अंदाज करा - एक अज्ञात राशी
आपण गेल्यावेळी भारतातल्या सेलफोनच्या प्रमाणाविषयी काही अंदाज बांधण्याचा प्रयत्न केला. त्यात दोन गोष्टी प्रामुख्याने पाहिल्या.
१. हे प्रमाण अत्यंत कमी असतं तेव्हा सुरूवातीला एक्स्पोनेन्शियल ग्रोथने किंवा चक्रवाढीने वाढतं. चक्रवाढ म्हणजे ती संख्या विशिष्ट पटीने वाढण्याचा काळ सारखा असतो. म्हणजे उदाहरणार्थ एखादी राशी दरवर्षी सव्वापट होत राहाते. किंवा दर तीन वर्षांनी दुप्पट होते. असं असल्यास नवव्या वर्षी ती (तीन वर्षांनी दुप्पट) गुणिले (तीन वर्षांनी दुप्पट) गुणिले (तीन वर्षांनी दुप्पट) या रीतीने आठपट होईल.
२. सुमारे ३० ते ४० टक्क्यांपर्यंतची वाढ ही चक्रवाढीची असते. नंतरची सुमारे ७० ते ८० टक्क्यांपर्यंतची वाढ ही सरळवाढीने किंवा लिनीयर ग्रोथने होते. त्यानंतर ही वाढ मंदावते आणि लॉगॅरिथमिक ग्रोथप्रमाणे हळूहळू वाढत जाते.
वरील आलेखात एक अज्ञात राशी दिलेली आहे. केवळ गणितंच करायची असल्यामुळे ती राशी नक्की काय आहे हे आत्ता तरी तितकंसं महत्त्वाचं नाही. सेलफोनच्या प्रमाणासारखीच ती एक खरी, आणि मोठ्या आकड्यांची राशी आहे एवढंच आपल्यासाठी पुरेसं आहे. तसंच तिची वरची मर्यादा ही जवळपास १०० टक्के आहे. त्यापेक्षा ती वाढू शकत नाही. तेव्हा पहिली काही वर्षं जर ती चक्रवाढीने वाढताना दिसत असेल तर पुढची काही वर्षंही तशीच वाढेल हे गृहितक अगदीच चुकीचं नाही. तेव्हा प्रश्न असा आहे की ही राशी
१. १०%
२. २५%
३. ५०%
कधी होईल? सोयीसाठी वरील आलेख लॉगॅरिथमिक स्केलवर दिलेला आहे. त्यामुळे चक्रवाढीचे कर्व्ह हे सरळ रेषेप्रमाणे दिसतात. तसंच सोयीसाठी गेल्या वेळेला पाहिलेला सेलफोनच्या प्रमाणाचा आलेखही त्याच स्केलवर दिलेला आहे. (हिंट - या राशीच्या चक्रवाढीचा दर हा सेलफोनच्या चक्रवाढीच्या दरापेक्षा किंचित कमी आहे)
काही उत्तरं आल्यावर मी माझे अंदाज सांगेनच. तसंच ही राशी काय आहे हेही सांगेन.
Taxonomy upgrade extras
इथे आशावादाचा काहीच संबंध
इथे आशावादाचा काहीच संबंध नाही. ही राशी 'चांगली' आहे की 'वाईट' आहे याबद्दल मी काहीच म्हटलेलं नाही. निव्वळ गेली पाच-दहा वर्षं एखादी राशी चक्रवाढीने वाढत असेल आणि तिची किंमत एखाद्या टक्क्याच्या आसपास असेल तर पुढची वाढही चक्रवाढीने होईल हे गृहित धरायला हरकत नाही एवढंच माझं म्हणणं आहे. अनेक राशींच्या बाबतीत हे दिसून आलेलं आहे. तुम्हाला अशी एखादी राशी माहित असेल, जिची वाढ याच्या विपरित होत असेल तर जरूर सांगा. बदलणाऱ्या राशींसाठी इतिहासावरून भाकितं कशी करायची आणि त्यासाठी आवश्यक गणितं कशी करायची हे समजून घेण्याचा या संपूर्ण लेखमालेचा उद्देश आहे. तेव्हा नियम ठरवताना अपवाद आणि नियमांना बाधा आणणारा विदा तपासून पाहाणंं आवश्यक असतं.
निव्वळ गेली पाच-दहा वर्षं
निव्वळ गेली पाच-दहा वर्षं एखादी राशी चक्रवाढीने वाढत असेल आणि तिची किंमत एखाद्या टक्क्याच्या आसपास असेल
सर्व राशींना असा अंदाज लावता येईल का?
उदा. एकूण संख्या लहान असलेली पण उदाहरणार्थच म्हणून एक राशी घेऊ. कोंकणात दरवर्षी विंचूदंशाने मरणारी माणसे. ही संख्या लोकसंख्येच्या वाढत्या प्रमाणानुसार कुठेतरी खाली कमी व्हॅल्यूवर पण समांतर असेल. (विंचू कमी झाले नसतील असं गृहीत धरुन, कारण विंचू बराच टिकाऊ प्राणी आहे).
अचानक प्राझोसीन किंवा तत्सम औषधाने हे टाळता येतं असा शोध डॉ बावस्कर किंवा कोणाला लागला. हे औषध सहज उपलब्ध व्हायला काही काळ गेला आणि त्यानंतर हा रेट झपाट्याने उतरत उतरत शून्याजवळ गेला. अनेक दशके हा रेट लोकसंख्यावाढीला बांधून वाढत होता. तो पुढची काही वर्षे तसाच वाढत राहील असा अंदाज त्या काळात कोणी केला असता तर तो तर्काधारित होता असं म्हणता येणार नाही.
असं अनेक बाबतीत म्हणता येईल.. अत्यंत महत्वाचा ब्रेकथ्रू कधी कोणत्या क्षणी शोधला जाईल हे सांगता येत नाही. कधीकधी एक ग्राफ पूर्ण ऑब्सोलीट होऊन इतरच कुठल्यातरी नव्या सारणीत परिवर्तित होऊ शकतो, एका नव्या स्टार्टिंग पॉईंटसह.
पेजर्सच्या खपाचा ग्राफ असा चढत्या भांजणीत असताना मोबाईल उपलब्ध झाले म्हणून रातोरात नाही तरी सहा महिन्यात तो ग्राफ पार भुईकडे चालायला लागू शकतो. त्यासाठी पुढची काही वर्षं तो असाच चढत राहील असं म्हणता येत नाही.
त्यामुळे सर्व स्थिती जशी आहे तशी राहिली तरच वरीलप्रमाणे विधान करता येईल.
सर्व ऑब्जेक्शनं मान्य आहेत.
सर्व ऑब्जेक्शनं मान्य आहेत. किंबहुना अशी चर्चा मला कुठेतरी अपेक्षित होती. 'अंदाज करा' ही माला सुरू केली तेव्हा एकंदरीतच भाकितं कशी करावीत, त्यासाठी गणितं कशी करावीत, भाकितं किती प्रमाणात बरोबर येण्याची अपेक्षा ठेवावी, चुकीची भाकितं कशी येऊ शकतात, आपल्या इंट्युइशनपेक्षा सत्यपरिस्थिती कशी वेगळी असते, आणि इंट्युइटिव्ह भाकितं का चुकतात वगैरे वगैरे विषयांवर थोडा ऊहापोह व्हावा हीच इच्छा होती - अजूनही आहे.
कुठचंही एक्स्ट्रापोलेशन करताना 'आत्तापर्यंत चालू असलेली परिस्थितीच चालू राहिली तर....' असा एक मोठ्ठा 'तर' असतो. या तर चा विचार न केल्यामुळे अनेकांचे हात स्टॉक मार्केटमध्ये पोळलेले आहेत. 'पुढच्या महिन्यात कुठलातरी अॅस्टरॉइड पृथ्वीवर आदळून मानवजात जवळपास नष्ट होणार नाही' अशी गृहितकं आपण कायमच घेऊन वावरत असतो. पण याचा अर्थ भाकितं करूच नयेत असंही नाही. मर्यादा जाणून घेणं आणि त्या मर्यादांमध्ये राहून, त्या जाहीर करून भाकितं केली तर त्यातून काहीतरी घेण्यासारखं असतं.
वर दिलेला सेलफोन्सचाच विदा पाहा. २००० - २००३ साली सेलफोन्सचं प्रमाण वाढतं पण अत्यंत नगण्य होतंं. जर कोणी २००३ साली म्हटलं असतं की '७ वर्षांत हे प्रमाण ५० टक्क्यावर जाईल - जवळपास सगळ्या सज्ञानांच्या हातात सेलफोन असेल' तर लोकांनी त्याला वेड्यात काढलं असतं. तंत्रज्ञान कसं महाग आहे, लोकांकडे पैसे कसे कमी आहेत, आणि एवढ्या प्रचंड प्रमाणावर सेलफोन निर्माण करणं केवढं कठीण आहे वगैरे अनेक युक्तिवाद आले असते. पण ही वाढ घडली. असेच बदल अनेक क्षेत्रांत घडत आहेत. या बदलांचा केवढा प्रचंड परिणाम होणार आहे याबद्दल एक डोळसपणा येण्याची गरज असते.
