(π)वाट
स्पर्शरेषा जोखते जणु
वर्तुळाची वक्रता
परीघ अंशी / व्यास छेदी
(π) उरवी तत्त्वता
वर्तुळाचे केन्द्र जीवा #
ना कधीही स्पर्शिते
केंद्र गिळता तीच जीवा
व्यास बनुनी राहते
(π) द्विगुणित होऊनी
परिघास जेव्हा भागतो
हाती ये त्रिज्या-जिला
व्यासार्ध कुणी संबोधितो
वर्तुळाच्या गारुडाने
भूल गणिती टाकली
जटिल विद्यांची कवाडे
(π) करितो किलकिली
परीघ, त्रिज्या दोन्हीही
परिमेय असती पण तरी
(π) का मज वेड लावी
अपरिमेयाचे परी
~~~~~~~~~~~~~
# जीवा = chord of a circle
अपरिमेय= मोजता न येणारे/ irrational
उंचा-नीचा?
सायनुसॉयडल लहरींसाठी e आणि π वापरले जातात; ऑयलर आयडेंटिटी. पुढचा भाग म्हणून त्याचाही विचार करून पाहा. दोन-दोन अपरिमेय आकडे वापरण्याचा आनंद मिळेल.
दुरुस्ती
ऑयलर आयडेंटिटीत वस्तुतः एकच अपरिमेय राशी उपभोगिली जाते: e. π ही त्यातील केवळ एक विशिष्ट स्थिती आहे, इतकेच: कोन जेव्हा π रेडियन (अर्थात १८०o) असतो, तेव्हाची.
ऑयलर आयडेंटिटीत π अपरिहार्य आहे, असे म्हणता येईलसे वाटत नाही. (कोनाचे एकक मात्र रेडियन असणे अपरिहार्य आहे.)
असो चालायचेच.
फॉर्म्युला आणि आयडेंटिटि
ऑयलर फॉ‌र्‌म्युलात कोन ० ते π यांत काहीही असतो. आयडेंटिटी π हा कोन गृहीत धरला जातो.
माझ्या डोक्यातही गोंधळ होताच - मी ही समीकरणं व्होल्टेज आणि करंटच्या संदर्भात वापरली आहेत. त्यांत फेज डिफरन्स π असतो, असं काहीसं अंधुकसं आठवतंय. तपशील विचारू नका.
i ही कविकल्पना असण्याचं स्पष्टीकरण आवडलं. कविराज, करा बुवा आणखी विचार!
गोंधळ
ऑयलर फॉ‌र्‌म्युलात कोन ० ते π यांत काहीही असतो. आयडेंटिटी π हा कोन गृहीत धरला जातो.
ऑयलर फॉर्म्युला हा प्रकार (कधीकाळी, धूसरपणे) डोळ्यांखालून गेला होता. ऑयलर आयडेंटिटी या त्याच्या विशिष्ट स्थितीतील रूपाशी (नावाने) परिचित नव्हतो. त्यामुळे, दोहोंत गोंधळ झाला खरा.
(तसेही, ऑयलर फॉर्म्युलातील कोनाची रेंज ही ० ते π इतकीच का असावी? ० ते २π (नपक्षी, -π ते π) का नसावी?)
मी ही समीकरणं व्होल्टेज आणि करंटच्या संदर्भात वापरली आहेत. त्यांत फेज डिफरन्स π असतो, असं काहीसं अंधुकसं आठवतंय. तपशील विचारू नका.
मला जे अंधुकसे आठवते, त्याप्रमाणे, सामान्य (शुद्ध resistive) सर्किटमध्ये असा फेज डिफरन्स असण्याचे काही कारण नसावे. मात्र L (inductive) अथवा C (capacitive) component सर्किटमध्ये कडमडल्यास फेज डिफरन्स उद्भवतो, आणि तो यांपैकी कोठल्यातरी एका परिस्थितीत π/२ इतका, तर दुसऱ्या परिस्थितीत -π/२ इतका असतो. (अर्थात, +/-९००.) (+/-)π इतका नव्हे.
