पायथागोरसचे प्रमेय - भाग १

पायथागोरसचे प्रमेय

(मी शाळेत न शिकलेले पण आय. आय. टी.त शिकवलेले)

बालमोहन लिमये

हे लेख नंदा खरे यांच्या स्मृतीला अर्पण, ज्यांनी मला लिहिते केले.

भाग १

आमच्या वेळी माध्यमिक शाळेत गणिताचे अंकगणित, भूमिती आणि बीजगणित असे तीन भाग होते. सुमारे 65 वर्षांनंतर अजूनही शालेय गणिताची तीच विभागणी कायम असावी. मला भूमिती सर्वांत अवघड वाटायची. तिच्यातली प्रमेये (theorems) समजायची, पण त्यांवर आधारलेले गणिती प्रश्न सोडवणे मला कठीण जात असे. त्यांना आम्ही रायडर्स (riders) म्हणत असू, सध्या त्यांना कदाचित उपप्रमेये म्हणत असावेत.

काटकोन त्रिकोणातील कर्णाची लांबी

भूमितीमधील एक मूलभूत प्रमेय पायथागोरसच्या नावाने ओळखले जाते. ते आहे काटकोन त्रिकोणासंबंधी. ज्या त्रिकोणामध्ये तीनपैकी एक कोन नव्वद अंशांचा आहे, म्हणजे काटकोन आहे, त्या त्रिकोणाला काटकोन त्रिकोण म्हणतात. अशा त्रिकोणातील काटकोनासमोरील बाजूला कर्ण (diagonal) असे नाव आहे. हे प्रमेय सांगते की काटकोन त्रिकोणातील कर्णाच्या लांबीचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या लांबींच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. हीच गोष्ट चिह्ने वापरून अशी सांगता येईल: कर्णाची लांबी c असेल व इतर दोन बाजू a आणि b लांबीच्या असतील तर a2 + b2 = c2 .



हे प्रमेय खुद्द गणित विषयात व त्याचे उपयोजन (application) होत असलेल्या भौतिकी (physics), अभियांत्रिकी (engineering) अशा अनेक विषयांत अतिशय महत्त्वाचे आहे. आमच्या वेळी ते फक्त शाळेच्या शेवटच्या वर्गात शिकवत असत. पण संस्कृत विषयात विशेष प्रावीण्य मिळवण्याचा माझा मनसुबा असल्याने मी त्या वर्षीच्या परीक्षेसाठी फक्त निम्नस्तराचे गणित (Lower Mathematics) निवडले होते. बीजगणित आणि भूमिती हे उच्चस्तरावरील गणितात (Higher Mathematics) मोडत. ते पुण्याच्या नूतन मराठी विद्यालयात ऋतुपर्ण धोंडो वैद्य शिकवत असत. त्यांनी अ2 + ब2 = क2 हे तीन वेळा 'वर्ग' या उच्चारावर जोर देऊन म्हटलेले सूत्र मला आठवते. पण त्याहीपेक्षा जास्त लक्षात राहिलेली गोष्ट म्हणजे एकदा वैद्य सरांनी एक छोटा ट्रान्झिस्टर रेडिओ आणला होता, आणि क्रिकेटच्या सामन्याचे धावते समालोचन (running commentary) प्रत्येक मुलाला तो कानाजवळ धरून ऐकता यावे म्हणून वर्गात फिरवला होता. त्याकाळी भारतात नुकतेच ट्रान्झिस्टर्स आले असल्याने आम्हाला किती अप्रूप वाटले होते सरांचे! सांगायचा मुद्दा असा की शाळेमध्ये मी काही या प्रमेयाकडे फारसे लक्ष दिले नाही, कारण ते निम्नस्तरीय गणिताच्या अभ्यासक्रमात नव्हते. पुढे सर परशुरामभाऊ महाविद्यालयात गेल्यावर मी प्रामुख्याने गणिताकडे वळलो तेव्हा शाळेत न शिकलेल्या बऱ्याच कमतरता भरून काढाव्या लागल्या. पायथागोरसचे प्रमेय त्यांत पहिले. सर्वात महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे हे प्रमेय वापरून गणितज्ञांनी केलेली प्रतलावरील दोन बिंदूंमधील अंतराची व्याख्या. म्हणून जिथे जिथे अंतराची संकल्पना येते तिथे तिथे पायथागोरसच्या नावाचा उच्चार होत असे.

त्रिकोणाची बाजू ही एका सरळ रेषेचा एक तुकडा किंवा खंड असतो. तिच्या लांबीचा वर्ग म्हणजे तेवढीच लांबी-रुंदी असलेल्या आयताचे, म्हणजे चौरसाचे, क्षेत्रफळ. हे लक्षात घेऊन आपले प्रमेय असे मांडता येईल: काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णावर काढलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ त्या त्रिकोणाच्या दोन बाजूंवर काढलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेइतके असते.



सध्या हे प्रमेय शाळेच्या सातव्या इयत्तेतच शिकवतात. बालभारती या महाराष्ट्र राज्य पाठ्यपुस्तक निर्मिती मंडळाने प्रसिद्ध केलेल्या पुस्तकात या प्रमेयाच्या विधानाखाली दोन आकृती काढून दाखवल्या आहेत. त्यांतच या प्रमेयाची सिद्धता दडलेली आहे.



