ऑयलर संख्या e ची अद्भुत कहाणी! (पूर्वार्ध)

गणित जगतात π, e, i, 0 आणि 1 याबद्दल जितकी चर्चा होत असेल तितकी इतर कुठल्याही अंकाच्या वा संख्येच्याबद्दल होत नसावी. π इतकी नसली तरी ऑयलर संख्या eचा सुद्धा गणिताच्या इतिहासात फार मोठा वाटा आहे. π च्या इतिहासाइतका e चा इतिहास मनोरंजक नसेलही. परंतु गणित जगतात त्यालाही मानाचे स्थान आहे. तुलनेने e ही संकल्पना अलिकडची असल्यामुळे इतिहासाची पानं कदाचित भरलेली नसतील.

गणितात e चा उल्लेख अनेक ठिकाणी होत आहे. 1618 साली जॉन नेपियर (John Napier, 1550-1617) या स्कॉटिश शास्त्रज्ञाने लॉगरिदम तक्त्यांचा (Logarithm Tables) शोध लावला. सतराव्या शतकाच्या सुरुवातीच्या काळात युरोपमध्ये सागरी वाहतूक व नौकानयनाला अतिशय महत्व प्राप्त झाले होते. अथांग महासागराच्या मध्यावर बोटीत असताना आपण नेमके कुठे आहोत, आपल्याला कुठल्या दिशेने जायला हवे, वादळी हवामानामुळे जहाज हेलकावे खात असल्यास ते मूळपदावर आले की नाही याची खातरजमा अशा अनेक गोष्टींचा सामना जहाजाच्या कप्तानाला करावा लागत होता. त्यामुळे खगोल शास्त्रज्ञांना भरपूर मागणी होती. आकाश निरीक्षणातून अक्षांश-रेखांशांचा अंदाज बांधण्यासाठी मोठ्या प्रमाणात आकडेमोड - तेही काही क्षणाच्या अवधीत आणि अचूकपणे – करावे लागत असे. लांबच्या लांब आकडे असलेल्या संख्यांचे गुणाकार-भागाकार करावे लागत असे. त्या तुलनेने बेरीज वजाबाकी सोपे वाटत होते. नेपियरच्या लॉग व अँटिलॉग टेबल्समुळे कंटाळवाण्या गुणाकारा-भागाकाराऐवजी सुटसुटीत असलेल्या बेरीज-वजाबाकीतून आकडेमोड करणे शक्य झाले.

Logarithm याचा अर्थ गुणोत्तर संख्या असा होतो. निर्दिष्ट ठिकाणाचे अक्षांश-रेखांश शोधण्यासाठी गोलीय त्रिकोनमितीतील (spherical Trigonometry) सात सात आकडी संख्याचा वापर होत असे. म्हणूनच नेपियरच्या NapLog (x) = -107 log (x/107) या समीकरणात 7 असा उल्लेख आहे. नेपियरचे हे टेबल्स नॅच्युरल लॉग म्हणून ओळखले जातात. कारण या लॉगच्या हिशोबासाठी आधारांक (Base) म्हणून e चे मूल्य वापरलेले होते. परंतु हेन्री ब्रिग्स (Henri Briggs,1561-1631) या नेपियरच्या समकालीन गणितज्ञानी आधारांक e ऐवजी 10 वापरल्यामुळे होणाऱ्या फायद्यांची यादीच त्यानी दिली व त्याप्रमाणे एक तक्ताही करून पाठविला. काही महिन्य़ानी प्रसिद्ध झालेल्या नेपियरच्या पुस्तकात ब्रिग्सच्या टेबलला परिशिष्टात स्थान मिळाले.