अचानक प्रतिकूल परिस्थिती वगैरे शक्य असतंच. पण त्याचबरोबर आपल्याला अनेक गोष्टींमध्ये बरोब्बर एस कर्व्हनुसार वाढ होताना दिसते. उदाहरणार्थ भारतातल्या साक्षरांचं प्रमाण - अत्यंत सुंदर एस कर्व्ह आहे. इंन्फंट मॉर्टॅलिटी रेट - पुन्हा एस कर्व्ह. किंबहुना या बाबतीत अमेरिकेचा आणि भारताचा कर्व्ह सुमारे ६५ वर्षांच्या अंतराने हुबेहुब रिपीट झालेला आहे. तेव्हा कर्व्हचा सुरूवातीचा भाग तपासून 'अमेरिकेत झालं तेेच भारतातही होईल' असं गृहितक पूर्णपणे निर्धोक नसलं तरी खूप उपयुक्त ठरतं. आणि जरी काही गोष्टी वाटेत येऊन दिशा बदलली, किंवा दर बदलले, तर आपल्याला त्यासाठीचं नक्की कारण कुठे शोधायचं आणि ते किती महत्त्वाचं आहे याबद्दल अधिक चांगले आडाखे बांधता येतात. त्यासाठी ही भाकितं एक प्रकारची बेसलाइन ठरतात.
मला प्रश्न नीट कळला नाही, पण
मला प्रश्न नीट कळला नाही, पण 'या सर्व गोष्टी एस कर्व्हमध्ये बसणार म्हणजे नक्की काय?' असा आहे असं गृहित धरतो.
सेलफोन्सची वाढ एस कर्व्हमध्ये होते म्हणजे कशी होते हे आपण बघितलं. एकदा कर्व्हचा अंदाज आला की किती वर्षांत ती राशी ऐशी नव्वद टक्क्यांपर्यंत पोचेल याबद्दल भाकित करता येतं. सेलफोन्सची वाढ प्रचंड वेगाने झाली. म्हणजे १५ वर्षांत जवळपास शून्यापासून ते जवळपास ८०% पर्यंत - सर्वांच्या हातात सेलफोन पोचण्याइतपत - प्रगती झाली. याउलट साक्षरतेची वाढीचा एस कर्व्ह हा त्याच पातळीवर जायला ९० वर्षं लागली.
आता या एस कर्व्हमध्ये बसण्याचा आणि त्याआधारे भाकित करण्याचा फायदा काय? तर आपल्याला असं म्हणता येतं की सुमारे ३० वर्षांनी भारतात
- ९९ टक्के साक्षरता
- इंन्फंट मॉर्टॅलिटी रेट १० च्या खाली
- ९० टक्के घरांमध्ये फ्रिज
- ५० टक्के घरांत गाड्या
- आयुर्मान ८०
अशा गोष्टी दिसतील. इथे आकडे बऱ्यापैकी ढोबळ आहेत, निव्वळ काय प्रकारची परिस्थिती असेल ते सांगता येईल. या सगळ्या निकषांवर इतर प्रगत देश कुठे आहेत, आणि त्यांना मिळत असलेलं सरासरी जीवनशैली भारतीयांना कधी अंगिकारता येईल, याबद्दल काही ठोस विधानं करता येतील. थोडक्यात भारत 'प्रगत देश' कधी बनेल याचा अंदाज करता येईल.
तापमानाचा आलेख
हा प्रतिसाद खवचट आहे हे स्पष्टपणे सांगून पुढे लिहितो.
==================
खालिल टेबल पहा. त्यात १८८० ते १९३० पर्यंत पृथ्वीचे तापमान कसे वाढत आहे हे लिहिले आहे. आता याच गतीने सगळं झालं तर २०१५ पृथ्वीचं काय व्हायला पाहिजे होतं असं तुम्हाला वाटतं ते सांगा.
| BACK List of illustrations HOME |
The Discovery of Global Warming August 2003 |
|
Callendar's graphs of temperature, the best made up to that time, showing a rise around the world from the 1880s to the mid 1930s.
From Quarterly J. Royal Meteorological Society 64, 223 (1938).
|
==========================
पृथ्वीचं एकूण आयुष्य ५०० कोटी वर्षे आहे. पैकी किमान ३५० कोटी वर्षे जीवसृष्टी प्रूथ्वीवर असेल असे लोक म्हणतात. पण वरील ग्राफप्रमाणे पृथ्वीचा पृष्ठभाग केव्हा वितळेल "याचा अंदाज अचूकच निघणार नाही असे म्हणता येत नाही"*.
*वाक्यरचनाशैलीश्रेय - राघा.
====================================================================
सबब प्रतिसाद खवचट, खोडसाळ पण मुख्यतः विनोदी आहे. गैरसमज नको.
खवचटपणा ठीकठाक जमला आहे. पण
खवचटपणा ठीकठाक जमला आहे. पण प्रॉब्लेम असा आहे, की पृथ्वी वितळेल की नाही यासाठी बराच जास्त विदा हवा. पुढच्या दोन दशकांसाठी मी गेल्या शतकातला ट्रेंड पुरेसा मानेन. पण त्यामुळे पृथ्वी वितळत वगैरे नाही. त्यासाठी पुढची काही शेकडो वर्षं लागतील. मग त्यासाठी गेल्या हजार वर्षांचा विदा लागेल. तिथे मला दिसतं की गेल्या दीड शतकात जेवढं तापमान वाढलं आहे तेवढं आत्तापर्यंत अनेक वेळा वाढून कमी झालेलं आहे. गेल्या दोन मिलियन वर्षांचा विदा घेतला, तर त्या कालखंडाच्या स्केलवर तापमानवाढ होतच नाहीये असं म्हणावं लागतं.
गेल्या दोन मिलियन वर्षांचा
गेल्या दोन मिलियन वर्षांचा विदा घेतला, तर त्या कालखंडाच्या स्केलवर तापमानवाढ होतच नाहीये असं म्हणावं लागतं.
गेल्या दोन मिलियन वर्षांचा विदा घेतला (इसवीपूर्व १०००० पर्यंतचा इ इ ), तर त्या कालखंडाच्या स्केलवर मानवी लोकसंख्येची वाढ होतच नाहीये असं म्हणावं लागतं. काळाच्या त्या बिंदूवर विधान केलं असतं तर? अर्थातच आजच्या लोकसंख्येबद्दलचं भाकित सपेशल रपटलं असतं.
http://www.new1.dli.ernet.in/data1/upload/insa/INSA_1/20005abf_222.pdf वरचा विदा घेतला असता तरी रपटलं असतं.
-----------------
आता १९०० ते २०१५ चा इतिहास घेतला तर लोकसंख्या १० कोटीची १२५ कोटी झाली आहे. अजून ५०० वर्षांनी याच हिशेबाने ती २५,००,००० कोटी इतकी निघते. २०१५ मधे यावर विश्वास ठेवायचा?
-------------------
गंभीरपणे सांगायचं तर मला नुसतं ग्राफ ग्राफ गणित म्हणून खेळायला आवडेल. तो नक्कीच रसाळ विषय आहे. पण त्याला व्यवहारातली परिमाणे जोडणे कशाला? व्यवहारातल्या मितींवर भाष्य करायला अनुषांगिक बाबींचं प्रचंड अध्ययन लागतं. तो खेळ जास्त रोचक असेल.
हे तपासून बघता यावं यासाठीच
हे तपासून बघता यावं यासाठीच मी लोकांना अंदाजे व/किंवा गणित करून भाकितं करायला सांगतो. माझा आत्तापर्यंतचा अनुभव असा आहे की विदा समोर असल्यास अंदाज अधिक बरोबर येतात. इन्फंट मॉर्टॅलिटीविषयी लोकांनी काढलेले अंदाज फार वेगवेगळे नव्हते. ज्यांनी काही ना काही फिट करण्याचा प्रयत्न केला, किंवा पाश्चात्य देशांत काय झालं आहे हे तपासण्याचा प्रयत्न केला त्यांचे अधिक मिळतेजुळते होते. विदा समोर नसतो तेव्हा 'छ्यः आपल्याला कुठे जमणार आहे अमेरिकेच्या बरोबरीने यायला' सदृश गटफीलिंगची उत्तरंही येऊ शकतात. तसंच इन्फंट मॉर्टॅलिटीचे आकडेच माहीत नसल्यास '१० पर्यंत कधी पोचेल अंदाज करा पाहू' या प्रश्नाला व त्याच्या उत्तराला फारसा अर्थ राहात नाही.
भारत 'प्रगत देश' कधी बनेल
भारत 'प्रगत देश' कधी बनेल याचा अंदाज करता येईल
प्रगत म्हणजे काय हे ठरवल्या शिवाय काही सांगता येत नाही. तुम्हाला मोबाईल ची संख्या, साक्षरता, बुलेट ट्रेन आहे की नाही वगैरे वर प्रगती ठरवायची असेल तर बोलणेच नको.
पण सभ्य, कायद्याने चालणारा, व्यक्ती स्वातंत्र्य असणारा, चांगली न्यायव्यवस्था आणि शिक्षणव्यवस्था असणारा, शोषण नसलेला, कमी भ्रष्टाचार असलेला ..... अश्या समाजाला तुम्ही प्रगत म्हणत असाल ( माझ्या प्रमाणे ) तर भारत तिथे कदापि पोचणे शक्य नाही. तिथे कशाला त्याच्या २०% लेव्हल ला पण पोचणे कधीच शक्य नाही.
वरची उदाहरणं, त्यातले आकडे हे
वरची उदाहरणं, त्यातले आकडे हे सगळं उदाहरणार्थ दिलेलं होतं. 'योग्य ते निकष वापरले आणि योग्य त्या प्रमाणात त्या विशिष्ट निकषांबद्दल भाकितं केली तर भारताची प्रगती प्रगत देशांच्या पातळीवर कधी पोचेल यासारख्या महत्त्वाच्या प्रश्नाचं उत्तर देता येतं' असा त्याचा अर्थ होता.
