"पाय"ची प्रायोगिक किंमत : वेगळाच पैलू

नुकत्याच एका चर्चाविषयात "पाय"ची किंमत प्रत्यक्ष मोजमापांनी काढून अंदाजांची सरासरी करण्याबाबत चर्चा झाली. (दुवा)

येथे चर्चाविषयाचा मुद्दा वेगळाच आहे. या चर्चेपुरते असे मान्य केलेले आहे, की काळजीपूर्वक विचार करून अशा प्रकारचा प्रयोग करता येईल, जेणेकरून अंदाजांची सरासरी ठीक-ठाक येईल, आणि वर्तुळाचा परिघ/व्यास ही किंमत मिळेल.

कुठल्याही वर्तुळाचा परिघ/व्यास ही संख्या अचल (कॉन्स्टंट) असते, ही एक सैद्धांतिक बाब आहे. यूक्लिडच्या भूमितीत काही गृहीतके आहेत - विशेषतः सिमेट्रीबाबत. त्यातील एक गृहीतक कित्येक शतके लोकांना पचायचा जड जात आहे. (एक सरळ रेषा घेतली, आणि त्या रेषेवर नसलेला एक बिंदू घेतला, तर आपल्या गृहीतरेषेला समांतर, आणि गृहीतबिंदूतून जाणारी एक आणि एकच अन्य रेषा असते.) हे गृहीतक "स्वयंसिद्ध" मानण्याकरिता एका विशिष्ट प्रकारची (फोल्डिंग) सिमेट्री आपल्याला मान्य असणे आवश्यक आहे.

ही सिमेट्री, आणि हे समांतर गृहीतक मानण्यातून बरेच पुढचे सिद्धांत मिळतात. न-मानल्यास वेगळे कुठले सिद्धांत मिळतात. उदाहरणार्थ (अनेक मधल्या पायर्‍या चढल्या तर) त्रिकोणातील कोनांची बेरीज "पाय" रेडियन मिळते. सामांतर्य-गृहीतक न-मानल्यास त्रिकोणातील कोनांची बेरीज(वेगवेगळ्या भूमिति-शाखांत) एक तर अपरिहार्यपणे >पाय इतकी येते, किंवा अपरिहार्यपणे २*पाय*र असे येते. (येथे "पाय" ही शुद्ध गणिती संख्या मानलेली आहे. वर्तुळाचे मोजमाप न-करता या संख्येची व्याख्या गणितातून मिळते. अशामुळे तार्किक इतरेतराश्रय - सर्क्युलर डेफिनिशन - हा दोष येत नाही.) बिगरयुक्लिडीय शाखांमध्ये परिघ/व्यास ही संख्या अचल नसते. वर्तुळाचा व्यास जितका मोठा होत जातो, तसा हा भागाकार बदलत जातो.

प्रत्यक्षात मोजमाप-करण्यासारखे आपले भौतिक विश्व कुठल्या प्रकारच्या भूमितिशाखेशी जुळते? कारण सामांतर्य-गृहीतक मानणार्‍या आणि न-मानणार्‍या सर्व शाखा स्वतःहून तर्कशुद्ध आहेत. कोणी म्हणेल, हे तर सोपे आहे. एखादा त्रिकोण घ्या, त्यातील कोनांचि बेरीज करा. पाय ते बघा. झाले! किंवा "र" त्रिज्येचे वर्तुळ घ्या. त्याचा परिघ मोजा. २*पाय*र काय ते बघा. झाले! (दोन्ही प्रयोग सैद्धांतिकदृष्ट्या तुल्य आहेत.)

मजा अशी, की ज्या प्रमाणात आपण मोजमाप-प्रयोग करू शकतो, त्या प्रमाणात कितीका प्रयोग केले, तरी खात्री वाटण्याइतके नेमके (अ‍ॅक्युरेट) उत्तर मिळेना. कारण व्यास "लहान" असला, तर परिघ/व्यास हा भागाकार "पाय"च्या जवळ येणार, हे त्या वेगळ्या भूमितिशाखांमधले सुद्धा गणित आहे. त्याहुनही प्रचंड (म्हणजे ग्रहतार्यांच्या अंतरापेक्षा प्रचंड) मोठे मोजमाप केले तरच कदाचित वेगवेगळ्या भूमिति-शाखांच्या भाकितांत फरक करता आला असता.

आइन्स्टाईनच्या सापेक्षतावादाच्या थियरीनंतरच कुठे असा कुठला प्रयोग कल्पिणे शक्य झाले, जेणेकरून मोजमापावरून विविध शाखांमध्ये फरक करता येऊ शकतो. अर्थात यापुढची कथा सर्वांना ठाऊकच आहे. आपले विश्व मोजमाप करता युक्लिडियन भूमितिशाखेच्या विपरित असल्याचे दिसते.