गंमत म्हणजे लॉग टेबलचा जनक म्हणून नेपियरला पूर्णपणे श्रेय द्यावे की नाही याबद्दल इतिहासकारात मतभेद आहेत. कारण याच सुमारास जूस्ट बर्गी (Joost Burgi) या स्विस वॉचमेकरने स्वतंत्ररित्या लॉग टेबलची मांडणी केली होती. कॅल्क्युलसचा शोध न्यूटनने लावला की लेब्निट्झने, या वादासारखा हाही वाद गणित जगतात प्रसिद्ध आहे. ब्रिग्सच्या लॉगच्या तक्त्याचा आधारांक 10 होता व त्यासाठीच्या समीकरणात e असूनसुद्धा e चा उल्लेख त्यानी टाळला होता. 1647मध्ये सेंट व्हिन्सेंट या गणितज्ञाने काटकोनी अपास्त (Rectangular Hyperbola) चे क्षेत्रफळ काढताना e च्या मूल्याचा वापर नक्कीच केला असेल. परंतु त्याच्याही लेखनात e चा उल्लेख नव्हता. परंतु हायपरबोलाचे क्षेत्रफळ काढणाऱ्या ख्रिश्चियन हॉयगन्सला (की ह्युजेन्स? )(Christian Huygens, 1629-1695) मात्र e आणि लॉग यांच्यात परस्पर संबंध आहे हे लक्षात आलेले होते. त्या कालखंडातील अनेक गणितज्ञ कळत न कळत e चा वापर करत होते. परंतु त्याचे नीटसे आकलन त्यांना होत नव्हते. 1661 साली हॉयगन्स यानी अजून एका वक्ररेषेची मांडणी करताना y = kax या समीकरणाचा वापर केला होता. यातही लॉगचा आधारांक 10 आणि संख्या e होती. हॉयगन्स यानी या समीकरणाचा वापर करून eच्या मूल्यातील 17 दशांश स्थळं शोधून काढल्या होत्या. याच्याही या कर्तृत्वाला प्रतिसाद मिळाला नाही आणि e पुन्हा एकदा अज्ञातच राहिले.

1668मध्ये डच गणितज्ञ, निकोलस मेर्काटेर (Nicolous Mercater,1620-1687) यानी log (1+x) याचे विस्तारित श्रेढीमध्ये मांडणी केली. येथे e आधारांक असलेल्या नॅच्युरल लॉगचा वापर केला होता. परंतु यावेळीसुद्धा कुणालाही e चे कौतुक करावेसे वाटले नाही.
गणिताच्या जगात दुय्यम स्थानावर असलेला हा e आर्थिक व्यवहारातील चक्रवाढीच्या संदर्भातील आकडेमोडीत मात्र आघाडीवर होता. चक्रवाढीच्या हिशोबात e ला पर्याय नाही हे 1683मध्ये जॅकोब बेर्नोली यांनी प्रथम ओळखले. त्याला limit (1+1/n)n यात n, इन्फिनिटी (∞) पर्यंत गेल्यास काय होईल याबद्दल कुतूहल होते. बायनॉमियल सिद्धांत वापरून limit काढत असताना याचे मूल्य 2 व 3 च्या मध्ये कुठेतरी असणार हे त्याच्या लक्षात आले. गंमत म्हणजे त्याला मिळालेले उत्तर आणि यापूर्वी लॉगमध्ये वापरलेला आधारांक यांचा काहीतरी परस्पर संबंध असू शकतो हे त्याच्या लक्षात आले नाही. परंतु या eने चक्रवाढ व्याजाच्या मर्यादा अधोरेखीत केले.