तुम्ही माझी 'भारताची प्रगती' ही लेखमाला वाचलेली नाही का? त्यात मी प्रगतीची व्याख्या ही वस्तूंवरून करायची नसून साक्षरता, सुशिक्षितता, आयुर्मान, बालमृत्यूंचं प्रमाण, सुबत्ता, समानता अशा मूलभूत निकषांवर केलेली आहे. या सर्वच निकषांवर गेल्या सात दशकांत केवढी प्रचंड प्रगती झालेली आहे हे दाखवून दिलेलं आहे. या सर्व सुधारणा झालेला समाज हा त्या आधीच्या समाजापेक्षा अधिक चांगला नाही असा युक्तिवाद करायला तुम्ही मोकळे आहात. पण ते करणं फार फार कठीण आहे.
जर सुधारणा होते आहे असं मान्य केलं तर ती विशिष्ट मर्यादेपलिकडे का पोचणार नाही हे सांगण्याची जबाबदारी तुमच्यावर येते.
अज्ञात राशी = सौर ऊर्जेचं वीजनिर्मितीतलं प्रमाण
या चर्चेच्या निमित्ताने अज्ञात राशी कुठची हे उघड करायला हरकत नाही.
अज्ञात राशी = सौर ऊर्जेचं एकूण वीजनिर्मितीतलं प्रमाण. आकडेवारी इथे आहे.
धनंजय यांनी दिलेलं उत्तर -
१०% - २०२१ (अंदाजे) २०१९ (गणित करून)
२५% - २०२३ (अंदाजे) २०२१ (गणित करून)
५०% - २०२५ (अंदाजे) २०२३ (गणित करून)
मीदेखील अंदाज करून उत्तरं काढल्यावर २०२१, २३, व २५ अशी आली होती. आणि गणित केल्यावर सुमारे २ वर्षं अलिकडे आकडे आले होतेे.
ब्लॅक स्वान इव्हेंटमुळे अंदाज काहीच्या काही चुकू शकतात हे वास्तव उरतेच.
यावर दोन प्रश्न विचारता येतात -
किती अंदाज चुकू शकतील? मुळात ब्लॅक स्वान इफेक्ट हा अत्यंत कमी शक्यतेच्या घटनांविषयी असल्यामुळे बहुतांश वेळा अंदाज बरोबर येतात हे त्यात अध्याहृतच नाही का?
अंदाज कितीने चुकू शकतील? याची काहीच कल्पना करता येत नाही.
निव्वळ इंडक्टिव्ह लॉजिकनुसार एखाद्या घटनेविषयी भाकितं करणं हे धोक्याचं ठरू शकतं.. पण त्यामागचा नियम समजावून घ्यायला ही भाकितं उपयुक्त ठरतात. म्हणज काल सूर्य उगवला, आज सूर्य उगवला, गेली शेकडो वर्षं उगवतो आहे - यावरून उद्याही तो उगवेल असं म्हणणं इंडक्टिव्ह लॉजिक झालं. मात्र हे इंडक्टिव्ह लॉजिक यशस्वी होण्यामागे कारण काय? असा प्रश्न विचारून सूर्य-पृथ्वी-चंद्राचं मॉडेल तयार करता येतं. या मॉडेलनुसार इतर अनेक भाकितं करून ती तपासून बघता येतात. विशिष्ट वेळा ती तपासल्यावर ती थियरी सत्याच्या कसोटीवर उतरते. मग त्यावरून केलेली भाकितं ही डिडक्टिव्ह पद्धतीची ठरतात. एक महाप्रचंड दगड पृथ्वीवर आपटला तर ही गणितं बदलतीलही. मात्र अशी थियरी तयार असणं मोलाचं ठरतं. कारण त्यात त्या दगडाचाही समावेश करता येतो. आपल्याला येणारा दगड पाहून, मोजमाप करून दिवसाची लांबी किती व कशी बदलेल हे सांगता येेतंं. यासाठी भाकितं करणं आणि त्यामागचं शास्त्रीय कारण तपासून बघणं महत्त्वाचं ठरतं.
आता सौर ऊर्जेबद्दल आपणच पैज लावलेली आहे. अशा कुठच्या घटना असतील ज्यामुळे गेल्या दहा वर्षांचा ट्रेंड प्रचंड बदलून जाऊ शकेल? किंवा वेगळ्या शब्दांत विचारायचं तर ही भाकितं चुकतीलच अशी खात्री होण्याइतका ब्लॅक स्वान इफेक्ट्सवर विश्वास आहे का?
म्हणज काल सूर्य उगवला, आज
म्हणज काल सूर्य उगवला, आज सूर्य उगवला, गेली शेकडो वर्षं उगवतो आहे - यावरून उद्याही तो उगवेल असं म्हणणं इंडक्टिव्ह लॉजिक झालं. मात्र हे इंडक्टिव्ह लॉजिक यशस्वी होण्यामागे कारण काय? असा प्रश्न विचारून सूर्य-पृथ्वी-चंद्राचं मॉडेल तयार करता येतं. या मॉडेलनुसार इतर अनेक भाकितं करून ती तपासून बघता येतात.
लाखो - हजारो वर्षांपासून रोज सूर्य उगवतो, उगवेल हे निव्वळ खोटारडं विधान आहे. जेव्हा केव्हा सूर्य उगवतो त्यानंतरच्या काळाला दुसर्‍या दिवसात मोजतात/ गृहित धरतात. नॉट द अदर वे राउंड.
उदा. पृथ्वीचं सूर्याशी टायडल लॉकिंग होईल तेव्हा विधाने तीच असतील (आज सूर्य उगवला, उद्या उगवेल, इ इ ) पण त्यांचा अर्थ प्रचंड वेगळा असेल.
लाखो - हजारो वर्षांपासून रोज
लाखो - हजारो वर्षांपासून रोज सूर्य उगवतो, उगवेल हे निव्वळ खोटारडं विधान आहे. जेव्हा केव्हा सूर्य उगवतो त्यानंतरच्या काळाला दुसर्‍या दिवसात मोजतात/ गृहित धरतात.
बरोबर..
"लाखो हजारो वर्षांपासून सूर्य उगवतो आणि मावळतो आणि त्याच्या मधला काळ मनुष्याच्या मापनानुसार लाखो हजारो वर्षं एकसारखाच भासतो आहे.. त्यामुळे यापुढच्या उगवतीमावळतीच्या सायकलचा कार्यकाल आत्तापर्यंतच्या सायकल्सइतकाच असेल असं म्हणणं आणि या विशिष्ट कालावधीनंतर सूर्य पुन्हा उगवेल असं मानणं म्हणजे इंडक्टिव्ह लॉजिक झालं."
आता कसें वाटते? बरोबर?
उद्या
यस्स. फ्रेजिंग मधे माझी जरा गोची होते. मला नक्की काय म्हणायचं होतं ते अजून थोडं नीट सांगता येईल. जनरली म्हणणारास उद्या पुन्हा सूर्य उगवेल असे म्हणायचे असते तेव्हा अजून किमान क्ष तास ते कमाल य तास या काळात सूर्य पुन्हा दिसेल असे म्हणायचे असते. आता तो हे तासच सूर्याच्या उगवण्यावर मोजू लागला तर पुन्हा लोचा आहे, म्हणून आपण त्याच्याकडे अ‍ॅटॉमिक क्लॉक आहे असे समजू. मग काय काय असू शकते -
१. ढग, इ इ कारणांमुळे सूर्य दिवसभर उगवणारच नाही.
२. ध्रुवांवर थांबले असाल तर "उद्या यायला" ६ महिने लागतील.
३. आय एस एस मधे फिरत असाल, इ इ तर उद्या नको तितक्या लवकर येत राहिल.
४. पृथ्वीच्या परिवलानाच्या कमी होण्यात एक "पर्मॅनंट" लाँग टर्म ट्रेंड आहे. आजचा उद्या आणि करोडो वर्षांनंतरचा उद्या हे वेगळे असतील.
५. पृथ्वी हळूहळू सूर्याकडे सरकत असते. तेव्हा वर्ष पूर्ण व्हायला लागणारे ३६५ उद्या हे उद्या* कमी जास्त लागू शकतात. तेव्हा यावर्षीची अप्रेजल उद्या आहे याचा खूपच वेगळा अर्थ असेल. असो.
================
* म्हणजे भविष्यात
गुर्जी - एक महत्वाचा प्रश्न -
गुर्जी - एक महत्वाचा प्रश्न - हे केवळ गणित आहे का? असले तर पुढचे वाचु नका.
पण तुम्हाला जर असे म्हणायचे असेल ( गणित करुन ) की २०२५ साली ५०% टक्के वीज निर्मीती सौर बेस्ड असेल तर काहीतरी मेजर घोटाळा आहे. मोबाईल फोन ची आकडेवारी सोलर पॅनेल शी जोडी जमवून वापरणे म्हणजे..... =))
जर पारंपारीक वीज निर्मीती काही कारणानी खूपच कमी झाली तरच तुमचे भाकीत खरे ठरेल.
लोळणाऱ्या स्मायलीचं कारण कळलं
लोळणाऱ्या स्मायलीचं कारण कळलं नाही. नुसतंच गणित आणि खरंखुरं भाकित यात द्वैत का वाटावं हेही कळलं नाही.
तुम्हाला जर असे म्हणायचे असेल ( गणित करुन ) की २०२५ साली ५०% टक्के वीज निर्मीती सौर बेस्ड असेल तर काहीतरी मेजर घोटाळा आहे.
