मूळ संख्यांमधल्या फटी, अर्थात जांगचे प्रमेय
यी तांग जांग नावाच्या एका चिनी (पण अमेरिकेत स्थायिक झालेल्या) गणित्याने संख्याशास्त्रात एक नवं प्रमेय सिद्ध केल्याची बातमी गेल्या पंधरवड्यात इंटरनेटवर सगळीकडे पसरली आहे. या लेखात मी या प्रमेयाची त्रोटक अोळख करून देतो आहे. शास्त्रीय विषयांवरच्या मराठी लिखाणात अनेकदा जो एक चिकट-अोशटपणा असतो तो टाळावा असाही उद्देश असल्यामुळे, आपल्याला इंग्रजी येतं ही गोष्ट शक्य तितकी विसरून जाण्याचा हा लेख लिहित असताना मी प्रयत्न केलेला आहे. हा उद्देश कितपत साध्य झाला आहे, हे वाचकांनीच इत्यादि इत्यादि …
समजा २ पासून पुढच्या, म्हणजे २, ३, ४, ५, … अशा सगळ्या संख्या विचारात घेतल्या तर त्यांची 'मूळ' आणि 'संयुक्त' अशा दोन खोक्यांत विभागणी करता येते. उदाहरणार्थ, ६ ही संख्या २ x ३ अशी दोन तुकड्यांचा गुणाकार करून लिहिता येते, म्हणून ६ ला संयुक्त संख्या म्हणतात.
पण ७ चे असे तुकडे करता येत नाहीत, फारतर १ x ७ असं लिहिता येतं. त्यामुळे ७ ला मूळ संख्या म्हणतात.
सुरवातीच्या काही संयुक्त संख्या: ४, ६, ८, ९, १०, १२, १४, १५, …
सुरवातीच्या काही मूळ संख्या: २, ३, ५, ७, ११, १३, ...
जर संख्या संयुक्त असेल तर ती फक्त मूळ संख्यांना तुकडे म्हणून वापरून लिहिता येते, उदाहरणार्थ:
पुन्हा एकदा: ज्या संख्यांचे तुकडे पडतात त्या संयुक्त, आणि ज्यांचे पडत नाहीत त्या मूळ. (अवांतर: या सगळ्या चर्चेतून शून्य ही संख्या किंवा ऋणसंख्या आपण वगळलेल्या आहेत. प्रघात असा की १ ला मूळ किंवा संयुक्त काहीच समजत नाहीत, पण हा मुद्दा इथे महत्वाचा नाही.)
सुरवातीला बऱ्याच मूळ संख्या सापडतात, पण नंतर नंतर त्या दुर्मीळ होत जातात. पहिल्या शंभरात पंचवीस मूळ संख्या आहेत (म्हणजे २५%), पहिल्या हजारात १६८ आहेत (म्हणजे १७%), आणि पहिल्या कोटीत ६६४५७९ आहेत (म्हणजे ७%). याचं कारण असं की, एखादी संख्या मोठी असेल तर तिच्या मागे बऱ्याच संख्या येऊन गेलेल्या असल्यामुळे तिचे तुकडे पडायला तेवढीच जास्त संधी मिळते, आणि ती संयुक्त निघण्याची शक्यता वाढते. संख्या लहान असेल तर तशी संधी कमी असते. अक्षतकुमारिका असलेल्या वीस वर्षे वयाच्या बऱ्याच मुली असतात, पण पन्नाशीच्या बायका कमी असतात.
एक नैसर्गिक प्रश्न असा की, मूळ संख्या तुरळक होत होत संपूनच गेल्या तर काय? म्हणजे समजा, ५६ महापद्मनंतर एकही मूळ संख्या शिल्लक उरली नाही असं होऊ शकेल का? तर याचं उत्तर 'नाही'.
याची सिद्धता इथे देण्याचा माझा विचार आहे; पण त्याआधी, या प्रमेयाशी संबंध असलेलं पण हास्यास्पद, असं एक विधान घेऊन त्याच्या दोन सिद्धता मी देणार आहे.
पहिली सिद्धता अशी की, दहा मूळ संख्या आणून वाचकाच्या नाकावर आदळणे: २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, २३, २९, आणि खलास.
