अंदाज करा - टाय मॅचेसची शक्यता
१५ फेब्रुवारीपासून सुरू होणाऱ्या विश्वचषक स्पर्धेत एकंदरीत ४९ सामने होणार आहेत. त्यातला किमान एक सामना तरी टाय होण्याची शक्यता किती असेल याचा अंदाज करूया. किंवा हाच प्रश्न मी थोड्या वेगळ्या पद्धतीने विचारतो.
आपण पैजेचा विचार करू. जर साध्या नाण्याच्या छापकाट्यासाठी एका माणसाने दुसऱ्याला म्हटलं 'मी छापा म्हणतो. तू जिंकलास तर मी तुला १०० रुपये देईन, मी जिंकलो तर तू मला ११० रुपये द्यायचे'. ही स्वीकारण्याजोगी पैज आहे का? छापा आणि काटा येण्याची शक्यता सारखीच असल्यामुळे आपल्याला उघडच लक्षात येतं की ही आपल्यासाठी तोट्याची पैज आहे. कारण हा खेळ अनेक वेळा खेळत गेलं तर अंती आपलं नुकसान होईल. त्यामुळे इथे 'जर कोणी छाप्यासाठी १०० रुपये लावत असेल तर दुसऱ्याने काट्यासाठी १०० रुपये लावणं' ही रास्त पैज (फेअर बेट) झाली.
पण हे उदाहरण फारच सोपं झालं. त्याऐवजी आपण सहा बाजू असलेल्या फाशाचं उदाहरण बघू. 'मी १ पडेल असं म्हणतो. १ शिवाय कुठचाही आकडा आला तर तू जिंकलास. मी जिंकलो तर तू मला १०० रुपये द्यायचे, तू जिंकलास तर मी तुला १७ रुपये देईन' ही पैज रास्त आहे का? स्वीकारण्याजोगी आहे का? १०० हे १७ च्या सहापटीपेक्षा कमी आहेत म्हणून ही पैज फायद्याची वाटेल. पण खरं तर २ ते ६ आकडा पडण्याची शक्यता १ मिळण्याच्या शक्यतेच्या फक्त पाचपट आहे. तेव्हा १:५ या गुणोत्तरातली पैज रास्त ठरेल. म्हणजे कोणी १ या दानासाठी २० रुपये लावले असले तरच इतर दानांसाठी १०० रुपये लावणं ही रास्त पैज झाली. जर १ साठी १०० रुपये लावले तर इतर दान पडण्याच्या बाजूने ५०० रुपये लावणं ही रास्त पैज.
समजा जर कोणी तुमच्याशी '२०१५ च्या वर्ल्ड कप क्रिकेट मॅचेसमध्ये किमान एक मॅच टाय होईल' यासाठी १०० रुपयांची पैज लावायला तयार असेल, तर त्याविरुद्ध म्हणजे 'एकही मॅच टाय होणार नाही' या विधानासाठी किती रुपयांची पैज लावणं रास्त आहे? नेहमीप्रमाणेच, तुम्ही उत्तर देताना गट फीलिंगने देऊ शकता, किंवा वेगवेगळ्या पद्धतीने गणित करून देऊ शकता. त्यासाठी प्रचंड प्रमाणावर विदा cricinfo.com इथे उपलब्ध आहे. उत्तर कसं काढलं याचं थोडक्यात वर्णन करावं ही विनंती.
(याविषयावर मी पूर्वी एक लेख लिहिलेला होता आणि काही गणितंही केलेली होती. तो लेख तपासून उत्तर लिहू नये ही विनंती. तसंही त्या लेखापेक्षा मी किंचित क्लिष्ट गणित करणार आहे, आणि खेळाची जातकुळी बदलल्याने उत्तर बदलण्याचीही शक्यता आहे.)
या लेखात पैजांबद्दल उल्लेख झाला असला तरी त्यातून ऐसी अक्षरे या माध्यमावरून जुगार खेळण्यास प्रोत्साहन दिले जात आहे असा गैरसमज करून घेऊ नये. फेअर बेट ही गणिती संकल्पना संभाव्यता किंवा प्रोबॅबिलिटी या दुसऱ्या गणिती संकल्पनेची सोप्या पद्धतीने मांडणी करण्यासाठी वापरली आहे इतकंच.
Taxonomy upgrade extras
इनफॅक्ट १ पडला तर तुम्ही
इनफॅक्ट १ पडला तर तुम्ही त्याला १०० द्यायचे आणि अन्य कोणताही पडला तर त्याने तुम्हाला २० द्यायचे हे रास्त वाटतं..
हेच म्हणायचं आहे. बुकीजचे तांत्रिक शब्द मला माहीत नाहीत. पण माझा मुद्दा असा आहे की कोणी १ वर डाव लावण्यासाठी टेबलावर २० रुपये टाकले, तर तुम्ही त्याच्याविरुद्ध (१ सोडून इतर काही) डाव लावण्यासाठी १०० रुपये टेबलावर ठेवण्याची गरज आहे. ज्याची जीत होईल त्याला टेबलावरचे सगळे पैसे मिळतात. असा खेळ अनेक वेळा चालू राहिला तर दोघांचीही सरासरी मिळकत शून्य असेल.
गुर्जी - जर कोणी "'२०१५ च्या
गुर्जी - जर कोणी "'२०१५ च्या वर्ल्ड कप क्रिकेट मॅचेसमध्ये किमान एक मॅच टाय होईल' यासाठी १०० रुपयांची पैज लावायला तयार असेल"
ह्याचा अर्थ नक्की कसा घ्यायचा ते कळले नाही. समजा त्याने जर माझ्याशी पैज लावली असेल तर त्याने आणि मी दोघांनी टेबल्वर १०० रुपये काढुन ठेवायचे का? आणि तो जिंकला तर त्याला २०० रुपये आणि मी जिंकले तर मला २०० रुपये. असा अर्थ आहे का?
या निमित्ताने एक प्रश्न
या निमित्ताने एक प्रश्न विचारायचा आहे. फेवरेबल आउटकम येण्याची शक्यता वाटते तेवढी कमी नसताना ती कमी आहे असे भासवून (रिस्क जास्त आहे असे भासवत) समोरच्याने ताबडतोब मान्य करावी अशी आकर्षक पैज लावणे अशी एखादी केस बनवता येईल का? ;)
(अधिक विचाराअंती किंवा आकडेमोडीअंती ते सिद्ध होईलच, पण सकृद्दर्शनी..)
http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem
In probability theory, the birthday problem or birthday paradox[1] concerns the probability that, in a set of randomly chosen people, some pair of them will have the same birthday. By the pigeonhole principle, the probability reaches 100% when the number of people reaches 367 (since there are 366 possible birthdays, including February 29). However, 99.9% probability is reached with just 70 people, and 50% probability with 23 people.