समजा काटकोन त्रिकोणातील एकमेकांशी काटकोन करणाऱ्या बाजूंची लांबी a आणि b आहे, आणि कर्णाची लांबी c आहे. वरील दोनही आकृतीत a + b लांबी-रुंदी असलेले सारख्याच आकाराचे चौरस काढलेले आहेत. तसेच दोन्ही आकृत्यांत दिलेल्या आकाराचे चार रंगीत काटकोन त्रिकोण आहेत; फक्त त्यांची रचना (arrangement) वेगळ्या प्रकारे केली आहे इतकेच. हे चार काटकोन त्रिकोण गाळून टाकले तर पहिल्या आकृतीत एकच चौरस उरतो; त्याची लांबी व रुंदी c आहे व म्हणून त्याचे क्षेत्रफळ c2 आहे. दुसऱ्या आकृतीत मात्र दोन चौरस उरतात; त्यांतील एकाची लांबी-रुंदी a व म्हणून क्षेत्रफळ a2 आहे, तर दुसऱ्याची लांबी-रुंदी b व म्हणून क्षेत्रफळ b2 आहे. आता उघड आहे की पहिल्या आकृतीत उरलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ दुसऱ्या आकृतीत उरलेल्या दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेइतके आहे, म्हणजेच c2 = a2 + b2. खेळ खलास, सिद्धता संपली! आमच्या काळी अशी चित्रमय, सोपी, सुटसुटीत आणि फक्त चौरसाच्या क्षेत्रफळावर आधारलेली सिद्धता शाळेतील सातवीच्या वर्गात शिकवली असती तर ती मनांत रुजली असती व पुढच्या कितीतरी गोष्टी पटापट उलगडत गेल्या असत्या. उदाहरणार्थ, त्याकाळी महाविद्यालयात त्रिकोणमिती (trigonometry) शिकताना आम्ही काही नित्यसमानता (identities) तोंडपाठ करत असू. त्यातील सर्वात नेहमी वापरली जाणारी होती sin2 + cos2 = 1; मराठीत ती ज्या2 + कोज्या2 = १ अशी लिहिता येईल. ही कुठल्याही कोनासाठी खरी असलेली नित्यसमानता अ2 + ब2 = क2 याच समीकरणाचेच वेगळे रूप आहे, कारण या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना क2 ने भागले तर आपल्याला (अ/क)2 + (ब/क)2 = १ असे समीकरण मिळते, आणि वरील आकृतीतील काटकोन त्रिकोणात b लांबी असलेल्या बाजूजवळच्या कोनाची ज्या (sine) असते अ/क, तर कोज्या (cosine) असते ब/क.

व्युत्क्रमी प्रमेय

आपल्या प्रमेयाचा उपयोग करून अनेक निष्कर्ष काढता येतात. सर्वांत महत्त्वाचा निष्कर्ष आहे दोन बिंदूंमधील अंतराबाबत. त्याचे विवेचन आपण पुढील भागात करू. आता एक वेगळा निष्कर्ष सांगतो. समजा एका काटकोन त्रिकोणात काटकोनाच्या शेजारच्या बाजूंची लांबी a आणि b आहे. तसेच कर्णाची लांबी c आहे, आणि कर्णावर समोरच्या शिरोबिंदूपासून टाकलेल्या लंबाची लांबी d आहे. कुठल्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याचा पाया व उंची यांच्या गुणाकाराच्या निम्मे असते. या सूत्राचा उपयोग करून आपल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ab/2 आणि cd/2 असे दोन प्रकारे मिळवता येते, व म्हणून ab = cd अशी समानता मिळते.



शिवाय आपल्या प्रमेयानुसार a2 + b2 = c2 हे समीकरण आहेच. त्यामुळे आपल्याला



अशी चिन्हमोड करता येते. आता हे समीकरण आपल्या प्रमेयातील a2 + b2 = c2 या समीकरणासारखेच, पण पलटी खाल्लेल्या संख्यांचे, दिसत असल्याने या निष्कर्षाला पायथागोरसचे व्युत्क्रमी प्रमेय (Reciprocal Theorem) असे म्हणतात. आपण जसे मूळ प्रमेयावरून व्युत्क्रमी प्रमेय मिळवले, तसे व्युत्क्रमी प्रमेयावरून मूळ प्रमेयही मिळवू शकतो. फक्त वर दिलेल्या पदावली उलट्या क्रमाने लिहिल्या की काम झाले, कारण ab = cd ह्या समानतेमुळे आपण



असे लिहू शकतो. दोन्ही बाजूंना c2d2 ने गुणले की आपल्याला मिळते a2 + b2 = c2. यावरून असे दिसून येते की मूळ प्रमेय व व्युत्क्रमी प्रमेय यांतील विधाने तुल्यबल आहेत, तितकीच वजनदार आहेत. व्युत्क्रमी प्रमेयाचा निष्कर्ष आपण d2 = a2 b2 / (a2 + b2) असाही लिहू शकतो. तो वापरून काटकोन त्रिकोणात कर्णासमोरच्या शिरोबिंदूपासून कर्णावर टाकलेल्या लंबाची लांबी सहज काढता येते. उदाहरणार्थ, a = 3 आणि b = 4 असेल, तर d2 = 32 42 / (32 + 42) = 144/25, व म्हणून ही लंबाची लांबी आहे d = 12/5. व्युत्क्रमी प्रमेयाच्या विधानातील पदावलीचा (expression) उपयोग आपण तीन मितीच्या अवकाशातील एक प्रमेय साधण्यासाठी पुढील भागात करणार आहोत.

इतिहासातील उल्लेख

प्रस्तुत प्रमेयाला मी 'पायथागोरसच्या नावाने प्रसिद्ध असलेले प्रमेय' असे संबोधले आहे. त्या मागचे कारण असे की पायथागोरस हा काही पहिला असामी नव्हता की ज्याला हे प्रमेय सुचले, किंवा ज्याने या प्रमेयाची सिद्धताही सर्वांआधी दिली. तरीही या प्रमेयाशी त्याचेच नाव निगडीत आहे. गणिताच्या इतिहासात असे इतरत्रही झालेले दिसून येते. एक गोष्ट मात्र स्पष्ट आहे: काटकोन त्रिकोणाच्या तीन बाजू आणि एकापाठोपाठ येणाऱ्या 3, 4, 5 या तीन संख्या यांचे नाते पुरातन आहे आणि जगड्‌व्याळ आहे.

इसवी सनापूर्वी 2500 वर्षांच्या कालखंडात इजिप्तमध्ये पिरॅमिड उभारले गेले. ते बांधताना एक प्रतिकृति वापरली जात असे. दोरीला सारख्या अंतरावर 12 गाठी, म्हणजे 3 + 4 + 5 गाठी, मारून तिला काटकोनात असा आकार देता येतो. मोठमोठ्या पिरॅमिडच्या रचनेत त्याचा उपयोग होऊ शकतो.



