ऑयलर संख्या e ची अद्भुत कहाणी! (पूर्वार्ध)

गणित जगतात π, e, i, 0 आणि 1 याबद्दल जितकी चर्चा होत असेल तितकी इतर कुठल्याही अंकाच्या वा संख्येच्याबद्दल होत नसावी. π इतकी नसली तरी ऑयलर संख्या eचा सुद्धा गणिताच्या इतिहासात फार मोठा वाटा आहे. π च्या इतिहासाइतका e चा इतिहास मनोरंजक नसेलही. परंतु गणित जगतात त्यालाही मानाचे स्थान आहे. तुलनेने e ही संकल्पना अलिकडची असल्यामुळे इतिहासाची पानं कदाचित भरलेली नसतील.

गणितात e चा उल्लेख अनेक ठिकाणी होत आहे. 1618 साली जॉन नेपियर (John Napier, 1550-1617) या स्कॉटिश शास्त्रज्ञाने लॉगरिदम तक्त्यांचा (Logarithm Tables) शोध लावला. सतराव्या शतकाच्या सुरुवातीच्या काळात युरोपमध्ये सागरी वाहतूक व नौकानयनाला अतिशय महत्व प्राप्त झाले होते. अथांग महासागराच्या मध्यावर बोटीत असताना आपण नेमके कुठे आहोत, आपल्याला कुठल्या दिशेने जायला हवे, वादळी हवामानामुळे जहाज हेलकावे खात असल्यास ते मूळपदावर आले की नाही याची खातरजमा अशा अनेक गोष्टींचा सामना जहाजाच्या कप्तानाला करावा लागत होता. त्यामुळे खगोल शास्त्रज्ञांना भरपूर मागणी होती. आकाश निरीक्षणातून अक्षांश-रेखांशांचा अंदाज बांधण्यासाठी मोठ्या प्रमाणात आकडेमोड - तेही काही क्षणाच्या अवधीत आणि अचूकपणे – करावे लागत असे. लांबच्या लांब आकडे असलेल्या संख्यांचे गुणाकार-भागाकार करावे लागत असे. त्या तुलनेने बेरीज वजाबाकी सोपे वाटत होते. नेपियरच्या लॉग व अँटिलॉग टेबल्समुळे कंटाळवाण्या गुणाकारा-भागाकाराऐवजी सुटसुटीत असलेल्या बेरीज-वजाबाकीतून आकडेमोड करणे शक्य झाले.

Logarithm याचा अर्थ गुणोत्तर संख्या असा होतो. निर्दिष्ट ठिकाणाचे अक्षांश-रेखांश शोधण्यासाठी गोलीय त्रिकोनमितीतील (spherical Trigonometry) सात सात आकडी संख्याचा वापर होत असे. म्हणूनच नेपियरच्या NapLog (x) = -107 log (x/107) या समीकरणात 7 असा उल्लेख आहे. नेपियरचे हे टेबल्स नॅच्युरल लॉग म्हणून ओळखले जातात. कारण या लॉगच्या हिशोबासाठी आधारांक (Base) म्हणून e चे मूल्य वापरलेले होते. परंतु हेन्री ब्रिग्स (Henri Briggs,1561-1631) या नेपियरच्या समकालीन गणितज्ञानी आधारांक e ऐवजी 10 वापरल्यामुळे होणाऱ्या फायद्यांची यादीच त्यानी दिली व त्याप्रमाणे एक तक्ताही करून पाठविला. काही महिन्य़ानी प्रसिद्ध झालेल्या नेपियरच्या पुस्तकात ब्रिग्सच्या टेबलला परिशिष्टात स्थान मिळाले.