अर्थात, पुढील आयुष्यात यांपैकी कशाचाही संबंध न आल्याकारणाने, हे सर्व तपशील मीदेखील बऱ्यापैकी विसरून गेलेलो आहे. चालायचेच.
आक्षेप
वर्तुळाचे केन्द्र जीवा #
ना कधीही स्पर्शिते
केंद्र गिळता तीच जीवा
व्यास बनुनी राहते
पटले नाही.
व्यास ही जीवेची स्पेशल केस/एज केस मानता यावी१. त्यामुळे, जीवा ही वर्तुळाचे केंद्र कधीही स्पर्शीत नाही, हे विधान पटत नाही.
१ स्पर्शिका/स्पर्शरेषा हीसुद्धा जीवेची (दुसर्‍या टोकाची) स्पेशल केस/एज केस मानता यावी काय?
प्रश्न
(π) द्विगुणित होऊनी
परिघास जेव्हा भागतो
हाती ये त्रिज्या-जिला
व्यासार्ध कुणी संबोधितो
आधी व्यास, की आधी त्रिज्या?
नाही म्हणजे, त्रिज्येसच व्यासार्ध म्हणून का संबोधावयाचे? (आम्ही व्यासास डबलत्रिज्या म्हणून संबोधू! काही हरकत?)
तसेही, वरील सूत्राप्रमाणे, त्रिज्या मिळविण्याकरिता परिघास भागण्यापूर्वी πला द्विगुणित व्हावे लागते. त्यापेक्षा, असे कोणतेही सोपस्कार (द्विगुणित होण्याचे, वगैरे) न करता सरळसरळ परिघास भागल्याने थेट व्यास लाभत नाही काय? ते अधिक सरळसोट नाही काय?
थोडक्यात,
C = πd,
की
C = 2πr?
नाही, हे प्रश्न थोडेसे 'आधी कोंबडी, की आधी अंडे?', किंवा, नपक्षी, 'उंटालाच वाळवंटातले जहाज म्हणून का संबोधावयाचे? त्याऐवजी जहाजाला समुद्रातला उंट म्हणून का संबोधू नये?' अशा छापांतले वाटू शकतात खरे. परंतु, ते अत्यंत गंभीरपणे उपस्थित केलेले असून, मानववंशशास्त्रीय दृष्टिकोनातून (माझ्या मते) अत्यंत महत्त्वपूर्ण आहेत, याची ग्वाही देऊ इच्छितो.
प्रश्न असा आहे: वर्तुळाशी निगडित विविध तथ्यांचा मानवास जसजसा उलगडा होत गेला, त्या रेट्यात, वर्तुळाशी निगडित वेगवेगळ्या राशींपैकी, व्यास या राशीची संकल्पना मानवाच्या टाळक्यात सर्वात आधी घुसली असावी, की त्रिज्या या राशीची संकल्पना?१ झालेच तर, परिघ आणि व्यास यांच्यातील गुणोत्तर (किंवा, परिघ आणि त्रिज्या यांच्यातील गुणोत्तर — Have it your own way; Although, मुळात तो शोध परिघ आणि व्यास यांच्यातील गुणोत्तराच्या संदर्भात लागला असावा, असा आमचा कयास आहे.२) हे अनेक निरीक्षणांनंतर तथा मोजमापांनंतर कोणाच्या लक्षात आलेले असू शकते; परंतु, व्यास आणि त्रिज्या यांच्यातील गुणोत्तर हे तरी वाटते तितके स्वयंस्पष्ट तथा intuitively obvious असावे काय? किंबहुना, व्यास आणि त्रिज्या या दोन राशी मानवास (बहुधा वेगवेगळ्या वेळी) लक्षात आल्या असतील, परंतु, त्यांच्यात काही नाते आहे (आणि ते नाते उघडउघड लक्षात येण्यासारखे आहे), हे मानवास तात्काळ तथा निव्वळ निरीक्षणाने लक्षात आले असेलच काय? (आपल्याला हे नाते उघड होते, कारण आपल्याला तसे शिकविले गेले आहे, म्हणून — In that, we have already been biased. परंतु, वर्तुळाशी आणि त्याच्याशी निगडित असलेल्या विविध राशींशी नुकताच परिचय होऊ घातलेल्या आदिमानवाच्या (किंवा निअँडरथालच्या, किंवा जो/जी कोणी असेल त्याच्या/तिच्या) virgin दृष्टिकोनातून पाहिल्यास ते तसे ताबडतोब स्वयंस्पष्ट होईलच, किंवा कसे?)
