-
"वास्तविक उंट तिरके चालत नाहीत. हत्ती तिरके चालू शकतच नाहीत असे नाही. राजा एकएक पाऊल टाकतो हे ही खोटे. सगळा चेस नावाचा गेमच मानवी मनाची उपज आहे. कृत्रिम गृहितके करून वाढवलेली ज्ञानाची एक शाखा = गणित. कट्टाकटी हिशेब करायचा झाला तर कंप्लिट बिनकामाची."

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

सर्व बरोबर पण शेवटचं वाक्य तुमच्याच भाषेत सांगायचं झालं तर कंप्लीट बिनकामाचं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

हे तुमचं व्यक्तिगत मत आहे. पण मी माझ्या मूळ प्रतिसाद तेच म्हटलं आहे. अतिरेक, अति अतिरेक असे शब्द त्याहीपेक्षा अतिरेकाने वाचा, माझे भाव पोहोचतील.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

अतिरेक मला पोचत नाही म्हणूनच विचारतो. उपयोगिता हा निकष नकोय तर मग काय पाहिजे? उपयोगितेचा निकष सोडला तरी नंबर थिअरीसारखे प्युअर भाग आहेत. त्यात संशोधन करणे हे निखळ आनंददायी असते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

नंबर थियरी उपयुक्त नाही - असे म्हणायचे आहे काय?
तसे नसावे - आजकाल क्रिप्टोग्राफीमध्ये नंबर थियरीचा फार्फार उपयोग होतो असे ऐकून आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

त्याची गरजच नाही. संदेश एन्क्रिप्ट करण्याची "फक्त" एफिशिएन्सी वाढवते नम्बर थिअरी.
त्याशिवाय करोडो मार्ग आहेत एन्क्रिप्ट करायचे.
.
.
इंधन ,उपकरण आणि एकूणच उपयोजित विज्ञानाचा / टेक्नोलॉजीचा एकूण उपयोग काय?
"फक्त " इफिशिअन्सी वाढली. अहो भारतातून अमेरिकेत जायचय? पाहिजे कशाला तंत्रज्ञान?
निघा चालत तसेच, आज ना उद्या पोचालच काही हजार वर्षात.
आणि हो, चालत चालत जाताना कुठे भूक लागेल, तर नेहमी अन्न मिळेलच असे नाही.
तेव्हा दगड खा, अन्नाने फक्त "एफिशिअन्सी" वाढते. एकूण काय पोटात काहीतरी ढकलायचेच आहे.
मग जमीन तरी कशला कसायची ना. माती खा नुसती.
आणि अधून मधून समुद्र वगैरे नामक क्षुल्लक डबकी लागली ना तर बिंदास उडी मारा.
तुम्ही पोचालच अमेरिकेत; काही हजार वर्षे पोहत बसल्यावर!
थूत त्या विज्ञानाच्या, तंत्रज्ञानाच्या आणि स्पेशली त्या नम्बरांच्या ....

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

क्रिप्टोग्राफीबद्दल अर्थातच सहमत आहे, पण एकूण नंबर थिअरीचा तो फार छोटासा भाग आहे, अन्य शाखांच्या तुलनेत यात प्रत्यक्ष उपयोगी भाग कमी असल्याने त्याचे उदा. दिले इतकेच.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

वरवर तसे वाटते खरे.
पण गणिताशिवाय मोठमोठी उपकरण्म बनवणं कसं जमलं असतं?
उपग्रह कसे सोडले असते?
किती लोकांना किती दिवस किती अन्न पुरेल ह्याचे हिशेब मांडून श्रमाचे तास कसे काढले असते?
गणित शास्त्र काल्पनिक वाटत असलं तरी हे त्याचे अ‍ॅप्लिकेशन्स (उपयोजितता च म्हणतात ना त्याला) वास्तव आहेत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