प्राचीन काळी सध्या इराक देश आहे त्या मेसापोटमिया भागात बाबिलोनिअन संस्कृती नांदत होती. तिच्या अवशेषांमध्ये काही मृत्तिकाचितीवर (clay tablets) सापडल्या आहेत. त्यांपैकी इसवी सनापूर्वी सुमारे 1800 वर्षे बनवलेली एक मृत्तिकचिती Plimpton 322 या नावाने ओळखली जाते. तिच्यावर त्या काळच्या आकडे मोजण्याच्या पद्धतीनुसार काही संख्या 15 ओळीत कोरलेल्या दिसतात. त्यांवरून लहानमोठ्या 15 त्रिकूटांचा कयास करता येतो, 45, 60, 75, म्हणजेच 3, 4, 5 पासून 12709, 13500, 18541 पर्यंत! या सर्व त्रिकूटातील समान बाब म्हणजे पहिल्या दोन संख्यांच्या वर्गाची बेरीज तिसऱ्या संख्येच्या वर्गाइतकी आहे.



परंतु तिथे काटकोन त्रिकोणाचा किंवा काटकोन चौकोनाचा उल्लेखही नाही, आणि ही त्रिकूटे काही समीकरण साधतात असेही म्हटलेले नाही.

भूमितीचा स्पष्ट उल्लेख इसवी सनापूर्वी 800 वर्षांच्या कालखंडात भारतातील शुल्बसूत्रांमध्ये प्रथम येतो. प्राचीन भारतामध्ये यज्ञविधींचे फार महत्त्व होते. ते पार पाडण्यासाठी ठराविक आकाराच्या व मापाच्या वेदी रचाव्या लागत. त्यांची रचना शुल्बसूत्रांमध्ये वर्णिली आहे. बौधायन शुल्बसूत्रांमध्ये आपल्याला पुढील विधान सापडते.

दीर्घचतुरस्रस्य अक्ष्णयारज्जुः पार्श्वमानी च तिर्यङ्मानी च यत् पृथग्भूते कुरुतः तद् उभयं करोति।

या सूत्रातील काही शब्दांचे अर्थ असे आहेत: दीर्घचतुरस्र म्हणजे आयत व अक्ष्णयारज्जु म्हणजे त्याचा कर्ण (diagonal), पार्श्वमानी म्हणजे त्याची उभी बाजू किंवा कोटी, तर तिर्यङ्मानी म्हणजे त्याची आडवी बाजू किंवा भुजा. मथितार्थ असा की आयताच्या कर्णावर उभारलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ त्याच्या उभ्या व आडव्या बाजूंवर उभारलेल्या चौरसाच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेइतके असते. थोडक्यात,

कोटी2 + भुजा2 = कर्ण2

या समीकरणाला आपण बौधायनाचे विधान किंवा कोटी-भुजा-कर्ण प्रमेय असे म्हणू शकतो. तेथे असेही सूचित केले आहे की जर आपण 3 व 4, 5 व 12, 7 व 24, 8 व 15, 12 व 35 अशी लांबी व रुंदी असलेले आयत काढले, तर त्यांचे कर्ण अनुक्रमे 5, 13, 25, 17, 37 लांबीचे होतील. मात्र शुल्बसूत्रांमध्ये हे असे का होते याची कारणमीमांसा दिलेली नाही. एकंदरीत, विधान अचूक केले असले तरी त्याची सिद्धता सांगितलेली नाही. शुल्बसूत्रे हा काही गणिती ग्रंथ नसल्याने तेथे सिद्धता देण्याचे प्रयोजन नाही असे म्हणता येईल, पण त्या काळच्या भारतीय मानसाला एखादे गणिती विधान केल्यावर त्याची सिद्धता द्यावी लागते हे उमजले होते की नाही असा प्रश्न राहतोच.

प्राचीन चिनी ग्रंथ 'जोहचा छायादंड' (Zhoubi, The Gnomon of the Zhou) आणि 'गणिती कार्यप्रणालीची नऊ प्रकरणे' (Nine Chapters of Mathematical Procedures) यांमध्येही प्रस्तुत प्रमेयाच्या (3, 4, 5) या उदाहरणाचा उल्लेख आढळतो. मात्र या ग्रंथांचे काळ ठरवणे दुरापास्त आहे, कारण त्यांत वरचेवर भर घातली गेली आहे आणि मूळ ग्रंथ व त्यावरील टीका यांची सरमिसळ झालेली आहे. हा चीनमधील उल्लेख जोह या राजवंशाच्या कारकिर्दीत म्हणजे इ. स. पूर्व 1100 पासून इ. स. 100 या विशाल अवधीमध्ये केव्हाही केलेला असू शकतो. शिवाय सध्या सर्वमान्य असलेल्या सिद्धतेऐवजी तेथे एक प्रकारच्या गणिती कार्यपद्धतीचा (Mathematical Procedure) अवलंब केला आहे. ही कार्यपद्धती जरी (3, 4, 5) या विशिष्ट उदाहरणासाठी सांगितली असली तरी ती इतर उदाहरणांनाही लागू पडते. या पद्धतीबद्दलचे अधिक विवेचन नंतर पाहू. तिला सिद्धतेचा दर्जा द्यायचा की नाही याबद्दल विद्वानांत दुमत अहे. चीनमध्ये काटकोन त्रिकोणाच्या आडव्या बाजूला गो (Gou) आणि उभ्या बाजूला गू (Gu) अशी नावे होती, तर कर्णाला शिॲन (Xian) म्हणत. म्हणून गो2 + गू2 = शिॲन2 हे समीकरण चिनी शाळांमध्ये गो-गू-शिएन प्रमेय या नावाने ओळखले जाते.