दुसरी सिद्धता जास्त अवघड आहे, पण 'विकारविलसिता'च्या दुसरा अंकातल्या दुसऱ्या प्रवेशात शालेयाने म्हटल्याप्रमाणे 'हे वेड तर खरेच, पण यात काही शिस्त आहे'. (मी इंग्रजी तात्पुरतं विसरायचं ठरवलं असल्यामुळे मूळ नाटकातली ओळ उद्धृत करत नाही.)
समजा जगात नऊच मूळ संख्या आहेत. (हा गैरसमज होता असं आपल्याला नंतर कळून चुकेल.) त्यांना य, र, ल, व, श, ष, स, ह, ळ अशी नावं देऊ. याचा अर्थ असा की, या नऊ वगळता जगात एकही मूळ संख्या कुठेही अस्तित्वात नाही. ठीक. आता मी क्ष अशी एक नवी संख्या तयार करणार आहे:
शब्दांत सांगायचं तर सगळ्या नऊ मूळ संख्यांचा गुणाकार करा आणि त्यात एक मिळवा. जे येईल त्याला क्ष म्हणा.
आता क्ष ही संख्या मूळ असणं शक्य नाही, कारण सगळ्या मूळ संख्या आपल्याला आधीच सापडलेल्या आहेत. तेंव्हा क्ष संयुक्त असली पाहिजे, म्हणजेच तिचे तुकडे पडले पाहिजेत. पण यात अडचण अशी की य, र, ल, व इत्यादि कुठल्याही संख्येने क्ष ला भाग जात नाही! (कारण बाकी १ उरते.) याचाच अर्थ, क्ष चे तुकडेही पडत नाहीत, कारण सगळे संभाव्य तुकडे आपल्याकडे आहेत, आणि त्यातले एकूणएक कुचकामी आहेत. तेंव्हा क्ष ही संयुक्त पण नव्हे! तेंव्हा मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही, अशी क्ष ही काहीतरी तृतीयपंथी अशक्य संख्या आहे. याचाच अर्थ 'जगात नऊच मूळ संख्या आहेत' हा आपला समज मूर्खपणाचा होता, आणि म्हणूनच जगात किमान दहा मूळ संख्या असल्या पाहिजेत. खलास.
दुसरी सिद्धता जास्त पाल्हाळाची आहे, पण तिचा सद्गुण असा की त्यातल्या दहा या आकड्याला सोनं चिकटलेलं नाही, आणि तिथे दुसरा कुठलाही आकडा वापरलेला चालेल. हाच युक्तिवाद वापरून 'जगात किमान ४७ मूळ संख्या आहेत', 'जगात किमान २ निखर्व मूळ संख्या आहेत', असं काहीही सिद्ध करता येईल. याचाच अर्थ जगात अनंत मूळ संख्या आहेत, आणि आपण यूक्लिडचं प्रमेय सिद्ध केलेलं आहे. खलास.
मूळ संख्यांविषयीचे अनेक प्रश्न अनुत्तरित आहेत, आणि जांगच्या प्रमेयाचा अशाच एका प्रश्नाशी संबंध आहे. त्यामागची पार्श्वभूमी अशी:
समजा ५ आणि ७ या मूळ संख्या घेतल्या, तर त्यांतली फट २ ची आहे. तेंव्हा (५,७) ला मूळ संख्यांची २-जोडी म्हणू. अशा बऱ्याच २-जोड्या आहेत:
जगात नक्की किती २-जोड्या आहेत? तर माहित नाही.
याला कयास अशासाठी म्हणायचं की, हे विधान खरं आहे असा गणितज्ञांना दाट संशय आहे (बाकीच्यांना अर्थात पर्वा नाही), पण याची सिद्धता आजतागायत कुणालाही सापडलेली नाही. ज्याला ती सापडेल त्याला खूप प्रसिद्धी मिळेल. (पण पैसा मात्र म्हणण्यासारखा नाही).
अशाच मूळ संख्यांच्या ४-जोड्याही विचारात घेता येतील: (७, ११), (१३, १७), (६७, ७१) या ४-जोड्या आहेत, कारण प्रत्येक जोडीतल्या संख्यांमधली फट ४ ची आहे. अशा किती ४-जोड्या आहेत? तर माहित नाही.
