ऐसीवरील गणितज्ञांस (आणि गणिताविषयी आस्था असणाऱ्यांस) पत्र

म्हणजे की प्रश्न आणि उत्तर दोन्हीही दिलेले असल्यास आवडीने वाचतो.
------
उत्तरे
१) -मानवनिर्मित आहे. भागाकाराशी प्रथम गाठ पडली असेल.
२) शक्ती आणि पदार्थ एकमेकांत ठराविक प्रक्रियेने गुंतलेले आहेत. गोष्टी घडल्या तर ठराविक मापातच. पण अनेक गोष्टींपैकी कोणती घडावी हे मात्र अकर्मक.( योग्य शब्द?)
३) विधेयतावाद. हे अतर्क्य आहे.
४) ग्रीक तत्ववेत्ते आवडतात . क्रमांक (३) शी विसंगत आहे तरी गणित वाढवण्याची प्रेरणा त्यांचीच.
ओईलर आणि न्यूटन आवडतात.
{ सौंदर्य हा गणिती श्रेष्ठतेचा निकष असू शकतो काय?}
हे कळले नाही.
पण जे जे उपयोगी ते ते सुंदर वाटते.

थोडा विचार करून सविस्तर लिहितो. तोपर्यंत ‘तो मी नव्हेच’ मधल्या राधेश्याम महाराजांनी दिलेलं ‘हे असं, हे असं आणि हे असं’ हे उत्तर गोड मानून घ्या.

त्यातील जी काही अक्षरे आपल्याला समजली आहेत त्यालाच तर आपण गणिताची भाषा म्हणत नाही ना?

या प्रश्नांनी उत्तरे पराकाष्ठेची अवघड आहेत एवढ्या एकाच बाबीवर एकमत होईल, बाकी कशावरही बहुतेक नाही. तेव्हा मला काय वाटतं ते थोडक्यात लिहितो. इथून पुढे गणितातल्या आणि तत्त्वज्ञानातल्या संज्ञा बऱ्याचदा येतील. त्यांच्यासाठी मराठी प्रतिशब्द डिस्कव्हर किंवा इन्व्हेंट करण्याचा खटाटोप न करता ते शब्द इंग्रजीतच लिहिणं सोपं वाटतं.

एका अर्थाने गणित अर्थातच ‘इन्व्हेंटेड’ आहे. तो मानवी संस्कृतीचा भाग आहे आणि कुठल्याही मनुष्येतर समाजातल्या गणिताचा नमुना अजूनपर्यंत आपल्याला गवसलेला नाही, तेव्हा त्या अर्थाने मानवजातीने कित्येक शतके भर घालून सामुदायिकरित्या ‘बनवलेली’ ती चीज आहे. पण आपण काहीही बनवू शकतो असा त्याचा अर्थ नाही. उदाहरणार्थ, Topos नावाची एक गणिती संज्ञा आहे. Topology, Abstract Algebra, Logic अशा वेगवेगळ्या शाखांतल्या कल्पनांचा मिलाफ करून तिची व्याख्या होते. ही व्याख्या तशी अलिकडची (म्हणजे पन्नासेक वर्षांपूर्वीची) आहे, आणि ती नेमकी कशी करायची यावर सुरवातीला एकवाक्यता नव्हती. गणित्यांनी आपापसात चर्चा करून सोडवायचा तो प्रश्न होता. पण ती चर्चा संपली. सध्या एक विशिष्ट व्याख्या सर्वमान्य झालेली आहे, आणि एकदा ती स्थिरावल्यानंतर तिच्या अनुषंगाने येणाऱ्या प्रश्नांची उत्तरं काय असणार यावर आता मानवी नियंत्रण उरलेलं नाही. The definition of a topos is an invention, but theorems about topoi (अनेकवचन) are discoveries. पण मूळ व्याख्या करतानाही ती वाटेल तशी केलेली चालली असती असं नाही. योग्य व्याख्या कुठली हे ठरवताना त्या आधीची अनेक प्रमेयं आणि त्यातून उपलब्ध झालेली intuition याचं भान गणिती लोक ठेवतच असतात. In that sense, the original definition was also a guided discovery of sorts. अशी कित्येक उदाहरणं देता येतील.