आज प्रचलित असलेल्या भूमितीचा पाया ग्रीसमध्ये इसवी सनापूर्वी सुमारे सहाशे वर्षे घातला गेला. मिलेटसचा थेलीज (Thales of Miletus) याला नुसत्या ग्रीक भूमितीचा नव्हे तर शास्त्रीय विचारसरणीचा आद्य प्रवर्तक मानले जाते. भूमितीची तात्त्विक बैठक आणि तिचा व्यावहारिक उपयोग या दोहोंबद्दल तो प्रसिद्ध होता. असे सांगतात की इजिप्तमधील पिरॅमिडची उंची शोधून काढण्यासाठी तो तिथे जाऊन पोचला व पिरॅमिडच्या पुढ्यात दिवसाच्या अशा वेळी उभा राहिला की त्याची सावली स्वतःच्याच उंचीइतकी पडत होती. त्याच वेळी त्याने पिरॅमिडची सावली मध्यापासून किती लांबवर पडली आहे ते अंतर मोजले. या अंतराइतकीच पिरॅमिडची उंची असली पाहिजे हे त्याने पटवून दिले. यामागे समरूप त्रिकोणांबाबतचे (similar triangles) एक विधान दडलेले आहे. अशाच प्रकारे त्याने समुद्रावरील जहाज किनाऱ्यापासून किती दूर आहे ते फक्त दोन काठ्या वापरून मोजले.

थेलीजचा एक प्रख्यात शिष्य पायथागोरस (Pythagoras). त्याच्या नावाचा ग्रीक भाषेतील उच्चार आहे पिथागोरास, पण आपण लिहिताना प्रचलित उच्चारच वापरू या. पायथागोरस इसवी सनापूर्वी 570 च्या सुमारास ग्रीसमधील सामोस (Samos) बेटावर जन्मला. तो एक गूढवादी तत्त्वचिंतक होता, त्याच्या मते आत्मा अमर असतो व व्यक्तीच्या मृत्यूनंतर तो वेगळ्या शरीरात शिरतो. तसेच आकाशातील ग्रह गणिती समीकरणांनुसार फिरत असतात, व त्यांच्या स्पंदनांमुळे अश्राव्य संगीताचे स्वरसंघ निर्माण करत असतात. त्याच्या अनुयायांचा एक पंथच तयार झाला होता. त्या पंथाचे कडक नियम असत व सामूहिक गोष्टींबद्दल गुप्तता बाळगावी लागत असे.



रोममधील कापितोलिन संग्रहालयातील (Capitoline Museums) पायथागोरसचा अर्धपुतळा

पायथागोरसने स्वत: काही गणिती सिद्धांत मांडले किंवा सिद्ध केले की नाही ते सांगता येत नाही, पण बरेच शोध त्याच्या नावाने रूढ झाले. त्यांपैकी एक म्हणजे प्रस्तुतचे प्रमेय. कुठल्याही त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी एकतर पूर्णांक असू शकते, किंवा दोन पूर्णांकांचे गुणोत्तर (ratio), म्हणजे अपूर्णांक (fraction) असे या पंथाचे मत होते. या निर्बंधामुळे एक मोठाच पेच निर्माण झाला. समजा एका काटकोन त्रिकोणात काटकोनाजवळच्या दोन्ही बाजूंची लांबी 1 आहे. त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी c असेल तर त्यांच्या प्रमेयानुसार 12 + 12 = c2 असे समीकरण मिळते, म्हणजे c ह्या कर्णाच्या लांबीचा वर्ग 2 होतो. परंतु त्या त्रिकोणाची एक बाजू कितीही पटींनी, समजा p पटींनी, वाढवली व त्या वाढवलेल्या रेषेचे कितीही समान भाग, समजा q समान भाग, केले, तरी कुठलाच भाग कर्णाच्या लांबीइतका होईना, म्हणजेच पायथागोरसच्या पंथातील कुणालाच असा अपूर्णांक p/q शोधता आला नाही की ज्याचा वर्ग 2 असेल. ही गोष्ट फार खळबळजनक होती, कारण कुठल्याही त्रिकोणाची बाजू अपूर्णांकात मोजता आली पाहिजे या त्यांच्या धारणेला तडा जात होता. पायथागोरसच्या मंडळींनी हे प्रकरण दाबून टाकण्याचा कसोशीने प्रयत्न केला. पण हिप्पासुस (Hippasus of Metapontum) नावाच्या पायथागोरसच्या शिष्याकडून ही गोष्ट बाहेर पडली. काही काळानंतर तो समुद्रात बुडून मेला. गुप्तता भंग केल्याबद्दल देवांनी (का दुसऱ्या कुणी?) त्याला शिक्षा दिली अशी वदंता होती.

सत्याची फार काळ मुस्कटदाबी करता येत नाही या चिरंतन तत्त्वाचे प्रत्यंतर याही बाबतीत आले. पायथागोरसचा शिष्य प्लेटो (Plato), व प्लेटोचा शिष्य अरिस्टॉटल (Aristotle) याने निगमात्मक विचारसरणीवर (deductive reasoning) लिहिलेल्या अनॅलिटिका प्रिओरा (Analytica Priora) या पुस्तकात कुठल्याच अपूर्णांकचा वर्ग 2 असू शकत नाही हे सूचित केले, व पुढे युक्लिड (Euclid) या ग्रीक गणितज्ञाने त्याची काटेकोर सिद्धताही दिली. आता आपण संख्यारेषेवरील जे बिंदू अपूर्णांक दर्शवितात त्यांना परिमेय संख्या व उरलेल्यांना अपरिमेय संख्या असे म्हणतो. (दुवा) असो, विषयांतर पुरे.

कदाचित प्रस्तुत प्रमेय पायथागोरसने प्रथम ग्रीक लोकांपुढे मांडले असावे. पण त्या प्रमेयाची पहिली तर्कशुद्ध पद्धतीने दिलेली सिद्धता युक्लिड (Euclid) याने लिहीलेल्या 'भूमितीची मूलतत्वे' (Elements of Geometry) या ग्रंथात मिळते. इसवी सनापूर्वी 300 वर्षे युक्लिडने तेरा खंडांचा हा ग्रंथ लिहिला. प्रथम गृहितके म्हणजे गृहित धरलेली विधाने (hypotheses) आणि साध्य करायची विधाने (conclusions) स्पष्टपणे मांडायची. मग तर्कशुद्ध रीतीने फक्त गृहितकांचाच उपयोग करून पायरी पायरीने (step by step) अपेक्षित असलेल्या निष्कर्षाप्रत पोचायचे. या प्रक्रियेला निगमन पद्धती (deductive method) असे म्हणतात. अशा प्रकारे सिद्ध केलेल्या विधानाची सत्यता त्रिकालाबाधित असते, ती कुणा व्यक्तीवर अवलंबून नसते. जोपर्यंत आपण आपली गृहितके बदलत नाही, तोपर्यंत सिद्ध केलेल्या विधानाबाबत केव्हाही, कुणाचाही मतभेद असू शकत नाही. केवळ भूमितीचाच नाही तर सर्व गणिताचा हा गाभा आहे, आणि गणिताचे हे व्यवच्छेदक लक्षणही आहे. इथे कुणाचे काही मत कुणाला मान्य आहे की नाही अशा वादाला वावच नाही.



