गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा - 4 : कल्पित संख्यांचे अभूतपूर्व जग!

क्रि.श. पू. 3000 सालीसुद्धा बॅबिलोनियन्सना क्लिष्ट व गुंतागुंतीच्या गणितातील पदावलींचा परिचय होता व त्यांची उत्तरं शोधून काढण्याची पद्धतीही त्यांना माहित होत्या. त्यानंतरच्या अनेक नागरी संस्कृतींनी गणिताच्या ज्ञानात भर घातली. व त्या अनुषंगाने गणिताचा विकास होत गेला. परंतु क्रि. श. 6व्या शतकापासून 16व्या शतकापर्यंत गणिताच्या ज्ञानात कुठलीही भर पडली नाही वा प्रगती झाली नाही. गणिताला मृतावस्था आली होती. काऱण गणितात अनेक अनुत्तरित प्रश्न होते व काही पदावलींना उत्तरच सापडत नव्हते. गणितज्ञांसमोर एखादी अदृष्य भिंत उभी आहे की काय अशी परिस्थिती होती.
उत्तर न सापडलेल्या पदावलीत तीन घातांक असलेली समीकरणं प्रामुख्याने होत्या. या प्रकारच्या x3 असलेल्या समीकरणांना क्युबिक्स म्हणून ओळखले जाते. अशा प्रकारचे समीकरणं गुतागुंतीच्या होत्या. x ची किंमत काढता येत नव्हती. 6व्या शतकातील अल् काशी या अरब गणितज्ञाने क्युबिक्समधील x चे अदमासे मूल्य काढून दाखवले. परंतु याचे कुणालाही समाधान झाले नाही. समीकरणाचे योग्य उत्तर मिळत नव्हते. अनेक देशातील गणितज्ञ प्रयत्न करत करतच मरूनसुद्धा गेले.
14 ते 16 व्या शतकात या समस्येला गती मिळाली. अशा समीकरणांना उत्तरं मिळण्याची अंधुकशी आशा निर्माण झाली. परंतु या प्रयत्नातील बहुतेकांना गणिताच्या उत्तरापेक्षा आपल्यालाच सर्व श्रेय मिळावे अशी तीव्र इच्छा होती. गणितापेक्षा क्रेडिटच्या मागेच अनेक जण होते व त्यातून अनेक नाट्यमय प्रसंग घडत गेले. अशाच एका घटनेचा हा मागोवा.

1525च्या सुमारास शिपियोन डेल् फेरो (Scipione del Ferro) हा गणितज्ञ वृद्धत्वाकडे झुकला होता. इटलीतील बोलोना (Bologna) विद्यापीठात गेली कित्येक वर्षे तो गणित विषय शिकवत होता. व बोलोना विद्यापीठावर त्याचे अतिशय प्रेम होते. हे विद्यापीठ संपूर्ण जगातील गणित विषयाच्या अभ्यासाचे एकमेव केंद्र व्हावे अशी इच्छा तो मनातून बाळगून होता. विद्यापीठाच्या मैदानात फिरत फिरत तेथील इमारती, उद्यानं, गट करून चर्चा करणारे विद्यार्थी यांचा तो आस्वाद घेत होता.

उन्हाळ्याच्या शेवटी शेवटी एके दिवशी त्याने त्याच्या एका लाडक्या शिष्याला भेटण्यास निरोप पाठवला. त्याचा लाडका शिष्य अंटोनिओ फीओर (Antonio Feior) हा बोलोना शहरातील एका श्रीमंत घराण्यातील मुलगा होता. त्याच्या मोठ्या भावाला सर्व गडगंज संपत्ती मिळणार होती कारण अंटोनिओनी स्वतःचे आयुष्य विद्यापीठात शिकवण्यात घालण्याचा निर्धार केला होता.