‘सौंदर्य’ ह्या मुद्द्याचाही इथे संबंध येतो. Topos ची व्याख्या करत असताना ह्या नव्या गणिती शाखेतून बाहेर पडणारी नवी प्रमेयं ‘सुंदर’ असावीत अशी एक इच्छा किंवा योजना ह्यावर विचार करणाऱ्यांच्या मनात कुठेतरी असते. पण ही व्यक्तिसापेक्ष गोष्ट आहे आणि यात वैयक्तिक अभिरुचीचा भाग असतो. सगळ्या गणित्यांची सौंदर्यदृष्टी सरसकट सारखी मुळीच नसते. प्राथमिक पातळीवरच्या गणितात अशी अनेक सूत्रं आणि प्रमेयं आहेत की जी बहुतेकांना सुंदर वाटतात (उदा. Euler’s formula on polyhedra, Euclid’s proof of the infinitude of primes, Desargues’ theorem वगैरे वगैरे). पण पुढे तसं राहात नाही. उदाहरणार्थ, real analysis आणि category theory ह्या दोन गणिती शाखांची ‘चव’ फार वेगळी आहे. एखाद्या गणित्याला category theory तलं अमुक प्रमेय फार सुंदर वाटेल पण सगळ्या real analysis बद्दलच त्याला नावड आहे असं असू शकतं. वेगवेगळ्या लोकांना वेगवेगळ्या प्रकारचं संगीत आवडतं आणि काहींना कुठलंच आवडत नाही तसं काहीसं ते आहे. शिवाय पुष्कळदा अमुक सूत्र किंवा प्रमेय ‘सुंदर’ आहे हा निर्वाळा गणिताच्या त्या विशिष्ट शाखेत ते कसं आणि कुठे बसतं ह्यावर अवलंबून असतो. उदाहरणार्थ, Kronecker-Weber theorem नावाचं (माझ्या मते) एक अत्यंत लोभस प्रमेय Algebraic Number Theory मध्ये आहे. पण सुरवातीला ते नुसतं वाचून विशेष काही वाटत नाही. त्या शाखेतल्या इतर अनेक प्रमेयांचा आणि उदाहरणांचा अभ्यास केल्यावर त्यातलं सौंदर्य उठून दिसायला लागतं. पण मी वर म्हटल्याप्रमाणे दुसऱ्या कुणाला ते सुंदर नाही वाटलं तर मला काही वाद घालता येणार नाही. आणखी एक गोष्ट म्हणजे Kronecker-Weber theorem ची सिद्धता देताना बरीच किचकट आणि कृत्रिम उपप्रमेयं सिद्ध करावी लागतात. तेव्हा एखादं सूत्र किंवा प्रमेय सुंदर असलं तरी त्याचे काही घटक अवयव कुरूप असू शकतात. (अर्थात ‘कुरूप’ता हीदेखील सौंदर्याइतकीच व्यक्तिसापेक्ष आहे हे सांगणे नलगे.)

Philosophy of Mathematics बद्दल बोलायचं तर माझ्या समजुतीप्रमाणे प्रत्यक्ष गणित्यांमध्ये अलिकडे तो जिव्हाळ्याचा विषय राहिलेला नाही. हिलबर्ट, ब्रावर वगैरे मंडळी हयात असताना हे विषय गाजत असत, पण सध्या नाही. कित्येक वर्षं गणितात घालवणाऱ्या लोकांनाही आपण intuitionist आहोत की formalist आहोत यावर विशेष मत नसतं. आणि ह्या मतप्रवाहांचा थोडाफार अभ्यास केल्यानंतर निदान माझा कल ‘ह्यात थोडं तथ्य आहे आणि त्यातही थोडं तथ्य आहे’ असा झालेला आहे. हे काहीसं नीतिशास्त्रासारखं आहे. आयुष्यभर चांगलं वागणाऱ्या बहुतेक लोकांना आपण consequentialist आहोत की utilitarian आहोत की deontologist आहोत याचं नीट उत्तर देता येणार नाही. तेव्हा logicism, formalism, intuitionism वगैरे तमाम इझम पुस्तकांच्या कपाटात ठेवून देऊन eclecticism धारण करावा हे उत्तम.

निसर्गाच्या पुस्तकावर मात्र माझा पास. गणिताइतकी सुंदर वस्तू समोर असताना उगीच निसर्गाकडे कशाला बघत बसायचं?

शेवटचा मुद्दा:

‘च्वैक्ष्मु:’ ह्या पाणिनीच्या सूत्रानुसार ‘गणितज्ञ’ हा शब्द बरोबर आहे, ‘*गणितज्ज्ञ’ नव्हे. गणित जाणणारा तो ‘गणितज्ञ’. ‘तत्’ (म्हणजे ‘ते’) जाणणारा तो ‘तज्ज्ञ’.

मला गणिताची आवड नाही
आणि ज्ञानही फारसे नाही .. परंतु तरीही माझे मत सांगते, [ (जित्याची खोड..) ]

मला वाटतं गणितीय संकल्पना आहेत त्या पूर्वापार तशाच आहेत. निरिक्षणे, अनुभव आणि अभ्यासातून त्याची माणसाला ओळख होत गेली असावी. मग आपल्याला माहिती झालेल्या संकल्पना, दूसऱ्या कुणाला सांगण्याकरता अथवा समजावण्या करता त्याला वेगवेगळी नावे दिली गेली असावित. ज्या प्रमाणे भाषा निर्मिती झाली तद्वतच या संकल्पनांचे नामकरण होत जाऊन ते पिढ्यान्पिढ्यान्च्या वापराने रूढ होत गेले असावेत.

