ऑयलर संख्या e ची अद्भुत कहाणी! (उत्तरार्ध)

2.71828... या संख्येला e म्हणून संबोधण्याचे अजून एक कारण म्हणजे याचा संबंध घातांकीय वृद्धीशी (exponential growth) जोडता येईल. चक्रवाढ व्याजाप्रमाणे घातांकीय वृद्धीचे अजून एक उदाहरण म्हणजे इलेक्ट्रॉनिक तंत्रज्ञानातील मूरचा नियम (Moor's Law)असू शकेल. 1965 मध्ये हा नियम अस्तित्वात आला. 1971 ते 2015 पर्यंत 220 या हिशोबाने ट्रान्झिस्टरच्या क्षमतेत वाढ व आकारमान कमी कमी होत गेले. 1सेंमी x 1सेंमीच्या एवढ्याशा चिपवर 10 लाख ट्रान्झिस्टरची रचना करणे शक्य झाले. मायक्रोप्रोसेसर्सच्या क्षमता 70च्या दशकाच्या तंत्रज्ञानाच्या तुलनेत अनेक पटीने वाढलेल्या आहेत.

संभाव्यतेसंबंधीचे आडाखे बांधत असताना संख्याशास्त्रज्ञसुद्धा eच्या मूल्याबद्दल जागरूक असतात. झाडांच्या फांद्यावर कोळीष्टक विणणाऱ्या कोळीच्या धाग्याची रचनासुद्धा e शी संबंधित आहे. स्वतःच्या वजनाने जर चेन लोंबकळत असल्यास त्यातून तयार होणाऱ्या वक्ररेषेच्या आकाराच्या समीकरणात
y=a/2(e x/a + e -x/a) eला महत्वाचे स्थान दिलेले आहे. (हा आकार कॅटेनरी वक्ररेषा म्हणून ओळखला जातो.) 0 ते 1 दरम्यान असलेल्या यदृच्छ संख्यांच्या (random number) शोधासाठी संगणकाला e वर अवलंबून रहावे लागते.

गूगलच्या कार्पोरेट ऑफिसलासुद्धा या e ने अक्षरशः वेड लावले होते. काही संगणक तज्ञांची भरती त्यांना करायची होती. त्यांच्या ऑफीससाठी गणित व संगणक शास्त्रातील विशेषज्ञांची मागणी होती. परंतु त्यांना कुठल्या निकषांवर बोलवावे याचा नीटसा अंदाज येत नव्हता. व ते खरोखरच पारंगत आहेत का याचा अंदाज त्यांना घ्यावयाचा होता. त्यासाठी त्यांनी एक नामी युक्ती शोधून काढली. अमेरिकेतील मोठमोठ्या शहरात
{first 10-digit prime find in consecutive digits of e}.com
या नावाचे मोठमोठे पोस्टर्स लावले होते व या संस्थळावर जाऊन माहिती गोळा करण्याचा सल्ला दिला होता. परंतु या संस्थळापर्यंत पोचण्यासाठी पहिल्यांदा e संख्येतील दशांश स्थळाच्या बाजूतील 10 अंकाची अविभाज्य संख्या (prime number) शोधावे लागणार होते. त्यानंतरच इतर माहिती मिळू शकली असती. जे तज्ञ होते त्यांनी जावामध्ये एक छोटासा प्रोग्राम लिहून अविभाज्य संख्या शोधून काढले व संस्थळाला भेट दिली. e च्या दशांश स्थळातील 99व्या अंकापासूनचे पुढील 10 आकडे असलेली ही 7427466391 संख्या अविभाज्य आहे. गूगलला भरतीच्या या नवीन पद्धतीतून अनेक विशेषज्ञ मिळाले. गूगलला 2004 साली भाग भांडवल वाढवायचे होते. त्यासाठी त्यांनी e चे पहिले 10 आकडे असलेल्या संख्येच्या – 2718281828 - एवढे भांडवल विक्रीचे उद्दिष्ट ठेवले होते. व विक्री पूर्ण झाली.

π प्रमाणे e चे आकडेसुद्धा तोंडपाठ म्हणून दाखविण्याचे खूळसुद्धा अजूनही टिकून आहे व याविषयी नवीन नवीन दाखले स्थापण्यासाठी चढाओढ असते. 2004 मध्ये जर्मनी येथील अँड्रियास लिएटझो (Andrias Lietzow) यानी हातात पाच चेंडू झेलत झेलतच 316 आकडे म्हणून दाखविले. 25 नोव्हेंबर 2007 रोजी भास्कर करमरकर या भारतीयाने 1 तास 29 मिनिटे व 52 सेकंदात 5002 आकडे सांगत नवा विक्रम प्रस्थापित केला. त्याच दिवशी हेच आकडे उलटे म्हणत अजून एका विक्रमाची नोंद केली. e संबंधी अशा अनेक अफवा अधून मधून ऐकू येतात.

आपल्याला e चे अशा प्रकारे आकडे लक्षात ठेवायचे असल्यास खालील वाक्य तोंडपाठ असले तरी पुरेसे ठरेलः
I’m forming a mnemonic to remember a function in analysis.
यातील प्रत्येक शब्दातील अक्षरांच्या संख्येवरून e संख्या लक्षात ठेवता येईल. (2, 7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8 )