अंटोनिओ खोलीत आल्या आल्या शिपिओन यांनी आतून दरवाज्याला कडी घातली व एका गुप्त दरवाज्याला बाजूला सरकवून त्यातील एक पेटी बाहेर काढून ठेवली. त्यातील काही कागदं बाहेर काढून अंटोनिओच्या हातात देत यांना तोंडपाठ कर म्हणून सागितले.
त्या कागदावरील मजकूर वाचता वाचताच अंटोनिओला आश्चर्याचे धक्के बसू लागले.
"तू क्युबिक समीकरणांची उत्तरं शोधून काढलीस ! ...." अंटोनिओ जवळ जवळ ओरडला. अंटोनिओच्या हातातील कागद थरथरत होता. त्यावर x3+mx = n या प्रकारचे समीकरण लिहिलेले होते. आणि m व n या संख्या होत्या. अंटोनिओला खरोखरच धक्का बसला होता.
गेली हजार वर्षे प्रत्येक गणितज्ञ अशा 3 वा जास्त घातांक असलेल्या समीकरणांना उत्तर शोधून दाखविण्याचे स्वप्न बाळगून होता. अजूनपर्यंत यात कुणालाही यश मिळाल नव्हते. परंतु आज त्याच्यासमोर उभ्या असलेल्या गुरूने चक्क क्युबिक समीकरणाची फोड केली होती!
"जे कुणालाही जमले नाही ते करून दाखवू शकलास! सगळ्या जगाला हे कळले पाहिजे!" अंटोनिओचा कौतुकमिश्रित आवाज.
शिपिओनचे सुरकुतलेले हात अजूनही कापत होते.
"अंटोनिओ, आताच नको. हे फक्त एकाच प्रकारच्या समीकरणाचे सोल्युशन आहे. आपल्याला इतर अनेक स्वरूपातील समीकरणांच्या उत्तरांचा शोध घ्यायचा आहे. शिवाय एकदा प्रसिद्धी मिळाली की संपूर्ण जगाला ही रीत कळेल. जोपर्यंत प्रसिद्धी मिळत नाही तोपर्यंत ही बोलोना विद्यापीठाची संपत्ती म्हणून राहील. माझ्या पश्चात तू हे काम गुप्तपणे कर. आणि सर्व प्रकारच्या समीकरणांना उत्तरं शोधून काढ. त्यामुळे या विद्यापीठाचे नावलौकिक होईल, अमाप प्रसिद्धी मिळेल ".
अंटोनिओसमोर दुसरा मार्ग नव्हता. व तो संशोधन करत राहिला.

पुढील 10 वर्षाच्या काल खंडात ब्रेसिया येथील निकोलो (Nicolo of Brescia) या गणितज्ञाने x3+mx2= n या स्वरूपातील समीकरणाचे उत्तर शोधल्याचे दावा केला. परंतु इतर समकालीन गणितज्ञ त्याची हेटाळणी करत त्याच्याकडे दुर्लक्ष केले.
निकोलो मुळातच रस्त्यावर वाढलेला एक अनाथ मुलगा होता. वयाच्या आठव्या वर्षी तो इटालियन विरुद्ध फ्रेंच युद्धाच्या धुमश्चक्रीत सापडला. फ्रेंच सैनिकानी त्याच्या चेहर्‍यावर ठिकठिकाणी वार करून तो मेला या समजुतीने निघून गेले. परंतु निकोलो जिवंत होता.

तोंडावर मोठी जखम झाल्यामुळे त्याला आयुष्यभर अडखळत बोलावे लागले. त्यामुळे त्याला तोतरा (Tartaglia - टार्टाग्लिया) म्हणूनच सर्व जण हिणवत होते, ओळखत होते. टार्टाग्लिया फक्त तीन दिवस शाळेच्या वर्गात शिकला. कारण त्याच्या आईला तेवढेच परवडले. त्या तीन दिवसाच्या शिक्षणाचा निकोलो यानी भरपूर फायदा करून घेतला. अक्षर ओळख झाली. आकडे मोजता आले. चोरलेल्या पाच पुस्तकांच्या सहाय्याने तो वाचू लागला, लिहू लागला.