युक्लिडचे कल्पनाचित्र

युक्लिडच्या पहिल्याच खंडतील सत्तेचाळीसावे विधान (Proposition) सध्या पायथागोरसचे प्रमेय म्हणून ओळखले जाते. युक्लिडने त्याची सिद्धता एकरूप त्रिकोणांच्या (congruent triangles) गुणधर्मांचा उपयोग करुन दिली आहे. ती समजून घ्यायला शाळेतील हुशार मुलांनाही घाम फुटतो हा अनुभव आहे. तेव्हा त्या फंदात आत्ता पडायला नको. नंतरच्याच म्हणजे अठ्ठेचाळिसाव्या विधानात युक्लिडने अगोदरच्या विधानातील गृहीतक आणि निष्पत्ती यांची अदलाबदल केली आहे. त्याने म्हटले आहे की जर एखाद्या त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी a, b, c असेल व a2 + b2 = c2 हे समीकरण मिळत असेल, तर त्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन असला पाहिजे आणि त्याच्या समोरील बाजूची लांबी c असली पाहिजे. या विधानाला मूळ विधानाचा व्यत्यास (converse) असे म्हणतात. गंमत अशी की युक्लिडने या व्यत्यासाची सिद्धता मूळचे विधान वापरून दिली आहे. आता ही दोन्ही विधाने मिळून आपल्याला सर्व त्रिकोणांपैकी काटकोन त्रिकोण नेमके कसे ओळखायचे, कुठलाही कोन न मोजता, ते समजू शकते: त्रिकोणाच्या बाजूंच्या a, b, c या लांबीमध्ये a2 + b2 = c2 हे समीकरण मिळते की नाही एवढेच पाहायचे.

एखादे प्रमेय एकदा सिद्ध झाले की त्याच्या खरेपणाबद्दल आणखी काही करायची जरुरी बिलकुल नसते. तरीही अनेक गणितज्ञ वेगळ्या प्रकारची सिद्धता शोधून काढायचा प्रयत्न करत असतात. काही वेळा पहिल्यापेक्षा सोपी सिद्धता मिळून जाते, तर काही वेळा त्या प्रमेयांत लपून बसलेल्या काही अनपेक्षित पैलूंवर प्रकाश पडतो. पायथागोरसच्या प्रमेयाच्या आतापर्यंत शेकडो सिद्धता अनेकांनी दिल्या आहेत, त्यातल्या काही भूमितीवर आधारित आहेत तर काही बीजगणितावर. 1968 साली पुनर्प्रकाशित झालेल्या एलिशा स्कॉट लूमिस (Elisha Scott Loomis) हिच्या पुस्तकात अशा 367 वेगवेगल्या सिद्धता दिल्या आहेत. त्यांत एव्हाना आणखी खूप भर पडली असणार! मी आता फक्त दोन सिद्धता दर्शवणार आहे, एक भारतीय आणि एक चिनी!

प्राचीन भारतीय गणितज्ञांमध्ये भास्कराचार्य अग्रगण्य आहेत. त्यांचा काल आहे इसवी सन 1114 ते 1185, व ते सह्याद्रीच्या रांगांमध्ये वाढले. त्यांचे वडील महेश्वर यांना विद्वानांनी आचार्यवर्य अशी पदवी दिली होती. भास्कराचार्यांचा 'सिद्धांतशिरोमणि' हा संस्कृतमध्ये लिहिलेला चार खंडांचा ग्रंथ प्रसिद्ध आहे. पुण्याच्या भास्कराचार्य प्रतिष्ठान या संस्थेने त्या ग्रंथाचा 'बीजगणित' नावाचा दुसरा छोटेखानी खंड 1979 साली प्रसिद्ध केला, प्राध्यापक शंकर केशव अभ्यंकर यांनी केलेल्या मराठी अनुवादासह. तेव्हा त्याची किंमत होती पाच रुपये. माझ्या वडिलांनी तो विकत घेऊन, त्यांच्या सवयीप्रमाणे त्यांत दुरुस्त्या करून मला दिला होता. अलिकडेच काही दिवसांपूर्वी तो माझ्या हाती लागला.



या ग्रंथातील एकूण 187 श्लोकांपैकी 129 वा श्लोक आहे:


दो:कोट्यन्तरवर्गेण द्विघ्नो घात: समन्वित:।
वर्गयोगसम: स स्याद् द्वयोरव्यक्तयोर्यथा॥

या श्लोकातील काही शब्दांचे अर्थ असे आहेत: दोस् = भुज, अन्तर = फरक, द्विघ्न = दुप्पट, घात = गुणाकार, समन्वित = मिळवलेला, वर्गयोग = वर्गांची बेरीज, अव्यक्त = अज्ञात राशी (unknown). श्लोकाचा अर्थ असा करता येईल :
भुज आणि कोटी यांतील फरकाच्या वर्गामध्ये त्यांच्या गुणाकाराची दुप्पट मिळवली तर त्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी होते, जसे कुठल्याही दोन अज्ञात राशींबद्दल म्हणता येईल. अर्थात, (भुज - कोटी)2 + 2 भुज x कोटी = कोटी2 + भुज2.