हे सगळं अत्यावश्यक आहे असं तुमचं व्यक्तिगत मत आहे. सगळ्यांचच आहे. पण इथे उपयोगिता हा विषय नाही. मला अभिप्रेत आहे तसा कट्टाकट्टी हिशेब कोणालाच नकोय. म्हणून गणिताचं चालतंय.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

वाइड बॉल्स सुरु झालेत.
मी थांबतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

वाईड नाही, वाइल्ड

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

तसं गणित सुरु कधी झालं हाच एक प्रचंड वादाचा मुद्दा होऊ शकतो. समजा एका गणितपूर्व जगात एका आदिवास्याची पाच मूले आहेत. त्याने जेवायला सर्वांना बोलावले. पैकी एक आला नाही. तर चार आले, एक नाही असे त्याला कळत नाही/ कळले नाही म्हणायची गरज नाही. सगळे आले म्हणून तो आरामात पुढे आपले खाणे चालू ठेवेल?

हीच पाच मुले धोंडे खेळायचा/झेलायचा खेळ खेळत आहेत. धोंडा किती गतीने आला, किती वजनाचा आहे, आपला हात कोणत्या जागी किती वेगाने नेऊन तो पकडायचा ही फार किचकट गणिते आहे. खाली पडला तर किती अंतर जायचे, किती वाकायचे, किती बल लावायचे, इ इ मोजले जात असतेच.

वरील कळत आणि नकळत अर्थांनी गणित केव्हा नव्हते तो काळ काढणे अवघड आहे.

शिवाय निरीक्षणांवरून काहीतरी करणे आणि प्रगती करणे यासाठी गणित लागत नाही. सुतारपक्ष्याने टोकदार चोच मारून खड्डा पाडला. आपणही टोकदार दगड वापरू. गणितातील कितीतरी संख्यांचे प्रकार आजही मानवतेला गवसलेले नसतील.

शिवाय गणित मांडण्यापूर्वीची लिखित / अलिखित गृहितके गणिती नसतात.

फेकलेली वस्तू वर जाते, जास्त जोरात फेकलेली जास्त जाते, तारे/ढग खाली पडत नाहीत, चंद्र पृथ्वीभोवती फिरतो इतकी निरीक्षणे उपग्रह सोडण्यासाठी पुरेशी आहे.

गणित फक्त अचूकता आणि एफिसिअंसी वाढवते, त्याच्यामुळे प्रत्यक्ष प्रयोगात काहीच होत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

मग गणितच का, अन्य कुठल्याच शास्त्राची, कुठल्याच धर्माची गरज नाही.

बाकी

गणित फक्त अचूकता आणि एफिसिअंसी वाढवते, त्याच्यामुळे प्रत्यक्ष प्रयोगात काहीच होत नाही.

या वाक्यातला पूर्वार्ध जितका बरोबर तितकाच उत्तरार्ध चूक आहे. असे लहानसहान इन्क्रिमेंटल क्वांटिटेटिव्ह फरक अ‍ॅक्युम्युलेट होत होतच शेवटी त्यांचे क्वालिटेटिव्ह फरकात रूपांतर होते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

धर्म तर निरुपयुक्त आहेतच, पण शास्त्रांत केवळ गणितच 'स्पाईनलेस' आहे, हेच तर केव्हाचा सांगतोय.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

तुमची गल्लत कधी संपणार असा प्रश्न स्वतःला विचारतोय. तसं तर मग दगडावर धोंडे ठेवले तरी घर बनतंच की, काय गरज आहे गवंडी अन आर्किटेक्ट नामक बिनकामी पगार घेणार्‍या लोकांची?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

पण शास्त्रांत केवळ गणितच 'स्पाईनलेस' आहे, हेच तर केव्हाचा सांगतोय.