चेहऱ्यावर कायमची दाढीचे खुंट, अंगावर फाटके तुटके कपडे, डोक्यावर ठिकठिकाणी डाग पडलेली घाण टोपी, अशा अवतारातील 34 वर्षाचा टार्टाग्लिया गणिताचे खाजगी क्लासेस घेत कसेतरी पोट भरून घेत होता. क्युबिक समीकरणाचे जे गणित गेली हजार वर्षे सुटलेले नाही त्या गणिताचे उत्तर हा फाटका माणूस शोधून काढतो यावर कुणीही विश्वास ठेवायला तयार नव्हते. अपवाद फक्त अंटोनिओ फिओरचा होता. अंटोनिओ त्याच्यावर फार चिडला. खरे पाहता याचे श्रेय अंटोनिओला हवे होते. क्युबिक समीकरणाचे उत्तर गेली दहा वर्ष त्यानी जपून ठेवले होते. आता कुठला तरी भिकार माणूस त्याचे श्रेय लाटण्याचा प्रयत्न करत होता. हे त्याला सहन झाले नाही. या श्रेयावर त्याचा हक्क होता. त्यातून त्याला थोरामोठ्यांच्यात मान सन्मान मिळणार होते. इतिहासाच्या पानात त्याचे नाव कोरले गेले असते. परंतु आता या सर्वावर पाणी पडले.

टार्टाग्लियाच्या दाव्यातील फोलपणा उघड करण्यासाठी अंटोनिओनी त्याला जाहीर आव्हान दिले. दिवस ठरवण्याता आला. फिओर व टार्टाग्लिया यांच्या समीकरणातील स्वरूपामुळे त्यांच्या उत्तरात फरक असणार होता. एकाचे स्वरूप x3+mx = n तर दुसऱ्याचे x3+mx2= n असे होते. अजूनही या समीकरणाचे अनेक स्वरूप होते. उदा - x3= n x3+mx2+ nx = p इ.इ.

अंटोनिओकडे उत्तर नसल्यास तो अशा प्रकारे जाहीर आव्हान करण्याच्या भानगडीत पडणार नाही याची टार्टाग्लियाला खात्री होती. जर टार्टाग्लियाला स्पर्धा जिंकायची असल्यास दोन्हीचीही उत्तरं त्याला माहित असणे गरजेचे होते. त्यासाठी तो बोलोना विद्यापीठाच्या आवारातील एखाद्या अप्रामाणिक परंतु गरजू विद्यार्थ्याला शोधण्यासाठी प्रयत्न करणे गरजेचे वाटले. त्याच्या प्रयत्नाला यश मिळाले. तसा एक विद्यार्थी सापडला. त्यानी फिओरची उत्तरं चोरून आणली.

दोन्ही प्रकारच्या समीकरणांची उत्तर टार्टाग्लियाला माहित असल्यामुळे तो अंटोनिओला सहजपणे हरवू शकला. अंटोनिओची जाहीर नाचक्की झाली. त्याला विद्यापीठातून काढून टाकण्यात आले.

x2 असलेल्या द्विघातांकाच्या समीकरणात सामान्यपणे x च्या दोन किंमती असतात. त्यावरून x3 असलेल्या समीकरणात x च्या 3 वा x4 मध्ये चार... असे तर्क त्याकाळचे गणितज्ञ करत होते.

फिओर आणि टार्टाग्लियो यांनी क्युबिक समीकरणासाठी शोधलेली उत्तरं आणि ती स्पर्धा आपापसातल्या होत्या. परंतु यात काही तरी वेगळे आहे, आश्चर्यजनक आहे याची जाणीवच तेथे जमलेल्या प्रेक्षकांना आली नाही. ही एक सामान्य घटना असाच लोकांचा ग्रह झाला. खरे पाहता या नंतरच्या प्रसंगांच्या साखळीची ही फक्त नांदी होती!