या श्लोकात कुठल्या तरी दोन अज्ञात राशींबद्दल न बोलता भुज आणि कोटी या खास बाबींबद्दल विधान केले आहे. तेव्हा श्लोकाचा रोख स्पष्ट आहे. एका काटकोन त्रिकोणाची आडवी बाजू म्हणजे भुजा a लांबीची, उभी बाजू म्हणजे कोटी b लांबीची आणि त्याचा कर्ण c लांबीचा आहे असे मानू. आता c ही लांबी-रुंदी असलेला एक चौरस पुरा करू, आणि दिलेल्या काटकोन त्रिकोणाच्या आकाराचे आणखी तीन त्रिकोण वरील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे या चौरसाच्या आत बसवू. त्यामुळे हा चौरस एका लहान चौरसात व चार काटकोन त्रिकोणात विभागला जातो, व म्हणून त्याचे c2 हे क्षेत्रफळ लहान चौरसाचे क्षेत्रफळ (b – a)2 आणि चार काटकोन त्रिकोणांचे प्रत्येकी क्षेत्रफळ ab/2 यांच्या बेरजेइतके म्हणजे a2 + b2 असले पाहिजे, म्हणून a2 + b2 = c2. पायथागोरसच्या प्रमेयाची बीजगणितावर आधारलेली ही सिद्धता भास्कराचार्यांनी वरील संस्कृत श्लोकाद्वारे सूचित केली आहे असे मानले जाते. पण बीजगणित या त्यांच्या पुस्तकात वर दिलेली आकृती नाही किंवा आणखी काही स्पष्टीकरणही नाही. तेव्हा आपल्याला अनुमानच बांधावे लागते त्यांच्या सिद्धतेचे. तसे म्हटले तर ग्रंथाच्या शेवटी भास्कराचार्यांनी आपण वर्णिलेले गणित सोपपत्तिप्रकार आणि लघु असल्याचे, म्हणजे कारणमीमांसा देऊन पण थोडक्यात मांडल्याचे सांगून ठेवले आहेच. वरील श्लोकानंतर त्यांनी गणिताचा अभ्यास करणाऱ्या विद्यार्थ्यांना काटकोन त्रिकोणासंबंधी काही खुबीदार प्रश्न विचारले आहेत. एक प्रश्न असा :

जर भुज + कोटी + कर्ण = 40 आणि भुज x कोटी = 120, तर भुज, कोटी, कर्ण किती किती?

साधे बीजगणित व पायथागोरसचे प्रमेय वापरून या प्रश्नाचे उत्तर 8, 15, 17 असे मिळवता येते. पुढचा प्रश्न असा:

जर भुज + कोटी + कर्ण = 56 आणि भुज x कोटी x कर्ण = 4200, तर भुज, कोटी, कर्ण किती किती?

हा प्रश्न तितका सोपा नाही. पण आधीच्या दुप्पट काम केले व तेही चलाखीने, तर 7, 24, 25 असे उत्तर मिळू शकते.

शेवटी चिनी गणितातील गो-गु-शिॲन प्रमेयाकडे वळू या. जोहचा छायादंड या पुस्तकावर जाओ श्वांग (Zhao Shuang) याने इसवी सनाच्या तिसऱ्या शतकात एक टीका (commentary) लिहिली. या टीकेसह ग्रंथाची इसवी सन 1213 मध्ये जी आवृत्ती प्रसिद्ध झाली तिच्यात पुढील आकृती दिली आहे.



कर्णाची आकृती (Figure of the Hypotenuse)

या आकृतीवरील टीपेत दिलेले स्पष्टीकरण बरेचसे अगम्य आहे. पण त्याचा अर्थ लावण्याचा प्रयास कारीन शेमला (Karine Chemla) या फ्रेंच गणिती लेखिकेने केला आहे. 'आयाताची रास करणे' (Piling up of Rectangles) या नावाने मूळ पुस्तकात उल्लेखलेल्या कार्यप्रणालीचा उपयोग कसा करायचा ते तिने सांगितले आहे. प्रथम a2 आणि b2 क्षेत्रफळ असणारे दोन चौरस एकमेकांना चिकटून काढायचे. मग त्यांचे a2 + b2 हे क्षेत्रफळ ab, (b – a)2 , ab असे एक आडवा आयत, एक चौरस, एक उभा आयत यांच्या क्षेत्रफळात विभागायचे. नंतर दोन्ही आयतांच्या खालच्या बाजूचे काटकोन त्रिकोण कापून वरच्या बाजूला असे आणायचे की त्यायोगे एक चौरस तयार होईल. त्या चौरसाची बाजू a आणि b लांबीच्या बाजू असणाऱ्या आयताच्या कर्णाइतकी असते व त्या चौरसाचे क्षेत्रफळ सुरुवातीला काढलेल्या दोन चौरसांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेइतके असते.



कर्णाची आकृती (Figure of the Hypotenuse)

भास्कराचार्यांचा युक्तिवाद बीजगणिती असला व जाओ श्वांगची कार्यप्रणाली भौमितिक असली तरी दोन्ही प्रकारे काढलेल्या आकृत्यांमध्ये खूपच साम्य दिसून येते. यापुढे आपण आपले प्रमेय मुळात कोणी मांडले व कोणी ते सिद्ध केले हे सारे बाजूला ठेवून परंपरेप्रमाणे त्याला पायथागोरसचे प्रमेय असेच म्हणायचे ठरवू या.

पायथागोरसची त्रिके (Pythagorean Triples)

आता आपण बीजगणित व भूमिती सोडून काही वेळ अंकशास्त्राकडे (Number Theory) वळू या. काटकोन त्रिकोण काढताना एक बिंदू निश्चित करुन त्यापाशी एकमेकाना काटकोन करणाऱ्या कितीही लांबीच्या बाजू आपण काढतो. या दोन बाजू जेथे संपतात ती टोके जोडली की आपल्याला काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण मिळतो. या कर्णाची लांबी आपोआपच ठरून जाते व ती किती असते ते आपल्याला पायथागोरसच्या प्रमेय सांगते : जर काटकोन करणाऱ्या दोन बाजूंची लांबी a, b असेल तर त्यांचे वर्ग करून त्यांची बेरीज करायची, व मिळणाऱ्या a2 + b2 या संख्येचे वर्गमूळ काढले की आपल्याला कर्णाची लांबी c मिळते, कारण c2 = a2 + b2.

