गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा - 5: माशी ग माशी, कुठे ग जाशी

रेने देकार्त (Rene Descartes) (1596 - 1650) हा फ्रेंच अभ्यासक मुळात तत्वचिंतक होता. "मला वाटते, म्हणून मी आहे" (I think, therefore I am) असे विधान करणार्‍या तत्वज्ञानी तत्वज्ञानाव्यतिरिक्त जीवशास्त्र, भौतिकी, विश्वरचनाशास्त्र, व गणित या अभ्यासक्षेत्रातही अभूतपूर्व योगदान दिले आहे. देकार्त यानी आखून दिलेल्या संशोधन पद्धतीचाच 18व्या शतकातील युरोपमधील संशोधक अवलंबन करत होते. देकार्त यानीच अंकगणितातील बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार साठी +, -, x व ÷ या संज्ञाना रूढ केले. अजूनही जगभर अंकगणितासाठी याच चिन्हांचा वापर होत आहे.

त्यानी दिलेल्या योगदानांपैकी गणितातील भूमिती व बीजगणितांचे एकत्रीकरण हे सर्वात महत्वाचे योगदान ठरेल. त्याकाळी भूमिती व बीजगणित हे एकमेकाशी संबंध नसलेले व अत्यंत वेगवेगळे क्षेत्र असे समजले जात होते. 17व्या शतकापर्यंत समीकरणांना आलेखाद्वारे मांडण्याची रीत माहित नव्हती. भूमितीतील काही तुरळक अपवाद वगळता वर्तुळ, चौकोन, सारख्या नियमित आकारांना समीकरणातून मांडता येते याची कल्पना नव्हती. रेने देकार्त यानी यांची सांधेजोड केली व हा गणितातील एक महत्वाचा टप्पा समजला जातो. या एकत्रीकरण झालेल्या अभ्यासक्षेत्राला विश्लेषक भूमिती (analytic geometry)या नावाने आता ओळखले जाते. आलेखातील सहनिर्देशक अक्षांचा वापर करून त्यावरील बिंदूंचे नेमकेपणाने सूचित करण्याची कल्पना सर्व प्रथम रेने देकार्तला सुचली. गंमत म्हणजे ही कल्पना तो खोलीत उडत असलेल्या गांधिल माशीच्या निरीक्षणातून सुचली होती. त्याचीच ही एक काल्पनिक कथा.

17व्या शतकात संपूर्ण युरोप म्हणजे एक रणांगण होते. ठिकठिकाणी युद्धजन्य परिस्थिती होती. वर्षानुवर्षे लढत राहिलेल्या या लढायामुळे युरोपमधील जनजीवन विस्कळित झाले होते. 1619च्या हिवाळ्यात प्रिन्स ऑफ ऑरेंजचे सैन्य तळ ठोकून हिमवर्षाव थांबण्याची वाट बघत होती. रस्ते खराब झाले होते. रस्त्याच्या कडेला सैनिकांसाठी तंबू ठोकलेले होते. व महिनोन महिने येथेच तळ ठोकल्यामुळे ते कायमस्वरूपी आहेत असे वाटत होते. त्यांच्या भोवतीच सैन्यातील अधिकार्‍यांच्यासाठी इमारतीत व्यवस्था केली होती.