****

गिरोलामो कार्डानो (Girolamo Cardano) हा एक प्राध्यापक. त्याला गणित विषयात रुची होती. हा प्राध्यापक-गणितज्ञ, फिओर व टार्टाग्लियो यांच्यातील स्पर्धेचा बारकाईने मागोवा घेत होता. फिओर वा टार्टाग्लियो यानी क्युबिक समीकरणाबद्दलचे शोध निबंध कुठेही प्रसिद्ध केले नव्हते हे त्याच्या लक्षात आले. व याच गोष्टीचा फायदा घेण्याचे त्यानी ठरवले. आपले घोडे दामटण्याची संधी त्याला आयते मिळाली. गणितज्ञांच्या इतिहासात कार्डानो हा एक अत्यंत हुशार परंतु कपटी, कारस्थानी गणितज्ञ म्हणून ओळखला जातो. उंच परंतु हडकुळा, कारुण्यपूर्ण डोळे, रुंद कपाळ, उभट चेहरा व त्यावर त्याची अणचुकीदार दाढी इत्यादीमुळे तो चारचौघात उठून दिसत होता. बाजूने बघितल्यास त्याचे डोके चंद्रचकोरासारखे दिसत होते.

मिलानो विद्यापीठातील या प्राध्यापकाने टार्टाग्लियोला भेटण्यासाठी आमंत्रण दिले. मिलानो विद्यापीठातील प्राध्यापक पद स्वीकारण्यापूर्वी त्याला कित्येक युरोपियन विद्यापीठातून डच्चू मिळाला होता. टार्टाग्लियोला मिलानो विद्यापीठात नोकरी देण्याचे आमिष त्यानी दाखविले. टार्टाग्लियो पोचल्यानंतरच्या रात्री त्यानी एक पार्टी दिली. रात्रीच्या पार्टीच्या वेळी भरपूर दारू पाजल्यानंतर टार्टाग्लियो नशेत बरळू लागला. क्युबिक समीकरणातील सर्व बारकावे त्यानी सांगितले. टार्टाग्लियोला कळू न देता समीकरणासंबंधीची सर्व माहिती काढून घेण्याची कार्डानोची युक्ती सफल झाली.

1540 साली कार्डानो याविषयीचा शोधनिबंध सादर केला. त्यात त्यानी टार्टाग्लियो वा फिओर यांचा साधा उल्लेखही केला नव्हता. क्युबिक समीकरणांची रीत व algorithm स्वतःच शोधून काढल्याचा दावा त्यानी केला होता. शोधनिबंध प्रसिद्ध झाल्यावर टार्टाग्लियोला (आणि फिओरलासुद्धा!) भरपूर राग आला. हे दोघेही कार्डानोनी आपली रीत चोरली आहे असे आरोप ठेऊन कोर्टात जाण्याची धमकी देऊ लागले. कार्डानो यांच्या धमकीला वा आरोपांना भीक न घालता उलट फिओर व टार्टाग्लियो यानीच - याविषयी त्यांच्याबरोबर चर्चा केल्यामुळे - चोरी केली आहे, असा प्रत्यारोप केला.

आरोप, प्रत्यारोप, दावे, प्रतिदावे, आव्हानं, यांच्यामुळे तो काळ गाजत होता. कार्डानोचा एक गुंड विद्यार्थी, लोडोव्हिको फेरारी त्याच्या शोधनिबंधाच्या मदतीला आला. त्याच्या धमकीवजा 'चर्चे'ला घाबरून फिओर यानी खटला मागे घेतला. टार्टाग्लियो मात्र खटला रेटण्याच्या प्रयत्नात होता. परंतु मिलानोच्या एका अरुंद गल्लीत फेरारीकडून त्याला भरपूर मार खावा लागला. पुन्हा एकदा त्याच्या चेहर्‍यावरचे हाड मोडले.