गणिताच्या सोईसाठी एखादी कंपनी 100 टक्के व्याज देते असे समजू या. या कंपनीत 1 रू मुद्दल म्हणून गुंतविल्यास व वर्षाच्या शेवटी व्याजाचा हिशोब करत असल्यास आपल्याला वर्षानंतर मिळणारी रक्कम दुप्पट होऊन आपल्या हातात दोन रु पडतील. दर सहा महिन्यानी व्याजाचा हिशोब होत असल्यास वर्षाच्या शेवटी 1.50+0.75 = 2.25 रु मिळतील. 6 महिन्याच्या ऐवजी दर 3 महिन्यानी हिशोब होत असल्यास बँकेतील आपली ठेव 2.44 रु एवढे वाढेल. जर वर्षभरात n वेळा व्याजाचा हिशोब होत असल्यास आपल्याला मिळणारा परतावा A=P(1+r/n)n (यात A परतावा, P मूळ मुद्दल, r वार्षिक व्याज दर आणि n व्याजाच्या हिशोबाची कालावधी) या समीकरणातून काढता येईल. दर आठवड्यानी व्याज जमा होत असल्यास सरळ व्याजापेक्षा नक्कीच जास्त पैसे मिळतील. परंतु यानंतर मात्र काही पैशांचाच फरक होत असल्यामुळे त्या हिशोबाला काही अर्थ नाही. परंतु आपली गुंतवणूक कोटीच्या घरातली असल्यास 6-7 आकडी संख्येतही मोठ्या प्रमाणात वाढ होईल.

गंमत म्हणून व्याजाच्या हिशोबाची कालावधी प्रती ताशी, वा प्रती मिनिट वा प्रती सेकंद असे न काढता प्रत्येक क्षणाची कालावधीने हिशोब केल्यास जमा रकम 2.718281828459045235360287471352662497757247093699957496696762724076630353547594571382178525166427.... या संख्येतील दशांशाचे आकडे अनंतापर्यंत जात आहेत. या संख्येला कुठल्याही गुणोत्तरच्या स्वरूपात मांडता येत नसल्यामुळे याला 'बीजातीत संख्या' (Transcendental Number) असे म्हटले जाते. सर्व बीजातीत संख्या अपरिमेय असतात परंतु सर्व अपरिमेय संख्या बीजातीत नसतात. (All transcendental numbers are irrational, but not all irrational numbers are transcendental. (Transcendental numbers are a subset of irrational numbers).)
आणि याचेच e असे नामकरण झाले.

क्रमशः

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

या संख्येला कुठल्याही गुणोत्तरच्या स्वरूपात मांडता येत नसल्यामुळे याला अपरिमेय संख्या (Transcendental Number) असे म्हटले जाते. आणि याचेच e असे नामकरण झाले.

अपरिमेय म्हणजे इर्रॅशनल ना? Transcendental ही अपरिमेय संख्यांची स्पेशल केस आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

चूक दाखवून दिल्याबद्दल धन्यवाद! लेखात योग्य तो बदल केला आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

या संख्येला कुठल्याही गुणोत्तरच्या स्वरूपात मांडता येत नसल्यामुळे याला 'बीजातीत संख्या' (Transcendental Number) असे म्हटले जाते.

हे देखील थोडं चूक आहे.
कुठल्याही गुणोत्तरात मांडता न येणाऱ्या संख्या या अपरिमेय ( irrational) असतात. Transcendental याचा सब्क्लास आहेत. दोनाचं वर्गमुळ अपरिमेय आहे कारण ते गुणोत्तरात मांडता येत नाही. पण दोनाचं वर्गमुळ Transcendental नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

आपण सर्व विज्ञान आणि गणित विषय शाळेत असताना शिकतो ते एक उरकणे पद्धतीने. त्याचा इतिहास सांगायला आणि जाणून घेण्यास कोणालाच आवड नसते. मुख्य कारण किती मार्क्स मिळणार हेच ध्येय.
अशा प्रकारची भाषणे देणारे लोक सुटीत फिरले पाहिजेत. ज्यांना आवड आहे ते येतील. नानावटी सर लेख चांगले होत आहेत.
गणितातले ओइलर,गॅास,न्युटन,लाइबनिट्झ फारच भारी काम करून गेले आहेत.
ग्रीकांनी तर सिद्धता देण्याची जी काही धडपड केली आहे ती पाहता आनंदाने रडू येते. अरे कशाला एवढे परीश्रम करता? हेच ते गणित. एखाद्या प्रश्नाला उत्तर नाही हे सिद्ध करणे हेसुद्धा उत्तरच असते!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