त्या दिवशी कर्नल गास्पर घाईघाईने तेथे आला.
"सार्जंट, कॅप्टन देकार्त उठला आहे की नाही, बघ"
"सर, मला नाही वाटत ते उठले असतील. आताशीच अकरा वाजत आहेत." ड्यूटीवरील सार्जंट युनीफॉर्म सावरत व सॅल्यूट करत कर्नलला सांगत होता. परंतु कर्नल हार मानणार्‍यापैकी नव्हता. त्रासिक चेहर्‍यानेच "येथील सर्व सैनिक सकाळच्या सहा वाजायच्या आधी परेड ग्राउंडवर हजर असतात.... " कर्नल पुटपुटत होता.
"परंतु कॅप्टन देकार्त कधीच लवकर उठत नाहीत. सर. ते लहानपणी आजारी होते. व झोप हा त्यावरचा उपाय झाला आहे."
"तो इतका चांगला अधिकारी नसता तर...." स्वतःशीच पुटपुटत "मला त्याची खोली दाखव, मला त्याच्याशी बोलायचे आहे." अशी ऑर्डर त्यानी दिली. सार्जंट काही करू शकत नव्हता. दरवाजा ढकलून कर्नल गास्पर देकार्तच्य़ा खोलीत शिरला. एक हात डोक्याखाली ठेऊन वरच्या छताकडे बघत देकार्त झोपला होता. कर्नल आत आला तरी तो स्वतःच्या तंद्रीतून बाहेर पडायला तयार नव्हता. तो काही उठला नाही, सलाम ठोकला नाही. व यात काही आश्चर्य वाटण्यासारखे नाही हेही कर्नलला पक्के ठाऊक होते. देकार्त हसतच "वेलकम कर्नल, सकाळी सकाळी मला एक गमतीशीर स्वप्न पडले होते. " असे सांगू लागला.
"आज दुपारी सर्व ऑफिसर्सची एक तातडीची बैठक आहे." कर्नल गास्पर.
"आज... आज दुपारी?" देकार्त बिछान्यातून उठत उठत विचारत होता.
24 वर्षाचा हा अधिकारी दिसायलाही हडकुळा होता. मात्र त्याच्या चेहर्‍यावर नाक उठून दिसत होते. डोळे कायमचे प्रश्नार्थक... “आज दुपारी.....? “
"हो, आजच." कर्नल दरवाज्याकडे जाता जाता "मीटिंगला उशीर करायचे नाही..." .
"परंतु, कर्नल, ....." देकार्तचा विनवणीचा सूर. कुरळे केस खांद्यावर रुळत होते. " सर, मला पडलेल्या स्वप्नाबद्दल तुम्हाला सागायचे होते. .... स्वर्गातून आलेला संदेश... "
"काय बरळतोस... कसला संदेश... कसला स्वर्ग..."
"मला खात्री आहे. स्वप्नात कुठून तरी लांबून आवाज येत होता. चर्च व शाळेच्या मधल्या फटीतून जोर जोराने सोसाट्याचा वारा वाहत होता. कदाचित ही वादळाची पूर्व सूचना असावी. सगळीकडे लोकांची धावपळ होती. आरडाओरडा, गोधळ. परंतु मला त्याची भीती वाटली नाही. वादळ मला काहीही करू शकत नव्हती. कारण, माझ्या हातात चावी होती. स्वर्गातून उतरलेली ही चावी..."
"चावी..?" कर्नल पूर्ण वैतागला होता. देकार्तच्या गोष्टींना ना बूड ना तळ." कसली चावी...?"
कालच्या पार्टीतील दारूची नशा उतरलेली दिसत नाही सार्जंट मनातल्या मनात पुटपुटत होता.
"निसर्गाचे रहस्य उलगडून दाखविणारी चावी. " देकार्त स्वतःच्या तळहाताकडे बघत म्हणाला. कदाचित स्वप्नातल्या चावीचा शोध घेत असावा.
"परंतु ते आहे तरी काय?" कर्नल गास्परला उत्तर हवे होते.
"बीजगणित व भूमिती यांची सांधेजोड करणारी, त्याचे एकाच विषयात जोडणारी व यातून निसर्गाचे रहस्य उलगडून दाखवणारी ही गणिताची चावी आहे."
"गणित... गणित होय.. " कर्नलला हायसे वाटले. "दुपारी वेळेवर हजर रहा." बूट आपटत आपटत कर्नल बाहेर गेला.

"तुला काय वाटते?" देकार्त सार्जंटला विचारत होता.
सर, मी एक साधा शिपाई. मला तुमच्या स्वप्नातल्या घडामोडी कशा काय कळणार?" सार्जंट.
. बीजगणित व भूमितीला जोडून टाक..... . देकार्त बडबडत होता. . याचा नेमका अर्थ काय... एकमेकांना जोडणारा एकही सामायिक घटक त्यांच्यात नाही.. गणिताच्या अभ्यासकांना हे नक्कीच माहित असायला हवे. ... .

पुन्हा एकदा बिछान्यावर अंग टाकला. छताकडे बघत होता. . याचा अर्थ काय? ईश्वराचा हा संदेश मला काय करायला हवे, हेच ते सांगत आहे.... परंतु नेमके काय..? .

