मूळ संख्यांमधल्या फटी, अर्थात जांगचे प्रमेय

यी तांग जांग नावाच्या एका चिनी (पण अमेरिकेत स्थायिक झालेल्या) गणित्याने संख्याशास्त्रात एक नवं प्रमेय सिद्ध केल्याची बातमी गेल्या पंधरवड्यात इंटरनेटवर सगळीकडे पसरली आहे. या लेखात मी या प्रमेयाची त्रोटक अोळख करून देतो आहे. शास्त्रीय विषयांवरच्या मराठी लिखाणात अनेकदा जो एक चिकट-अोशटपणा असतो तो टाळावा असाही उद्देश असल्यामुळे, आपल्याला इंग्रजी येतं ही गोष्ट शक्य तितकी विसरून जाण्याचा हा लेख लिहित असताना मी प्रयत्न केलेला आहे. हा उद्देश कितपत साध्य झाला आहे, हे वाचकांनीच इत्यादि इत्यादि …

समजा २ पासून पुढच्या, म्हणजे २, ३, ४, ५, … अशा सगळ्या संख्या विचारात घेतल्या तर त्यांची 'मूळ' आणि 'संयुक्त' अशा दोन खोक्यांत विभागणी करता येते. उदाहरणार्थ, ६ ही संख्या २ x ३ अशी दोन तुकड्यांचा गुणाकार करून लिहिता येते, म्हणून ६ ला संयुक्त संख्या म्हणतात.

पण ७ चे असे तुकडे करता येत नाहीत, फारतर १ x ७ असं लिहिता येतं. त्यामुळे ७ ला मूळ संख्या म्हणतात.

सुरवातीच्या काही संयुक्त संख्या: ४, ६, ८, ९, १०, १२, १४, १५, …
सुरवातीच्या काही मूळ संख्या: २, ३, ५, ७, ११, १३, ...

जर संख्या संयुक्त असेल तर ती फक्त मूळ संख्यांना तुकडे म्हणून वापरून लिहिता येते, उदाहरणार्थ:

पुन्हा एकदा: ज्या संख्यांचे तुकडे पडतात त्या संयुक्त, आणि ज्यांचे पडत नाहीत त्या मूळ. (अवांतर: या सगळ्या चर्चेतून शून्य ही संख्या किंवा ऋणसंख्या आपण वगळलेल्या आहेत. प्रघात असा की १ ला मूळ किंवा संयुक्त काहीच समजत नाहीत, पण हा मुद्दा इथे महत्वाचा नाही.)

सुरवातीला बऱ्याच मूळ संख्या सापडतात, पण नंतर नंतर त्या दुर्मीळ होत जातात. पहिल्या शंभरात पंचवीस मूळ संख्या आहेत (म्हणजे २५%), पहिल्या हजारात १६८ आहेत (म्हणजे १७%), आणि पहिल्या कोटीत ६६४५७९ आहेत (म्हणजे ७%). याचं कारण असं की, एखादी संख्या मोठी असेल तर तिच्या मागे बऱ्याच संख्या येऊन गेलेल्या असल्यामुळे तिचे तुकडे पडायला तेवढीच जास्त संधी मिळते, आणि ती संयुक्त निघण्याची शक्यता वाढते. संख्या लहान असेल तर तशी संधी कमी असते. अक्षतकुमारिका असलेल्या वीस वर्षे वयाच्या बऱ्याच मुली असतात, पण पन्नाशीच्या बायका कमी असतात.

एक नैसर्गिक प्रश्न असा की, मूळ संख्या तुरळक होत होत संपूनच गेल्या तर काय? म्हणजे समजा, ५६ महापद्मनंतर एकही मूळ संख्या शिल्लक उरली नाही असं होऊ शकेल का? तर याचं उत्तर 'नाही'.

याची सिद्धता इथे देण्याचा माझा विचार आहे; पण त्याआधी, या प्रमेयाशी संबंध असलेलं पण हास्यास्पद, असं एक विधान घेऊन त्याच्या दोन सिद्धता मी देणार आहे.

पहिली सिद्धता अशी की, दहा मूळ संख्या आणून वाचकाच्या नाकावर आदळणे: २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, २३, २९, आणि खलास.

दुसरी सिद्धता जास्त अवघड आहे, पण 'विकारविलसिता'च्या दुसरा अंकातल्या दुसऱ्या प्रवेशात शालेयाने म्हटल्याप्रमाणे 'हे वेड तर खरेच, पण यात काही शिस्त आहे'. (मी इंग्रजी तात्पुरतं विसरायचं ठरवलं असल्यामुळे मूळ नाटकातली ओळ उद्धृत करत नाही.)

समजा जगात नऊच मूळ संख्या आहेत. (हा गैरसमज होता असं आपल्याला नंतर कळून चुकेल.) त्यांना य, र, ल, व, श, ष, स, ह, ळ अशी नावं देऊ. याचा अर्थ असा की, या नऊ वगळता जगात एकही मूळ संख्या कुठेही अस्तित्वात नाही. ठीक. आता मी क्ष अशी एक नवी संख्या तयार करणार आहे:

शब्दांत सांगायचं तर सगळ्या नऊ मूळ संख्यांचा गुणाकार करा आणि त्यात एक मिळवा. जे येईल त्याला क्ष म्हणा.