असले लोक्स शाळेत आले असते तर मी शाळा सोडली असती, जिंदगीत शाळेचे तोंड पाहिले नसते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

विनोद समजला.
हा तुझ्या आवडीचा विषय नव्हता पण कोणाचातरी असेलच. असं काही असतं हे लहान वयात कळणे फार महत्त्वाचं असतं अभ्या. अभिनय,गायन,चित्रकला,किर्तन हेसुद्धा आवड वाढवणारे आहेत.
आमच्या शाळेत असे लोक बोलावले जायचे. एक म्हातारा चित्रकारही आलेला. तो यावर जग फिरला होता. शकुंतलादेवी आली होती. ६८ साली. मोठमोठ्या गुणाकार भागाकारांची उत्तरे,कॅलिंडरातल्या तारखा वाराप्रमाणे सांगितल्या. कॅल्सी नव्हते॥ गणिताच्या जोगळेकर गुरुजींनी आठ आकडी संख्यांचे गुणाकार स्वत: करून उत्तरे काढून ठेवलेली ते तिला विचारले होते.
शाळेत फक्त गणिताची भाषणं ठोकणारेच आणायचे असं नाही. किर्तनकाराचे ऐकून एक मुलगा किर्तनही शिकला होता.
खेळांचे तर अफाट विश्व आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

फर्ग्युन कॉलेजचे एम प्रकाश सर आणि गुप्ते क्लासच्या मॅडम - यांनी मला गणिताची गोडी लावली. दोघेही सिन्सिअर व उत्तम शिक्षक आहेत. हाडाचे शिक्षक.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

आमचे गणिताचे प्राध्यापक एन आर कुलकर्णी ह्यांनी फळ्यावर काहीतरी सोडवतांना अनपेक्षितपणे e^(i*pi) = -1 हे आम्हाला दाखविले आणि जादूगाराने हॅटमधून पक्षी काढावा तसे आम्हाला वाटले हे चांगलेच आठवते.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सचित्र असता तर अजून चांगला झाला असता. ढेरेंच्या वाक्याशी सहमत.

In mathematics, a transcendental number is a real or complex number that is not algebraic—that is, it is not a root of a nonzero polynomial equation with integer (or, equivalently, rational) coefficients.

बीजातीत: परिमेय संख्या सहगुणक असलेल्या कुठल्याही बहुपदींचं मूळ/उत्तर ज्या संख्या नाहीत त्या.
बीजातीत शब्द उत्तम आहे. आवडला!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- श्री टॅनोबा चौदावे
उन्हातान्हात राहतो कूल, नाव माझं डेडपूल
ऱ्या= ऱ+्+या. डोक्यात नका जाऊ र्या र्या करून.

limit (1+1/n)n याची व्हॅल्यू इ आहे हे ठिक. पण ही व्हॅल्यू नॅचरल लॉगरिदमचा बेस आहे म्हणजे काय? नैसर्गिक आणि अनैसर्गिक बेस काय असतात?
=====================
एन हा पूर्णांक आहे. त्याएवजी १.१, २.१, ३.१, वा असे कोणते पॅटर्न घेऊन असा अजून एक स्थिरांक येईलच्च. व्हाट बिग डिल?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

ज्या हेतूने हा प्रतिसाद लिहिला आहे याच्या जास्त खोलात न जाता e आधारांक असलेल्या लॉगला नॅचरल लॉग का म्हटले जाते याबद्दलचा लेखन प्रपंच.
खरे पाहता 10 वा 2 आधारांक वापरून तयार केलेल्या लॉग टेबलला(च) नॅचरल लॉग टेबल म्हणावयास हरकत नव्हती. परंतु 10 व 2 या संख्या गणितज्ञांना अनैसर्गिक वाटतात. कारण 10 च्या आधारांकावरील संख्या व्यवस्था ही एके काळी आपल्या हाताच्या बोटाच्या संख्येवरून आली असे म्हणण्यास वाव आहे. कदाचित आपल्या हाताच्या बोटांची संख्या 8,12 वा 16 असती तर संख्याव्यवस्था त्यावर आधारलेली झाली असती. संगणकांच्या सिद्धांतांचा अभ्यास करत असताना 8 व 16 आधारांक गृहित धरून अभ्यास केल्याचे अनेकांना आठवतही असेल. त्यामुळे लॉगचा आधारांक e असल्यास त्याला नॅचरल लॉग म्हणण्यात येत असावे असा माझा तर्क आहे.
त्याचप्रमाणे निसर्गातील अनेक प्रक्रियांचे