गुर्जी - पैज ही अशी एका
गुर्जी - पैज ही अशी एका बाजुनी लावता येत नाही. त्यात सर्व पार्टीसिपंट नी बोली लावणे असा प्रकार असतो. जसे सट्ट्यात वेगवेगळ्या फलिताचे वेगवेगळे दर असतात आणि ते बाजारात ठरतात.
उदा : मी ऑप्शन मधे काम करते ते पण पैज लावण्यासारखेच असते. कमीतकमी २ पार्टीसिपंट असल्या शिवाय पैज लावत येत नाही.
थियरॉटीकली, तुम्ही म्हणलात तसे जर कोणी १०० रुपयाची पैज एक मॅच टाय होइल ह्यावर लावणार असेल तर मी त्याच्याशी कमीत कमी १ रुपयाची ( हे कमीतकमी डीनॉमिनेश्न धरुन ) पैज लाविन. तो जिंकला तर त्याला १०१ ( त्याचे १०० आणि माझा १ ) मिळतील. मी जिंकले तर मला पण १०१ मिळतील.
वास्तवात, इथे निगोशिएशन होइल. मी एक रुपयाच लावते म्हणल्यावर तो म्हणेल मी पण १ च रुपया लावतो.
पैज एका बाजूने लावता येत नाही
पैज एका बाजूने लावता येत नाही म्हणूनच 'जर कोणी इतके लावले तर त्याविरुद्ध आउटकमसाठी तुम्ही काय लावायला तयार असाल' या स्वरूपात प्रश्न विचारला आहे.
शंभरला कमीतकमी १ रुपयाची, किंवा १ पैशाची किंवा ० रुपयांची आपल्या बाजूने पैज लावणं हे आपल्यासाठी नेहमीच फायदेशीर असतं. म्हणूनच रास्त पैज, किंवा फेअर बेट ही संकल्पना मांडलेली आहे. इथे विचार असा करायचा असतो की जास्तीत जास्त किती पैसे लावणं योग्य? मग हा प्रश्न निगोशिएशनचा न होता गणिताचा होतो. कारण फेअर बेटमध्ये दोघांचा अपेक्षित लाभ शून्य असतो.
पैैज ही संकल्पना जर इतकी गोंधळाची वाटत असेल तर शुद्ध शक्यतेमध्ये उत्तर दिलं तरी चालेल. म्हणजे किमान एकतरी मॅच टाय होण्याची शक्यता यासाठी तुमचं टक्केवारीत उत्तर दिलंत तरी चालेल. जर तुमचं उत्तर २०% असं येत असेल तर याचा अर्थ अशा १००० टूर्नामेंट्समध्ये सुमारे २०० टूर्नामेंट्स अशा असतील की ज्यात किमान एकतरी मॅच टाय झालेली असेल.
माझा चांगलाच गोंधळ झाला आहे
माझा चांगलाच गोंधळ झाला आहे तुमच्या प्रश्नाने. एकदा पैज कीतीची लावाल हे विचारता नंतर फक्त शक्यता कीती हे विचारता.
Probability आणि Valuation of Risk/Reward हे वेगळ्या गोष्टी आहेत. Valuation of Risk/Reward मधे प्रॉबबिलिटी थोडा भाग घेते.
कारण फेअर बेटमध्ये दोघांचा अपेक्षित लाभ शून्य असतो.
ह्याचा अर्थ जरा उलगडुन सांगा.
----------------------
समजा तुम्ही गेल्या १०० वर्षाचा डाटा गोळा केलात आणि असे दिसले की प्रत्येक १००० मॅच मधली १ मॅच टाय होते. ही माहीती पैज लावायला फार काही उपयोगी नाही. अगदी १ च्या ऐवजी ५ मॅच टाय होतात असे असले तरी माझा पैजे चा आकडा बदलणार नाही.
कारण इथे शक्यतेचा उपयोग नाही, कारण मला पुन्हा अशीच पैज लावायला अजुन ४ वर्ष वाट बघायला लागेल. म्हणजे जर १००० मॅच मधली १ मॅच टाय होत असेल तर १००० वर्ड कप नी तुम्ही म्हणता तशी फेअर बेट होउ शकेल.
अपेक्षित लाभ म्हणजे
अपेक्षित लाभ म्हणजे एक्स्पेक्टेड व्हॅल्यू ऑफ गेन. जेव्हा लावलेले पैसे हे त्या त्या आउटकमच्या प्रॉबॅबिलिटीशी समानुपाती असतात, तेव्हा एक्स्पेक्टेड व्हॅल्यू ऑफ गेन शून्य असते. म्हणजे समजा छापा - काटा या दोन आउटकमसाठी दोघांनी १०० रुपये लावले तर छापा येईल असं म्हणणाऱ्याचं एक्स्पेक्टेड गेन खालीलप्रमाणे
छापा येण्याची शक्यता गुणिले १०० + काटा येण्याची शक्यता गुणिले -१००
= ०.५ गुणिले १०० + ०.५ गुणिले -१००
= +५० + (-५०)
= ०
एखादा सामना टाय होण्याची
एखादा सामना टाय होण्याची शक्यता किती असेल दोन्ही संघ किती तुल्यबळ आहेत यावर ठरेल. (नॉर्मली) त्यामुळे द अफ्रिका आणि युएई या सामन्याची शक्यता सगळ्यात कमी असेल. सो जितक्या तुल्यबळ मॅचेस तितकी टायची शक्यता जास्तं. पण ती किती जास्त हे नाही सांगता येते. प्रत्येक संघाला काहितरी रेटिंग द्यायचं. आणि त्या रेटिंग मधला फरक कमीत कमी (किंवा शून्य) आहे अशा म्याचेस किती आहेत ते ठरवायचं. समजा ६ म्याचेसपैकी १ म्याच सेम रेटिंगवाल्यांच्यात आहे तर ६ पैकी एक अशी फाशा सारखी केस होईल.
===
यात झोल वाटतोय बराच पण तूर्तास हेच सुचतय.