कोणाला तरी त्या बी डी एस एम च्या कथेच्या धाग्यावर , ती कथा वाचून अस्वस्थता/मळमळ/घेरी का काय आली (नशीब मी वाचली नाही) तसं मला हे वाक्य वाचून होतय Sad

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

प्लीझ....
फेकलेली वस्तू वर जाते, जास्त जोरात फेकलेली जास्त जाते, तारे/ढग खाली पडत नाहीत, चंद्र पृथ्वीभोवती फिरतो इतकी निरीक्षणे उपग्रह सोडण्यासाठी पुरेशी आहे.

इतकी निरिक्षणे तर तुम्ही सहज करु शकत असाल.
एकतरी छानसा , छोटुला उपग्रह मस्त भिरभिरता ठेवून दाखवा ना काका.
प्लीज. अच नाइ मनायचं नाइ आता विचारलयवर.
एक फक्त एकच उपग्रह भिरभिरता ठेवून दाखवा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

ROFL
ROFL
ROFL
आवरा....

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

-मेघना भुस्कुटे
***********
तुन्द हैं शोले, सुर्ख है आहन

१. माझा दगड प्रचंड वेगाने फेकला तरी खाली पडतो. मला हवा तितका बलवान माणूस आणून द्या.
२. दगड लहान करून द्या, जो मला पकडता येईल, फेकता येईल, इ इ

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

असा बलवाण माणूस करायला अन दगड घ्यायला शास्त्र लागते. ते आभाळातून पडत नाहीत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

शास्त्र तर मला मान्य आहे. गणित नाही.

अगदी काँपपण ० आणि १ च्या गणितावर चालतो म्हणतात. पण प्रत्यक्ष ते शून्यवत आणि ५ (एम ए चे?) विद्युतप्रवाह असतात. accuracy and efficiency बाबत गणिताचा रोल मी नाकारतच नाहीय. पण inefficiently एखादी गोष्ट करायची असेल तर गणित लागत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

पण inefficiently एखादी गोष्ट करायची असेल तर गणित लागत नाही.

अर्थातच.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

असहमत, गणितच काय तर कुठलेही ज्ञान कुठल्याही समस्येला अधिक काळ न सोडवता येण्याजोग्या परिस्थितीत नेण्यास मदत करु शकते, इथेच अनेक उदाहरणे सापडतील.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

समजले नाही. म्हणजे गणित किंवा अन्य शास्त्रे इनएफिशिअंट होण्यासदेखील मदत करतात असा काहीसा टङ्गिनचीक सूर तर नाहीये ना Wink

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

१. माझा दगड प्रचंड वेगाने फेकला तरी खाली पडतो. मला हवा तितका बलवान माणूस आणून द्या.