गंमत म्हणजे लॉग टेबलचा जनक म्हणून नेपियरला पूर्णपणे श्रेय द्यावे की नाही याबद्दल इतिहासकारात मतभेद आहेत. कारण याच सुमारास जूस्ट बर्गी (Joost Burgi) या स्विस वॉचमेकरने स्वतंत्ररित्या लॉग टेबलची मांडणी केली होती. कॅल्क्युलसचा शोध न्यूटनने लावला की लेब्निट्झने, या वादासारखा हाही वाद गणित जगतात प्रसिद्ध आहे. ब्रिग्सच्या लॉगच्या तक्त्याचा आधारांक 10 होता व त्यासाठीच्या समीकरणात e असूनसुद्धा e चा उल्लेख त्यानी टाळला होता. 1647मध्ये सेंट व्हिन्सेंट या गणितज्ञाने काटकोनी अपास्त (Rectangular Hyperbola) चे क्षेत्रफळ काढताना e च्या मूल्याचा वापर नक्कीच केला असेल. परंतु त्याच्याही लेखनात e चा उल्लेख नव्हता. परंतु हायपरबोलाचे क्षेत्रफळ काढणाऱ्या ख्रिश्चियन हॉयगन्सला (की ह्युजेन्स? )(Christian Huygens, 1629-1695) मात्र e आणि लॉग यांच्यात परस्पर संबंध आहे हे लक्षात आलेले होते. त्या कालखंडातील अनेक गणितज्ञ कळत न कळत e चा वापर करत होते. परंतु त्याचे नीटसे आकलन त्यांना होत नव्हते. 1661 साली हॉयगन्स यानी अजून एका वक्ररेषेची मांडणी करताना y = kax या समीकरणाचा वापर केला होता. यातही लॉगचा आधारांक 10 आणि संख्या e होती. हॉयगन्स यानी या समीकरणाचा वापर करून eच्या मूल्यातील 17 दशांश स्थळं शोधून काढल्या होत्या. याच्याही या कर्तृत्वाला प्रतिसाद मिळाला नाही आणि e पुन्हा एकदा अज्ञातच राहिले.

1668मध्ये डच गणितज्ञ, निकोलस मेर्काटेर (Nicolous Mercater,1620-1687) यानी log (1+x) याचे विस्तारित श्रेढीमध्ये मांडणी केली. येथे e आधारांक असलेल्या नॅच्युरल लॉगचा वापर केला होता. परंतु यावेळीसुद्धा कुणालाही e चे कौतुक करावेसे वाटले नाही.
गणिताच्या जगात दुय्यम स्थानावर असलेला हा e आर्थिक व्यवहारातील चक्रवाढीच्या संदर्भातील आकडेमोडीत मात्र आघाडीवर होता. चक्रवाढीच्या हिशोबात e ला पर्याय नाही हे 1683मध्ये जॅकोब बेर्नोली यांनी प्रथम ओळखले. त्याला limit (1+1/n)n यात n, इन्फिनिटी (∞) पर्यंत गेल्यास काय होईल याबद्दल कुतूहल होते. बायनॉमियल सिद्धांत वापरून limit काढत असताना याचे मूल्य 2 व 3 च्या मध्ये कुठेतरी असणार हे त्याच्या लक्षात आले. गंमत म्हणजे त्याला मिळालेले उत्तर आणि यापूर्वी लॉगमध्ये वापरलेला आधारांक यांचा काहीतरी परस्पर संबंध असू शकतो हे त्याच्या लक्षात आले नाही. परंतु या eने चक्रवाढ व्याजाच्या मर्यादा अधोरेखीत केले.

गणिताच्या सोईसाठी एखादी कंपनी 100 टक्के व्याज देते असे समजू या. या कंपनीत 1 रू मुद्दल म्हणून गुंतविल्यास व वर्षाच्या शेवटी व्याजाचा हिशोब करत असल्यास आपल्याला वर्षानंतर मिळणारी रक्कम दुप्पट होऊन आपल्या हातात दोन रु पडतील. दर सहा महिन्यानी व्याजाचा हिशोब होत असल्यास वर्षाच्या शेवटी 1.50+0.75 = 2.25 रु मिळतील. 6 महिन्याच्या ऐवजी दर 3 महिन्यानी हिशोब होत असल्यास बँकेतील आपली ठेव 2.44 रु एवढे वाढेल. जर वर्षभरात n वेळा व्याजाचा हिशोब होत असल्यास आपल्याला मिळणारा परतावा A=P(1+r/n)n (यात A परतावा, P मूळ मुद्दल, r वार्षिक व्याज दर आणि n व्याजाच्या हिशोबाची कालावधी) या समीकरणातून काढता येईल. दर आठवड्यानी व्याज जमा होत असल्यास सरळ व्याजापेक्षा नक्कीच जास्त पैसे मिळतील. परंतु यानंतर मात्र काही पैशांचाच फरक होत असल्यामुळे त्या हिशोबाला काही अर्थ नाही. परंतु आपली गुंतवणूक कोटीच्या घरातली असल्यास 6-7 आकडी संख्येतही मोठ्या प्रमाणात वाढ होईल.