ज्यांच्या रेटिंगमधला फरक
ज्यांच्या रेटिंगमधला फरक सातपेक्षा** जास्त आहे ती लढत तुल्यबळांतली नाही. त्यामुळे त्यांच्यात टाय होण्याची शक्यता जवळजवळ नाहीच. या पद्धतीने बेचाळीस लीग मॅचेसपैकी वीस तरी उडवता येतील.
उरलेल्यांत:
(अ) विश्वचषकात टाय झालेल्या सामन्यांचं प्रमाण
(आ) ऑस्ट्रेलियात टाय झालेल्या सामन्यांचं प्रमाण
(इ) त्या वेन्यूवर टाय झालेल्या सामन्यांचं प्रमाण
यांचं वेटेड अ‍ॅवरेज प्रमाण लावायचं.
------------
**एक्स-अँटे रेटिंग दिलेले सर्वात वरचे आठ संघ क्वार्टरफायनलला जातील असं धरून, त्यांच्या रेटिंगमधला कमाल फरक
क्रिकेटमधलं मला फार समजत
क्रिकेटमधलं मला फार समजत नाही. त्यामुळे क्रिकइन्फो बघत बसले नाही. पावसामुळे सामने टाय होत नाहीत, (डकवर्थ लुईस हे नाव ऐकून आहे.) असं गृहित धरलं आहे.
तुल्यबळ संघांमधला सामना हा वरच्या प्रतिसादांमध्ये आलेला मुद्दा ग्राह्य वाटतो. शिवाय अनुप ढेरे, आदूबाळ यांचे प्रतिसाद वाचता, एकही सामना बरोबरीत सुटणार नाही असं वाटतं.
थोडे क्लू
मला वाटतं की लोक हा प्रश्न आहे त्यापेक्षा किचकट करत आहेत.
सोपा मार्ग - गेल्या पाचदहा वर्षांत चारपाचशे वन डे मॅचेस झाल्या त्यातल्या दोनतीन टाय झाल्याचं ऐकलं. तेव्हा बहुतेक अर्धा-एक टक्का मॅचेस टाय होतात. म्हणजे शंभर मॅचेसमध्ये एक मॅच टाय होते बहुतेक. किंवा कदाचित कमी. म्हणजे पन्नास मॅच घेतल्या तर...
या व्यक्तिगत अनुभवाच्या, गट फीलिंगद्वारे बरंच जवळचं उत्तर येऊ शकेल. नुसतं टाय होण्याचं प्रमाण साधारण काढून पाहा. तेवढं उत्तर सांगितलं तरी पुरे आहे.
किंचित किचकट मार्ग - आत्तापर्यंतच्या झालेल्या मॅचेसमध्ये एकंदरीत किती मॅचेस टाय झाल्या? त्यावरून पन्नासमध्ये किती टाय होतील हे काढता येतं.
क्लिष्ट मार्ग - गेल्या काही वर्षांत पहिल्या इनिंगमध्ये स्कोअर्स किती झाले, दुसऱ्या इनिंगमध्ये स्कोअर्स किती झाले याचं डिस्ट्रिब्यूशन काढायचं. त्यावरून समसमान स्कोअर होण्याची शक्यता किती आहे हे काढायचं. त्यातल्या गृहितकांमध्ये काय बदल करावा लागेल याविषयी विचार करून उत्तर थोडं बदलायचं. मग ते आत्तापर्यंतच्या निकालांशी मिळतंजुळतं आहे का, हे ताडून पाहायचं. (हा भाग मी करणार आहे)
थोडक्यात, ४९ मॅचेसमध्ये किमान एक टाय होण्याची शक्यता किती? या प्रश्नाऐवजी सर्वसाधारणपणे मॅच टाय होण्याची शक्यता किती याचं उत्तर दिलं तरी चालेल.
हा चांगला मुद्दा आहे. खरं तर
हा चांगला मुद्दा आहे. खरं तर म्हणूनच फक्त पहिल्या डावाच्या धावांचं डिस्ट्रिब्यूशन बघणं सोयीचं ठरतं. दुसऱ्या डावाचं डिस्ट्रिब्यूशन हे तितकं योग्य परिमाण नाही, कारण समजा पहिल्या टीमने २२० रन्स केल्या, आणि दुसऱ्या टीमने ४२ ओव्हर्समध्ये २२१ रन्स केल्या तर दुसरी टीम जिंकते. त्यामुळे किती धावा होऊ शकतात याबाबतीत दुसऱ्या इनिंगचं डिस्ट्रिब्यूशन वेगळं असणार.
दुवा
"There have been 32 tied One Day International cricket matches out of over 3280 played since 1971"
०.९७ टक्के सामने टाय होतात असे सकृद्दर्शनी दिसते. (डेटा २०१४ जानेवारी पर्यंतचा आहे असे सकृद्दर्शनी दिसते.)
उत्तम. आता प्रश्न असा आहे की
उत्तम. आता प्रश्न असा आहे की जर १ टक्का मॅचेस टाय होत असतील तर या वर्ल्ड कप टूर्नामेंटमध्ये किमान एक मॅच टाय होण्याची शक्यता किती आहे?
दुसरा प्रश्न असा की १९७१ पासून आत्तापर्यंत वन डे मॅचेसमध्ये प्रचंड बदल झालेला आहे. या बदलामुळे ही १ टक्का शक्यता कमी झाली असावी, जास्त झाली असावी की कसं?
१९७१ पासून दशकवार अथवा
१९७१ पासून दशकवार अथवा पंचवार्षिक विभाग करून प्रत्येक टाईम विंडोकरिता असे % काढावे लागेल अन मग सिग्निफिकन्स टेस्टिंग करावे लागेल. पण यात अडचण अशी आहे की सँपल साईझ कमी येतोय. टी टेस्ट लावायची म्हटले तरी अंमळ पंचाईतच. त्याउलट प्रतिवर्षी % काढायचे तर मग नॉईज़ जास्त येईल अशी भीती वाटतेय.
किंवा सरळ अ‍ॅनोव्हा लावायचा की झालं काम. कुठल्या टाईम विंडोतील % हे इतर टाईम विंडोमधील % पेक्षा लक्षणीयरीत्या वेगळा (जास्त/कमी) आहे हे कळू शकेल.