(माझ्या मते) अत्यंत रोचक तथा विचारार्ह प्रश्न आहेत हे!
पण लक्षात कोण घेतो? चालायचेच!
१ उंट आणि जहाज यांच्या संदर्भातदेखील असाच काहीसा प्रश्न विचारता येईल, नि त्याच्या उत्तरातून बरेच उलगडे होऊ शकतील, असा अंदाज आहे. (चूभूद्याघ्या.)
२ π हा ज्याअर्थी वर्तुळाचा परिघ तथा व्यास यांचे गुणोत्तर म्हणून व्याख्यिला गेला आहे (आणि, वर्तुळाचा परिघ तथा त्रिज्या यांच्या संदर्भांत थेट नव्हे), त्याअर्थी, वर्तुळाच्या त्रिज्येची संकल्पना ही तत्कालीन मानवाच्या (किंवा कदाचित तत्कालीन गणितींपैकी कोणाच्या) टाळक्यात एक तर शिरलेली नसावी, नपक्षी, शिरलेली जरी असली, तरीसुद्धा, त्याच्या/तिच्या लेखी ती (व्यासाच्या तुलनेत) तितकीशी महत्त्वाची नसावी२अ, २ब, असा कयास बांधावयास जागा आहे. (चूभूद्याघ्या.)
२अ त्रिज्या जर ठाऊक असती, आणि त्रिज्या ही तत्कालीन मानवाच्या लेखी (व्यासाच्या तुलनेत) जर अधिक महत्त्वाची असती, तर परिघ आणि व्यास यांचे गुणोत्तर मोजण्याऐवजी परिघ आणि त्रिज्या यांचे गुणोत्तर मोजून त्यास (कदाचित) πऐवजी दुसरे कोणतेतरी ग्रीकाक्षरचिन्ह तत्कालीन गणितींनी अमलात आणले नसते काय?
२ब या दृष्टिकोनातून पाहिल्यास, कदाचित त्रिज्येस व्यासार्ध म्हणून संबोधिणे हेच सयुक्तिक असावे; व्यासास डबलत्रिज्या म्हणून संबोधिणे नव्हे. (चूभूद्याघ्या.) QED.
रोचक
आधी त्रिज्या का आधी व्यास, याबद्दल मला शंका आली ती अशी -
सुरुवातीला वर्तुळ किंवा जवळजवळ वर्तुळ दिसलं असेल का आखलं असेल. जर वर्तुळ काढायचं तर त्रिज्जा महत्त्वाची ठरेल. समजा दोरीचं एक टोक स्थिर ठेवून दुसऱ्या टोकानं मातीत, वाळूत वर्तुळ काढलं तर त्रिज्जेचा विचार आधी केला जाईल. पण जर वर्तुळ किंवा वर्तुळसम आकार बघितला तर व्यासाचा आधी विचार होईल.
व्यवहारात रोज किती तरी वर्तुळाकार वस्तू दिसतात. उदाहरणार्थ, स्वयंपाकघरातल्या कित्येक वस्तू. त्यांची त्रिज्जा किती हे सांगायचं तर मी व्यास किती असेल याचा अंदाज घेऊन तो अर्धा करून सांगेन.
आपल्या विचारांची दिशा ही विचार करावयास लावणारी आहे.