****

या सगळ्या गदारोळात, इटलीतील अजून एक गणितज्ञ, रॅफेल बोम्बिली (Rafael Bombelli) यानी, या तिघांच्या क्युबिक समीकरणांच्या रीतींचा अभ्यास केला, त्याचे विश्लेषण केले. व त्यावरून काही निष्कर्ष काढले. बोम्बिली मुळातच खुशालचेंडू होता. कुठल्याही विषयाला गंभीरपणाने न घेणारा, जॉली माणूस होता. दाढीच्या आत दडलेल्या चेहर्‍यावर कायम स्मित हास्य उमटत होते. बोम्बिलीच्या मते गणितज्ञांना स्वतःच्या नावे श्रेय उपटण्याच्या हव्यासामुळे क्युबिक समीकरण सोडवण्यासाठी वेळ लागत होता. बोम्बिलीने मात्र समीकरण सोडविण्यासाठी एक अफलातली कल्पना लढवली व संख्यामध्ये एका नवीन प्रकारच्या संख्यासंचाला जन्म दिला.

क्युबिक समीकरणाचे उत्तर शोधताना संख्याचे वर्गमूळ काढणे हेही अभिप्रेत असते. परंतु ती संख्या ऋण संख्या असल्यास - उदा (-2) असल्यास - काय करावे, हा एक मोठा प्रश्न होता. फिओर, टार्टाग्लियो व कार्डानो हे गणितज्ञ अशा प्रकारच्या उत्तराकडे दुर्लक्ष करत होते. धन वा ऋण संख्या असो, त्या संख्येला त्याच संख्येनी गुणिल्यास उत्तर धन संख्या येणार हे माहित होते. (+1गुणिले+1 = +1; -1 गुणिले -1 = +1) त्यामुळे ऋणसंख्येचे वर्गमूळ काढता येत नाही याची खात्री त्यांना होती. क्युबिक समीकरणात x ची 3 मूल्यं असण्याबद्दलही शंका नव्हती. हा एक न सुटणारा पेच होता. त्यामुळे क्युबिक समीकरण सोडविणे अशक्यातली गोष्ट आहे असेच वाटत आले होते. बोम्बिलीने मात्र यासाठी नवीन शक्कल लढविली. त्यानी एका वेगळ्या प्रकारच्या संख्याचा संच वापरून उत्तराची मांडणी केली.
गंमत म्हणजे बोम्बिलीच्या या संख्या संख्यारेषेवर बसणाऱ्या नव्हत्या ऋण अंनंत ते धन अंनंतापर्यंत पसरलेल्या संख्यामध्ये बोम्बिलीच्या संख्या नव्हत्या. तरीसुद्धा त्या संख्या अस्तित्वात आहेत अशी कल्पना करून बोम्बिलीने उत्तर शोधले व त्यांना कल्पित संख्या (imaginary numbers) म्हणून नावही दिले. कारण त्याच्या या संख्या संख्यारेषेचे भाग नव्हते. व त्याच्यासाठी i (√-1) हे चिन्ह त्यानी प्रदान केले. i वरून हा वेगळा संच आहे हे ओळखता येऊ लागले. उदाः +1 ही धन संख्या -1 ही ऋण संख्या 1i ही धन कल्पित संख्या व -1i ऋण कल्पित संख्या.

मुळात कल्पित संख्या म्हणजे नेमके काय? जे ज्या संख्यांच्या गुणाकारांमुळे उत्तर ऋण संख्या असते, त्या संख्या कल्पित संख्या असतात. उदाः 3i x 4i = -12 . ऋण संख्येचा वर्गमूळ नेहमीच कल्पित संख्येत येतो. (√-4 = 2 i ) एखाद्या संख्येत वास्तव व कल्पित अश्या दोन्ही संख्या असतात तेव्हा त्या संख्येला संमिश्र संख्या (complex number) असे म्हटले जाते. उदा: ( 12 + 10 i)

****

कल्पित संख्येशी संबंधित असलेल्या गणितज्ञांचा शेवट कसा झाला?