फॉर एनी गिवन म्याच, ती टाय
फॉर एनी गिवन म्याच, ती टाय होईल की कसे याकरिता एक सांख्यिकीय मॉडेल विकसित करता येईल. पण त्याकरिता प्रत्येक म्याचची नेमकी कुठली फीचर्स विचारात घ्यावयाची हा प्रश्न आहे. शिवाय, इथे टायचे % मुळातच १% इतके कमी आहे. त्यामुळे क्लासिफायर देखील नेहमीचा चालणार नाही. अ‍ॅनॉमली डिटेक्शनसाठीचा अल्गोरिदम इथे चालू शकेल असं वाटतं.
फॉर एनी गिवन म्याच, ती टाय
फॉर एनी गिवन म्याच, ती टाय होईल की कसे याकरिता एक सांख्यिकीय मॉडेल विकसित करता येईल.
जरूर करा. खाली काही उपयुक्त ठरू शकेल असा विदा आहे.
Span...... Matches Won Tied RPO Tie Rate
1971-1979... 82...... 78..... 0 3.93 0.00%
1980-1989... 516.... 499.... 2 4.38 0.39%
1990-1999... 933.... 891.... 14 4.58 1.50%
2000-2009... 1405... 1343... 7 4.89 0.50%
2010-2015... 662.... 630.... 9 5.1 1.36%
मॉडेल बनवण्यासाठी हा विदा वापरता येईलच, तसंच मॉडेल तपासून बघण्यासाठीही...
समजा मॅचेस टाय होण्याचे
समजा मॅचेस टाय होण्याचे प्रमाण १% आहे. सलग ९९ मॅचेस टाय झाल्या नाहीत, तर शंभरावी मॅच टाय होण्याची शक्यता १००% असेल का? नाही.
हे बरोबरच आहे. कारण याच न्यायाने 'छापा येण्याची शक्यता ५०% आहे, पहिल्यांदा काटा आला, तर दुसऱ्यांदा छापा येण्याची शक्यता १००% असेल का? नाही.' असंही म्हणता येतं. आणि आपल्याला ते माहित असतं.
मुळात मॅचेसची संख्या आणि मॅच टाय होणे याचा काही संबंध आहे का?
वरचं विधान खरं असलं तरीही - म्हणजे कुठच्याच वेळी छापा येण्याची शक्यता १००% नसली, तरी हजारो वेळा नाणं उडवलं तर निम्म्या वेळेला छापा आणि निम्म्या वेळेला काटा येतोच की.
ढोबळ गणित
मॅच टाय होण्याची शक्यता ३/४ % असते (म्हणजे एक टक्क्यापेक्षा किंचित कमी) असं समजून हिशेब करू. याचा अर्थ ती टाय न होण्याची शक्यता ९९.२५% असते. तर अशा सगळ्याच्या सगळ्या ४९ मॅचेस निर्टाय होण्याची शक्यता ०.९९२५ चा ४९ वा घात म्हणजे ६९% येते. सारांश असा की ७०-३० च्या आसपासची बेट असेल तर तिला फेअर बेट म्हणता येईल. (खरं प्रमाण काय असतं कुणास ठाऊक.)
?
> आता प्रश्न आहे की ०.७५% शक्यता असते हे काही गणित, युक्तिवाद, किंवा हॅंहडवेव्हिंग आर्ग्युमेंटने पटवता येईल का?
म्हणजे काय?! बहुतेक अर्धा-एक टक्का मॅचेस टाय होताना दिसतात असं तुम्हीच नाही का आधी म्हणालात? आता तुमचंच मत तुम्हाला कसं पटवून देणार?
> गेल्या पाचदहा वर्षांत चारपाचशे वन डे मॅचेस झाल्या त्यातल्या दोनतीन टाय झाल्याचं ऐकलं. तेव्हा बहुतेक अर्धा-एक टक्का मॅचेस टाय होतात. म्हणजे शंभर मॅचेसमध्ये एक मॅच टाय होते बहुतेक. किंवा कदाचित कमी.
अति-सोपा अंदाज - विकिपीडिया आकडे
विकिपीडिया आकड्यांत काहीतरी हिशोबी चूक असावी.
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_One_Day_International_cricket_reco…
परंतु त्या आकड्यांवरून टाय होण्याची संभवनीयता मी ०.००८९८३ इतकी काढली.
म्हणजे ४९ कसोट्यांमध्ये एकही कसोटी टाय न होण्याची संभवनीयता ०.६४२६५४ इतकी, एक तरी कसोटी टाय होण्याची संभवनीयता ०.३५७३४६ इतकी
म्हणजे "टाय होणार" म्हणणार्‍याने ३६ रुपये पुढे ठेवल्यास "टाय होणार नाही" म्हणणार्‍याने ६४ रुपये पुढे करावेत, तर पैज रास्त होईल.
म्हणजेच रास्त पैजेकरिता "टाय होणार" म्हणणार्‍याने १०० रुपये पुढे ठेवल्यास "टाय होणार नाही" म्हणणार्‍याने १७९.८४ रुपये पुढे करावेत.
साधारण ७७ कसोट्यांमध्ये एकतरी टाय होणार विरुद्ध एकही नाही पैज समसमान होते - रुपयास रुपया.
(हा अंदाज जयदीप चिपलकट्टी यांच्या अंदाजासारखा आहे. त्यांनी ७०:३० म्हटले, तर मी ६४:३६ असे म्हटले आहे. फरक केवळ टाय होण्याच्या संभवनीयतेचा आहे. बाकी गणिताच्या पायर्‍या त्याच.)
काही प्रकारची गणितं वेगवेगळी
काही प्रकारची गणितं वेगवेगळी उदाहरणे घालून नेहमी आम्हालाच सोडवायला देण्यापेक्षा, गुर्जींनी स्टॅटिस्टिक्सचे काही बेसिक धडे, काही अल्गोरिदम्स, डिस्ट्रिब्युशन मेथड्स असे करत काही किचकट प्रणाल्या वगैरे माहिती देणारी एक लेखमाला इथे मराठीत लिहिली तर आम्हाला अधिकच आनंद होईल. वरील चर्चेतील अर्धे प्रतिसाद आमच्या चिमुकल्या डोक्यावरून जातात हो!