उदा.- आडव्या रेघेवर एक सरळ उभी रेघ काढली की ९०अंशाचा कोन, किंवा काटकोन होतो, ही मानव निर्मित कल्पना नाही. ते पहिल्यापासूनच अस्तित्वात असलेले सत्य आहे. पण ते समजल्यावर त्याला काटकोन असे नाव दिले असावे.
किंवा ४ काड्या असतील तिथे आणखी २ ठेवल्या तर ६ होतील हे काही नवीन् सत्यं नसणार, पण कधीतरी त्याला ४+२ = ६ म्हणजे बेरीज असे म्हणले गेले असेल. आणि तेच सतत वापरून रूढ झाले असावे. किंवा ४ काड्या दोन वेळा ठेवल्यावर त्याला ४+४ म्हणजे बेरीज किंवा ४ गुणीले दोन म्हणजे गुणाकार, असे म्हणले असावेत.
(उदा. अगदी बाळबोध आहेत याची कल्पना आहे. )

इतर प्रश्नांची उत्तरे इथेच वाचीन म्हणते...

गणिताच्या उगमाचे मूळ निसर्गाचे वर्णन करणारे असावे.
अनेक मानवेतर प्राण्यांच्या उत्स्फूर्त किंवा कळपात-शिकलेल्या वागण्यात दिसते. पदार्थांचे कमी-अधिक प्रमाण, वस्तूंच्या तात्पुरत्या स्थायीते(persistence)बाबत तर्क, वगैरे जनावरांत दिसतात.
या मुळातून abstract कडे जरी गणिताचा प्रवास झाला, तरी गणिताच्या काही क्षेत्रांची वर्णने निसर्गाला लागू होतीलच. आणि काही क्षेत्रे लागू होणार नाहीत.
पण abstraction कुठल्या रूपात होऊ शकते हे ठरलेले नाही. कमी-अधिक प्रमाण कळू शकणाऱ्या सर्व प्राण्यांच्या मेंदूची रचना एकसारखी नाही, तर "प्रमाण" संकल्पनेचे मज्जाबिंब (neural representation) हे जे abstraction आहे, ते अर्थातच वेगळे असणार. हे अनेक प्रजातीं दरम्यान प्रचंड फरक. अगदी बारीक-सारीक फरक दाखवायचा, तर न्यूटन विरुद्ध लाइबनित्स यांनी कॅल्क्युलसचे दिसायला वेगळ्या प्रकारे वर्णन केले. म्हणजे मनुष्य _काहीतरी_ वेगळे निर्मितो.

असे असल्यामुळे "सापडले की निर्मिले (exclusive choice)" प्रश्न पटत नाही. "निसर्गाचे पुस्तक गणिताच्या भाषेत का लिहिले आहे?" हा प्रश्न विचारताना अधिक निर्देश हवा. उत्तराची काय चौकट अपेक्षित आहे? नैसर्गिक-ऐतिहासिक चौकट चालेल, की प्रश्नाचा हेतू काही वेगळा आहे.

https://shabdakosh.marathi.gov.in/ananya-glossary/9

इथे सापडला.

चिपलकट्टींचं उत्तर अत्यंत वाचनीय. त्यांनी खरं तर एक स्वतंत्र लेखमाला लिहावी.

मी बारीकशा प्रश्नाबद्दल लिहिणार आहे - गणित निसर्गाला चपखल का बसतं? हा प्रश्न थोडासा 'आसपास दिसणारे कपडे माणसांच्या अंगाला चपथल बसणारे का असतात?' यासारखा आहे. चपखल बसणाऱ्या गोष्टी उपयुक्त असतात म्हणून त्या तशा बनवल्या जातात.

युक्लिडची भूमिती ही आसपास दिसणाऱ्या भौतिक विश्वाला चपखल बसते. पण त्यासाठी एक कुरूप, पाचवं गृहितक घ्यावं लागतं. शतकानुशतकं लोकांनी ते पाचवं गृहितक काढून टाकण्याचा प्रयत्न केला. शेवटी काहींनी त्या विरुद्ध पाचवं गृहितक घेतलं आणि त्यातून 'नवीन' भूमिती तयार झाली. या भूमितीचा आसपासच्या विश्वाशी काहीच संबंध नव्हता. (कर्व्ह्ड स्पेस वगैरे नंतर आलं). थोडक्यात, हो, चपखल न बसणारं गणित तयार होऊ शकतं, आणि अनेक गणितज्ञ ते करतातही, पण आपल्याला शिकवलं जाणारं, उपयुक्त गणित हे चपखलच असतं.