यात मेजर घोटाळा नक्की काय आहे? २००३ साली जर कोणी म्हटलं असतं की पाच वर्षांत ५०% पर्यंत सब्स्क्रायबर्स होतील, तर अनेकांनी 'यात काहीतरी मेजर घोटाळा आहे' असंच म्हटलं नसतं का? 'सेलफोनची संख्या वेगळी आणि सौर ऊर्जा वेगळी' असं म्हणायचं असेल तर त्याबद्दल काहीतरी ठोस युक्तिवाद करा. नुसतंच 'मला ब्वॉ हे अशक्य वाटतं' म्हणण्याने तुमचं असं मत आहे यापलिकडे माझ्या ज्ञानात काही फरक पडत नाही.
तुम्हाला ५०% पर्यंत पोचणार नाही असं वाटत असेल तर नक्की कितीपर्यंत ते पोचेल, आणि मर्यादा काय असेल याविषयी तुमचे काहीतरी अंदाज सांगा. तुमच्याशीही पैज लावायला माझी काही हरकत नाही.
'सेलफोनची संख्या वेगळी आणि
'सेलफोनची संख्या वेगळी आणि सौर ऊर्जा वेगळी' असं म्हणायचं असेल तर त्याबद्दल काहीतरी ठोस युक्तिवाद करा.
हे मुद्द्याचे बोललात.
प्रतिसाद विस्कळीत आहे, पण समजुन घ्या.
वीजनिर्मीतीचे पारंपारीक आणि अपारंपारीक असे दोन भाग करु. आधी फक्त पारंपारीक बघु.
१.अ २०२५ पर्यंत जलविद्युत निर्मीती आत्ता होत आहे त्या पेक्षा कमी होण्याचे काहीच कारण दिसत नाही. उलट ती वाढु शकते.
१.ब न्युक्लीयर वीज निर्मीती पण आत्ता आहे त्या पेक्षा कमी होण्याचे लक्षण नाही, उलट ती वाढणारच आहे.
१.क कोळश्याचे सध्याचे उत्पादन आणि अजुन शिल्लक असलेला कोळसा बघता ही वीज पण पुढील १० वर्षात कमी होइल असे वाटत नाही.
१.ड अपारंपारीक मधे पवनचक्क्या पण येतात. आणि सोलर वीजेला पवनउर्जा ही चांगली स्पर्धक आहे. त्यामुळे त्यांचे एकमेकातला रेशो ५०-५० तरी राहील अजुन १० वर्षानी. सध्यातरी पवन उर्जा बरीच पुढे आहे.
आता समजा आत्ता टोटल १०० युनिट वीज तयार होते. समजा सध्या त्यातली १ युनिट सोलर आहे, म्हणजे १ टक्का. आता हे प्रमाण ५० टक्के होण्या साठी हे सिनारीओ होणे गरजेचे आहे.
१. टोटल वीज १०० युनिट च होते आणि त्यातली सोलर ५० युनिट होते. पण हा सिनारिओ अशक्य आहे पुढच्या अनेक दशकात कारण अगदी सर्व कोळसा आणि गॅस ची वीज बंद केली तरी जल विद्युत आणि न्युक्लीयर चालुच रहाणार. दुसरे अपारंपारीक मधे पवनउर्जा सोलरला कायम स्पर्धा देणार. तसेही मी वर लिहील्या प्रमाणे कोळसा वीज येत्या २० वर्षात तरी जोरात चालू रहाणार आहे.
२. एकुणच वीजेची मागणी वाढल्यामुळे टोटल २०० युनिट वीज होते आणी त्यातली १०० सोलर होते. दुर्दैवाने सोलर वीज ही तंत्रज्ञान पुढे गेले तरी येत्या २ दशकात तरी कोळश्यापेक्षा महागच असणार आहे. सोलर वीजे ला लागणारी जमीन आणि मटेरियल कॉस्ट बघता ती फायद्यात येण्याची शक्यता नजिकच्या काही दशकात तरी नाही. म्हणजे ही सर्व १०० युनिट सोलर वीज सरकारी सबसीडीवर तयार करायला लागेल ते शक्य नाही. आणि २०२५ पर्यंत तर नाहीच नाही.
'सेलफोनची संख्या वेगळी आणि
'सेलफोनची संख्या वेगळी आणि सौर ऊर्जा वेगळी' असं म्हणायचं असेल तर त्याबद्दल काहीतरी ठोस युक्तिवाद करा.
आता ह्या मुद्या बद्दल. सेलफोन ची टक्केवारी आणि सौरवीजेची एकुण वीज उत्पादनातील टक्केवारी ह्या दोन तुलना योग्य गोष्टी नाहीत.
सेलफोन ही स्वताच एक स्वतंत्र कॅटॅगीरी आहे. पण सौरउर्जा ही वीजेच्या सुपरसेट मधली एक कॅटेगरी आहे.
सेलफोन ची स्पर्धा दुसर्‍या कशाशीच नाहीये पण सौरउर्जेची स्पर्धा बाकीच्या वीज निर्मीती तंत्रज्ञानाशी आहे. त्यात सुद्धा अगदी रेन्युएबल वीज निर्मीती हा भाग घेतला तर त्यात पवनउर्जा आणि जलविद्युत ह्यांच्याशी स्पर्धा आहे.
तुम्हाला सेलफोन ची तुलना करायची असेल तर कीती टक्के घरात वीज कनेक्षन आहे ह्याच्याशी करुन शकता. तिथे तुमचे ग्राफ आणि गणित उप्योगी पडेल. कींवा कीती टक्के घरात टीव्ही आहे ह्याच्याशी करु शकता.
आशावाद + आलेख
पूर्वसूचना -प्रतिसाद प्र प्र प्रचंड खवचट पण हेतुतः विनोदी आहे.
==============================
अनुजी,
तुम्ही घासकडवींच्या नादी लागू नकात. ते इन्करोजिबल आशावादी आणि आलेखिस्ट आहेत. जगात कुठे काही चांगलं होऊ द्या, ते २ मिमिचा ग्राफ पेपर आणि शिसपेन्सिल घेऊन येतात आणि "मंगल मंगल मंगल मंगल"* हे गाणं म्हणायला चालू करतात. सगळं मंगल होणार आहे याची त्यांना जबरदस्त खात्री असते. आशावाद प्रकट करण्यासाठी ते कोणत्याही स्तराला जाऊ शकतात. तुम्ही त्यांच्या आशावादाला नवख्या आहात म्हणून मी हे लिहित आहे.
त्यांच्या संभाव्य आशावादांची उदाहरणे देत आहे, ती पाहून भविष्यात त्यांचा प्रतिवाद करायचा (का) नाही हे ठरवा.
१. माणसाची लांबी दहा वर्षांत १ फूटापासून ४ फूट होते. मग ९० वर्षांत २४० फूट होणार.
२. जगाचा पर कॅपिटी जीडीपी खूप वाढत आहे. १०० वर्षांत तो विश्वातील सगळ्या स्रोतांच्या क्षमतेच्या पलिकडे पोहोचेल.
३. भारतीयांचे आरोग्य वाढत आहे. लवकरच कोणत्याही भारतीयाला कोणताही आजार होतच नाही असे दिवस येतील.
४. सुबत्तेमुळे देवा धर्माची गरज नष्ट होते. अजून १०० वर्षांनी सगळे जग नास्तिक असेल. भांडण तंटा मुक्त असेल.
५. नविन शोध लागायचा रेट जबरदस्त वाढला आहे. अजून ९०-१०० वर्षांनी शोध लागायला काही उरलेले नसेल. माणसाची १००% प्रगती** झालेली असेल.
दुसरं असं कि आम्ही देखिल ट्रेंड्स पाहतो. उदा. मी त्यांना म्हणालो कि एच आय वी इन्फेक्शनचा ग्राफ देखिल चढता आहे. तेव्हा सगळे जग इन्फेक्टेड असेल का १०० वर्षांनी? तिथे मात्र ते आशावाद आणतात. तिथे इन्फेक्शन्सचा ग्राफ बाजूला ठेउन आजपावेतो किती नव्या लसी विकसित झाल्या आहेत, रोग निर्मूलित झाले आहेत याचा आलेख घेऊन येतात. हेच एच आय वी चे होणार म्हणतात. थोडक्यात आशावाद + आलेख या दोन शस्त्रांनी ते समोरच्यास नामोहरम करतात. शेवटी प्रकार इतका फ्रस्टेटींग होतो कि समोरचा स्वतःला व्यवहार्य समजणारा स्वतःला निराशावादी समजायला लागतो. स्वानुभव आहे.
======================
*हे गाणं मंगल पांडे पिक्चरमधे आहे.
** प्रगती म्हणजे भौतिक प्रगती. दुसरी कोणती प्रगती नसते. अच्छे दिन ही कल्पना मोदींनी घासकडवींकडूनच ढापलेली असणार.
ब्लॅक स्वान इव्हेंट म्हणजे
ब्लॅक स्वान इव्हेंट म्हणजे सूर्य उगवणार नाही किंवा पृथ्वीवर दगड आदळून दिवस लहानमोठा होणे इतकं टोकाचं असण्याची गरज नाही. इकॉनॉमिक मॉडेल बदलणे, रिसोर्सेसची चणचण भासणे किंवा त्यासाठी युद्ध होणे, दुष्काळ वा अतिवृष्टी झाल्याने स्थलांतरं होणे किंवा समांतर ऊर्जास्रोतामुळे काही काळ अतिरिक्त ऊर्जा उपलब्ध होऊन त्यातला महाग ऊर्जास्रोत (काही काळ तरी) बंद होणे अशाही असू शकतात.