  • एका नियमित दराने सशांच्या पिढीत होणारी वाढ
  • चार्ज केलेल्या केपॅसिटर मधील ऱ्हास
  • radioactive isotopeमधील ऱ्हास
  • सूर्यफुलातील बियांची संख्या
  • चक्रवाढीतील रकमेची वाढ

इ.इचे . स्पष्टीकरण e आधारांक असलेले लॉग वापरून करता येत असल्यामुळे या लॉगला नॅचरल (नैसर्गिक) लॉग असे म्हटले गेले असावे असे मला वाटते.
चू.भू.दे.घे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मस्त उत्तर. धन्यवाद.
========================
पण तरी ...
तसा नैसर्गिकपणा मान्य केला तर ...
१. फक्त सशांची वाढ नैसर्गिक कशी? जगात नेहमी सशे वाढतच असतात का?
=================
चार्ज केलेल्या केपॅसिटर मधील ऱ्हास
radioactive isotopeमधील ऱ्हास
सूर्यफुलातील बियांची संख्या
हे डीटेलमधे बघायला लागेल काय प्रकरण आहे. बिना इ चे हे मांडताच येत नाही का? नैसर्गिक संख्या ह्या अणूकेंद्रे, विद्युअतभार नि सूर्यफूल यांनाच माहित असाव्यात?
==============
चक्रवाढ व्याज मानवी संकल्पना आहे. त्यात एकक वेळ मानवालाच अभिप्रेत आहे. म्हणून तो वापर हेतूपुरस्सर आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

अजो, तुमचा प्रश्न योग्य आहे. फक्त तुमच्या पुढच्या प्रतिसादावरून नैसर्गिक हा शब्द तुम्ही फार मनाला लावून घेतला आहे असं वाटतं.

प्रश्न असा आहे की लॉगचा पाया म्हणून e का वापरायचा? 10 किंवा 2 किंवा 27.44 का नाही वापरायचा?

आपल्याला लॉग टेबल्स माहीत असतात ती गुणाकार, भागाकार करण्यासाठी. त्यात कुठचाही पाया वापरला तरी काहीही फरक पडत नाही. मग फरक नक्की कुठे पडतो? तर ज्या प्रक्रियांमध्ये एक्स्पोनेन्शियल ग्रोथ (चक्रवाढ) किंवा एक्स्पोनेन्शियल डीके (चक्रघट) येते तिथे. उदाहरणार्थ, अनेक गोष्टींचा बदलाचा दर हा त्या राशीच्या तत्कालीन किमतीवर अवलंबून असतो. म्हणजे लोकसंख्येची वाढ ही जर दरवर्षी विशिष्ट टक्क्यांनी होत असेल तर ती चक्रवाढ. कारण लोकसंख्या वाढली की पुढच्या वर्षी वाढणारी संख्याही वाढत जाते. किंवा पाण्याच्या टाकीला भोक असेल तर टाकीची पाण्याची पातळी कशी घटत जाईल? जितकं पाणी कमी होईल, तितका पाणी गळण्याचा दर कमी होईल. ही चक्रघट.