छतातील प्लास्टर निसटत्या स्थितीत होते. गांधिल माशी आत बाहेर करत होती. उडत होती. त्याच्या उडण्याच्या मार्गाला एक आकार होता. बीजगणित व भूमितीचे एकत्रीकरण मी कसे काय करू शकतो? त्या क्षणी तेथे उडत असलेल्या माशीला त्याचे उत्तर माहित होते की काय असे वाटत होते. परंतु माशी उत्तर सांगण्याच्या स्थितीत नव्हती.

दीड वर्षानंतर देकार्तची बदली बव्हेरियन सैन्य तुकडीत झाली. या तुकडीचा बहुतेक वेळ प्रत्यक्ष लढाईतच जात होता. शत्रूबरोबरची ही लढाई अत्यंत अटीतटीची होती. प्राग शहरात शेकडोनी सैनिक मारले गेले. प्रत्येक इंच न इंच जमिनीसाठी शेकडो सैनिकांची कत्तल होत होती. व जिंकलेली ती जमीनसुद्धा रक्ताने काळवंडलेली होती.

बव्हेरियन सैन्याने शहराला वेढा घातला होता. परंतु मध्यभागी असलेल्या भक्कम तटबंदीमुळे शहराचा कब्जा त्यांना मिळत नव्हता. तोफा व बंदूकींचा मारा सतत चालू होता. भिंतींना तडे पाडण्यासाठी प्रयत्न केले जात होते. परंतु रात्र झाली की त्या भिंतींची दुरुस्ती केली जात होती व शत्रू सुरक्षित राहून या सैन्यावर तोफांचा मारा करायचा. काही वेळा दिवसाढवळ्या चाल करायचे. बव्हेरियन सैन्याला माघार घ्यावी लागत होती. तोफांना मागे सरकावे लागत होते. या तटबंदीच्या भोवतीच कित्येक दिवस लढाई चालू होती.

ऑगस्ट 1620 मधील एका दुपारी बव्हेरियन सैन्याच्या तोफा तटबंदीच्या भिंतीवर डागल्या जात होत्या. सैनिक ऑर्डरची वाट बघत उभे होते. हल्ला करायचे व सुरक्षित ठिकाणी मागे फिरायचे याची तयारी केली होती.
मेजर हॅफ्लेन तोफांच्या एका तुकडीचा नेतृत्व करत होता.
"कॅनन्स, वन् थ्रू फाइव्ह, फायर..."
जमीन हादरली. तोफेच्या तोंडातून गोळे बाहेर पडले. व भिंतीला मोठी फट पाडून दगड विटासकट त्या खाली आपटल्या. बव्हेरियन सैनिक प्रोत्साहन देत होते.
"सिक्स थ्रू थर्टीन... लोड. वन् थ्रू फाइव्ह, रिकव्हर यूवर पीस.... " ऑर्डरवर ऑर्डर.
"मेजर हॅफ्लेन, एक मिनिट... "
मेजर मागे न बघताच "देकार्त, प्लीज आता नको. मला वेळ नाही.... "
देकार्त एका लहान मुलासारखा हसत हसत त्याच्या मागे जाऊन "तुला नक्कीच आवडेल..." असे म्हणाला.
"सिक्स थ्रू थर्टीन, फायर..." मेजर हॅफ्लेन,

पुन्हा एकदा जबरदस्त आवाज आला. गंधकमिश्रित धूर सगळीकडे पसरू लागला. नाकातोंडात जाऊ लागला. बघता बघता गोळे भिंतीवर आपटून इजा न करता परत आले. यात काही सैनिक चिरडले गेले. धूळ पसरत होता. मेजर हॅफ्लेनला आपलेच सैनिक मेल्याचे दुःख नव्हते. बदली सैनिकांना तोफांचा ताबा घेण्याची ऑर्डर त्यानी दिली.
"मेजर, तोफेची चाकं ढिली झाले आहेत" सैनिकांची तक्रार.
"बदलून टाक व तोफा तयार ठेव, वन् थ्रू फाइव्ह, फायर..." मेजर हॅफ्लेन
मेजरच्या जवळ असलेल्या एका छोट्या टेकडीवर देकार्त उभा राहिला. तेथे कर्नलही उभा होता. देकार्तच्या युनिफॉर्मवर एकसुद्धा सुरकुती नव्हती. लढाईसाठी यायच्याऐवजी कुठल्यातरी एखाद्या पार्टीला आल्यासारखा त्याचा पोषाख होता.
"सकाळी माझ्या बिछान्यात पडलो होतो. व माझ्या लक्षात आले की ... ती खरोखरच त्रिमितीतील वस्तू होती."
"वन् थ्रू फाइव्ह, फायर... "