वर्तुळ नुसते बघितल्यावर त्याच्या व्यासाचा विचार (त्रिज्येआधी) मनात येणे साहजिक आहे. मात्र, वर्तुळ काढावयाचे झाल्यास (आणि, त्यातही, काटेकोरपणे (नुसते ढोबळमानाने नव्हे) काढावयाचे झाल्यास) त्रिज्या ताबडतोब महत्त्वाची ठरते, हे पटण्यासारखे आहे.
माझा अंदाज असा आहे, की मनुष्य हा वर्तुळे काढू (आणि, विशेषेकरून, काटेकोरपणे काढू) लागण्याअगोदर शतकानुशतके निसर्गात वेगवेगळ्या वर्तुळाकृती पाहात आला असला पाहिजे, नि त्यानंतरच मग (Monkey see, monkey do न्यायाने) ती स्वतःसुद्धा काढण्याचा प्रयत्न करू लागला असला पाहिजे. त्यातसुद्धा, सुरुवातीस हे प्रयत्न ढोबळमानानेच असणार. (गुहेच्या भिंतीवर काढलेल्या शिकारीच्या चित्रात, खाली दरीत असलेल्या जनावराच्या टाळक्यात वरून फेकलेल्या धोंड्याची आकृती काढताना तो खचितच कंपासपेटी घेऊन बसला नसणार! ते वर्तुळाकृती ड्रॉइंग हे फ्रीहँडच असले पाहिजे. (शिवाय, मुळातले ते धोंडेसुद्धा अचूक गोलाकार नसणार — आणि, त्यांनी तसे असण्याची गरजही नसावी — हाही भाग आहेच.)) नंतरनंतर मग काटेकोरपणा येत गेला असणार.
किंबहुना, मानवास चाकाचा शोध लागून तो सर्वप्रथम चाके जेव्हा बनवू लागला, तेव्हासुद्धा, सुरुवातीस ती ओबडधोबडच असणार, असा तर्क करावयास जागा आहे. किंबहुना, अशा चाकांवर बेतलेल्या वाहनांतून (कदाचित ताशी दोन मैलांच्या वेगाने) प्रवास करताना त्याला जे काही गचके बसले असतील, त्याचेसुद्धा त्याला सुरुवातीस कदाचित काही विशेष वाटले नसू शकेल. (After all, having wheels was certainly an improvement over no wheels. And, in any case, that was how wheels were supposed to behave, weren't they? चाके आहेत, म्हटल्यावर गचके हे बसायचेच! एवढेच असेल, तर जा की चालत! आणि तसेही, ताशी दोन मैलांच्या गतीने जाताना जे गचके बसत असतील, ते कितीसे जोरदार असतील म्हणा. शिवाय, त्या गचक्यांचा संबंध चाकांच्या ओबडधोबडपणाशी, की रस्त्यातल्या खड्ड्यांशी, हे नक्की कोण ठरविणार?) अर्थात, त्या काळात त्यास चाकाच्या त्रिज्येचे महत्त्व नसणार.
(व्यासाचे महत्त्व तरीही असू शकेल. कारण, एका अक्षास एकाहून अधिक चाके असणार्‍या वाहनात, एका अक्षास जोडली जाणारी चाके तरी शक्यतो साधारणतः सारख्या आकाराची पाहिजेत. त्यात थोडाफार फरक झाल्याने कदाचित विशेष बिघडणार नाही१, परंतु, तो फरक खूपच जास्त झाल्यास वाहन कलंडू शकेल. नि, चाकाचा आकार मोजण्यास व्यासाशिवाय दुसरे सहजसोपे मोजमाप कोणते?)