सध्याचे जे हेलकावे चालू आहेत त्यांचे आयामही याच प्रमाणात वाढणार याच्यामागेही इंडक्टीव्ह लॉजिकच आहे.
अशा कुठच्या घटना असतील
अशा कुठच्या घटना असतील ज्यामुळे गेल्या दहा वर्षांचा ट्रेंड प्रचंड बदलून जाऊ शकेल? किंवा वेगळ्या शब्दांत विचारायचं तर ही भाकितं चुकतीलच अशी खात्री होण्याइतका ब्लॅक स्वान इफेक्ट्सवर विश्वास आहे का?
या प्रश्नांची नीटशी उत्तरं मिळाली नाहीत. रिसोर्सची चणचण भासण्यामुळे सौर ऊर्जेकडे खरं तर अधिक लक्ष दिलं जाईल. दुष्काळ आणि अतिवृष्टीमुळे स्थलांतरं? त्याचा सौर ऊर्जेशी संबंध काय हेही नीटसं कळत नाही. आणि सौर ऊर्जा दिवसेंदिवस स्वस्त होत आहे. तसंच तेलावर अवलंबित्व कमी करण्यामागे सगळेच देश लागलेले आहेत.
मला नेहमी एक प्रश्न पडतो. की ब्लॅक स्वान इफेक्टमध्ये स्वान नेहमी ब्लॅकच का असतो? गोल्डन स्वान इफेक्ट का नसतो? अचानक धोका निर्माण होणं, हे अचानक घबाड मिळण्याइतकंच कमी शक्यतेचं आहे. मात्र त्यातलं वाईटच होईल असं गृहित धरलं जातं.
असो. हा विदा आणि त्यावरून होणारी भाकितं डोळ्यासमोर ठेवूनही 'हे होणारच नाही' असा विश्वास बाळगण्याइतकी ब्लॅक स्वान इफेक्टबद्दल खात्री आहे का, असा प्रश्न होता.
तुम्ही गंभीर आहात की गंमत
तुम्ही गंभीर आहात की गंमत करीत आहात ते मला कळत नाहीय. तुम्ही दिलेला विदा भूतकाळातला आहे आणि तोच ट्रेंड पुढे चालू राहिल अशी तुम्हाला खात्री आहे?
ब्लॅक स्वान इव्हेंटची खात्री असती तर तिला ब्लॅक स्वान इव्हेंट म्हटलेच का असते? मुळात अंदाजांवर जास्त विश्वासू नये हेच माझे म्हणणे असताना ब्लॅक स्वान इव्हेंट घडेल असा खात्रीशीर अंदाज मी कसा काढणार?
एक गमतीची नोंद अशी की इतरत्र ट्रेंड चालू राहणार नाही अशी तुमची पक्की खात्री असते. उदाहरणार्थ लोकसंख्या वाढीचा ट्रेंड. तो मात्र २०५० पर्यंत एकदम बदलून फ्लॅट होणार आहे याची तुम्हाला जवळ जवळ खात्री आहे.
माणसाला तेलाचा शोध लागणे व औद्योगिक क्रांती होणे या गोल्डन स्वान घटना म्हणता येतील. प्रत्येकवेळी गोल्डन स्वान घटनाच घडेल असा हट्ट अशास्त्रीय आहे.
निम्ननिर्दिष्ट ग्राफ
निम्ननिर्दिष्ट ग्राफ http://www.avert.org/ या वेबसाईटवरुन घेतला आहे.
या ग्राफविषयी काय म्हणता येईल..?
१९९० तो २००२ पर्यंतच्या काळात हा ग्राफ पाहिला असता तर तो असाच वाढत जाईल असं वाटलं असतं. २००७ -८ -९ मधे तो स्थिर सपाट होईल असं वाटलं असतं का? २०१० नंतर अस्थिर पण वाढ फारशी नसलेलाच दिसतो आहे.
२०२५ साली, अजून दहा वर्षांनी काय चित्र असेल असा अंदाज आहे?
१९९० तो २००२ पर्यंतच्या काळात
१९९० तो २००२ पर्यंतच्या काळात हा ग्राफ पाहिला असता तर
तर आज दहा कोटी लोक अफेक्टेड असते. शिवाय सब-सहारन आफ्रिकेचा वेगळा ग्राफ काढला असता तर तो खंड नामशेष झाला असता ५०-१०० वर्षांत.
२०२५ साली, अजून दहा वर्षांनी काय चित्र असेल असा अंदाज आहे?
नुस्ता ग्राफ पाहून कप्पाळ सांगता येणार नाही. पण वास्तव पाहून हे मिनेस नियंत्रित करण्यात जगाला प्रचंड यश येऊ शकते असे वाटते. शिवाय "एच आय व्ही मुळे चरित्रसंपन्न" अशी लोकसंख्या पुन्हा घटू लागेल.
अनेक स्पर्धात्मक शक्यता
हा मुद्दा बहुधा अनु राव यांनी सांगितला आहे -
सेलफोन आणि सौरऊर्जा यांतला फरक.
व्यक्तीकडे सेलफोन आहे आणि सेलफोन नाही या दोन शक्यतांची स्पर्धा होत असते. त्यांच्या स्पर्धेतला रेटा सध्यासारखा चालू राहिला तर लोजिस्टिक वाढ होईल, असे मानून अंदाज करता येतो.
ऊर्जा बाजारात मात्र अनेक स्पर्धक आहेत. तरी दर अगदी कमी असताना "सौर विरुद्ध बाकी सर्व" असे द्विभाजन केले, तर अंदाज ठीकठाक येऊ शकतात. असा अंदाज मी फारफारतर ५-१० % पर्यंतच वाढवेन.
ब्लॅक स्वान "तत्त्वा"चा अतिरेक
"ब्लॅक स्वान" तत्त्व (ढोबळमानाने) :
आजवर फक्त सफेद रंगाचे हंस पक्षी बघितले असतील, ती व्यक्ती मनात ठोकताळा करते, की हंस नेहमी सफेद असतात. जेव्हा काळा हंस त्यांच्या बघण्यात येतो, तेव्हा त्यांचा पूर्ण सिद्धांत कोसळतो. काळा हंस त्यांनी कधी पूर्वी बघितलाच नसल्यामुळे "आपला सिद्धांत कुठल्या प्रकारे लवचिक करावा" अशी कुठलीही पूर्वकल्पना त्यांना नसते.
आर्थिक किंवा सामाजिक अंदाजांबाबत वरील तत्त्व लागू करणे :
पुढील खर्चाचे पूर्वनियोजन करताना किंवा/म्हणजेच आजच्या गुंतवणुकीकरिता पैसे पुढे करताना आपण आपल्या अनुभवावरून अंदाज करतो.
म्हणजे
१. हंस : हंसाचा सुंदर फोटो फोटो काढण्याकरिता काळ्या पार्श्वभूमीचा पडदा विकत घेतो. याचे कारण की आपण आजवर केवळ सफेद हंसच बघितलेले असतात.
२. गृहखर्च : मागील अनुभव गाठीशी धरून अन्न, घरभाडे, पेट्रोल... वगैरे खर्च करतो, आणि पूर्वीच्या भाववाढीचा अंदाज करून थोड्या पैशांची बचत करतो.
३. मोबाइल फोन व्यापारी : मोबाइल फोनची अमुक-इतकी वाढती मागणीचा अंदाज करून उत्पादकाकडून तेवढ्या संख्येत मोबाइल फोनची ऑर्डर टाकतो. परंतु मागणी अगदी तितकीच वाढणार नाही, म्हणून व्यापार-विमा भरतो.
------------------
१. अनपेक्षितपणे काळा हंस सापडतो : पार्श्वभूमीचा काळा पडदा घेतल्याची आपली पूर्णच्या पूर्ण गुंतवणूक वाया जाते.
२. पूर येऊन भाड्याचे घर वाहून जाते, आणि त्यातील साठवणीचे अन्नही : बँक खात्यातील बचतीतून नवीन भाड्याच्या घराची पागडी भरता येत नाही, की पुरेसे अन्न खरेदी करता येत नाही. पूर्ण बचत खलास होते, पण तरीही जमत नाही.
३. मोबाइल फोन ऐवजी शंखात कुजबुजून मोफत बातचीत करण्याचे तंत्रज्ञान विकसित होते. उत्पादकाकडून विकत आणलेले मोबाइल विकण्याकरिता एकही गिर्‍हाइक मिळत नाही. सगळेच लोक नुकसानभरपाई करायला विमा कंपनीकडे जातात, म्हणून विमा कंपनी कंगाल होते - पैसे बुडवते. व्यापारी पुरता बुडतो.
------------------
विमा किंवा बचत कशी ठरते? पूर्वानुभवातून. अमुक इतके टक्के घरखर्च मागेपुढे येण्याची संभवनीयता, किंवा मोबाइल फोनची मागणी कमी होण्याची संभवनीयता ठाऊक असती, तर तितके टक्के धन विमा/बचत म्हणून ठेवता येते. परंतु पूर किंवा तंत्रज्ञान पुरते बाद होणे ही शक्यताच आपल्याला ठाऊक नसते. त्याबाबत आपण विमा काढतच नाही. किंवा "मला ठाऊक असून शकत नाही" अशी अज्ञात शक्यता कल्पिली आणि त्या शक्यतेच आपण पुरते कंगाल होऊ, देशोधडीला लागू, असे गणित कल्पिले, तर आपल्याकडील १००% रक्कम बचत किंवा विमा म्हणून ठेवायचे निरर्थक गणित होईल - सर्वच रक्कम विम्यात-बचतीत भरली, तर आज काय खायचे? या महिन्याच्या घरभाड्याचे काय? उत्पादकाकडून पुढच्या महिन्यात विकण्याकरिता मोबाइलची ऑर्डर दिलीच नाही, तर दुकान बसेल!