तोफेच्या तोंडातून बाहेर पडणारे गोळे धूर ओकत बाहेर येत होते. धूळ, गंधकमिश्रित धूर, व कानठळ्या बसणारा आवाज जणू मृत्युची चाहूल देणारे होते.
या सर्व गोंधळातसुद्धा देकार्तला जे काही सांगायचे होते ते सांगू लागला. "नियमित बहुभुजाकृती असलेल्या त्रिमितीतील वस्तूत कोपरे (vertices), पृष्ठक (faces) व भुजा (sides) यांचा एकमेकाशी संबंध आहे, हे माझ्या लक्षात आले आहे. मेजर, कोपरे अधिक पृष्ठक यातून भुजा वजा केल्यास त्याचे उत्तर नेहमीच 2 येईल. खरोखरच तू कुठलिही भुजाकृती घेऊ शकतोस. (f+v-s=2) "
त्याचा चेहरा माखलेला झाला. पोषाख काळाकुट्ट झाला. नाकातोंडात धूर जात होता.
"हे असले काही तरी सांगण्यासाठी या अटीतटीच्या लढाईच्या वेळी तू आलास की काय?" मेजरचे रागीट उद्गार.
"हे बघ, भूमितीतील आकारांचे बीजगणितातील समीकरणात मांडणी होऊ शकते हे यावरून सिद्ध होत नाही का? भूमिती व बीजगणित यांच्यात नक्कीच काही नातं असलं पाहिजे. "
मेजर हॅफ्लेन ऐकण्याच्या मनस्थितीत नव्हता. मागे फिरून "सिक्स थ्रू थर्टीन, फायर..." त्यानी आर्डर दिली.
तटबंदीच्या पलीकडून मोठा आवाज ऐकू आला. तेथील बिगूल वाजत होते. मेजर देकार्त व कर्नल उभे असलेल्या टेकडीवर चढत "सर, ते आपल्यावर हल्ला करणार आहेत. त्यांना डाव्या बाजूने हल्ला करू दे. व आपण त्यांच्यावर बंदूका रोखू."
कर्नल देकार्तला गदगदा हलवत "कॅप्टन, तुझ्या गणिताच्या अभ्यासात व्यत्यय तर येत नाही ना? दुपारीसुद्धा ही लढाई अशीच चालू राहणार आहे."
"नाही सर, दुपार झाल्यानंतर मला काही सुचत नाही. नवीन विचारांसाठी सकाळची वेळ सर्वात उत्तम. बिछान्यावर पडल्या पडल्या काही तरी सुचतेच." कर्नल काहीही न बोलता सैनिकांच्या मागे धावत धावत गेला.

पुढचा पूर्ण आठवडा याच धुमश्चक्रीत निघून गेला. अशा गोंधळातसुद्धा देकार्त बिछान्यावर पडून काही तरी विचार करत होता. नजर छपराकडे. माशी छपरापर्यंत जात होती. घिरकी घेत होती. खाली वर करत होती. देकार्तला या माशीच्या उडण्याचेच कौतुक वाटू लागले.

देकार्त पडल्या पडल्या बडबडू लागला. ही माशी कमानीच्या आकारात उडते. वर्तुळाच्या आकारात उडते. हवेत वेगवेगळे आकार काढते. व हे आकार भूमितीतील आकारांशी मिळते जुळते आहेत, हेच तिला माहित नाही.

हाच धागा पकडून तो विचार करू लागला. ही माशी कशी कशी जाते त्या आकारातील प्रत्येक बिंदूला मी ओळखू शकलो तर त्या कमानीच्या आकारासाठी मी एक समीकरण लिहू शकेन. असे म्हणत असतानाच काही तरी चमत्कार झाल्यासारखे त्याला वाटू लागले. भूमितीय आकारातील प्रत्येक बिंदूचे वर्णन करण्यासाठी बीजगणितातील समीकरणांचा वापर करत येईल. स्वतःच बडबडत होता.

डोक्यात काही तरी सणकन शिरल्यासारखे त्याला वाटले. हे मी करू शकलो तर भूमितीतील समस्यांच्या उत्तरांसाठी बीजगणिताचा वापर करता येईल. याचाच शोध मला घ्यायचा आहे व हीच ती चावी आहे.