मात्र, पुढेपुढे मानवाचा जसजसा विकास होत गेला, तसतशी 'हे गचके तरी काय म्हणून खायचे?' ही कल्पना त्याच्या टाळक्यात रुजत गेली असणार. त्यातून खड्डे नसलेल्या रस्त्यांची कल्पना त्याच्या डोक्यात जेव्हा केव्हा आली असेल तेव्हा असो, परंतु, काटेकोरपणे बनविलेल्या बर्‍यापैकी अचूक चाकांची (आणि त्याकरिता काटेकोरपणे काढलेल्या वर्तुळाची) कल्पना त्याच्या ठायी तेव्हा रुजली असणार. (संदर्भ म्हणून जमिनीवर आदर्श वर्तुळ काढले, नि त्यावर ठेवून अगोदर ओबडधोबडपणे बनविलेले चाक घासूनपुसून घेतले, की आदर्श वर्तुळाकृती चाक अधिक चाकाच्या आकाराचे प्रमाणीकरण, हे दोन्ही प्रश्न एकदमच सुटावेत.) आणि, जमिनीवर विशिष्ट आकाराचे आदर्श वर्तुळ काढण्याकरिता, आपण म्हटल्याप्रमाणे, दोरीचे एक टोक स्थिर ठेवून दुसर्‍या टोकाने जमिनीवर वर्तुळ आखण्याहून सोपा मार्ग कोणता? (दोरीचा शोध तोवर लागला असावा. कंपासपेटीचा शोध त्या मानाने बर्‍याच नंतरचा असावा, असा कयास मांडण्यास प्रत्यवाय नसावा. शिवाय, चाकाकरिता वर्तुळे काढण्यासाठी किती मोठा कंपास लागेल, हादेखील प्रश्नच आहे.) आणि त्यातून त्रिज्येची कल्पना रुजली असावी, हे पटण्यासारखे आहे.
मग पुढचा प्रश्न असा पडतो, की, व्यास अगोदर ठाऊक होता, त्रिज्या नंतर ठाऊक झाली, इथवर ठीकच आहे, परंतु, व्यास आणि त्रिज्या यांच्यात काही नाते आहे (२:१ प्रमाण, वगैरे), ही कल्पना मानवास लगेच आली असावी काय? Contrary to expectations, माझ्या मते ही कल्पना तितकीही intuitive नसावी. असो.
१ अमेरिकेत (इतरत्र कल्पना नाही.) चारचाकी वाहनांबरोबर जे स्पेअर चाक (अथवा डोनट टायरवाले चाक अथवा (मराठीत) स्टेपनी) येते, ते बहुतांश वेळा इतर चाकांच्या तुलनेत थोड्या कमी व्यासाचे असते. (याचे कारण प्राथमिकतः त्याने ट्रंकमध्ये (मराठीत: डिकीमध्ये) अधिक जागा अडवू नये, हे असावे.) त्यामुळे सामान्यतः फारसे काही बिघडत नाही. परंतु, असे स्पेअर टायरवाले चाक बसविल्यास कमाल किती वेगाने वाहन चालवावे, यावर मर्यादा येऊ शकतात. झालेच तर, या स्पेअर टायरमध्ये हवेचा दाब किती असावा, याचेही गणित वेगळे असते. शिवाय, हे टायर कायमस्वरूपी वापरू नये, अशीही सूचना असते. असो, हे अवांतर झाले.
व्यास आणि त्रिज्या यांचे (स्वयंस्पष्ट नसलेले) नाते (२:१ प्रमाण)
व्यास आणि त्रिज्या यांच्यात काही नाते आहे (२:१ प्रमाण, वगैरे), ही कल्पना मानवास लगेच आली असावी काय? Contrary to expectations, माझ्या मते ही कल्पना तितकीही intuitive नसावी.
असे मी का म्हणालो, ते सांगतो.
वरील अंदाजाप्रमाणे,
- वर्तुळाचा व्यास हे वर्तुळाच्या आकाराचे (साइझचे) द्योतक आहे. (थोडक्यात, परिघावरच्या कोठल्याही दोन बिंदूंमध्ये असू शकणारे जास्तीत जास्त अंतर.)
- उलटपक्षी, त्रिज्येची संकल्पना पूर्णपणे वेगळी आहे. त्रिज्या ही कदाचित परिघाच्या वक्रतेच्या सर्वत्र एकसमानतेचे द्योतक म्हणता येईल. तिची संकल्पना काहीशी अशा प्रकारे मांडता येईल: की, वर्तुळाच्या अंतर्भागात कोठेतरी असा एक बिंदू आहे (तूर्तास सोयीकरिता त्यास ‘केंद्रबिंदू’ म्हणून संबोधू.), जेथून परिघावरील सर्व बिंदू सारख्या अंतरावर आहेत.