------------------
नुसते "ब्लॅक स्वान" म्हणून अतिरेक केला तर असला अनर्थ होतो.
"ब्लॅक स्वान"चा लेखक म्हणा, किंवा येथील "ब्लॅक स्वान"चे चाहते म्हणा... आपण पुढच्या महिन्याच्या घरभाड्याची (वा गृहखर्चाच्या हप्त्याची) सोय करत नाही का? आजनंतर उद्या-परवा खाऊ इतपत किराणा माल आणत नाही का? काही थोड्या लोकांची घरे पुरात वाहून जातील, आणि काही थोड्या लोकांचा विकत घेतलेला किराणा माल खाण्यापूर्वी पुरता सडेल, हे "ब्लॅक स्वान" खरे आहे. पण खरेच? त्यामुळे हातातली सर्वच्या सर्व रक्कम तुम्ही-आम्ही विमा विकत घेण्यात वापरू - किंवा विमा कंपनीही बुडेल म्हणून किंकर्तव्यमूढ होऊन थिजून जाऊ?
आजच्या जमान्यात नाही शेकडो वर्षांपूर्वी नाही - अंदाज-आडाखे बांधून त्या दृष्टीने कृती केल्याशिवाय जीवनच अशक्य होते. त्यामुळे नुसता "ब्लॅक स्वान" जणू काही खरेच व्यवहार्य तत्त्व आहे, हे मानणे म्हणजे स्वतःशीच प्रतारणा आहे.
बरोबरच आहे. घरखर्च वा
:-) बरोबरच आहे. घरखर्च वा उत्पादनाची मागणी इत्यादीबाबत व्यवहारी पातळीवर ट्रेंड अ‍ॅनालिसिस करुन फारतर पुढचा १ किंवा २ अंदाज काढले जातात. ते काढतानाही बदलती परिस्थिती व घडामोडींचा अभ्यास करुन असे अंदाज कमी-जास्त करुन घेतले जातात.
आज मुले ५ वर्षांची असताना ती २५ ची झाल्यावर घरखर्च किती वाढेल याचा अंदाज कोणी काढत बसत नाही. कंपन्याही आज क्ष इतकी मागणी आहे ती १०क्ष कधी होईल याचे गंभीर व्यवहारापयोगी अंदाज काढत नाहीत. काढला तरी तो भावी गुंतवणूकदारांसाठी असतो आणि त्यात विशफुल थिंकिंग व आशावादाचा प्रभाव भरपूर असतो हे सगळ्यांनाच माहित असते.
सौर ऊर्जा कोळसा वा तेलाला सहज विस्थापित करु शकेल या आपल्या आशावादी अंदाजाला घासकडवी आलेख वगैरे काढून शास्त्रीय वैधता द्यायचा अतिरेकी प्रयत्न करणार असतील तर मलाही ब्लॅक स्वान इव्हेंटला अतिरेकी महत्त्व देण्यात वावगे काही वाटत नाही.
>>आज मुले ५ वर्षांची असताना
>>आज मुले ५ वर्षांची असताना ती २५ ची झाल्यावर घरखर्च किती वाढेल याचा अंदाज कोणी काढत बसत नाही.
याच संस्थळावर आणि उपक्रमवर पूर्वी चर्चा झाली होती तेव्हा लोकांनी आजचा सरासरी घरखर्च, सरासरी भाववाढ आजचे वय यावरून ३० वर्षांनी होणार्‍या रिटायरमेंटच्या वेळी (आणखी २० वर्षे जगायचे असेल तर) किती पैसे हातात असायला हवे याचे अंदाज काढले होते. त्यात दरम्यानच्या ३० वर्षात अपघात होणे, अपंगत्व येणे, आपण काम करत असलेले तंत्रज्ञान ऑबसोलीट होणे या ब्लॅकस्वान शक्यता विचारात घेतलेल्या नव्हत्या. त्यांचे अंदाज करता येत नाहीत.
सोशल सेक्यूरिटी व मेडिकेअर?
>>व्यवहारी पातळीवर ट्रेंड अ‍ॅनालिसिस करुन फारतर पुढचा १ किंवा २ अंदाज काढले जातात
१ किंवा दोन म्हणजे दिवस की दशके हे कळले नाही, पण बहुधा "एक किंवा दोन वर्षे" असे म्हणायचे असावे. हे ठीक वाटत नाही. (एक दोन दिवस नसावे, कारण बहुतेक लोकांना पगार साप्ताहिक वा मासिक मिळतो. एक-दोन दशके नसावे, कारण तसे असल्यास तुम्हाला घासकडवी यांच्या अंदाजांचा पल्ला मान्यच असल्याचे होते. त्यामुळे एकूण प्रतिसाद लक्षात घेऊन "१-२ वर्षांपुरताच अंदाज योग्य" असा तुमचा अर्थ असावा.)
----
काही देशांत सरकारे सध्या काम करणार्‍या लोकांच्या उत्पन्नातून कर घेऊन वैद्यकीय विम्याची आणि निवृत्तीनंतर काही वेतनाची सोय करतात. (उदाहरणार्थ, यू. एस. अमेरिकेत निवृत्तिवेतनाकरिता "सोशल सेक्यूरिटी" आणि वैद्यकीय विमा म्हणून "मेडिकेअर" हे सरकारी प्रकल्प आहेत. परंतु अन्य देशांतही असे कार्यक्रम राबवले जातात.) काही खाजगी कंपन्याही निवृत्तिवेतनाची सोय करतात.
या सगळ्या बाबतीत अनेक दशकांचा अंदाज करत राहावा लागतो, त्या दृष्टीने करभार बदलत राहावा लागतो. खाजगी कंपन्यांना सुद्धा निवृत्तिवेतनाकरिता गुंतवणूक करावी लागते, त्यासाठी हे अंदाज करावे लागतात.
नवीन कारखाना घालण्यासाठी जमीन विकत घेणे/अधिग्रहण करणे, कारखान्यात यंत्रे कुठली बसवायची ते ठरवणे, वगैरे -- अशा प्रकारची गुंतवणूक करताना दहा-पंधरा वर्षांचा अंदाज तरी केला जात असावा. मुळात भांडवल जमवणे-ते कारखाना बांधणे-ते उत्पादन सुरू करून विक्रीचे पैसे हाती लागणे या प्रक्रियेत कमीत कमी दोन-चार वर्षे लागू शकतात. त्यामुळे अंदाज त्यापेक्षा लांबच्याच पल्ल्याचा असणार.
वैयक्तिक/कौटुंबिक पातळीवर बघतासुद्धा निवृत्तीबाबतची सोय काही दशकांपासून करताना लोक दिसतात. (किंवा आधीपासून सोय केल्यामुळे निवृत्तीच्या काळात चिंता कमी असलेले लोक दिसतात.) तसेच लोक लहानपणापासून आपल्या मुलांच्या पुढील शिक्षणखर्चाची सोय करताना दिसतात.
---
त्यामुळे लहान-मध्यम-मोठ्या प्रमाणातही काही दशके लांब पल्ल्याचे अंदाज केलेले आपल्याला दिसतात. अर्थात हे अंदाज करणे, आणि त्यावरून गुंतवणूक करणे चूक आहे, असे तुमचे मत असेल, तर प्रतिसाद सुसंगतच आहे. परंतु तो समजू न यावा इतका नाविन्यपूर्ण आहे.
उदाहरणार्थ : सरकारांनी वृद्धवेतन आणि विमा हे कार्यक्रम बंद करावेत, किंवा अंदाज न करता (किंवा फक्त १-२ वर्षांचाच अंदाज) त्यांच्यावर खर्च करावा, या दोहोंपैकी काहीतरी म्हणणे आहे काय? त्याच प्रमाणे उद्योग व कौटुंबिक स्तरावर?
अंदाज न करता अतिरेकी बचत करणारा कंजूष माणूस दळभद्री जगतो, आणि मेल्यावर त्याची धनाची पेटी सापडते, वगैरे विनोदी बालकथा आपण ऐकलेच असतात. त्याच प्रमाणे बचत करणारी मुंगी आणि न करणारा नाकतोडा यांची दुसर्‍या टोकाचा धोका सांगणारी बालकथा आपण ऐकली आहे.
व्यक्ती म्हणा, देश म्हणा -- बचत फार कमी केली तरी ठीक नाही, फार अधिक केली तरी ठीक नाही, ही कल्पना तशी ओळखीची आहे. पण फार-कमी-नाही-फार-जास्त-नाही म्हणजे किती ते ठरवण्याकरिता अंदाज करणे आवश्यकच आहे.
पुढच्या मिनिटाबाबत निर्णय घ्यायचा असेल, तर पुढच्या मिनिटापर्यंत अंदाज जरूरी. पुढच्या वर्षासाठी काही निर्णय घ्यायचा असेल, तर पुढच्या वर्षापर्यंत अंदाज जरूरी. पुढच्या दशकासाठी काही निर्णय घ्यायचा असेल, तर पुढच्या दशकापर्यंत अंदाज जरूरी.
(अंदाज म्हणजे अंदाजांच्या स्खलनशीलतेबाबत अंदाज सुद्धा करणे. बेस्ट-केस वर्स्ट केस सिनारियो, वगैरे पडताळणे.)