२. दगड लहान करून द्या, जो मला पकडता येईल, फेकता येईल, इ इ

.
.
"हवा तितका" म्हणजे नेमका "किती" हे ठरवावं लागेल. ह्यासाठी गणित लागेल.
"लहान" म्हणजे किती लहान हे ठरवावं लागेल. त्यासाठी पुन्हा गणित लागेल.
.
.
फाल्तू वादच घालायचा असेल तर "वस्तू विनागणित पृथ्वीभोवती फिरत ठेवता येइल " वगैरे विधानं ज्या व्यक्तीनं केली आहेत,
त्यानं ते तसे सिद्ध करणं आवश्यक आहे; हे म्हटलं जाउ शकतं.तुम्हालाही ते नाकारता येणार नाही.(म्हणजे तार्किकदृष्ट्या नाकारता
येणार नाही. तुम्ही तर्कयुक्त प्रतिसाद नाकारत रहाणं शक्य आहे.)
.
.
व्हर्चुअली विनागणित हे सहज शक्य आहे.
तुम्ही अनंतकाळ विविध दगडांनी प्रयत्न केल्यास व विविध प्रकारचे बल लावून पाहिल्यास दगड फिरणार नाहिच असे नाही.
कदाचित १०लाख कोटी वर्षे वगैरे प्रयत्न केल्यावर दगड व तुम्ही दोन्ही उत्क्रांत होत गेल्यास तुम्ही दगडाला किंवा दगड तुम्हाला पृथ्वीबाहेर भिरकावेल हे शक्य असावे.
(यू नो, अनंत माकड प्रमेय, अनंत काळ दिला तर काही माकडेही न्यूटनचे सिद्धांत शोधतील वगैरे; प्रोव्हायडेड काळ शुड बी अनंत.) तुम्हाला ते जमेलही.
किंवा त्याच्या लाखपट अधिक काळ घेउन हे होइल.
प्रत्यक्षात इन्फिनिटी नामक अप्सरेचा मुका कुणी घेतलाय का?
की ती पृथ्वीवरून कल्पायची स्व॑र्गीय अप्सराच आहे?
प्रत्यक्षात मानवी जीवनकाळ किती? तो प्रयत्न करणार किती?
त्याच्याच भरवशावर बसता का?
विधानं बरोबर असली तरी निरर्थक ठरतात अशानं.
ह्यापुढे उपचर्चेवर येणारे अरुण जोशी ह्या आयडीचे प्रतिसाद समजणार नाहीत, टाळक्यात शिरणार नाहित अशी खात्री वाटते.
तेव्हा मी बिनदिक्कत बिन्डोक अवांतर सुरु करीन.
.
.
दगड लहान करून द्या, जो मला पकडता येईल, फेकता येईल, इ इ

नाही तर असं करा. पृथ्वीबाहेर वगैरे दगड टाकू नका.
जिथे जिथे ब्रम्हांडात ऐसीकर दिसेल त्याच्या टाळक्यातच घाला एकेक दगड. त्यासाठी गणिताचीही गरज नाही.
.
.

१. माझा दगड प्रचंड वेगाने फेकला तरी खाली पडतो. मला हवा तितका बलवान माणूस आणून द्या.
२. दगड लहान करून द्या, जो मला पकडता येईल, फेकता येईल, इ इ

ही वाक्यं बकवास आहेत. "पुरेसा बलवान माणूस किंवा प्राणी आणून द्या. तो एका हातात पृथ्वीही उचलेल."(आता असेल ब्रम्हांडात असा
एखादा प्राणी ज्याच्यासमोर पृथ्वी यःक्श्चित असेल. सो व्हॉट?) असं कुणी बोललं तर काय करायचं?
खरं तर काहीच करायचं नाही. बोलतोय त्याला बोलू द्यायचं.
मारणार्‍अयचा हात धरता येतो. बोलणार्‍याचं तोंड धरता येत नाही म्हणतात.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

अशीच वाक्ये जेव्हा तो लिव्हरवाला शास्त्रज्ञ म्हणतो तेव्हा ती तुम्ही वारंवार क्वोट करता. मला मात्र बकवास म्हणता. अन्याय हो अन्याय!!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

लिव्हरवाला शास्त्रज्ञ?
तुम्हाला नाही बकवास म्हणत.
एका पर्तिक्युलर वाक्याला बकवास म्हतलं.
स्वतःला ओव्हरएस्टिमेट करु नका.संपूर्ण व्यक्तिमत्व बकवास असायला तुम्ही काय हिमेसभाई लागून गेलात?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

लिव्हरवाला शास्त्रज्ञ म्हणजे मला एक लांब lever आणून द्या मी पृथ्वी उचलून दाखवेन म्हणणारा शास्त्रज्ञ.

आणि मी ही वाक्यविशिष्टालाच बकवास म्हणण्याबद्दल बोलतोय.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

माझ्या मते गणित हा नैसर्गिक गोष्टींना समजून घेण्याचा व ते ज्ञान समोरच्याला पोचवण्याचा व तेच ज्ञान पिढी दर पिढी सुलभतेने न्यायचा सर्वमान्य 'प्रोटोकॉल' आहे. एखाद्या भाषेसारखा! गणित माहित नसले तरी गोष्टी होऊ शकतात हे मान्यच. मात्र एकदा का त्या गोष्टींमागचे गणित कळले की प्रत्येक गोष्ट प्रत्यक्ष करून बघावीच लागते असे नाही. अनेक ट्रायल & एरर करण्यापेक्षा उपलब्ध गणित वापरून कागदावरच ती घडामोड कल्पिली जाऊ शकते.