वरील दोन्ही विदाबिंदूंतील माहिती ही समजा एकसमयावच्छेदेकरून जरी उपलब्ध असली, तरी, ती माहिती ‘व्यास आणि त्रिज्या यांचे प्रमाण २:१ असते’ ही बाब प्रस्थापित करण्याकरिता पुरेशी आहे, असे (मला) वाटत नाही. ‘कोठलीही व्यासाची रेषा ही त्रिज्येच्या व्याख्येत उल्लेखिलेल्या तथाकथित “केंद्रबिंदू”तून जाते’, ही अधिकची बाब जोवर प्रस्थापित होत नाही, तोवर (माझ्या कल्पनेप्रमाणे) ‘व्यास आणि त्रिज्या यांचे प्रमाण २:१ असते’ ही बाब प्रस्थापित करता येऊ नये, अत एव स्वयंस्पष्ट नसावी.
थोडक्यात,
व्यवहारात रोज किती तरी वर्तुळाकार वस्तू दिसतात. उदाहरणार्थ, स्वयंपाकघरातल्या कित्येक वस्तू. त्यांची त्रिज्जा किती हे सांगायचं तर मी व्यास किती असेल याचा अंदाज घेऊन तो अर्धा करून सांगेन.
असे वर जे तुम्ही म्हणालात, ते तुमचे म्हणणे बरोबरच आहे. परंतु, (वर्तुळाचा व्यास तथा त्रिज्या या दोन्ही संकल्पना माहीत झाल्यानंतरसुद्धा) आदिमानवास या फॉर्म्युलाप्रत पोहोचावयास काही काळ लोटला असला पाहिजे, असा माझा अंदाज आहे.
(अर्थात, वरील सर्व हे माझे तर्क आहेत. (आणि, as far as my तर्काs go, बऱ्यापैकी instant तर्क आहेत.) पाहा कितपत पटण्यासारखे वाटतात ते.)
असो चालायचेच.
त्रिज्या आधी का व्यास
त्रिज्या आधी का व्यास हा प्रश्न इंटरेस्टींग वाटला. यावर कोपायलटने व्यास हे उत्तर दिले. त्यासाठी आयआयटी मुंबईच्या गणित विभागाच्या दानी यांच्या पेपरचा दाखला दिला. (लिमये सरांच्या कदाचित ओळखीचे असावेत) इतिहासकारांच्या मते, व्यास ही संकल्पना त्रिज्येपेक्षा आधी मानवाला ज्ञात झाली: व्यास केंद्रबिंदूतून जातो का नाही ते कदाचित माहीत नसेल. पण व्यासामुळे वर्तुळाचे समसमान भाग होतात हे त्यांना कळले होते.
बॅबिलोनियन शिलालेख (c. 1900–1600 BCE) मध्ये परिघ = 3 × व्यास असा उल्लेख आहे.
बौधायन सूत्र (800 BCE): व्यासं एकपदं परिधिं त्रिपदं विधाय यूपचिद्रं निर्मिमीत। (बौधायन सूत्र 4.15). परिघ म्हणजे साधारण व्यासाच्या तिप्पट हे ज्ञात असावे.
दोहोत त्रिज्येचा उल्लेख नाही, पण व्यास आणि परिघ यांचा संबंध स्पष्ट आहे. वर्तुळ निसर्गात सहजासहजी दिसत नाही, चंद्र सूर्य, पाण्यावरचे तरंग इ. अपवाद वगळता. त्यामुळे चाकाचा शोध तसा उशीराच लागला. आणि त्याचा प्रथम उपयोग पॉटरीसाठी होता. रथाचं / गाडीचं चाक म्हणून ते नंतर उपयोगात आलं.
Foot fetish!
अशी छान गेयता असलेली कविता वाचून बराच काळ झाला. मस्त जमली आहे.