अतिशय सूक्ष्म प्रयोग करता आले, आणि त्यांची सरासरी एकीकडे कललेली नाही, अशी काळजी घेणारे आकडेशास्त्र वापरता आले, तर आपल्याला मोजमापात दिसेल, की परिघ/व्यास

अर्थात असा सूक्ष्म-प्रामादिक प्रयोग फक्त खगोलशास्त्रीय मोजमापांतच होऊ शकतो.

field_vote: 
3
Your rating: None Average: 3 (1 vote)

फोरम "सामाजिक" निवडला आहे. ही चर्चा राजकीय, ज्योतिषविषयक वगैरे नाही.

पण सामाजिकसुद्धा खास नाही. अन्य पर्यायांपेक्षा बरा म्हणून हा पर्याय निवडला. क्षमस्व.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

चर्चेचा प्रकार 'विज्ञान्/तंत्रज्ञान' असा केला आहे. चर्चेसंबंधित प्रतिसाद थोड्या वेळात देते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

---

सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.

सुंदर विवेचन.
समजून घेतो अहे.
अयुक्डीय भूमिती महणजे तीच ना म्हणे ज्यामध्यी त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज १८० अंशापेक्षा जास्तही येउ शकते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

यूक्लिडच्या सामांतर्य-गृहीतकाऐवजी कुठले गृहीतक घेतले, त्यावर अवलंबून आहे : बेरीज १८० अंशांपेक्षा एक तर जास्तच येते, किंवा कमीच येते.

जर असे गृहीतक घेतले की "एकही समांतर रेषा नाही" तर बेरीज नेहमीच १८० अंशापेक्षा अधिक येते.
जर असे गृहीतक घेतले की "एकापेक्षा अधिक समांतर रेषा असतात" तर बेरीज नेहमीच १८० अंशापेक्षा कमी येते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

दुस॑रे उदाहरण समजले नाही.
पहिल्याचे उदाहरण माहित आहे; पृथ्वीवरच एक भलीमोठी रेषा काढायची, तिला ९० अंशात दुसरी व दुसर्‍या रेषेला ९० अंशात तिसरी अशी काढली( पृथ्वीचा बराच भूभाग व्यापणारी) की मग एकूण अंशाची बेरिज २७० येते. हे ठिक.
पण दुसर्‍या प्रकाराची कल्पना करणे जमले नाही. १८०पेक्षा कमी कसे?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

--मनोबा
.
संगति जयाच्या खेळलो मी सदाहि | हाकेस तो आता ओ देत नाही
.
memories....often the marks people leave are scars

बरोबर.
बिगर-युक्लिडीय त्रिमिती भूमिती डोळ्यांसमोर आनणे कठिण असले, तरी दोन मिती यूक्लिडच्या तिसर्‍या मितीत वाकवून त्यांच्याबाबत कल्पना करता येते.
युक्लिडच्या त्रिमितीत प्रतल वाकवून त्याचा गोळा (स्फेरिकल सर्फेस) बनवला, तर त्या प्रतलावर समांतर अशा रेषा नसतात. मग कल्पनाशक्ती लढवून आपण "अशी त्रिमिती भूमितीसुद्धा आहे" असे हळूहळू आकळू लागतो. (रीमानची भूमिती)

"हायरबोलिक जिओमेट्री"चे प्रतल घेतले, तर त्यावर एका रेषेला तिच्या बाहेरच्या बिंदूमधून ठीक दोन समांतर रेषा असतात. ("समांतर" रेषा म्हणजे काय? गण्य - फायनाइट - अंतरावर भेटत नाही, पण अगणित अंतरावर "भेटते" अशी रेषा. ज्या रेषा कुठेच भेटत नाहीत त्या त्रिमितीत "स्क्यू रेषा" होत. म्हणून हे "भेटणे" म्हत्त्वाचे. युक्लिडीय भूमितीत समांतर रेषा एकमेकांना दोन्हीकडे अगणित अंतरावर "भेटतात". आडव्या असल्या तर उजवीकडेही अगणित अंतरावर भेटतात, आणि डावीकडेदेखील. हायप्रबोलिक जिओयोमेट्रीमध्ये एक समांतर रेषा उजवीकडे अगणित अंतरावर "भेटते", तर वेगळीच रेषा डावीकडे अगणित अंतरावर "भेटते". या विकीपेडिया पानावर काही चित्र दिलेली आहेत. (लोबाचेव्स्की भूमिती).

याही प्रकारात एकदा यूक्लिडीय त्रिमितीत वाकवलेले प्रतल आधी डोळ्यांसमोर आणले, तर पुढे जाऊन या भूमितीतले त्रिमिती अवकाश कल्पिता येते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0