काही देशांत सरकारे सध्या काम
काही देशांत सरकारे सध्या काम करणार्‍या लोकांच्या उत्पन्नातून कर घेऊन वैद्यकीय विम्याची आणि निवृत्तीनंतर काही वेतनाची सोय करतात. (उदाहरणार्थ, यू. एस. अमेरिकेत निवृत्तिवेतनाकरिता "सोशल सेक्यूरिटी" आणि वैद्यकीय विमा म्हणून "मेडिकेअर" हे सरकारी प्रकल्प आहेत. परंतु अन्य देशांतही असे कार्यक्रम राबवले जातात.) काही खाजगी कंपन्याही निवृत्तिवेतनाची सोय करतात.
या सगळ्या बाबतीत अनेक दशकांचा अंदाज करत राहावा लागतो, त्या दृष्टीने करभार बदलत राहावा लागतो. खाजगी कंपन्यांना सुद्धा निवृत्तिवेतनाकरिता गुंतवणूक करावी लागते, त्यासाठी हे अंदाज करावे लागतात.
नवीन कारखाना घालण्यासाठी जमीन विकत घेणे/अधिग्रहण करणे, कारखान्यात यंत्रे कुठली बसवायची ते ठरवणे, वगैरे -- अशा प्रकारची गुंतवणूक करताना दहा-पंधरा वर्षांचा अंदाज तरी केला जात असावा. मुळात भांडवल जमवणे-ते कारखाना बांधणे-ते उत्पादन सुरू करून विक्रीचे पैसे हाती लागणे या प्रक्रियेत कमीत कमी दोन-चार वर्षे लागू शकतात. त्यामुळे अंदाज त्यापेक्षा लांबच्याच पल्ल्याचा असणार.
वैयक्तिक/कौटुंबिक पातळीवर बघतासुद्धा निवृत्तीबाबतची सोय काही दशकांपासून करताना लोक दिसतात. (किंवा आधीपासून सोय केल्यामुळे निवृत्तीच्या काळात चिंता कमी असलेले लोक दिसतात.) तसेच लोक लहानपणापासून आपल्या मुलांच्या पुढील शिक्षणखर्चाची सोय करताना दिसतात.
हे सगळं मान्य आहे पण म्हणून हे अंदाज बरोबर ठरतातच असे नाही. ज्या संदर्भात घासकडवींना जे सिद्ध करायचे आहे त्यात इतरही अनेक घटक आहेत ज्यांच्याकडे दुर्लक्ष करुन निव्वळ सांख्यिकीवर आधारित अंदाज काढून तसेच घडेल असे समजायचे असेल तर समजावे खुशाल.
कंपन्यांनी डिफाईन्ड बेनिफिट प्लॅन्स बंद करुन डिफाईन्ड कॉन्ट्रिब्युशन प्लॅन्स काढण्याचे काहीतरी कारण असणारच ना.
मुलांच्या शिक्षणाच्या बाबतीत लोक आलेख काढून ट्रेंड अ‍ॅनालिसिस करत आहेत असे मी तरी पाहिले नाहीय. जमतील तितके पैसे वाचवणे हा सर्वसाधारण माणसाचा प्लॅन असावा. आता सगळीच पोरं काही उच्चशिक्षण घ्यायच्या आधीच ड्रॉप-आऊट होत नाहीत किंवा मरत नाहीत कारण लोकसंख्या भरपूर आहे. सौरऊर्जेचं तसं आहे का? शिवाय पोर पहिलीत असताना मेडिकलच्या फीचा अंदाज कोणी काढत नाही कारण पोर मेडिकललाच जाईल याचाही अंदाज नसतो. साधारण आठवी-नववीत कळायला लागते की अजून चार-पाच वर्षात किती पैसे साधारणपणे लागतील ते. कारखान्यांचे प्रोजेक्ट्सही ठराविक काळाने रिव्हाईज होऊन प्रसंगी स्क्रॅपही केले जातातच.
वरच्या आलेखावरुन जे अंदाज काढलेत ते खरे ठरण्याची शक्यता आहे पण म्हणून खरेच ठरतील आणि वर्स्टकेस सिनॅरिओची काळजी करायलाच नको असा जो एकंदरीत अविर्भाव आहे त्याला मूळ आक्षेप आहे. समजा हे अंदाज खोटे ठरले तर वर्स्टकेस सिनॅरिओ काय आहे तेही घासकडवींनी सांगावे मग काही प्रश्नच नाही.
वेगवेगळ्या अंदाजांच्या नेमक्या फरकांबाबत लक्ष देणे
समजा हे अंदाज खोटे ठरले तर वर्स्टकेस सिनॅरिओ काय आहे तेही घासकडवींनी सांगावे मग काही प्रश्नच नाही.
बहुधा "वर्स्ट केस आणि बेस्ट केस सिनारियो काय, ते सांगावे, मग काही प्रश्नच नाही", असे तुम्हाला म्हणायचे होते, पण नजरचुकीने ते शब्द राहून गेले असावे. तुम्ही तसे म्हटल्याचे मानून पुढील परिच्छेद आहे. ते शब्द नजरचुकीने नव्हे तर मुद्दामून सोडले असल्यास कोड्यात पडेन.
मला वाटते की घासकडवींचा हेतू "मध्यवर्ती अंदाजाचे गणित करण्याची पद्धत" असा असावा. त्यांचा पहिला लेख बघून लेखमालेचा हेतू/मर्यादा बघून सांगतो. परंतु प्राथमिक ट्युटोरियलमध्ये सर्वच गणिते समजावून सांगितले पाहिजे, असे बहुधा जमवणे कठिणच. वर्स्ट केस आणि बेस्ट केस हे या मध्यवर्ती अंदाजाच्या अलिकडे आणि पलिकडे असल्यामुळे मध्यवर्ती अंदाज कळणे ही पहिली पायरी म्हणून उपयोगीच म्हणायला पाहिजे.
---
वेगळ्या अंदाजांबाबत नेमक्या फरकांबाबत, आणि त्यावरून कमीअधिक करणे महत्त्वाचे.
आणि असे करताना गेल्या दोन धाग्यांमध्ये चर्चा झालेली आहे.
उदाहरणार्थ मोबाइल फोन डेन्सिटी बाबत लोजिस्टिक अंदाज कुठल्या प्रकारे योग्य अंदाज देतात, पण सौर ऊर्जेबाबत देणार नाही, त्याबाबत मुद्दे अनु राव व मी मांडलेले आहेतच. अनु राव यांनीदेखील हे मुद्दे थोडक्यातच मांडले आहेत, परंतु त्या थोडक्यात नीरक्षीरविवेक दिसतो. तो नीरक्षीरविवेक मला "ब्लॅक स्वान" किंवा "कॉन्फर्मेशन बायस" या मुद्यांत दिसला नाही. सेलफोनचा अंदाज बर्‍यापैकी बरा येतो, हे स्पष्ट आहे असे मला वाटते. तो अंदाजही जणूकाही योग्य अंदाज नाहीच, ते क्षेत्रही अंदाजाकरिता योग्य क्षेत्र नाहीच असे हे सुके-जळो-ओले-जळो मुद्दे आहेत.
त्यावरून तुमचा नव्हे, पण गवि यांचा मुद्दा लक्षात घेतो (कारण विचारशृंखलेत येतो) :
कमाल दर याबाबत चर्चा झाली होती, त्याबाबत दुर्लक्ष :
एचआयव्ही वा एड्स्-ग्रस्त रुग्णांची टक्केवारी. हा S-आकाराची वाढ दाखवणारा आलेख आहे. या प्रकारच्या आलेखांची बर्‍यापैकी विस्ताराने चर्चा घासकडवींनी केलेली आहे. म्हणजे जोवर एचआयव्ही लागणदर एक्पोनेन्शियल प्रमाणात वाढतो आहे, तोवर आपण केवळ एक्स्पोनिन्शियल अंदाज करू शकतो. S-आकाराची वाढ जेव्हा एक्स्पोनेन्शियलपेक्षा सुस्पष्टपणे मंदावते, तेव्हा आपल्याला उच्चतम दर काय याचा अंदाज हळूहळू करता येतो. हा अंदाज उच्चतम दर पोचण्याच्या पुष्कळ अधिक करता येतो.
त्याच प्रमाणे लोजिस्टिक अंदांजांकरिता सीलिंग इफेक्ट काय त्याचाही अंदाज करावा लागतो, आणि त्याबाबत काय पूर्वतयारी/आदली माहिती लागते, त्याची थोडक्यात चर्चा मी मागच्या धाग्यात केली होती. इतकेच नाही, उच्चतम दर १००% नसू शकतो, याच्याबद्दल मी चर्चा केली होती.
आता एचआयव्ही लागण होऊ शकण्यासारख्या व्यक्ती लोकसंख्येत १००%पेक्षा पुष्कळ कमी प्रमाणात होते. एचआयव्हीच्या वैद्यकीय/जीवशास्त्राबाबत १९९०पासूनच ही बाब ठाऊक होती. एक तर या धोक्यात असलेल्या लोकांची टक्केवारी सर्वेक्षणातून वगैरे ठाऊक होती (अनेक लैंगिक जोडीदार असलेले लोक + रक्तपेढीतून मोठ्या प्रमाणात रक्त लागणारे लोक + नशेची इन्जेक्शने एकमेकांत मिळून वापरणारे लोक). म्हणून कमाल मर्यादा वापरून S-आकाराच्या वाढीचा बर्‍यापैकी अंदाज करता आला असता. म्हणजे तसाच अंदाज विश्व आरोग्य संघटना वगैरे करत होत्या.