असे अनेक कयास आहेत:
कयास: जगात अनंत ८-जोड्या आहेत.
कयास: जगात अनंत १०-जोड्या आहेत.
…
अर्थात यातल्या एकाही कयासाची सिद्धता आपल्याकडे नसल्यामुळे, यांतलं अमूक विधान खरं आहे असं आपल्याला म्हणता येत नाही. पण!
वेगळ्या शब्दांत सांगायचं तर, वर दिलेल्या अनेक कयासांपैकी निश्चित कोणता खरा आहे हे आपल्याला माहित नाही, पण ते सगळेच्या सगळे खोटे नाहीत हे माहित आहे. अशा प्रकारची परिस्थिती गणितात पुष्कळदा पाहायला मिळते, पण नेहमीच्या व्यवहारात फारशी नाही. (उदाहरणार्थ, ब्रिज खेळताना असं घडू शकतं: इस्पिक तिर्री पूर्वेकडे तरी आहे किंवा पश्चिमेकडे तरी हे दक्षिणेला माहित असतं, पण नक्की कुणाकडे ते नाही.)
वास्तविक जांगचं प्रमेय यापेक्षा जास्त नेमकं आहे. समजा स ही कुठलीही संख्या असली, तर मूळ संख्यांची स-जोडी म्हणजे काय हे वर लिहिलेलं आहे. तर जांगचं खरं प्रमेय असं आहे:
(तिला स म्हणू) की, जगात अनंत स-जोड्या आहेत.
सध्यातरी स ची किंमत कुणालाच माहित नाही. (अर्थात अशी एकापेक्षा जास्त किंमत असू शकेल, पण मुद्दा असा की एकही माहित नाही.) या प्रश्नावर अर्थात इतर गणिती कामाला लागलेच असतील, यात शंका नाही.
जांगच्या प्रमेयाची सिद्धता खूप किचकट आहे, आणि ती या विषयातल्या आधीच्या अनेक प्रमेयांवर अवलंबून आहे. शिवाय ७ कोटी या चमत्कारिक संख्येचा इथे संबंध काय या कुतूहलाचं उत्तरही त्यातच खोलवर कुठेतरी आहे. पण ही सिद्धता मी स्वत: तपासून पाहिलेली नाही, इतकं कबूल करून आवरतं घेतो.
प्रतिक्रिया
प्रमेयसिद्धताप्रसिद्धी
प्रमेयाच्या ओळखीबद्दल धन्यवाद.
या प्रमेयाला आणि त्याच्या सिद्धतेला इतकी प्रसिद्धी का मिळत आहे ?
गणिती आणि गणितेतर अशी काय कारणे आहेत ?
(म्हणजे उदा :
'फर्मा'च्या शेवटच्या प्रमेयाची सिद्दता मिळायला जवळपास २५० वर्षे जावी लागली हे गणितेतर कारण.
गणिती कारण असे असू शकते, की ते प्रमेय सिद्ध झाल्याने इतर अनेक प्रमेयांच्या सिद्धता सोप्या झाल्या, इ. इ.)
कठीण गणिती प्रमेयाची, आणि
कठीण गणिती प्रमेयाची, आणि त्यामागच्या मूलभूत गणिती संकल्पनांची उत्तम ओळख. फर्माचं कंजेक्चर, फोर कलर प्रॉब्लेम या विषयांवरही लिहावं ही विनंती.