गंमत म्हणून व्याजाच्या हिशोबाची कालावधी प्रती ताशी, वा प्रती मिनिट वा प्रती सेकंद असे न काढता प्रत्येक क्षणाची कालावधीने हिशोब केल्यास जमा रकम 2.718281828459045235360287471352662497757247093699957496696762724076630353547594571382178525166427.... या संख्येतील दशांशाचे आकडे अनंतापर्यंत जात आहेत. या संख्येला कुठल्याही गुणोत्तरच्या स्वरूपात मांडता येत नसल्यामुळे याला 'बीजातीत संख्या' (Transcendental Number) असे म्हटले जाते. सर्व बीजातीत संख्या अपरिमेय असतात परंतु सर्व अपरिमेय संख्या बीजातीत नसतात. (All transcendental numbers are irrational, but not all irrational numbers are transcendental. (Transcendental numbers are a subset of irrational numbers).)
आणि याचेच e असे नामकरण झाले.

क्रमशः

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

या संख्येला कुठल्याही गुणोत्तरच्या स्वरूपात मांडता येत नसल्यामुळे याला अपरिमेय संख्या (Transcendental Number) असे म्हटले जाते. आणि याचेच e असे नामकरण झाले.

अपरिमेय म्हणजे इर्रॅशनल ना? Transcendental ही अपरिमेय संख्यांची स्पेशल केस आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

चूक दाखवून दिल्याबद्दल धन्यवाद! लेखात योग्य तो बदल केला आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

या संख्येला कुठल्याही गुणोत्तरच्या स्वरूपात मांडता येत नसल्यामुळे याला 'बीजातीत संख्या' (Transcendental Number) असे म्हटले जाते.

हे देखील थोडं चूक आहे.
कुठल्याही गुणोत्तरात मांडता न येणाऱ्या संख्या या अपरिमेय ( irrational) असतात. Transcendental याचा सब्क्लास आहेत. दोनाचं वर्गमुळ अपरिमेय आहे कारण ते गुणोत्तरात मांडता येत नाही. पण दोनाचं वर्गमुळ Transcendental नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

आपण सर्व विज्ञान आणि गणित विषय शाळेत असताना शिकतो ते एक उरकणे पद्धतीने. त्याचा इतिहास सांगायला आणि जाणून घेण्यास कोणालाच आवड नसते. मुख्य कारण किती मार्क्स मिळणार हेच ध्येय.
अशा प्रकारची भाषणे देणारे लोक सुटीत फिरले पाहिजेत. ज्यांना आवड आहे ते येतील. नानावटी सर लेख चांगले होत आहेत.
गणितातले ओइलर,गॅास,न्युटन,लाइबनिट्झ फारच भारी काम करून गेले आहेत.
ग्रीकांनी तर सिद्धता देण्याची जी काही धडपड केली आहे ती पाहता आनंदाने रडू येते. अरे कशाला एवढे परीश्रम करता? हेच ते गणित. एखाद्या प्रश्नाला उत्तर नाही हे सिद्ध करणे हेसुद्धा उत्तरच असते!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

असले लोक्स शाळेत आले असते तर मी शाळा सोडली असती, जिंदगीत शाळेचे तोंड पाहिले नसते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

विनोद समजला.
हा तुझ्या आवडीचा विषय नव्हता पण कोणाचातरी असेलच. असं काही असतं हे लहान वयात कळणे फार महत्त्वाचं असतं अभ्या. अभिनय,गायन,चित्रकला,किर्तन हेसुद्धा आवड वाढवणारे आहेत.
आमच्या शाळेत असे लोक बोलावले जायचे. एक म्हातारा चित्रकारही आलेला. तो यावर जग फिरला होता. शकुंतलादेवी आली होती. ६८ साली. मोठमोठ्या गुणाकार भागाकारांची उत्तरे,कॅलिंडरातल्या तारखा वाराप्रमाणे सांगितल्या. कॅल्सी नव्हते॥ गणिताच्या जोगळेकर गुरुजींनी आठ आकडी संख्यांचे गुणाकार स्वत: करून उत्तरे काढून ठेवलेली ते तिला विचारले होते.
शाळेत फक्त गणिताची भाषणं ठोकणारेच आणायचे असं नाही. किर्तनकाराचे ऐकून एक मुलगा किर्तनही शिकला होता.
खेळांचे तर अफाट विश्व आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

फर्ग्युन कॉलेजचे एम प्रकाश सर आणि गुप्ते क्लासच्या मॅडम - यांनी मला गणिताची गोडी लावली. दोघेही सिन्सिअर व उत्तम शिक्षक आहेत. हाडाचे शिक्षक.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

आमचे गणिताचे प्राध्यापक एन आर कुलकर्णी ह्यांनी फळ्यावर काहीतरी सोडवतांना अनपेक्षितपणे e^(i*pi) = -1 हे आम्हाला दाखविले आणि जादूगाराने हॅटमधून पक्षी काढावा तसे आम्हाला वाटले हे चांगलेच आठवते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सचित्र असता तर अजून चांगला झाला असता. ढेरेंच्या वाक्याशी सहमत.

