संख्याजगताच्या अद्भुत कथा...3

कल्पित संख्या (i): एक वेगळेच जग
या पूर्वीचेः लेख 1, लेख 2

गणितातील नियमाप्रमाणे +1ला +1ने गुणिल्यास त्याचे उत्तर +1 येते. त्याप्रमाणे -1ला -1ने गुणिल्यास त्याचे उत्तरसुद्धा +1 असते. जर हेच खरे असल्यास -1 हा वर्ग मिळण्यासाठी आपल्याला कुठल्या संख्येची निवड करावी लागेल? हे काही कोडं नसून ही सर्व प्रक्रिया फक्त काल्पनिक आहे हे लक्षात आणून देण्यासाठी सुचलेला प्रश्न आहे.

बॅबिलोनियन गणितज्ञांनी वास्तव संख्यांच्याबद्दलच्या नियमांची मांडणी करताना x2=4 या समीकरणाचे उत्तर (+2) x(+2) किंवा (-2) x(-2) आहे या पद्धतीने करत होते. परंतु x2=(-4) असल्यास नेमके काय करावे याची त्यांना कल्पना नव्हती. पुढे सातव्या शतकात भास्कर या भारतीय गणितज्ञाने एखाद्या संख्येला त्याच संख्येने गुणिल्यास त्या संख्येचा वर्ग येतो याचा शोध लावला. हाच धागा पकडून ब्रह्मगुप्त या गणितज्ञाने संख्येचा वर्गमूळही काढता येते असे विधान केले. व त्याच्या या पद्धतीला विलोमगती हे नाव त्यानी दिले. परंतु त्याच्याही समोर x2=(-4) या टाइपचे समीकरण होते व ते निरर्थक म्हणून त्यांच्याकडे दुर्लक्ष केले. पुढे 16 व्या शतकातील रॅफेल बोंबेली या गणितज्ञाने -1च्या वर्गमूळाला संख्याचा दर्जा देत काही समीकरण सोडवण्याचा प्रयत्न केला. कार्ल फ्रेडरिक् गॉस यानी या अभ्यासात भर घातली व हॅमिल्टन यानी √-1 च्या आधारे कॉम्प्लेक्स संख्याची शाखा उभारली.

ऋण संख्यांच्या वर्गमूळाला कल्पित संख्या (imaginary number) असे म्हटले जाते. 1631 साली रेने देकार्ते या गणितज्ञाने ऋण संख्येचे वर्गमूळ कल्पित संख्या असते ही कल्पना प्रथम मांडली.18व्या शतकात त्याला एक संज्ञा म्हणून i हे चिन्ह सुचवण्यात आले व i हे -1चे वर्गमूळ आहे हे जगन्मान्य झाले. त्यामुळे i x I = -1 चा वापर मोठ्या प्रमाणात गणितात होऊ लागला.

बीजगणितातील समीकरण सोडवत असताना घातांक 2 असलेले समीकरण सुलभपणे सोडवता आले. x2=4 या समीकरणातील x चे मूल्य = +2 वा -2 असू शकते. परंतु x2+5 = 0 हे समीकरण सोडवताना x चे मूल्य -5 चे वर्गमूळ असेल. √-5 हे गणितीयदृष्ट्या विसंगत वाटू लागल्यामुळे त्यावर तोडगा काढण्यात आला. आणि कल्पित संख्यांचा वापर होऊ लागला. त्यामुळे √-5 ही संख्या i√5 असे लिहिले गेले. आणि या काल्पनिक संख्येच्या कल्पनेतून कॉम्प्लेक्स संख्यांचे जग उभारण्यात आले. 2 पेक्षा जास्त घातांक असलेले समीकरण सोडवणे यामुळे शक्य झाले. समीकरण सोडवताना काही गुणकांची कॉम्प्लेक्स संख्येच्या स्वरूपात मांडणी करण्यात आली. त्यातील एक भाग वास्तव संख्यांचा व दुसरा भाग काल्पनिक संख्यांच्या (म्हणजे i ने गुणिलेला) अशी विभागणी करण्यात आली. या कॉम्प्लेक्स संख्यांची मांडणी भूमितीच्या स्वरूपात मांडत असताना क्ष अक्षावर वास्तव संख्या आणि य अक्षावर कल्पित संख्या ही मांडणी रूढ झाली. क्ष आणि य अक्षाचा छेद शून्यापाशी दाखवण्यात आला.

गंमत अशी आहे की संपूर्ण गणित शास्त्रच काल्पनिक असताना त्यात पुन्हा अजून एका कल्पित संख्येची भर घालणे वा कल्पित संख्यांचे एक काल्पनिक जग निर्माण करण्यात हशील नाही. 1843 मध्ये आयरिश गणितज्ञ हॅमिल्टन यानी iच्या पुढील j व kची भर घातली आणि x, y अक्षाबरोबर z अक्षाची भर घालून त्रिमितीची निर्मिती केली. आजकालच्या संगणकाच्या 3D गेम्ससाठी या गोष्टी सर्रासपणे वापरल्या जात आहेत.

त्यामुळे i, j व k पर्यंतच न थांबता याच्याही पुढे जात आपण काल्पनिक जगाचा विस्तार करू शकतो का? या प्रश्नाला उत्तर नाही.

अधिक माहितीसाठी हा लेख
...क्रमशः

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

इम्याजिनरी नंबर i आणि वेक्टरवाले i/j/k यांचा संबंध नसावा.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Freedom of expression is not under threat. Monopoly of expression is under threat.