गणित कृत्रिम आहे हे सर्वमान्यच आहे. पण (माणूस नैसर्गिक आहे मात्र) माणसाने बनवलेले सारे कृत्रिम आहे - म्हणून निरूपयोगी आहे या बोभाट्याला फारसा अर्थ उरत नाही.

यावर(ही) आपली सहमती होणार नाही याची पूर्ण कल्पना आहे त्यामुळे मी आधीच इथे थांबतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- ऋ
-------
लव्ह अ‍ॅड लेट लव्ह!

आपले सगळे म्हणणे मान्य आहे. त्याला छेद करणारं एकही वाक्य मला अभिप्रेत नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

>> तसं गणित सुरु कधी झालं हाच एक प्रचंड वादाचा मुद्दा होऊ शकतो .

कदाचित या विडिओतून हे स्पष्ट होईल.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

संख्या ही विशेषणे आहेत, त्यांच्याशी निगडीत नामांशिवाय त्यांचं असं स्वतःचं विश्व नसतंच.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

“तसे नव्हे हुजूर, कारण x1 म्हणजे x0 गुणिले x. असणार. जर x0 याचे उत्तर 0 असल्यास x1 ही शून्य झाले असते. कारण 0 गुणिले 0 ही शून्यच झाली असती. परंतु तशी स्थिती नाही. हुजूर, x1 म्हणजे x च असणार. त्यामुळे x0 ची किंमत 1 असायला हवी."

ह्या वाक्यातील 'असायला' ह्या शब्दाला थोडा आक्षेप आहे. 'असायला' ह्या शब्दामुळे असा भास निर्माण होतो की 'x0' ह्याला स्वत:चा काही नैसर्गिक अर्थ आहेच आणि तो शोधून काढणे इतकेच काय ते करायचे उरले आहे.

कॉलेजच्या पहिल्या वर्षात पुढील 'Rules of Indices' शिकविण्यात आले होते.

१) व्याख्या - अ = अ गुणिले अ गुणिले अ...'न' वेळा
२) अ गुणिले अ = अम+न ... व्याख्येवरून.
३) अ भागिले अ = अम-न ... व्याख्येवरून.
४) (अ) = अमन... व्याख्येवरून.

व्याख्येची समज आपणास येथेपर्यंत सरळ आणून सोडते. 'घात' ही संकल्पना अधिक बाबींना लागू करायची असेल तर त्यांना नवे अर्थ कल्पनेमधून निर्माण करून द्यावे लागतील. ह्या नव्या कल्पनानिर्मित अर्थांनी वर दिलेल्या व्याख्येबरोबर गुण्यागोविंदाने राहायचे असेल तर ते अर्थ वरील नियम २ ते ४ ह्या संकुलात राहणारेच असले पाहिजेत.

ह्याला काही अर्थ चिकटवायचा असला तर तो अर्थ नियम २ च्या विरुद्ध बंड करणारा असून चालायचे नाही. म्हणजेच अ गुणिले अ = अम+० = अ.

आणि म्हणून अ = १.

ह्याच मार्गाने अ-म =१/अ असा अर्थ निर्माण करावा लागेल.

ह्या 'निर्मित' अर्थांमध्ये 'नैसर्गिक' असे काही नाही. उपलब्ध नियमांबरोबर चालण्यासाठी ते अर्थ देणे आवश्यक आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

विशेषतः x तो समजायला कठीण वाटतो, तो चटकन समजतोय.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.