मुलांसाठी एक शैक्षणिक खेळ - पायमोजा!

३.२ म्हणजे एरर फार नाही, दोन टक्के फक्त. अहो, पेशव्यांच्या काळात पायची किंमत ३.० वापरली जात असे! तसा कायदाच होता.

आणि तुमच्या दुसऱ्या प्रयोगात व्यास १६ नाही, १७ आहे. टाचणीच्या टोकापासून ते दुसऱ्या टोकापर्यंत मोजायचं आहे. त्यामुळे तुमचं उत्तर ३.०६ आहे. तसंही पन्नास भुजा असलेल्या बहुभुजाकृतीचं मोजमाप करून उत्तर ३.१३९५ यायला हवं. तेव्हा ते पुन्हा दोन अडीच टक्क्यांत आहे. पेशव्यांपेक्षा कितीतरी चांगलं!

आणि जर या दोन मोजमापांची सरासरी काढली तर - ३.१३! वॉव!

काही कठीण नाही हो. कुठलंही सर्कल घ्यायचं, कुठच्याही पद्धतीने सरकम्फरन्स आणि डायामीटर मोजायची, आणि पायची व्हॅल्यू काढायची. बाकी काही नाही.

वॉव! क्षेत्रफळावरून पाय काढण्याची कल्पना फारच आवडली. त्यासाठी ब्लूबेरी वापरण्याची कल्पनाही मस्तच. जर व्यास सरासरी ८.५ घेतला, तर पायची किंमत ३.०४५ इतकी येते. इतक्या भरड पद्धतीने इतकं चांगलं उत्तर येईल असं वाटलं नव्हतं. (चांगलं उत्तर म्हणजे सरासरीपेक्षा एरर मार्जिन बघायला पाहिजे वगैरे ठीक आहे.)

ही पद्धत वापरून पाहिली.
'२न-१'पर्यंत बेरीज आणि '२न+१'पर्यंतची बेरीज याची सरासरी याला मी सरासरी(न) असं नाव देतो.

सरासरी(४) पासून ३.१ दिसायला लागतो. (बदलणारे आकडे फक्त पुढच्या दशमस्थानात)
सरासरी(१८) पासून ३.१४ दिसायला लागतो.
सरासरी(३५) पासून ३.१४१ दिसायला लागतो.
सरासरी(२६१)पासून ३.१४१५ दिसायला लागतो.
सरासरी(४३४) पासून ३.१४१५९ दिसायला लागतो.

याउलट [सरासरी(न) + सरासरी(न+१)]/२ यांची सीरिज फारच लवकर कन्व्हर्ज होते. न = ४२ लाच ३.१४१५ दिसायला लागतो. न = ५९ ला ३.१४१५९ दिसतो. न = ११४ ला ३.१४१५९२ दिसतो, न = २२२ ला ३.१४१५९२६ दिसायला लागतो. पुढचं तपासायला कंटाळा आला.

३४६५ खडे घेऊन १/११ पर्यंत हे गणित करता येते.
खड्यांचे १/१, १/३ ... १/११अंश ढीग करता येतात.
ढीग एकत्र, वजा वगैरे करता येतात. शेवटी भागाकार करता येतो.
१३ पर्यंत करायचे, तर ढीग करायला फार वेळ लागेल, एखादे मूल कंटाळू शकेल (माझ्यासारखे)

याचं उत्तर देणं तसं सोपं आहे. पायची किंमत ही ३ पेक्षा किंचित अधिक असते. आता ही किती अधिक? तर ०.१४१५९२६... म्हणजे नक्की किती? ते आपल्याला अपूर्णांकात सांगावं लागतं. त्यासाठी जवळातला जवळचा सोपा अपूर्णांक कुठचा? त्यासाठी १/०.१४१५९२६ ची किंमत काढून बघुया. ती येते ७.०६२५... हे छानच आहे. म्हणजे ९९ टक्के अचूकपणे पाहायचं झालं तर हा आकडा ७ आहे. म्हणजे पायची किंमत ३ + १/७ अशी लिहिली तर खूपच अचूक येते. कारण ती १ टक्का एरर आहे तीसुद्धा मूळ पायच्या किमतीत नाही तर त्या ०.१४१६ चा एक टक्का आहे. तेव्हा २१/७ + १/७ = २२/७.

किंवा उलटा विचार करायचा झाला तर १/७ = ०.१४२८... हे ०.१४१६ च्या खूपच जवळ आहे. त्यामुळे ३ + १/७ हे पायच्या मूळ किमतीच्या खूप जवळ जातं. त्यामुळे २२/७.

२२/७ हे अतिशय सोपं गुणोत्तर पायच्या किमतीच्या ०.०४% पर्यंत अचूक उत्तर देतं. त्यापुढचं चांगलं गुणोत्तर म्हणजे ३५५/११३ = ३.१४१५९२९... हे किमान हजारपट कमी त्रुटी असलेलं आहे. पण ते सोयीस्कर नाही.

> त्यात "ह्या दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढा, आणि तिला ४ ने गुणा." हे वाक्य नीट समजलं नाही. दोन्ही उत्तरांची सरासरी काढायची नसून फक्त बेरीज करायची आहे, हे π ची किंमत किती हे माहीत असल्यामुळे लक्षात आलं.

माझ्या उदाहरणातलं पहिलं उत्तर ०.८३४९, आणि दुसरं उत्तर ०.७४४०. या दोन्हीची सरासरी (०.८३४९+०.७४४०)/२ = ०.७८४९५. तिला ४ ने गुणलं की उत्तर येतं ३. १५७८. आता यात न कळण्यासारखं काय आहे? पार्टी करायची तर करा, पण त्यामागे सबळ कारण नको का?

आयला, ज.चिं.सारख्या गणिताच्या प्रोफेश्वराची गणितातली चूक काढणं एकवेळ क्षम्य आहे. पण माझ्यासारख्या एक्सेलसम्राटाचीही चूक दाखवायची? आणि तेही एकाच प्रतिसादात? आणि तेही आपल्या खिळखिळ्या, नुकत्याच शिकलेल्या कॉंप्युटरी भाषेच्या कार्यक्रमावरून? अदिती तुम्हारी ये जुर्रत कैसे हुई? मात्र मी एवढंच विचारून, नैतिकतेचा मुद्दा वगैरे न काढता कदाचित हे लवेचेप्र असतील असं समजून सोडून देतो... करा हवी तितकी प्यार्टी.