@अमुक - या प्रमेयाचं महत्त्व असं की गणितज्ञांचे कयास हे प्रत्यक्षाच्या पातळीत मर्यादित झाले आहेत. म्हणजे समजा बहुतेक गणितज्ञांचा आतला आवाज सांगतो की २-जोड्यांची संख्या अनंत असावी. मात्र या आतल्या आवाजाला सिद्धता अजून मिळालेली नाही. पण या सात कोटी आकड्यामुळे असाध्यापासून साध्यापर्यंत प्रवास झालेला आहे. कोणीतरी या सिद्धतेच्या पलिकडे जाऊन हा आकडा सात कोटीपेक्षाही लहान - समजा एक कोटी इतका आहे असं सिद्ध करू शकेल. आणि मग आशा अशी आहे की हा आकडा लहान होत जाईल. तो दोनपर्यंत पोचेल का? माहित नाही. पण एकेकाळी अनंत अंतरावर वाटणाऱ्या ताऱ्यांपैकी काही तारे पन्नास प्रकाशवर्षांपेक्षा कमी अंतरावर आहेत हे लक्षात आलं की त्यांच्यापर्यंत प्रवास करण्याची शक्यता वाढते. ते आवाक्यात येतात. कदाचित काही तारे पाच प्रकाशवर्षं अंतराच्या आत असतील, त्यांसाठी शोध सुरू होतो. तसंच काहीसं इथे आहे.
अच्छा ! समजले.
अच्छा ! समजले. मस्त !
या प्रमेयप्रसिद्धिबाबत माझे ट्यूबलाईटत्व मावळवल्याबद्दल आभार..:)
जयदीप ,ही गणितातली गम्मत
जयदीप ,ही गणितातली गम्मत मराठीत छान सोपी करून लिहिली आहे .'मूळ संख्या अपरिमित (=infinite) आहेत' च्या प्रमेयाची सिध्दता सर्वात लहान आणि पूर्ण आहे ." किनाऱ्यावर एखाद्याला छानसा शंख मिळतो आणि दुसऱ्यांना मी इतके दिवस फिरतो पण मला कसा दिसला नाही" अशी रुखरुख राहाते .कोणाही भारतीयाच्या नावावर गणितातला सिध्दांत नाही याचे फार वाईट वाटते .
कंजेक्चर
'कयास' ज्याला विंग्रजीत कंजेक्चर असे म्हणतात त्यालाही खूपच महत्त्व असते ::
तर- 'सुभाष खोत' (subhash khot) असे गूगल्ल्यास कोणाही भारतीयाच्या नावावर गणितातला सिद्धांत नसला तरी एका तरुण भारतीयाच्या नावावर महत्त्वाचे कंजेक्चर आहे याचे थोडेफार समाधान होईल.
+१.सुभाष खोत यांचे कंजेक्चर
+१.
सुभाष खोत यांचे कंजेक्चर तर आहेच, शिवाय भारतीयांनी बरीच महत्वाची थिओरम्स प्रूव्ह केली आहेतच. तूर्तास फक्त मराठी उदाहरणे देतो. त्यातही बरीच भर घालता येईल. पूर्ण भारताचं कॉण्ट्रिब्यूशन पहायचं तर महाभारत रचावे लागेल.
सुरुवात भास्कराचार्यांपासून करतो. ते जळगावजवळचे, म्हणजे मराठीच
सध्याच्या काळातली काही खास उल्लेखनीय उदाहरणे:
अष्टेकर व्हेरिएबल्स (रिलेटिव्हिटी थिअरीत वापरले जाते)
नरेंद्र करमरकर यांचा लिनिअर प्रोग्रॅमिंगचा अल्गोरिदम
चंद्रशेखर खरे यांनी प्रूव्ह केलेले सेरे'ज कंजेक्चर
श्रीराम अभ्यंकर आणि त्यांचे अल्जेब्रिक जॉमेट्रीमधील जगप्रसिद्ध काम
विनय देवळालीकर यांनी मध्यंतरी पी विरुद्ध एनपी या सर्वप्रसिद्ध प्रश्नाचे उत्तर दिले होते. त्यात चुका निघाल्या ही गोष्ट वेगळी, पण टेरेन्स ताओसारख्यांनीही कबूल केले की त्यांच्या प्रूफ स्ट्रॅटेजीतून काही गोष्टी हाती लागू शकतात.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
वा!
बरेच दिवस लिहिन म्हणत होतो:
बॅट्याच्या लेखणीतून (किबोर्डातून) संस्कृतपासून ते इतिहासापर्यंत आणि गणितापासून ते फुल्टु टिपी प्रतिसादापर्यंत काय बाहेर पडेल सांगता येत नाहि.
अश्या माहितीपूर्ण प्रतिसादामुळे त्याचे नेहमीच कौतुक आणि प्रतिसादांच्या विषयाच्या भन्नाट आवाक्याचे आश्चर्य वाटत आले आहे.