In mathematics, a transcendental number is a real or complex number that is not algebraic—that is, it is not a root of a nonzero polynomial equation with integer (or, equivalently, rational) coefficients.

बीजातीत: परिमेय संख्या सहगुणक असलेल्या कुठल्याही बहुपदींचं मूळ/उत्तर ज्या संख्या नाहीत त्या.
बीजातीत शब्द उत्तम आहे. आवडला!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माणूस म्हणून बोल साला जीव काढून देईन.
- लक्ष्मी शैला

limit (1+1/n)n याची व्हॅल्यू इ आहे हे ठिक. पण ही व्हॅल्यू नॅचरल लॉगरिदमचा बेस आहे म्हणजे काय? नैसर्गिक आणि अनैसर्गिक बेस काय असतात?
=====================
एन हा पूर्णांक आहे. त्याएवजी १.१, २.१, ३.१, वा असे कोणते पॅटर्न घेऊन असा अजून एक स्थिरांक येईलच्च. व्हाट बिग डिल?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

ज्या हेतूने हा प्रतिसाद लिहिला आहे याच्या जास्त खोलात न जाता e आधारांक असलेल्या लॉगला नॅचरल लॉग का म्हटले जाते याबद्दलचा लेखन प्रपंच.
खरे पाहता 10 वा 2 आधारांक वापरून तयार केलेल्या लॉग टेबलला(च) नॅचरल लॉग टेबल म्हणावयास हरकत नव्हती. परंतु 10 व 2 या संख्या गणितज्ञांना अनैसर्गिक वाटतात. कारण 10 च्या आधारांकावरील संख्या व्यवस्था ही एके काळी आपल्या हाताच्या बोटाच्या संख्येवरून आली असे म्हणण्यास वाव आहे. कदाचित आपल्या हाताच्या बोटांची संख्या 8,12 वा 16 असती तर संख्याव्यवस्था त्यावर आधारलेली झाली असती. संगणकांच्या सिद्धांतांचा अभ्यास करत असताना 8 व 16 आधारांक गृहित धरून अभ्यास केल्याचे अनेकांना आठवतही असेल. त्यामुळे लॉगचा आधारांक e असल्यास त्याला नॅचरल लॉग म्हणण्यात येत असावे असा माझा तर्क आहे.
त्याचप्रमाणे निसर्गातील अनेक प्रक्रियांचे

  • एका नियमित दराने सशांच्या पिढीत होणारी वाढ
  • चार्ज केलेल्या केपॅसिटर मधील ऱ्हास
  • radioactive isotopeमधील ऱ्हास
  • सूर्यफुलातील बियांची संख्या
  • चक्रवाढीतील रकमेची वाढ

इ.इचे . स्पष्टीकरण e आधारांक असलेले लॉग वापरून करता येत असल्यामुळे या लॉगला नॅचरल (नैसर्गिक) लॉग असे म्हटले गेले असावे असे मला वाटते.
चू.भू.दे.घे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मस्त उत्तर. धन्यवाद.
========================
पण तरी ...
तसा नैसर्गिकपणा मान्य केला तर ...
१. फक्त सशांची वाढ नैसर्गिक कशी? जगात नेहमी सशे वाढतच असतात का?
=================
चार्ज केलेल्या केपॅसिटर मधील ऱ्हास
radioactive isotopeमधील ऱ्हास
सूर्यफुलातील बियांची संख्या
हे डीटेलमधे बघायला लागेल काय प्रकरण आहे. बिना इ चे हे मांडताच येत नाही का? नैसर्गिक संख्या ह्या अणूकेंद्रे, विद्युअतभार नि सूर्यफूल यांनाच माहित असाव्यात?
==============
चक्रवाढ व्याज मानवी संकल्पना आहे. त्यात एकक वेळ मानवालाच अभिप्रेत आहे. म्हणून तो वापर हेतूपुरस्सर आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

>>पण ही व्हॅल्यू नॅचरल लॉगरिदमचा बेस आहे म्हणजे काय? नैसर्गिक आणि अनैसर्गिक बेस काय असतात?>>

शिकताना उडी मारून पुढे गेलो पण यातली गंमत नंतर वाचली

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

>>पण ही व्हॅल्यू नॅचरल लॉगरिदमचा बेस आहे म्हणजे काय? नैसर्गिक आणि अनैसर्गिक बेस काय असतात?>>

शिकताना उडी मारून पुढे गेलो पण यातली गंमत नंतर वाचली

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0