जयदीप आणि धनंजय या दोघांनी एक
जयदीप आणि धनंजय या दोघांनी एक विशिष्ट शक्यता गृहित धरली तर तीवरून पुढचं उत्तर कसं काढायचं हे दाखवलेलं आहे. फक्त प्रश्न असा आहे की एक मॅच टाय होण्याची शक्यता कशी काढावी? एक सोपा मार्ग म्हणजे आत्तापर्यंत ज्या मॅचेस झाल्या आहेत त्यात किती टाय झाल्या? हे पाहून ते गुणोत्तर गृहित धरायचं. १९७१ सालपासून आजपर्यंत ३५९८ मॅचेस झाल्या. त्यातल्या ३२ मॅचेस टाय झाल्या. याचा अर्थ प्रोबॅबिलिटी ०.००८८९४. ही धनंजयने वापरलेल्या आकड्याशी अगदी मिळताजुळती आहे. त्यामुळे सुमारे १०० ला १८० रुपये लावणं ही फेअर बेट आहे. जयदीपने ही प्रॉबॅबिलिटी ०.००७५ धरलेली असल्यामुळे त्याचं उत्तर १०० ला २३० असं आलं.
पण नुसतंच मागे वळून पाहाण्यापेक्षा आपल्याला काही मॉडेल तयार करता येेईल का? असा मी विचार करत होतो. अर्थातच हे मॉडेलही आत्तापर्यंतच्या इतिहासावर आधारित असलं पाहिजे. म्हणून मी होणारी धावसंख्या पाहून त्यावरून आपल्याला हा सुमारे ०.८ % आकडा प्रेडिक्ट करता येईल का असा प्रयत्न केला.
वरील ग्राफमध्ये २०१० जानेवारीपासून म्हणजे गेल्या पाच वर्षात झालेल्या ६३९ सामन्यांंचा विदा आहे. मी या सर्व मॅचेसमधल्या पहिल्या इनिंगचा स्कोअर बघितला आणि त्याचं फ्रीक्वेन्सी डिस्ट्रिब्यूशन काढलं. सोप्या शब्दात सांगायचं झालं तर ६३९ सामन्यांमध्ये किती मॅचेसमध्ये स्कोअर ७० ते ८० होता, कितींमध्ये ८० ते ९० होता, कितींमध्ये ९० ते १०० होता... असं करत करत कितींमध्ये ४६० ते ४७० होता इथपर्यंत आकडेवारी काढली. यात २४० ते २५० या गटात सर्वाधिक म्हणजे ५१ इनिंग्ज आल्या. आणि त्याहून अधिक (किंवा कमी) स्कोअरसाठी कमी कमी संख्येने मॅचेेस दिसल्या. किंबहुना हे अतिशय छान नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन आहे - सरासरी २५० आणि सिग्मा सुमारे ६०. यावरून एखाद्या इनिंगमध्ये विशिष्ट स्कोअर होण्याची शक्यता काढता येते. दुसऱ्या इनिंगमध्येही हेच डिस्ट्रिब्यूशन आहे हे गृहित धरलं तर आपल्याला टाय होण्याची शक्यता काढता येते.
टाय होण्याची शक्यता = सर्व पद्धतींनी टाय होण्याच्या शक्यतांची बेरीज
= (पहिल्या इनिंगमध्ये ७० होण्याची शक्यता X दुसऱ्या इनिंगमध्ये ७० होण्याची शक्यता) + (पहिल्या इनिंगमध्ये ७१ होण्याची शक्यता X दुसऱ्या इनिंगमध्ये ७१ होण्याची शक्यता) + (पहिल्या इनिंगमध्ये ७२ होण्याची शक्यता X दुसऱ्या इनिंगमध्ये ७२ होण्याची शक्यता)..... असं करत सर्व स्कोअर्सची शक्यता मिळवता येते.
वरील ग्राफप्रमाणे याचं उत्तर येतं ०.५%
पण या गणितात गृहित धरलेलं आहे की पहिल्या इनिंगमध्ये होणारा स्कोअर आणि दुसऱ्या इनिंगमध्ये होणारा स्कोअर यांचा परस्परांशी काहीही संबंध नाही. (कोरिलेशन शून्य आहे) मात्र हे खरं नाही हे आपल्याला माहित आहे. कारण चांगल्या बॅटिंग पिचवर दोन्हीही टीम जास्त स्कोअर करतात. चांगल्या बोलिंग पिचवर दोन्ही टीम्सचे स्कोअर्स कमी असतात. मग आपण हे कोरिलेशन बरंच वाढवून एक नवीन नियम तयार करू. 'जेव्हा पहिल्या टीमचा स्कोअर २५०+ असतो तेव्हा दुसऱ्या टीमचाही २५०+ असतो. जेव्हा पहिल्या टीमचा स्कोअर २५०- असतो तेव्हा दुसऱ्या टीमचाही २५०- असतो.' मग वरीलच ग्राफ वापरून टाय होण्याची शक्यता दुप्पट होते. म्हणजे उत्तर १%
आता हे उघडच आहे की खरी परिस्थिती या दोहोंच्या मध्ये कुठेतरी आहे. तेव्हा ही शक्यता ०.७५% च्या आसपास असावी. कोरिलेशन नक्की किती आहे यावरून ती ०.८+ आहे की ०.७- आहे हे ठरेल. पण ०.७५ हा आकडा प्रत्यक्षाच्या जवळ असावा असा युक्तिवाद करता येतो. (२०१० ते २०१५ या काळासाठी हा आकडा ०.७७% आहे) त्यावरून उत्तर जयदीपने काढलेल्या उत्तराप्रमाणे सुमारे ७०:३० येतं.
आता नक्की कुठचं उत्तर 'बरोबर' हे सांगणं कठीण आहे. कारण धनंजयने वापरलेला आकडा ३००० मॅचेससाठी असल्यामुळे अधिक विदा आहे खरा. पण त्याचबरोबर गेल्या काही दशकांत खेळ बदलला असल्याने तो किंचित बदलेलाही असू शकेल. याउलट ०.७५% म्हणताना जे 'साधारण मध्ये कुठेतरी' असं अत्यंत ढोबळ विधान केलं आहे त्यातही बरीच एरर दडली असेल.
थोडक्यात वरचा युक्तिवाद, धनंजय आणि जयदीपची उत्तरं पाहता आपल्याला ढोबळमानाने '१:२ ही रास्त पैजेच्या जवळ आहे, १:३ स्वीकारू नये, १:१ जरूर स्वीकारावी.' इतकंच म्हणता येतं.
माझं 'उत्तर'ही त्याच आसपास आहे.
या ग्राफवरून "मनोवैग्यानिक
या ग्राफवरून "मनोवैग्यानिक दबाव"च्या थियरीला सांख्यकी पाठबळ मिळतं आहे. २००, २५०, ३०० या प्रत्येक लँडमार्क टप्प्यानंतर एक घसरगुंडी येते आहे.