देकार्तने आतून कडी लावून घेतली. व माशी कशी कशी उडते याकडे लक्षपूर्वक बघू लागला. माशीच्या उडण्याच्या वाटेवरील प्रत्येक बिंदूचा मी मागोवा कसा घेऊ शकतो? त्या बिंदूंचा वापर करून मी समीकरणात कशी काय मांडू शकतो? त्याच्या डोक्यात अशा प्रश्नाव्यतिरिक्त काही शिरतच नव्हते.
तितक्यात माशी भिंतीवरून खाली खाली सरकू लागली.
आता हे सोपे झाले. छतापासून खाली 2 फूट व मागच्या भिंतीच्या एका बाजूपासून 5 फूटावर ही माशी आता आहे. माशीने पुन्हा एकदा झेप घेतली. छताच्या मध्यापर्यंत जाऊन ती सर्रकन खाली घसरली.
सुचलेल्या या कल्पनेचाच त्याला धक्का बसला. देकार्तला माशाच्या मार्गाचा मागोवा घेणे सोपे आहे असे वाटू लागले. खोलीतील कुठल्याही बिंदूचा तो वर्णन करू शकत होता. छत, जमीन, मागील भिंत वा बाजूची भिंत यांच्या सहाय्याने माशी प्रत्येक क्षणी नेमके कुठे आहे, हे अंतर मोजून सांगणे शक्य होणार होते. त्यावरून माशीचा उडण्याचा मार्ग व त्याचा प्रत्यक्ष आकार कळणार होते. आपल्याला सुचलेल्या कल्पनेवर तो खूश होता व त्यावर त्याचा पूर्ण विश्वास होता.
एवढेच नव्हे तर भितींच्या पृष्ठभागांचीसुद्धा गरज भासणार नाही पृष्ठभागाऐवजी कोपर्‍यातील रेषासुद्धा चालले असते. छत, जमीन, मागील भिंत वा बाजूची भिंत एकमेकांना कुठे छेदतात त्या बिंदूपासून काटकोन करून तीन रेषा ओढल्यास आलेखातील अक्ष तयार होतील व छतापर्यंत ती रेघ जाईल.

एका निसटत्या क्षणात कोडे सुटल्यालारखे त्याला वाटले. ग्रिडमधील रेषा वापरून खोलींची रचना दाखवता येईल. व या रेषांच्या सहाय्याने बिंदूंचे स्थान निर्देश करता येईल, हे त्याच्या लक्षात आले. त्याकाळचे नकाशे बनविणारे अशा प्रकारच्या कोऑर्डिनेट्सचे सर्रासपणे वापर करत होते. देकार्त यांनीसुद्धा त्यांचाच वापर करण्याचे ठरवले व स्वतःच्या नावावरून या अक्षांना कार्टेसियन कोऑर्डिनेट्स असे नाव दिले. या अक्षांच्या व बिंदूंच्या सहाय्याने समीकरणात रूपांतर केल्यास कुठलीही भूमितीय आकृती वा वक्र रेषा ओळखणे शक्य झाले. या बिंदूंच्या साखळीचे समीकरणात मांडता येईल याची त्याला खात्री होती.

अशा प्रकारे भूमिती व बीजगणित यांचे एकत्रीकरण झाले व विश्लेषक भूमिती या गणितातील नवीन शाखेचा उदय झाला व विश्वाचे रहस्य शोधण्याची चावी सापडली.

रेने देकार्तला हे सर्व जगासमोर आणून प्रसिद्ध करण्यासाठी आणखी 25 वर्षे लागली. त्याच्या तत्वज्ञानाच्या पुस्तकात याबद्दलचे वर्णन आहे.

गेली 300 वर्षे या विश्लेषक भूमितीचा अभ्यास होत असून गणितातील गुंतागुंतींच्या व क्लिष्ट समस्यांना उत्तरं शोधण्यासाठी याचा मोठ्या प्रमाणात वापर होतो. भूमितीच्या अभ्यासाचा प्रारंभच या कार्टेसियन कोऑर्डिनेट्सपासूनच होतो व त्यासाठी आपण रेने देकार्तला धन्यवाद द्यायला हवे.

संदर्भ: मार्व्हेल्स ऑफ मॅथ: फॅसिनेटिंग रीड्स अँड ऑसम ऍक्टिव्हिटीज, ले: केंडाल हॅवन
........क्रमशः