समजू या की a, b हे धन पूर्णांक आहेत, म्हणजे 1, 2, 3, ... यापैकी नैसर्गिक संख्या (natural numbers) आहेत. मग कर्णाची लांबीसुद्धा पूर्णांक असेल का? असे नेहमी तर नसते, जसे a, b या दोन्ही संख्या 1 हा पूर्णांक असल्या तरी √ 2  हा काही पूर्णांक नाही; इतकेच काय तो एक अपूर्णांकही नाही हे आपण बघितलेच आहे. समजा आपल्याला कर्णाची लांबी c ही पूर्णांकच हवी आहे तर मग आपल्याला a, b हे पूर्णांक काळजीपूर्वक निवडावे लागतील. हा प्रश्न वाटतो तितका सोपा नाही. एक उदाहरण मात्र आपल्याला खूपदा भेटले आहे: a = 3, b = 4, जेणेकरून कर्णाची लांबी c = √ 9 + 16  = √ 25  = 5 अशी पूर्णांकात मिळते. जर a, b, c, हे तिन्ही धन पूर्णांक असतील आणि c2 = a2 + b2 हे समीकरण साध्य होत असेल तर (a, b, c) या त्रिकूटाला पायथागोरसचे त्रिक (Pythagorean triple) असे म्हणतात. (3, 4, 5) या त्रिकाखेरीज (5, 12, 13) हे पायथागोरसचे त्रिक आपण पाहिले आहे. भास्कराचार्यांनी त्यांच्या बीजगणित या पुस्तकात विचारलेले दोन प्रश्न आपण बघितले आहेत; त्यांतल्या पहिल्याचा अर्थानुवाद (paraphrase) असा करता येईल: पायथागोरसचे एक त्रिक (a, b, c) असे शोधून काढा की a + b + c = 40 आणि a b = 120. याचे उत्तर आहे (8, 15, 17) हे त्रिक. तसेच दुसऱ्या प्रश्नाचे उत्तर आहे (7, 24, 25) हे त्रिक.

आता प्रश्न की उभे राहतात पायथागोरसची त्रिके अनंत आहेत का आणि ती सगळी मिळवता येतील का असे. समजा (a, b, c) हे पायथागोरसचे त्रिक आहे. मग (b, a, c) हे पण असणारच, कारण b2 + a2 = a2 + b2 = c2. परंतु हे त्रिक काही वेगळे समजायला नको. तसेच p हा कुठलाही धन पूर्णांक असेल तर (pa, pb, pc) हे देखील त्रिक असते, कारण (pa)2 + (pb)2 = p2(a2 + b2) = p2c2 = (pc)2. परंतु हे नवे त्रिक काही फारसे वेगळे नाही, उदाहरणार्थ (3, 4, 5) या त्रिकात आणि (6, 8, 10) किंवा (9, 12, 15) यांत फरक फक्त गुणोत्तराचा आहे. अशी पुनरावृत्ती टाळणे जरूर आहे. (a, b, c) या त्रिकातील a, b या पूर्णांकांना 1 सोडून दुसऱ्या कोणत्याच पूर्णांकाने भाग जात नसेल, म्हणजे a आणि b त्यांचा म. सा. वि. (महत्ताम सामायिक विभाजक, G.C.D.) 1 असेल, तर त्या त्रिकाला आदिम त्रिक (primitive triple) असे म्हणू या. आता पायथागोरसची आदिम त्रिके कशी मिळवायची याचा विचार करू या. जर (a, b, c) हे आदिम त्रिक असेल, तर a, b या दोन्ही संख्या सम असणार नाहीत, कारण दोघींना 2 ने भाग जाईल; म्हणून त्यांपैकी एक तरी संख्या विषम असली पाहिजे. समजा a ही संख्या विषम आहे, आणि a = 2k + 1, जिथे k हा एक पूर्णांक आहे. मग b = 2k( k +1) ही संख्या घेतली, तर आपल्याला a2 + b2 = (2k + 1)2 + (2k)2( k +1)2 = (2 k2 + 2k + 1)2 असे समीकरण मिळते. त्यामुळे c = 2k2 + 2k + 1 ही संख्या घेतल्यास (a, b, c) हे पायथागोरसचे त्रिक आपल्याला मिळून जाते. तसेच ते त्रिक आदिम आहे, कारण 2k + 1 आणि 2k( k +1) या दोन्ही संख्यांना कोणत्याच मूळ संख्येने भाग जाणे शक्य नाही, व म्हणून त्यांचा म.सा.वि. 1 आहे उदाहरणार्थ, a = 7 असेल तर k = 3 घेऊन (7, 24, 25) हे आदिम त्रिक मिळते, आणि a = 9 असेल तर k = 4 घेऊन (9, 40, 41) हे आदिम त्रिक मिळते. अशाप्रकारे पायथागोरसची आदिम त्रिके अनंत असली पाहिजेत हे कळून चुकते.

इसवी सनापूर्वी सुमारे पाचशे वर्षे कात्यायनाने रचलेल्या शुल्बसूत्रांमध्ये भूमितीतील निरनिराळ्या आकृती कशा काढायच्या ते सांगितले आहे. सहाव्या अध्यायातील सातव्या श्लोकात दिलेल्या पूर्णांकाइतके क्षेत्रफळ असणारा चौरस काढण्याची रचना दिली आहे. या चौरसाच्या बाजूची लांबी 2k + 1 असली तर त्या सूत्रात वर्णन केलेल्या रचनेवरून आपल्याला (2k + 1, 2k(k +1), 2k2 + 2k + 1) हे पायथागोरसचे आदिम त्रिक मिळून जाते.

मात्र वर दिलेल्या रीतीने सगळी आदिम त्रिके मिळत नाहीत. उदाहरणार्थ, (15, 8, 17) किंवा (33, 56, 65) ही पायथागोरसची आदिम त्रिके अशी मिळू शकत नाहीत. सगळी आदिम त्रिके मिळवण्यासाठी युक्लिडने दिलेल्या एका सूत्राचा उपयोग करता येतो. समजा m आणि n हे धन पूर्णांक आहेत, व m हा n पेक्षा मोठा आहे. मग a = m2 – n2 आणि b = 2mn या संख्या निवडल्या तर आपल्याला a2 + b2 = (m2 + n2)2 असे समीकरण मिळते. त्यामुळे c = m2 + n2 ही संख्या घेतल्यास (a, b, c) हे पायथागोरसचे त्रिक आपल्याला मिळते. अशी मिळवलेली सगळी त्रिके आदिम नसली, तरी प्रत्येक आदिम त्रिक, फार तर a आणि b यांची अदलाबदल करून, या रीतीने मिळवता येते. उदाहरणार्थ, आधीच्या रीतीने न मिळालेले (15, 8, 17) हे आदिम त्रिक m = 4, n = 1 घेऊन मिळते; तसेच (33, 56, 65) हे आदिम त्रिक m = 7, n = 4 घेऊन मिळवता येते.