हेच नाही, तर या प्रकारचे अनेक प्रश्न सर्वसाधारण गणितांमध्ये अनेक वेळा येतात. त्यासाठी समीकरण लिहावं लागतं ते म्हणजे
Rate of change of quantity y is directly proportional to y.
Derivative of y with respect to time (or something else) = y (or some constant times y)

या समीकरणाचं उत्तर येतं y = e^t (चक्रवाढ) किंवा तो कॉन्स्टंट ऋण असेल तर y = e^(-t) (चक्रघट)

आता तुम्हाला अनेक वेळा दर मोजता येतो. त्यावरून जर तुम्हाला t ची किंमत काढावी लागत असेल तर त्यासाठी लॉग घ्यावा लागतो. किंवा तुम्हाला 1/x सारख्या फंक्शनचे डेरिव्हेटिव्ह काढायचे असतील तर पुन्हा त्यात ln(x) येतो. मग तुम्ही जर दहाच्या किंवा दोनच्या पायाची लॉग टेबलं वापरली तर तुम्हाला त्यासाठी विशिष्ट कॉन्स्टंटने गुणावं लागतं. मग दरवेळी हे कॉंस्टंट का वागवायचे? तसं करणं 'अनैसर्गिक' वाटू शकतं. याचं उदाहरण द्यायचं झालं, तर न्यूटनला त्याचा दुसरा नियम

F = 42*mass*acceleration

असा लिहिता आला असता. आता तुम्ही विचाराल की हा 42 कुठून आला? न्यूटन म्हणेल माझी मर्जी. हा 42 आकडा सगळीकडे वापरून सगळं न्यूटोनियन मेकॅनिक्स व्यवस्थित चालेल. वस्तुमानाची, अंतराची आणि/किंवा काळाच्या एककांची व्याख्या बदलली की झालं. पण हा आकडा सगळीकडे वापरत राहाणं हे गणिताच्या दृष्टीने अनैसर्गिक आहे. तसंच जर इतरत्र गणितात जिथे जिथे घातात x येतो, तिथे तिथे e येत असेल तर लॉग काढताना तो e चा पाया घेऊन गणितं करणंच इष्ट. आणि तसंही तुमचे सामान्य गुणाकार भागाकार करण्यासाठी जी लॉग टेबलं लागतात, त्यात पाया कुठचा आहे याने काहीच फरक पडत नसे. म्हणून e ला नैसर्गिक पाया म्हटलेलं आहे. सामान्यपणे सापडणाऱ्या अनेक गणिताच्या उत्तरात, जिथे x हा घातांक किंवा log(x) स्वरूपात येतो, तिथे आपोआपच आपल्याला e सापडतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

रैट

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

आपल्याला लॉग टेबल्स माहीत असतात ती गुणाकार, भागाकार करण्यासाठी. त्यात कुठचाही पाया वापरला तरी काहीही फरक पडत नाही.

आणि तसंही तुमचे सामान्य गुणाकार भागाकार करण्यासाठी जी लॉग टेबलं लागतात, त्यात पाया कुठचा आहे याने काहीच फरक पडत नसे.

फरक कसा नाही पडत?

दहाचा बेस वापरल्यास एखाद्या संख्येची दहापट(/शंभरपट/हजारपट) करायची झाल्यास मूळ संख्येच्या लॉगात एक(/दोन/तीन) मिळवून भागते. (आणि म्हणूनच, लॉग टेबले छापताना [१-१०) रेंजकरिता छापलेली पुरतात.) त्याऐवजी बेस जर ३, १७, ९५ किंवा ३.१४१५९ असता, तर दहाऐवजी त्यात्या नंबरांच्या घातांइतक्या पटींसाठी घातांकाइतके पूर्णांक मिळवावे लागले असते, आणि छापणीय लॉग टेबलांची रेंजही बदलली असती, चमत्कारिक झाली असती.

(दोनाच्या बेसकरिता लॉ.टे.ची रेंज [१-२) इतकीच राहील, आणि टेबलछपाई कदाचित सुटसुटीत होईलही; परंतु मग दोन, चार वगैरे पटींसाठी पूर्णांक मिळवावे लागतील, नि बाकीचे आकडे मध्ये नक्की कोठे बसतात, यासाठी टेबल वापरणारास डोके आपटत बसावे लागेल, जे सामान्य व्यवहारासाठी, टू से द लीष्ट, फारसे उपयुक्त नाही.)