आता क्ष ही संख्या मूळ असणं शक्य नाही, कारण सगळ्या मूळ संख्या आपल्याला आधीच सापडलेल्या आहेत. तेंव्हा क्ष संयुक्त असली पाहिजे, म्हणजेच तिचे तुकडे पडले पाहिजेत. पण यात अडचण अशी की य, र, ल, व इत्यादि कुठल्याही संख्येने क्ष ला भाग जात नाही! (कारण बाकी १ उरते.) याचाच अर्थ, क्ष चे तुकडेही पडत नाहीत, कारण सगळे संभाव्य तुकडे आपल्याकडे आहेत, आणि त्यातले एकूणएक कुचकामी आहेत. तेंव्हा क्ष ही संयुक्त पण नव्हे! तेंव्हा मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही, अशी क्ष ही काहीतरी तृतीयपंथी अशक्य संख्या आहे. याचाच अर्थ 'जगात नऊच मूळ संख्या आहेत' हा आपला समज मूर्खपणाचा होता, आणि म्हणूनच जगात किमान दहा मूळ संख्या असल्या पाहिजेत. खलास.

दुसरी सिद्धता जास्त पाल्हाळाची आहे, पण तिचा सद्गुण असा की त्यातल्या दहा या आकड्याला सोनं चिकटलेलं नाही, आणि तिथे दुसरा कुठलाही आकडा वापरलेला चालेल. हाच युक्तिवाद वापरून 'जगात किमान ४७ मूळ संख्या आहेत', 'जगात किमान २ निखर्व मूळ संख्या आहेत', असं काहीही सिद्ध करता येईल. याचाच अर्थ जगात अनंत मूळ संख्या आहेत, आणि आपण यूक्लिडचं प्रमेय सिद्ध केलेलं आहे. खलास.

मूळ संख्यांविषयीचे अनेक प्रश्न अनुत्तरित आहेत, आणि जांगच्या प्रमेयाचा अशाच एका प्रश्नाशी संबंध आहे. त्यामागची पार्श्वभूमी अशी:

समजा ५ आणि ७ या मूळ संख्या घेतल्या, तर त्यांतली फट २ ची आहे. तेंव्हा (५,७) ला मूळ संख्यांची २-जोडी म्हणू. अशा बऱ्याच २-जोड्या आहेत:

जगात नक्की किती २-जोड्या आहेत? तर माहित नाही.

याला कयास अशासाठी म्हणायचं की, हे विधान खरं आहे असा गणितज्ञांना दाट संशय आहे (बाकीच्यांना अर्थात पर्वा नाही), पण याची सिद्धता आजतागायत कुणालाही सापडलेली नाही. ज्याला ती सापडेल त्याला खूप प्रसिद्धी मिळेल. (पण पैसा मात्र म्हणण्यासारखा नाही).

अशाच मूळ संख्यांच्या ४-जोड्याही विचारात घेता येतील: (७, ११), (१३, १७), (६७, ७१) या ४-जोड्या आहेत, कारण प्रत्येक जोडीतल्या संख्यांमधली फट ४ ची आहे. अशा किती ४-जोड्या आहेत? तर माहित नाही.

असे अनेक कयास आहेत:

अर्थात यातल्या एकाही कयासाची सिद्धता आपल्याकडे नसल्यामुळे, यांतलं अमूक विधान खरं आहे असं आपल्याला म्हणता येत नाही. पण!

वेगळ्या शब्दांत सांगायचं तर, वर दिलेल्या अनेक कयासांपैकी निश्चित कोणता खरा आहे हे आपल्याला माहित नाही, पण ते सगळेच्या सगळे खोटे नाहीत हे माहित आहे. अशा प्रकारची परिस्थिती गणितात पुष्कळदा पाहायला मिळते, पण नेहमीच्या व्यवहारात फारशी नाही. (उदाहरणार्थ, ब्रिज खेळताना असं घडू शकतं: इस्पिक तिर्री पूर्वेकडे तरी आहे किंवा पश्चिमेकडे तरी हे दक्षिणेला माहित असतं, पण नक्की कुणाकडे ते नाही.)

वास्तविक जांगचं प्रमेय यापेक्षा जास्त नेमकं आहे. समजा स ही कुठलीही संख्या असली, तर मूळ संख्यांची स-जोडी म्हणजे काय हे वर लिहिलेलं आहे. तर जांगचं खरं प्रमेय असं आहे:

सध्यातरी स ची किंमत कुणालाच माहित नाही. (अर्थात अशी एकापेक्षा जास्त किंमत असू शकेल, पण मुद्दा असा की एकही माहित नाही.) या प्रश्नावर अर्थात इतर गणिती कामाला लागलेच असतील, यात शंका नाही.

जांगच्या प्रमेयाची सिद्धता खूप किचकट आहे, आणि ती या विषयातल्या आधीच्या अनेक प्रमेयांवर अवलंबून आहे. शिवाय ७ कोटी या चमत्कारिक संख्येचा इथे संबंध काय या कुतूहलाचं उत्तरही त्यातच खोलवर कुठेतरी आहे. पण ही सिद्धता मी स्वत: तपासून पाहिलेली नाही, इतकं कबूल करून आवरतं घेतो.