अंटोनिओ फिओरचा शेवटचा काळ अज्ञातवासातच गेला. आपल्या भावाच्या घरी आश्रित म्हणून राहून तेथेच त्यानी शेवटचा श्वास सोडला. टार्टाग्लियो पुन्हा एकदा लबाडी, फसवणूक यांच्यातून उदर निर्वाह करू लागला व त्याचा शेवट एखाद्या भिकाऱ्याप्रमाणे झाला. गिरोलामो कार्डानो यानी गणित विषयावर भरपूर पुस्तक लिहिली. त्यामुळे त्याला गणितज्ञ म्हणून सन्मानित केले. अजूनही तो क्युबिक समीकरणांचा संशोधक म्हणून ओळखला जातो, हे विशेष. परंतु काही कारणामुळे त्याला तुरुंगात डांबून ठेवले व शेवटची कित्येक वर्षे तो जेलमध्येच होता. रॅफेल बोम्बिली एक समाधानी जीवन जगून वयाच्या 82व्या वर्षी मरण पावला.

महत्वाचे म्हणजे बोम्बिलीच्या प्रयत्नातून एका नवीन संख्या संचाचा शोध लागला. बोम्बिलीच्या या कल्पित संख्यांच्या संचामुळे आधुनिक विज्ञान व अभियांत्रिकीतील गुंतागुंतीच्या गणितांना उत्तरं मिळू लागली. समुद्राच्या तळाशी जेव्हा काँक्रीटचे खांब रोवले जातात तेव्हा याच कल्पित संख्यांच्या जोरावर त्यांची रचना केलेली असते. सागरी वादळात सुद्धा हे 'पिलर्स' पडू नयेत यासाठीची पूर्ण खबरदारी घेत असताना कल्पित संख्याच मदतीला येतात. आकाशयानांच्या उड्डाणांच्या गणितातसुद्धा कल्पित संख्यांचा योगदान असतो. महानगरातील गगनचुंबी इमारतींच्या रचना याच संख्येवर विसंबून आहेत.

या संख्यांचा वापर कसा होत असतो हा एक वेगळाच विषय असू शकेल!

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः

field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (3 votes)

प्रतिक्रिया

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

समुद्राच्या तळाशी जेव्हा काँक्रीटचे खांब रोवले जातात तेव्हा याच कल्पित संख्यांच्या जोरावर त्यांची रचना केलेली असते. सागरी वादळात सुद्धा हे 'पिलर्स' पडू नयेत यासाठीची पूर्ण खबरदारी घेत असताना कल्पित संख्याच मदतीला येतात. आकाशयानांच्या उड्डाणांच्या गणितातसुद्धा कल्पित संख्यांचा योगदान असतो. महानगरातील गगनचुंबी इमारतींच्या रचना याच संख्येवर विसंबून आहेत.

याचे एक उदाहरण देता येईल काय?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

>> या संख्यांचा वापर कसा होत असतो हा एक वेगळाच विषय असू शकेल! वर उल्लेख केल्याप्रमाणे हा एक वेगळा लेख होऊ शकेल.
जेथे जेथे कंपन संख्या मोजावी लागते व/वा वस्तूंचे बल/वेग/प्रवेग इत्यादी परिभ्रमणावस्थेत (rotating mode) असताना त्यांचे परिमाण बदलत जातात तेव्हा कल्पित (व संमिश्र) संख्यांचा वापर करून त्यांची अचूकता शोधली जाते. यासाठीची उदाहरणं क्लिष्ट असल्यामुळे कदाचित एक, दोन वा तीन हे संदर्भ आपल्या कुतूहलाला उत्तर म्हणून पुरेशे ठरतील, अशी अपेक्षा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

दोन मधीन उत्तर पाहता असे वाटते कि विशिष्ट प्रकारे वर्तन करणारे व्हेरिएबल्स असा त्यांचा उपयोग होतोय.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सही: पुरोगाम्यांना लॉजिक माफ असतं.

उत्तम लेख. वर्णन खूप रसाळ झालेलं आहे. गणितातल्या संशोधनावरून कोणी एकमेकांना बुकलून काढलेलं असेल याची कल्पना नव्हती.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

टार्टाग्लिआ(ओ) आणि कार्डान(नो) यांच्यातील वादाबद्दल त्यांच्याच शब्दांमधून वाचा.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Tartaglia_v_Cardan.html

इथे पण अजून माहिती आहे.
टार्टाग्लिआ(ओ)
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tartaglia.html
कार्डान(नो)
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cardan.html

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0