आपण दशमान अंकपद्धती वापरतो; त्याकरिता सामान्य व्यवहारासाठी दहाचा लॉग बेस उपयुक्त आहे. That's why common logarithms are so common, but natural logarithms seem unnatural.

इत्यलम्|

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मग फरक नक्की कुठे पडतो? तर ज्या प्रक्रियांमध्ये एक्स्पोनेन्शियल ग्रोथ (चक्रवाढ) किंवा एक्स्पोनेन्शियल डीके (चक्रघट) येते तिथे.

या समीकरणाचं उत्तर येतं y = e^t (चक्रवाढ) किंवा तो कॉन्स्टंट ऋण असेल तर y = e^(-t) (चक्रघट)

F = 42*mass*acceleration

असा लिहिता आला असता. आता तुम्ही विचाराल की हा 42 कुठून आला?

Control + G does not work on my PC, so let me please use English.
------------------
See, if dy/dt is proportional to y, the answer would be y = e^(kt). It seems nature has no objection in having a random constant in the exponent.
In only those cases where dy/dt is equal to y, the answer would be y = e^(t). Is there something natural about this equality? (I find this equation quite intriguing. Population is a group property and it increases with number of people in the country. It never suggests any change in individual fertility. But then population, its growth, acceleration, speed of acceleration, so on, everything is continuously changing.)
----------------------
Can e be replaced in each of these two equations? Or alternatively can similar proportions be thought of where we don't need to use e but something else in the equation? e.g. y = f^(kt).
---------------------
Here, the concept of time is not real one. Allegation of time is made on a series of natural numbers. Note that e has nothing to do with time in its definition. It is made up of a particular style of number series. So if we are taking that these equations understand time, I think it would be a wrong notion.
--------------------------------
I can well imagine series evaluating to e, but I find it difficult to visualize proportions (such as one you cited) needing it as a must to get evaluated.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

>>पण ही व्हॅल्यू नॅचरल लॉगरिदमचा बेस आहे म्हणजे काय? नैसर्गिक आणि अनैसर्गिक बेस काय असतात?>>

शिकताना उडी मारून पुढे गेलो पण यातली गंमत नंतर वाचली

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

>>पण ही व्हॅल्यू नॅचरल लॉगरिदमचा बेस आहे म्हणजे काय? नैसर्गिक आणि अनैसर्गिक बेस काय असतात?>>

शिकताना उडी मारून पुढे गेलो पण यातली गंमत नंतर वाचली

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

अजोंचा प्रश्न ' न्याचरलपणा काय कसा ' विशद करणारा लेख लिहिल्या स राजेशना +१ गुलळपापडी *१ देईन.

*१= ( खवचटपणा खफवरून. ) शिवाय android वाले ओएसना गोळ्याचाकलेटांची नावे ठेवतात, इकडे श्रेण्यांनाही मोदक,भेळ,कारल्याचे पंचाम्रूत वगैरे नावे ठेवता येतील.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कारल्याचे पंचाम्रूत

"कारण शेवटी आम्ही भटेच. त्याला काय करणार?" - पु.ल.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एकमेव चविष्ट पदार्थ { बुफेमध्ये ठेवला असेल तर } - कारल्याचे पंचाम्रूत. निमंत्रितांनी एक दोन चमचे घ्यावा या हेतून एखादा वाडगा ठेवतात. पण मी इकडे तिकडे न बघता भाजीसारखा घेतो. कान्ट्राक्टर बरा असल्यास काजूपेस्ट असते. नाहीतर शेंगदाणे.
उत्तम श्रेणी = कारल्याचे पंचाम्रूत.
(( e मध्ये अवांतर,माफ करा नानावटी सर)

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0