बरोबर. तसा तो नाहीच.
i ही एक संख्या आहे (अदिश). क्ष अक्षावरचा i हा सदिश आहे. R2 आणि कल्पित संख्या विश्वातली सदृशता* पाहिली तरीही i हा खरंतर j होतो.
शिवाय, हॅमिल्टनला कल्पित संख्या i ची कल्पना पुढे नेऊन तीन मितींपर्यंत जाता आलं नाही. त्याने खूप मोठी झेप घेतली, पण २ च्या घातसंख्यांतील मितींच्या विश्वापर्यंतच त्याला जाता आलं. पण, i,j,k ह्या पद्धतीचा, त्यांतल्या संबंधांचा पाया त्याने घातला हे मान्य केलंच पाहिजे. असो. बराच तांत्रिक भाग वगळता इतकंच म्हणता येईल, की आत्ता जे त्रिमीत विश्व आहे त्याचे i, j, k हे भाग आणि अदिश/सदिश गुणाकार ह्या संकल्पना इत्यादी गोष्टींचं श्रेय जोसिआ विल्यम गिब्ज ह्याला जातं.

संपूर्ण गणित शास्त्रच काल्पनिक असताना

आं? स्पष्टीकरण अपेक्षित. गणितातील काही संकल्पना काल्पनिक आहेत. 'संपूर्ण गणितशास्त्र काल्पनिक' म्हणण्याला आक्षेप. ऐकलंत का बॅटोबा?

* isomorphism.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तारांवरी पडावा केव्हा चुकून हात:
विस्तीर्ण पोकळीचा गंधार सापडावा

आं? स्पष्टीकरण अपेक्षित. गणितातील काही संकल्पना काल्पनिक आहेत. 'संपूर्ण गणितशास्त्र काल्पनिक' म्हणण्याला आक्षेप. ऐकलंत का बॅटोबा?

चतुर्दशशास्त्री, लोकांना गणित म्हणजे काय ते झेपत नाही, सोडून द्या.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं

कदाचित त्यांना "काल्पनिक" च्या ऐवजी "कल्पना गम्य" असं म्हणायचं असेल?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उद‌य‌ (अन‌न्त_यात्री)

a + b i ह्या प्रकारच्या क्लिष्ट संख्यांचे चार मितींतले वाढीव रूप म्हणजे क्वॉटर्नियन्स: a + b i + c j + d k. i2 = j2 = k2 = -1 व i j = k, j k = i इ., बरोबर? ह्यातल्या a ला अदिश भाग तर b i + c j + d k ला सदिश भाग असेही म्हटले जाते. जर द्विमितीतल्या क्लिष्ट संख्यांचे चतुर्मितीतले वाढीव रूप क्वॉटर्नियन्स असतील व क्वॉटर्नियन्सचा काल्पनिक भाग सदिश म्हणवला जात असेल तर क्लिष्ट संख्यांतला i व सदिशातले i, j, k ह्यांचा संबंध आहे असे म्हणता यावे ना? चूभूदेघे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

हम्म्म्म्म...
'संबंध' तसा म्हटला तर आहे. पण लेखात जे म्हटलंय ते

1843 मध्ये आयरिश गणितज्ञ हॅमिल्टन यानी iच्या पुढील j व kची भर घातली आणि x, y अक्षाबरोबर z अक्षाची भर घालून त्रिमितीची निर्मिती केली.

बरंच दिशाभूल करणारं आहे. देकार्त ने तीन अक्ष वगैरेची सोय आधीच केलेली होती. संकल्पनात्मक.
हॅमिल्टनला त्रिमीतीत क्वाटर्निअन्स बसवता आले नाहीत, कारण तेव्हा सदिश आणि अदिश गुणाकार वेगळे असू शकतात ही संकल्पना अस्तित्वात नव्हती. (अशीच काहीतरी समांतर चूक हायझेंबर्गनेही केलेली, म्हणे. मग ती गॉसने सोडवली. हेही म्हणे.)
मग गिब्जने बाकी बऱ्याच लोकांच्या प्रबंधांवरून स्वत:चा प्रबंध मांडला, जे आत्ताचं त्रिमीत विश्व आहे. सध्याच्या i j k आणि क्लिष्ट i j k मध्ये तेव्हढंच एक साम्य आहे.
हॅमिल्टनला श्रेय फक्त i j k ह्यातल्या क्वाटर्निअन ग्रुप स्ट्रक्चरचं आहे. जे थोर आहेच.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

तारांवरी पडावा केव्हा चुकून हात:
विस्तीर्ण पोकळीचा गंधार सापडावा

प्रश्न 'पडले' तर शोधाशोध सुरू होते.
१) वाटण्या करणे,
२) भविष्य जाणून घेणे
३) कालमापन
या तीन फार पूर्वीच्या कारणांमुळे गणित जन्माला आले.
क्र २ साठी अचूक सुर्योदय लागत असल्याने सूर्यसिद्धांत आला. वेगवेगळ्या ठिकाणी सूर्य वेगळ्या वेळी उगवतो तसेच दिनमानही वर्षबरात वेगवेगळे असते हे धरून गणित झाले शास्त्रीलोकांकडून.

भिंतीवरच्या दोन वेगळ्या खिळ्यावर सैलसर जोडलेली साखळी कोणता आकार घेईल, संख्यामालिकांची बेरीज काय येईल अशासारखे प्रश्न पडले नसावेत त्यांना.

जिथे शक्य नव्हते तिथे निर्णय सागर/सिन्धु वगैरे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

असे लेख वाचायला फार आवडतात. नंबरलाइन वापरून संख्या दाखवणे, संख्या अगणित किंवा अमर्याद आहेत याची सिद्धता वगैरे केवळ अप्रतिम.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कल्पित किंवा काल्पनिक संख्या हा शब्द imaginary number साठी योग्य वाटतो.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उद‌य‌ (अन‌न्त_यात्री)

आपण सुचविल्याप्रमाणे योग्य ते बदल केले आहेत. धन्यवाद.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0