पायथागोरसच्या त्रिकांचा एक गुणधर्म लक्षणीय आहे. जर (a, b, c) हे पायथागोरसचे त्रिक असेल, तर a, b, c या संख्यांपैकी एकीला तरी 3 ने भाग जातो, एकीला तरी 4 ने भाग जातो व एकीला तरी 5 ने भाग जातो. भाजक अंकगणित (modular arithmetic) वापरले तर हे सिद्ध करणे सोपे जाते. (दुवा) त्यामुळे abc या तिन्ही संख्यांच्या गुणाकाराला 3 x 4 x 5 = 60 ने नेहमीच भाग जातो. (3, 4, 5) या पायथागोरसच्या सर्वात लहान त्रिकासाठी तर हा गुणाकार बरोबर 60 आहे.

या भागात चर्चिलेले पायथागोरसचे प्रमेय त्रिकोण व चौकोन या प्रतलावरील (planar) आकृतींसंबंधी आहे. पुढील भागात या प्रमेयाची तीन मितींच्या अवकाशातील काही प्रतिरूपे (analogues) पाहू. शिवाय निर्देशक भूमितीची (coordinate geometry) तोंडओळख करून घेऊन दोन व तीन मितींतील प्रमेये एका सुटसुटीत स्वरूपात मांडू. त्याचा उपयोग शेवटच्या भागामध्ये तीन मितींच्या अवकाशापेक्षाही जास्त व्यापक असे चार मितींचे किंवा त्यालाही पुरून उरणारे काही महान विश्व असते का, आणि तसे असेल तर तेथे पायथागोरसचे प्रमेय कसे नांदते यांची चर्चा करण्यासाठी होईल.

(क्रमशः)
---

बालमोहन लिमये

(balmohan.limaye@gmail.com)

Balmohan Limaye 2020

लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.

बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
0
No votes yet

प्रतिक्रिया

लेख नेहमीप्रमाणेच आवडला. शाळेत हे सगळं शिकवलं होतं पण बिजगणित आणि भूमिती असा परस्पर संबंध आणि त्या जोडीला वेगवेगळ्या संस्कृतींत या एकाच गोष्टीचा झालेला अभ्यास हे असं एकत्र पहिल्यांदाच वाचलं. फारच मजा आली!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

प्राचीन भारतामध्ये शुल्बसूत्रकारांना काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाचा वर्ग उरलेल्या दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेबरोबर असतो हे माहीत होते असे आपण माझ्या ह्या लेखावरून पाहिले आहे. परन्तु आज जगभर आणि भारतातहि हे प्रमेय पायथागोरसच्या नावानेच ओळखले जाते हेहि सत्य आहे. शुल्बसूत्रकार आणि पायथागोरस ह्यांच्यामधले पौर्वापर्य ठरविण्यासाठी कसलाच ठोस पुरावा आत्ता उपलब्ध नाही. तथापि सध्याच्या whatsapp जमान्यात We too/We first अशा दोन्ही गटांकडून ह्या प्रमेयाचे प्रथमश्रेय सूत्रकर्त्या बौधायनाला मिळायला हवे असा प्रचार केला जातो. हे कितपत योग्य आहे?

मला असे वाटते की प्राचीन भारतामध्ये गणिताला स्वतन्त्र विषय असे स्थान किंवा महत्त्व नव्हते. गणित हे ज्योतिषशास्राला धरून असे. त्यामुळे गणिताच्या जाणकाराला दैवज्ञ असे सरसकट संबोधिले जात असे. सुभाषितरत्नभाण्डागार ह्या संस्कृत श्लोकांच्या संग्रहामध्ये (Anthology) श्लोकांचे विषयवार वर्गीकरण दिसते आणि तेथे गणकप्रशस्ति आणि गणकनिंदा असे दोन विषय आहेत. प्रत्येकी ६ असे एकूण १२ श्लोक गणकांबाबत आहेतआणि ते सर्व ज्योतिषांबाबत आहेत,

गेल्या २ हजार वर्षांमध्ये भारतीय शिक्षण कशा प्रकारचे होते, कोणकोणते विषय विद्यार्थ्यांना शिकविले जात ह्याविषयीची माहिती कोठे आहे काय? असल्यास ही माहिती कोठे मिळेल?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

अगदीच दोन हजार नाही पण गेल्या सहस्त्रकात भारतीय शिक्षण कसे असावे यावर "इतिहासतज्ञांचे" काही पेपर्स असतील तर वाचायला आवडेल. कुणी लिंक दिल्यास आभारी आहे.
---------------------------
२८-ऑगस्ट-२२
या प्रश्नाचे काही प्रमाणात उत्तर मला आजच्या शांता गोखले यांच्या लोकरंगच्या लेखात मिळाले.

महाराष्ट्रात ब्रिटिशांच्या आगमनाआधी शिक्षणाची परिस्थिती काय होती, या प्रश्नाचं उत्तर ‘महाराष्ट्र-जीवन : परंपरा, प्रगती आणि समस्या’ (१९६०) या गं. बा. सरदार आणि इतरांनी संपादित केलेल्या ग्रंथाच्या दुसऱ्या खंडात सापडतं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

खूप detail आणि अगदी खोलवर प्रमेयचे विश्लेषण केले आहे .
सामान्य लोकांना हे काही समजेल असे वाटत नाही.

Scientist किंवा प्रोफेसर ह्यांना च समजू शकते.
तरी एक प्रश्न.
ह्या प्रमेयाच्या अगदी खोलात जावून. .
अनेक मिती च गणित मांडले आहे .ह्या सर्वाचा वापर कोणत्या यंत्रात,अवकाश मोहिमेत,बांधकाम क्षेत्रात करून घेतला आहे का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0