लगे रहो! हॅट्स ऑफ!
- ऋ
-------
लव्ह अॅड लेट लव्ह!
संपूर्ण सहमत.
"बॅट्याच्या लेखणीतून (किबोर्डातून) संस्कृतपासून ते इतिहासापर्यंत आणि गणितापासून ते फुल्टु टिपी प्रतिसादापर्यंत काय बाहेर पडेल सांगता येत नाहि.
अश्या माहितीपूर्ण प्रतिसादामुळे त्याचे नेहमीच कौतुक आणि प्रतिसादांच्या विषयाच्या भन्नाट आवाक्याचे आश्चर्य वाटत आले आहे."
संपूर्ण सहमत.
-मेघना भुस्कुटे
***********
तुन्द हैं शोले, सुर्ख है आहन
+१
+१
--------------------------------------------
ऐसीवरील गमभन इतरांपेक्षा वेगळे आहे.
प्रमाणित करण्यात येते की हा आयडी एमसीपी आहे.
+२
+२
+ जगातील सर्व मूळ संख्यांची बेरीज
जुने शिकलेले थोडे आठवले.
हे वाचून फार वर्षांपूर्वी शिकलेल्या Infinity of Prime Numbers, Unique Prime Factorization अशा काही गोष्टी आठवल्या आणि पुनः वर्गात बाकावर बसल्याचा भास झाला.
एक शंका. Prime Generating Function, i.e. a function F(n), such that for every integer value of n, F(n) is a prime number असे कोणालाही तयार करता आलेले नाही असे आम्ही विद्यार्थिदशेत ऐकले होते. त्या प्रश्नाची सध्या काय स्थिति आहे?
Prime Generating Function चा
Prime Generating Function चा एग्झॅक्ट फॉर्म तयार करता आला नाही हे खरेच आहे. पण अॅज एक्स --> इन्फिनिटी,
F(n) is approximated by the ratio (n/log n). संदर्भः विकी.
यात अजून नेमकेपणा येईल तो एका रिझल्टच्या प्रूफने. तो म्हंजे रीमान हायपोथेसिस. पण तो गेल्या दीडेकशे वर्षांपासून (१८५९ पासून) अनुत्तरित आहे.
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
अश्या सिद्धांताचा प्रत्यक्षात
अश्या सिद्धांताचा प्रत्यक्षात कसा उपयोग होईल हे माहित नाही. असो. रोचक आहे. (याहुन अधिक मी लिहिण्याची शक्यता कमीतकमी २ आणि जास्तीतजास्त ७ कोटी यांदरम्यानच्या एकातरी संख्येने १ ला भागून येणार्या अपूर्णांकाएवढी आहे)
- ऋ
-------
लव्ह अॅड लेट लव्ह!
मस्त ओळख
प्रमेयाची ओळख आवडली. असेच गणिताबद्दलचे सोप्या भाषेतले लेख द्यावेत अशी विनंती.
.
अवांतरः
हे नक्की कोणते नाटक?
हे नाटक म्हंजे हॅम्लेट. मूळ
हे नाटक म्हंजे हॅम्लेट. मूळ वाक्य इथे मिळेल.
POLONIUS(aside): Though this be madness, yet there is method in ’t.—
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
उत्तम लेख! गणिती गणितं वेत्ति
उत्तम लेख! गणिती गणितं वेत्ति हे सिद्ध करणारा. ओळख आवडली हेवेसांनल, पण प्लीज प्लीज प्लीज अजून पुढे काही लिहा ना याबद्दल!!! फर्मॅट थिओरमचे वाईल्सने दिलेले प्रूफ, मोचिझुकीने केलेले एबीसी कंजेक्चरचे प्रूफ आणि आता हे प्रूफ आणि टर्नरी गोल्डबाख कंजेक्चरचे प्रूफ अशा काही लॅण्डमार्क रिझल्ट्सबद्दल खुद्द तुमच्याकडून वाचायला मिळाले तर बहार येईल.