या अपरिमेय संख्याचे नामकरण कसे झाले असेल याबद्दलही अनेक तर्क वितर्क लढविले जातात. ऑयलरचे स्वतःच्या नावातील आद्याक्षरावरून हे नाव दिले असे एक सार्वत्रिक मत आहे. हे तितकेसे खरे वाटत नाही. कारण a, b, c, d प्रमाणे हेही एक गणितीय चिन्ह म्हणून त्यानी वापरले असण्याची शक्यता आहे. e हे एक्स्पोनन्शियल (exponential) चे आद्याक्षर असल्यामुळे त्याचा वापर झाला असावा. परंतु तेसुद्धा खरे नाही. एवढे मात्र खरे की 1631 साली ऑयलर यांनी गोल्डबाख या त्याच्या मित्राला लिहिलेल्या पत्रात e नावाने या संख्येचा उल्लेख केला होता. 1748 साली प्रकाशित झालेल्या गणितीय ग्रंथात e संबंधी मोठ्या प्रमाणात बरेच काही लिहिलेले सापडते.

e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!..... आणि limit (1+1/n)n, n ते ∞ होत गेल्यास त्याचे उत्तर e असणार हे ऑयलरने या ग्रंथात सिद्ध करून दाखवले होते. ऑयलरने आकडेमोड करून e च्या दशांश स्थळातील 18 आकडे शोधून काढले होते. परंतु हे आकडे कसे आले याचा उल्लेख मात्र पुस्तकात नाही! परंपरित अपूर्णांक (Continued fraction) वापरून सुद्धा e चे मूल्य निर्धारित करता येते हेही ऑयलरने शोधून काढले.

हातात कॅल्क्युलेटरसारखे साधन नसतानासुद्धा π चे आकडे शोधणाऱ्या शाँक्स याने eचे 137 आकडे व नंतर 205 आकडे शोधले होते, हे सांगूनही खरे वाटणार नाही. e मधील 200 आकडे शोधण्यासाठी e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!..... या समीकरणाचे 120 टर्म्स पर्यंत जावे लागेल. आता गूगलवर क्लिक केल्यास e चे 10000 आकडे सापडतील. नासाच्या संस्थळावर e चे दहा लाख आकडे सापडतील.

e, i, π, 1, आणि 0 यांचे एकमेकाशी असलेले नाते

लिओनार्ड ऑयलरचा गणित जगाला दिलेल्या देणगीत π, e, i, 0 आणि 1 यांचा एकमेकाशी संबंधित असलेल्या समीकरणाच्या शोधाला प्रथम क्रमांक द्यावे लागेल. या पाचही संख्यांची एकजूट करत e + 1= 0 समीकरणात बसवून त्यानी आपल्या अगाध गणितीय ज्ञानाचे प्रदर्शन केले होते.
टेलरश्रेढीच्या अनुसार
ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+..... येथे x चे मूल्य काहीही असू शकेल. जर x ऐवजी π वापरल्यास
eπ=1+π/1! + π2/2! + π3/3! + π4/4! +.....
असे हे समीकरण दिसेल. i2= -1 मधील i वापरून x ऐवजी ix असे हे समीकरण लिहिल्यास
eix=1+ix/1!+(ix)2/2!+(ix)3/3!+(ix)4/4!+.....
ते असे दिसेल. परंतु i2= -1 असल्यामुळे या समिकरणाची पुनर्मांडणी असेही करता येईलः
eix = {1-x2/2! + x4/4! – x6/6!.....} + i{x/1!-x3/3!+x5/5!-.....}
टेलर श्रेढीच्या अजून एका विधानानुसार
sinx={x/1!-x3/3!+x5/5!- x7/7!.....} व
cosx={1-x2/2! + x4/4! – x6/6!.....}
त्यामुळे eix = cosx + i sinx होईल.
परंतु ऑयलरच्या समीकरणात x ऐवजी π लिहिल्यास
e = cosπ + i sinπ मुळातच π कोननिर्धारक असून 2π = 3600 आहे. त्यामुळे
sinπ = 0 व cosπ = -1 होत असल्यामुळे
e = 0 -1 असे होईल. किंवा
e + 1= 0

शेक्सपियरच्या नाटकातील वा त्यांनी लिहिलेल्या सॉनेटमध्ये वर्णन केलेल्या प्रेम या शब्दात जो अचूकपणा व बंदिस्तपणा आहे तसाच बंदिस्तपणा ऑयलरच्या या समीकरणात आहे हे वाचकांच्या नक्कीच लक्षात येईल.

अशी आहे ही e ची अद्भुत कहाणी!
पूर्वार्ध

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

शेक्सपियरच्या नाटकातील वा त्यांनी लिहिलेल्या सॉनेटमध्ये वर्णन केलेल्या प्रेम या शब्दात जो अचूकपणा व बंदिस्तपणा आहे तसाच बंदिस्तपणा ऑयलरच्या या समीकरणात आहे हे वाचकांच्या नक्कीच लक्षात येईल.

शेक्सपियरची १५४ सॉनेटस वाचली नसल्याने या बद्दल मत मांडता येत नाही.
.
परंतु प्रेमाची ठाशिव व्याख्या मला तरी बायबलमध्ये सापडलेली आहे. मग त्यात filial व अन्य सर्व प्रेमाचे प्रकार आले.

1 Corinthians 13:4-5: “Love is patient, love is kind.
It does not envy, it does not boast,
it is not proud. It does not dishonor others,
it is not self-seeking, it is not easily angered,
it keeps no record of wrongs."

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

catenary बद्दल विकिबाबा म्हणतात: The word "catenary" is derived from the Latin word catēna, which means "chain". The English word "catenary" is usually attributed to Thomas Jefferson, who wrote in a letter to Thomas Paine on the construction of an arch for a bridge:

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उद‌य‌ (अन‌न्त_यात्री)

वेळीच चूक दाखवून दिल्याबद्दल मी तुमचा अत्यंत आभारी आहे. (ही चूक कशी झाली याचे मी अजिबात समर्थन करणार नाही.)
लेखात योग्य ती दुरुस्ती केली आहे.
धन्यवाद!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

वावा फारच छान!
कॅटिनरी चेन कोणत्या सूत्रात बसेल हे ते सूत्र.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0