काय होतं, समजा पहिल्या डावात ४९.५ ओव्हर्समध्ये ≥२४४ झालेले असतील, तर २५० गाठून प्रतिस्पर्ध्यावर मनोवैग्यानिक दबाव टाकण्यासाठी शेवटच्या बॉलला सिक्सर मारण्याचा प्रयत्न बॅट्समन करेल. पर्यायाने फायनल स्कोर २५० ते २५५ मध्ये असेल. त्याउलट आगोदरच ४९.५ ओव्हर्समध्ये २५२ झाले असतील, तर शेवटच्या बॉलला जास्त प्रयास करायची गरज बॅट्समनला भासणार नाही.
त्यामुळे लँडमार्क+५ ला टेंगूळ आणि मग घसरगुंडी असं चित्र दिसतंय.
१९९२,१९९६, १९९९,२००३,२०११
अवांतर शंका :-
१९९२,१९९६, १९९९,२००३,२०११ ह्या पाच वर्ल्ड कपांत भारत्-पाक म्याचेस झालेल्या आहेत.
भारत पाक ह्यांच्या एकूण एकदिवसीय म्याचेस मोजल्या १९७५पासून, तर एकूणात पाकिस्तानने अधिक विजय संपादन केलेले आहेत असे समजते.
असे असल्यास , ह्या पाचही वर्ल्ड कपांतील सामन्यांत भारत जिंकायची शक्यता किती ?
(गिव्हन द्याट तुम्ही १९९१च्या अखेरिस पैज लावत आहात, तोवर पाकिस्तानने बर्‍याच जास्त म्याचेस भारताहून जिंकलेल्या होत्या.
आणि पुढील पाच विश्वचषक स्पर्धांत भारत-पाक सामना होणार हे तुम्हाला आधीपासून ठाउक आहे.)
तेव्हा "भारत सर्व म्याचेस जिंकेल" ह्या शक्यतेवर एखाद्याने किती पैसा लावणं योग्य होतं ?
कुठचेच आकडे नसल्यामुळे या
कुठचेच आकडे नसल्यामुळे या प्रश्नाचं उत्तर देणं कठीण आहे.
- १९९१ पर्यंत भारत-पाकिस्तान किती सामने झाले होते आणि त्या पाकिस्तानने किती जिंकले होते?
- पाच वर्ल्ड कप टूर्नामेंट्समध्ये किती भारत-पाक सामने झाले? किंवा १९९१ साली किती सामने होतील अशी रास्त अपेक्षा होती?
पण तुमचा बिटवीन द लाइन मुद्दा साधारण लक्षात येतो आहे तो असा - '१९९१ च्या आधी पंधरा वर्षांत जे घडलं तेच पुढची वीस वर्षं चालू राहील असं मानणं बरोबर नाही. कारण १९९१ पर्यंत आकडेवारीनुसार पाकिस्तान फेवरिट होता, पण पाहा, पुढच्या पाचही वर्ल्डकपमध्ये भारताने पाकिस्तानवर प्रत्येक सामन्यात विजय मिळवला.'
या मुद्द्याला विरोध नाहीच. किंबहुना त्या विशिष्ट कालखंडासाठी अधिकच आक्षेप आहेत. मुळात १९७१ ते १९९० या काळात जगभरातच सर्व टीम्सच्या मिळून केवळ ५९८ सामने झाले होते - गेल्या पाच वर्षांत झाले त्यापेक्षा कमी. एकदिवसीय क्रिकेट हा नवीन प्रकार होता, आणि सर्वच टीम्स तो कसा खेळावा हे शिकत होत्या. त्यात पंधरा वर्षं हा फारच मोठा कालावधी झाला. एवढ्या काळात टीम्स पूर्णपणे बदलतात. म्हणजे विदा संख्यात्मकदृष्ट्या अपुरा आणि व्हेरिएबिलिटीही जास्त. तेव्हा अशा विद्यावर अवलंबून राहून पुढच्या दोन वर्षांबाबत पैजा लावणंही मुष्किल. वीस वर्षांच्या कालावधीबाबत बोलणं क्रिकेटच्या दोन विशिष्ट टीम्सबाबतीत बोलणं अशक्यच आहे. गणिताचा आधार घेऊन काही ठाम विधानं करता येत नाहीत. तेव्हा अशी पैज लावणं धोकादायकच आहे इतकंच म्हणता येतं.
नोप्स
इथल्या तर्कातल्या चुका दाकह्वणं किंवा एकूणच भाष्य करणं हे फारच नंतरचं झालं.
आधी मला बेसिक शिकायचे आहेत.
खरोखरिच शंका आहे.
पैज लावताना किती रकमेच्या लावायच्या,
त्या रकमा कशाकशा वाढत किंवा कमी होत जातात ते पहायचं आहे.(कारण हे सगळं पाहून थोडं गोंधळायला होतय)
१९९१ला भारत आणि पाक ह्यांच्यावर लावल्या गेलेल्या रकमांत फार मोठा फरक नसावा.
आणि त्यानंतर दरवेळी मानवी मन करते तसा विचार करत गेल्यास
"पाकितानची हरण्याची पाळी होउन गेलेली आहे मागच्याच वेळेस. आता भारत हरेल" असे समजून अ-गणिती
लोक दरवेळी पाकवर अधिक पैसे लावत असावेत असा अम्दाज आहे. (आपण "इजा-बिजा -तिजा झालेलं आहे, आता जपून हो" असा सल्ला देतो, तसच काहिसं.)
गणित केल्यावरही ह्याच धर्तीचं उत्तर येतं की कुठच्या वेगळ्या दिशेला जातं, ते पहायचं आहे.
(मी स्वतः गणित झेपत नसल्याने असली इंत्युइशनं घेउन जातात तिकडे जातो; आणि नंतर गोंधळतो.)
विश्वचश्क स्पर्धेत आज पर्यंत भारत पाकिस्तान कडुन हारला नाही.
या वर्षी हे समिकरण नक्कि तुटणार असं मला फार आतुन वाटते आहे :(
बर्‍याच लोकांना यावेळी ते कदाचीत बाहेरुनही वाटत असावे अशीही दाट शंका आहे. त्यामुळे मी पैज भारत हरणारच अशी लावेन. अर्थात हा भावनारहीत व्यावसायीक निर्णय म्हणूया. खरी इछ्चा भारत जिंकावा अशीच आहे, पण तसे घडेल वाटत नाही.