स्वघातक भाकित (self-defeating prophecy) या हेतूने केलेले अंदाज :
बहुतेक घातक गोष्टींच्या भविष्यातील दराचे केलेले अंदाज "असे होऊ नये, म्हणून गुंतवणू़क करावी" या हेतूने केलेले असतात. "या अंदाजामागील परिस्थिती कितपत बदलावी लागेल" हे जाणून गुंतवणूक केली जाते, आणि त्या गुंतवणुकीमुळे अंदाज स्वतःचा घात करतो, आणि अंदाज करणार्‍याला हे हवेच असते. परंतु तो स्वघातक अंदाज केला नसता, तर कितपत गुंतवणूक करावी त्याबाबत काहीच मार्गदर्शन मिळाले नसते. म्हणून तो स्वघातक अंदाज करणे अत्यंत उपयोगी होते.
उदाहरणार्थ, रक्तपेढीतून रक्त मिळवलेल्या रुग्णांत होणारी एचआयव्ही लागण. ज्या ज्या ठिकाणी ही लागण होऊ नये अशा प्रकारची व्यवस्था करण्यात आली, तशी गुंतवणूक करण्यात आली. अशी गुंतवणूक केली नाही, तर होऊ शकणारा हाहाकार अंदाज केल्यामुळे कळला, म्हणूनच ही गुंतवणूक केली गेली. म्हणूनच तर सुनियोजित रक्तपेढ्यांमधून होणारी एचआयव्ही लागण नगण्य आहे.
याच प्रकारे जागतिक तापमानवाढीबाबत केलेले अंदाज "हे स्वघातक व्हावे" या हेतूने केलेले होत. पण स्वघातक म्हणजे बिनबुडाचे अंदाज नव्हेत. धोरणात्मक बदल झाले नाहीत, तर काय होईल, याकरिता हे अंदाज सध्याच्या आकड्यांपासून काळजीपूर्वक केलेले असतात. धोरणांमध्ये बदल होऊन अंदाजांमागील "सध्याचे" गणित सहेतुक बदलावे, आणि त्या सहेतुक बदलामुळे अंदाज कालबाह्य व्हावेत, हा हेतू असतो. आणि अंदाज जितकी वर्षे बरोबर येत राहात आहेत, तितकी वर्षे धोक्याबाबत सावधानी वाढत जायला हवी. अंदाज बरोबर आले, म्हणून आनंद व्हावा असा अंदाज करणार्‍यांचा दीर्घकालीन हेतू असतो. (पण धोरण-न-बदलणार्‍यांविरुद्ध युक्तिवाद थोडा अधिक बळकट होतो, म्हणून कदाचित तात्पुरता आनंद होतही असेल, म्हणा.)
---
"वाईट गोष्टींच्या वाढत्या दरांचे अंदाज" हे "स्वघातक हेतूने केलेली भाकिते" असतात. ज्या गोष्टी "चांगल्या" किंवा "चांगल्या-वाईटपैकी काहीच नाही" असतात, त्यांच्या दरवाढीची भाकिते साधारणपणे स्वघातक नसतात. ही बाब लक्षात न घेतल्यामुळे वरील काही प्रतिसादकांनी "अयोग्य आशावाद" वगैरे व्यक्तिस्वभावाच्या दिशेने विश्लेषण केले.
---
माझ्या मते हे मुद्दे चर्चेकरिता ज्ञानवर्धक होते :
१. "अंदाजाकरिता S-वाढीचा [वा अन्य आकाराच्या वाढीचा] आकार कळण्यातील आवश्यक पूर्वमाहिती, आणि संभाव्य चुका"
२. स्वघातक हेतूची काळजीपूर्वक भाकिते आणि स्वघातगर्भ नसलेली काळजीपूर्वक भाकिते यांच्यात फरक करावा
परंतु त्यांच्या जागी दोन मुद्दे अधिक चर्चिले गेले. ते मुद्दे दुरुस्त न करता नुसते खोडणारेच होते. (अनुक्रमे) : (१) "ब्लॅक स्वान" हा नीरक्षीरविवेकासाठी निरुपयोगी असलेला मुद्दा. हा मुद्दा जवळजवळ कधीच उपयोगी नसतो. (२) फक्त आशावादी भाकिते बरोबर येतात हा व्यक्तिस्वभावाचा दोष आणि कॉन्फर्मेशन बायस. (हा मुद्दा स्वतंत्रपणे उपयोगी आहे, पण सेलफोनवापर आणि एचआयव्ही लागणदर यांच्या तुलनेकरिता दुय्यम आहे.)
तपशीलवार स्पष्टीकरणाबद्दल
तपशीलवार स्पष्टीकरणाबद्दल धन्यवाद. मला माझ्या प्रतिवादातली चूक समजली. मुळात "सगळे असेच चालू राहिले तर" हे गृहीतक असताना ब्लॅक स्वान इव्हेंटबद्दलचे आर्ग्युमेंट अनाठायी ठरते. शिवाय हा आलेख शुद्ध सांख्यिकी दृष्टीने बघायचा असून हवामानबदल वा अन्य अंदाजांप्रमाणे या मागे कोणतेही मॉडेल नाही ज्यात इतर घटक व त्यांचा परिणाम लक्षात घेऊन वर्स्ट केस - बेस्ट केस सिनॅरिओज काढले जातील. त्यामुळे इतर मुद्दे आपोआपच बाद होतात. २०१९ पर्यंत १००% वाढ हा मध्यम सिनॅरिओ असेल तर ७५% वाढ हा वर्स्ट केस व १२५% वाढ हा बेस्ट केस सिनॅरिओ असू शकतो.
सेलफोनच्या वाढीप्रमाणे हा आलेख दिसतो आहे आणि तसाच तो पुढे जात राहिला तर १०%, २५% वगैरे टप्पे कधी गाठेल एवढेच गणित करणे हा या धाग्याचा उद्देश आहे हे मला कळले. यात इतर कोणतीही माहिती गोळा करण्याचा व इतर घटकांचा परिणाम अभ्यासण्याचा प्रश्नच नसल्याने कन्फर्मेशन बायसचा मुद्दाही याठिकाणी बाद ठरतो.
ख फॉर खवचट
शिवाय हा आलेख शुद्ध सांख्यिकी दृष्टीने बघायचा असून
या धाग्यावर येताक्षणी वारंवार मला खवचटपणाची उर्मि का येते आहे कळले नाही पण .... पण ... शुद्ध सांख्यिकीय दृष्टीने मानवी संस्कृतीचे अत्यंत महत्त्वाचे ट्रेंड्स जोखायचे असतील तर ....तर ... त्यापेक्षा निर्मलबाबांचे* टीवीवर येणारे प्रोग्राम का पाहू नयेत?
----------------------------
कशाचा निष्कर्ष काय येईल हे निर्मलबाबाच्या प्रोग्राममधे कोणीही गेस करू शकत नाही. करमत नसेल त्यावेळी केवळ १० मिनिटे प्रोग्राम पहावा, लॉजिकल अ‍ॅबिलिटी चरमपदाला पोहोचेल याची हमी.
गुड न्यूज!
भारत सरकारचे २०२२ पर्यंत १०० गिगावॅट वीज सौरऊर्जेच्या रुपात मिळवायचे ध्येय आहे. १०० गिगावॅट म्हणजे सध्याच्या विजेच्या गरजेच्या ९%. म्हणजे सध्याच्या वीज निर्मितीच्या १०% (१०% डेफिसिट धरुन). या आलेखाप्रमाणे जर २०१९ मध्येच सौरऊर्जा एकूण वीजनिर्मितीच्या १०% होणार असा अंदाज असेल तर भारत सरकारची योजना योग्य मार्गावर आहे आणि अपेक्षेप्रमाणे ध्येयप्राप्ती होईल असे दिसते.
स्पेनचेही असेच काहीसे ध्येय होते परंतु काही कारणाने त्यांचा सौरऊर्जा उद्योग डबघाईला आला आणि ते ८%वर अडकले. २०२२ मध्ये भारत सौरऊर्जेच्या बाबतीत जर्मनी व स्पेनला मागे टाकून सौरमहासत्ता होणार.
या लेखात फक्त २०१३ पर्यंतचीच
या लेखात फक्त २०१३ पर्यंतचीच आकडेवारी होती. आता २०१४ चे आकडेही उपलब्ध आहेत. त्यानुसार सौरविद्युत निर्मिती ही एकूण विद्युतनिर्मितीच्या सुमारे ०.७९% इतकी आहे. म्हणजे गेली काही वर्षं चालू असलेला ३५ ते ४० ट्क्क्यांचा ग्रोथ रेट अजूनही लागू आहे. २०१५ च्या जूनमध्येच हा आकडा १% च्या वर गेल्याच्या बातम्या आहेत. हेच पुढची तीनचार वर्षं चालू राहिलं तर २०१९ मध्ये ५% पर्यंत पोचू शकू. तोपर्यंत स्वान्सन्स लॉनुसार किमती पन्नासेक टक्क्यांनी घटल्या असतील. पुढचं पुढे पाहू.
माझी ढोबळ उत्तरे
उत्तरे २-२-२ वर्षांच्या फरकाने आहेत. शेवटचे दोन अंक घ्या; संख्या अनुक्रमे दोन मूळ संख्यांचा गुणाकार, मूळ संख्या व पूर्णवर्ग आहेत. आणखी दोन वर्षांनी पूर्णघन संख्या आहे.
सफेद ठसा नेहमीच्या युक्तीने दिसेना, म्हणून अशा प्रकारे उत्तर लपवले.