आणि हो, एक आगाऊ विनंती इथेच करून ठेवतो: रीमान हायपोथेसिसची बेसिक ओळख करून देणारी लेखमाला प्लीज प्लीज प्लीज लिहा
माहिष्मती साम्राज्यं अस्माकं अजेयं
हे नक्की कोणते नाटक?
शेक्सपिअरच्या हॅम्लेटमधलं मूळ उद्धृत
'विकारविलसित' हे गोपाळ गणेश आगरकरांनी केलेलं हॅम्लेटचं रूपांतर आहे.
- चिंतातुर जंतू
"ही जीवांची इतकी गरदी जगात आहे का रास्त |
भरती मूर्खांचीच होत ना?" "एक तूच होसी ज्यास्त" ||
कमीतकमी २ आणि जास्तीतजास्त ७
जगात असं खासकसून म्हणण्याचं काही कारण आहे का?
स > ७-कोटी असेल तरीही अनंत स-जोड्या सापडण्याची शक्यता शून्य नाही, ही माझी समजूत योग्य आहे का?
---
सांगोवांगीच्या गोष्टी म्हणजे विदा नव्हे.
हो आणि हो
> जगात अनंत स-जोड्या आहेत.
> जगात असं खासकसून म्हणण्याचं काही कारण आहे का?
हो. It is a mannerism, but I could see essentially no other way out. नुसतंच 'अनंत स-जोड्या आहेत' असं म्हणणं माझ्या (आतल्या) कानाला बरं वाटलं नाही. मी 'अनंत स-जोड्या अस्तित्वात आहेत' असं म्हणून शकलो असतो, पण मग तुम्ही म्हणाला असतात की, 'अस्तित्वात असं खासकसून म्हणायचं काय कारण आहे? अस्तित्वात नसणार तर काय नास्तित्वात असणार का?!'
इंग्रजीत 'There exist infinitely many s-pairs' असं म्हणतात, पण तिथेही 'There' ला तसा काही अर्थ नाहीच. सवयीने गणित्यांच्या कानाला ते खटकत नाही इतकंच.
> स > ७-कोटी असेल तरीही अनंत स-जोड्या सापडण्याची शक्यता शून्य नाही, ही माझी समजूत योग्य आहे का?
हो. शरद पवारांकडे जितके रुपये आहेत तितकी समजा स ची किंमत असेल, तरीही अनंत स-जोड्या असू शकतात. जांगच्या प्रमेयाला याबद्दल काहीच म्हणायचं नाही.
- जयदीप चिपलकट्टी
(होमपेज)
लेख आवडला. सिद्धतेची सांगता
लेख आवडला. सिद्धतेची सांगता 'खलास'ने केलेली आवडली.
प्रतिक्रीयांमधून नाटका बद्दलही कळलं.
संबंधीत बातमीचा एखादा वाचनीय दुवा असल्यास त्याची शिफारस करा.
लिंक्स
या दोन लिंक्स:
http://www.slate.com/articles/health_and_science/do_the_math/2013/05/yit...
आणि
http://www.wired.com/wiredscience/2013/05/twin-primes/all/
शिवाय Yitang Zhang + twin-prime conjecture असा सर्च केला तर आणखीही मिळतील.
- जयदीप चिपलकट्टी
(होमपेज)
लेख आवडला.
विनोदाची हलकी झालर असली आणि विषय उलगडून सांगणार्याला इतरही विषयांत गती असली की एरवी निरस वाटणारा विषयही सुरस वाटू लागतो याची पुनःप्रचिती आली. आभार.
आम्हाला शाळा-कॉलेजात गणित शिकवणारे शिक्षक असे असते तर आम्हीही....वगैरे छत्रपती...वगैरे.
हा सिद्धांत/प्रमेय येथे विशद
हा सिद्धांत/प्रमेय येथे विशद केल्याबद्दल धन्यवाद.
ओळख आवडली
मूळ संख्यांबाबतच्या या प्रमेयाची ओळख चांगली करून दिली आहे. आवडली.
शंका
पण असं ही होऊ शकतं की .... की प्रत्येक वरचा (Row) सेक्वेन्स फायनाइट आहे
पण Column सिक्वेन्स मात्र अनंत आहे.
मस्त
मूळ संख्यांच्या जगात सध्या काय होत आहे हे सांगणारी ओळख आवडली.