भारत आणि फक्त भारता वर
भारत आणि फक्त भारता वर क्रीकेटचा बाजार चालतो. त्यामुळे भारतीय खेळाडुंनी कीतीही प्रयत्न केला तरी भारताला फार हरु दिले जात नाही. वाईटात वाईट कंडीशन मधे पण भारताचा हरण्याचा रेशो ४० % पेक्षा वाढुन दिला जात नाही. भारत सेमीफायनल मधे न पोचणे वर्डकप च्या आर्थिक गणिताला परवडण्यासारखे नाही, त्यामुळे सेमीफायनल पर्यंत भारत पोचेलच किंवा पोचवला जाइल.
तसेच बाकीच्या छोट्या स्पर्धात पाक जिंकेल आणि वर्ड्कप मधे भारत जिंकेल अशी तडजोड असते.
मी फक्त "भारत पाक" १५ फेबच्या मॅच संदर्भात विचार करतोय.
भारत हारेल कारण, परदेशात जास्त जिंकत नाही. माजी विश्वविजेता या नात्याने आलेली सुस्ती होय भारतीय तसेही अल्पसंतुश्ट अव्यावसायीकच. भारताने सर्व वर्ल्डकपातील पाक विरुध्द सामने जिंकले होते जेंव्हा भारत इतर स्पर्धात पाक कडुन दमदार मात (माती) खात असे आणी परफेडीची जिद्द ही फक्त वर्ल्डकपातल्या सामन्यात निर्माण झाली होत असे (पुन्हा अल्पसंतुश्ट अव्यावसायीक वृती). आता प्रकरण निराळे आहे आता भारत पाक सामने तितके होत नाही. पाक क्रिकेटची वाताहात झालेली आहे त्यांना सन्मान परत आणायचा आहे. त्यांचेकडे गमावण्यासारखे काहीही नाही पण भारताकडे प्रतिष्ठा राखण्याचे प्रेशर असुन काहीसे अनुभवात कमी असलेले खेळाडु हि सुरुवतिच्या सामन्यात प्रमुख चिंतेची बाब आहे. वातवरणाचा सराव व्हावा म्हणून जे सामने भारत खेळला त्याचे निकाल ताजे आहेत पण जस जसे सामने होत जातिल भारत काठावर पास होत राहिलही.. पण पाक विरुध्द हमखास हरेल. :(
अलरेडी वर्ड्कपला प्रेक्षक
अलरेडी वर्ड्कपला प्रेक्षक नाहीत म्हणुन बोंब चालली आहे. भारत हरुन कसे चालेल.
आयसीसी ला अवसायनात ( काय शब्द आहे ) काढायचे आहे का?
जर अजुन एक भारत पाक मॅच असेल तर भारत एक जिंकेल आणि एक हरेल. एकच मॅच असेल तर भारताला हरु देणे परवडण्यातले नाही.
--
@घोस्ट रा - तुम्ही माझा प्रतिसाद नीट समजवून घेतला नाहीये.
मी अर्थकारण विचारात घेत
मी अर्थकारण विचारात घेत नाहीये.
तुम्ही विचारात घेताय का नाही हा प्रश्न नाहीये, प्रत्येक्षात काय होते आणि आयसीसी विचारात घेते का नाही हा मुद्दा आहे.
भारत हरणे अर्थकारणाला परवडणारे नाही. त्यामुळे भारत हरणार नाही, पाक विरुध्द चुकुन हरला तर भारत नक्की फायनल मधे दिसेल.
भारतातले मार्केट स्थापित झाल्या वर भारतातुन कोणी मीस वर्ड किंवा युनिवर्स झाली नाही तसेच आहे हे.
"पाकितानची हरण्याची पाळी होउन
"पाकितानची हरण्याची पाळी होउन गेलेली आहे मागच्याच वेळेस. आता भारत हरेल" .... "इजा-बिजा -तिजा झालेलं आहे, आता जपून हो" असा सल्ला देतो, तसच काहिसं
या प्रकारचा विचार अनेक जण करतात. आत्तापर्यंत घडलेल्या घटनांमध्ये काहीतरी सुसंगती लावून त्यावरून पुढे काय होणार याचा अंदाज लावण्याचा प्रयत्न करणं हे मानवी बुद्धीचं अविभाज्य अंग आहे. त्यापासून सुटका नसते.
अनेक बाबतीत हे अंदाज बरोबर येतात. 'चेंडू घरंगळतो आहे, पुढेही उतार आहे, तेव्हा तो घरंगळत राहणार' हे खरं ठरताना दिसतं. सूर्य काल उगवला तेव्हा उद्याही उगवेल हा अंदाज हजारो वेळा खरा येतो. ज्या घटनाक्रमाचं सूत्र काही ना काही भौतिक नियमांनी बांधलेलं आहे त्या बाबतीत 'मागे झालं तेेच पुढे होईल' हे अंदाज योग्य ठरतात. किंबहुना अशा घटनांच्या खरेपणातूनच भौतिक नियम शोधले जातात आणि प्रस्थापित होतात.
मात्र रॅंडम घटनांबाबत हे अंदाज चुकतात. कारण तुम्ही जर नाणं तीनदा उडवलं, आणि लागोपाठ तीनदा छापा आला तर त्यानंतर छापा येईल की काटा? हे सांगता येतच नाही. कारण उडवलेल्या नाण्यात आधीच्या निर्णयांचा काही अर्क भरलेला नसतो. नाणी उडवण्याचा तुम्ही प्रयोग करून पाहा. शंभरेक वेळा नाणं उडवा. छापा की काटा हे लिहून ठेवा. पाचदहा वेळा उडवून झाल्यावर आधल्या निर्णयांनुसार काहीही इंट्युइशन वापरून पुढे काय येणार याचा अंदाज लिहा. आणि प्रत्यक्ष निकाल लिहून ठेवा. कुठचेही नियम वापरले तरी तुमचं सुमारे निम्म्यावेळा बरोबर येईल आणि निम्म्या वेळा चुकेल.
क्रिकेटबाबतही हे करायला हरकत नाही. येत्या ४९ मॅचेससाठी काहीही विचारपद्धती वापरून मॅचचे निर्णय मॅचच्या आधी लिहून ठेवा. इथे तुमचं बहुतेक ६० ते ७०% वेळा बरोबर येईल, ३० ते ४०% वेळा अंदाज चुकतील अशी मला खात्री आहे.
>>> समजा जर कोणी तुमच्याशी
>>> समजा जर कोणी तुमच्याशी '२०१५ च्या वर्ल्ड कप क्रिकेट मॅचेसमध्ये किमान एक मॅच टाय होईल' यासाठी १०० रुपयांची पैज लावायला तयार असेल, तर त्याविरुद्ध म्हणजे 'एकही मॅच टाय होणार नाही' या विधानासाठी किती रुपयांची पैज लावणं रास्त आहे? नेहमीप्रमाणेच, तुम्ही उत्तर देताना गट फीलिंगने देऊ शकता, किंवा वेगवेगळ्या पद्धतीने गणित करून देऊ शकता. त्यासाठी प्रचंड प्रमाणावर विदा cricinfo.com इथे उपलब्ध आहे. उत्तर कसं काढलं याचं थोडक्यात वर्णन करावं ही विनंती.
१९७५ पासून विश्वचषक स्पर्धात आजतगायत ३२५+ सामने खेळले गेले आहेत. माझ्या माहितीप्रमाणे त्यातील फक्त २ बरोबरीत सुटले आहेत (चूभूदेघे). २००७ मध्ये झिंबाब्वेला आयर्लॅडने व २०११ मध्ये भारताला इंग्लंडने बरोबरीत रोखले होते. म्हणजे विश्वचषक स्पर्धेत १% पेक्षा कमी सामने बरोबरीत सुटले आहेत.
त्यामुळे समजा जर कोणी तुमच्याशी '२०१५ च्या वर्ल्ड कप क्रिकेट मॅचेसमध्ये किमान एक मॅच टाय होईल' यासाठी १०० रुपयांची पैज लावायला तयार असेल, तर त्याविरुद्ध म्हणजे 'एकही मॅच टाय होणार नाही' या विधानासाठी १ रूपयाची पैज लावणे रास्त आहे.
जर एकही सामना बरोबरीत सुटला नाही तर मला १ रूपया मिळेल, पण किमान १ सामना बरोबरीत सुटला तर मला १०० रूपये द्यावे लागतील.
मला तुमचं उत्तर नक्की कळलं
मला तुमचं उत्तर नक्की कळलं नाही. पैज लावणे याचा अर्थ तुम्ही बरोब्बर उलटा घेतलेला आहे का? तसंच एका सामन्यासाठी अर्धा ते पाऊण टक्का शक्यता आणि लागोपाठ ४९ सामन्यात एखादी गोष्ट घडण्याची वा न घडण्याची शक्यता यात तुम्ही काहीच फरक करत नाही आहात. कृपया जयदीप चिपलकट्टींचा प्रतिसाद वाचून पाहा.
या बोलीवर
या बोलीवर मी बरेच पैसे लावायला तयार आहे.
एकही सामना टायमॅच झाला नाही, तर 1000 रुपये तर सहज लावेन.
एकतरी सामना बरोबरीत तुम्ही मला 100,000 रुपये द्याल तर!
अर्थात एक लाख संख्या ऐकल्यावर बहुतेक लोक "नकोच" म्हणतील. तर तुम्ही जी काय मोठी संख्या सांगाल 10000 , 500 , 1000) तिच्या शंभरांश (100 , 50 ,10 ) मी पटकन पुढे करेन.
टाय
कोणत्याही ५० सामन्यांत एक टाय होण्याची शक्यता आणि विशिष्ट संघ खेळत असताना ५० सामन्यांत एक टाय होण्याची शक्यता भिन्न आहेत.
---------------
विश्वचषक सामन्यांच्या संदर्भात
१. समजा १० संघ खेळत आहेत. समजा सर्वांची एकमेकांसमोर धावा बनवायची क्षमता "सर्वसाधारणपणे" समान आहे. धावा शून्य ते अनंत कितीही बनू शकतात, पण नेहमी असल रेंज फार कमी असते म्हणून सर्वसाधारणपणे.
२. प्रत्येक संघ साधारणतः १५० ते ३५० च्या मधे धावा बनवतो. मागचे जे धावांचे रेकॉर्ड आहे त्यात नंतर बॅटींग करून मॅच जिंकली असली तर शेवटपर्यंत खेळल्यावर किती धावा झाल्या असत्या हे आकडे एक्ट्रापोलेट करायला पाहिजेत.
३. यातल्या प्रत्येक उप- रेंज मधे धावा बनण्याची शक्यता वेगवेगळी असते.
४. आता प्रत्येक वेळी हारण्या-जिंकण्याच्या प्रत्यक्ष किंवा एक्स्ट्रापोलेटेड धावांतील अंतर पाहू या. हजार सामन्यांचा विदा असेल तर "जिंकण्याची मार्जिन" किती राहिली आहे आणि कितीदा राहिली आहे याचा आलेख बनवू या. ( हे घासकडवी आनंदाने करतील.) आता आपल्याला मार्जिन आणि सामन्यांची संख्या यांच्यात कोरीलेशन दाखवणारे समीकरण प्रस्थापित करता येईल. किमान एक ० मार्जिन असण्यासाठी किमान किती सामने लागतील? ५० कि कमी?
बेट आणि फिक्स्ड हे शब्द वाचून
बेट आणि फिक्स्ड हे शब्द वाचून भलत्याच गोष्टी डोळ्यासमोर आल्या - त्यामुळे बेज हा कोणी कुप्रसिद्ध बुकी होता का असा क्षणभर प्रश्न पडला. पण नंतर प्रायर पोस्टिरियर या शब्दांमुळे गैरसमज दूर झाला.
बेशियन थियरीनुसार या गणिताबद्दल विचार करण्याची वेगळी पद्धती असेल तर त्याबद्दल जरूर किंचित विस्ताराने लिहावं ही विनंती.
कोणी १ या दानासाठी २० रुपये
१ पडण्याची शक्यता सहापैकी एक असल्याने त्याची किंमत २० असेल तर इतर दानांची किंमत प्रत्येकी १०० रास्त असं म्हणताय? की इतर ५ दानांची मिळून १०० म्हणताय?
कारण १ सोडून बाकी पाचपैकी काहीही पडल्यास तो तुम्हाला १०० द्यायला लागला तर त्याचे तातडीने दिवाळे निघेल.
इनफॅक्ट १ पडला तर तुम्ही त्याला १०० द्यायचे आणि अन्य कोणताही पडला तर त्याने तुम्हाला २० द्यायचे हे रास्त वाटतं.. पण अश्यावेळी अशी पैज लावण्यापेक्षा डाईस ठेवा आणि कॉईन काढा अशी विनंती करणं बरं.