गणिताच्या निमित्ताने – भाग ८

गणिताच्या निमित्ताने – भाग ८

बालमोहन लिमये

(बेरजेसारख्या गणिती प्रक्रियांच्या व्याख्या मानवच बनवत असतो, त्या काही निसर्गदत्त किंवा परमेश्वरदत्त नसतात. आणि माझे फ्रेंच कनेक्शन – प्राध्यापक बालमोहन लिमये यांच्या साप्ताहिक लेखमालेतील पुढील भाग. मागील भाग इथे.)

नवे अंकगणित
माझी धाकटी मुलगी अदिति प्राथमिक शाळेत असताना एकदा मला म्हणाली ‘बाबा, आमची शाळा 9 वाजता भरते, ती 6 तास चालते आणि 3 वाजता संपते. 9 + 6 म्हणजे 15 होतात. मग आपण शाळा 15 वाजता संपते असे का नाही म्हणत?’ मी तिला सांगितले की घड्याळावर 12 आकडेच लिहायची सोय आहे, म्हणून 12 वाजून गेले की आपण 13 कडे न जाता पुन्हा 1 पासून सुरुवात करतो, व आणखी दोन तासांनी 15 ऐवजी 3 वाजले असे म्हणतो. अदिति म्हणाली की याचा अर्थ 12 ला शून्य मानण्यासारखेच झाले. अगदी बरोबर. मग मी 24 तासांचे आकडे असलेले एक मोठे घड्याळ विकत आणून भिंतीवर लावले. आम्ही दोघे ते घड्याळ मनांत ठेवून बोलत असू. अदिति आणि तिची मैत्रीण संध्याकाळी खेळायला निघाली की मी म्हणायचो ‘19 वाजेपर्यंत परत या बरं का.’ मैत्रिणीच्या चेहऱ्यावरील प्रश्नचिन्ह पाहून आम्हा दोघांना हसू येई. दोन-तीन दिवसांनी सकाळी उठल्यावर अदिति म्हणाली की ती 22 वाजता झोपली व तब्बल 8 तासानंतर तिला जाग आली, पण 24 तासांच्या घड्याळात 30 च्या ऐवजी 6 च वाजले होते. मी काही म्हणायच्या आधीच ती उद्गारली की हे घड्याळ 24 ला शून्य मानते असे दिसते!

Aditi Limaye, 1984 24-hour clock
अदिति, १९८४ अदितीचे २४ तासांचे घड्याळ

यानंतर तिने गणिती विचाराच्या दृष्टीने महत्त्वाचा एक प्रश्न विचारला, ‘बाबा, आपण असे कुठल्याही आकडयाला शून्य मानू शकतो का?’ मी म्हटले ‘का नाही? जरुर असेल (किंवा नसेल तरीही) कोणत्याही n ह्या आकडयाचे आणि शून्याचे आपण समीकरण करू शकतो. आपण नकळत तसे करतही आलो आहोत.’ हे ऐकल्यावर ती म्हणाली घड्याळाशिवाय दुसरीकडे असे कुठे आहे? मी तिला एक उदाहरण दिले. समजा आज तारीख आहे 2 आणि आजचा वार आहे मंगळवार. मग येत्या 17 तारखेला कोणता वार असेल हे काढताना आपण काय करतो? 2 + 7 = 9, म्हणून 9 तारखेला मंगळवार, पुन्हा 9 + 7 = 16, म्हणून 16 तारखेला मंगळवारच, व त्यामुळे 17 तारखेला बुधवार! इथे आपण 7 ने ज्या उड्या मारल्या, त्यांचा अर्थ 7 ला शून्य मानले असाच होतो. तसेच आहे महिन्यांच्याबाबत. आपण जानेवारी हा वर्षाचा पहिला महिना आहे असे म्हणतो, तसेच जून हा सहावा आणि डिसेंबर बारावा. उत्तरायण डिसेंबरमध्ये सुरु होते, 6 महिने टिकते आणि जूनमध्ये संपते. याचा अर्थ 12 + 6 = 6, असा होतो. हे बरोबरच आहे, कारण डिसेंबर जरी बारावा महिना असला तरी त्यानंतर येणाऱ्या जानेवारी महिन्याला आपण तेरावा महिना म्हणत नाही, पहिला महिना असेच धरतो, म्हणजे 12 ला शून्य मानतो. आणखी एक सोपी गोष्ट म्हणजे इलेक्ट्रिक बटनांची. विद्युतप्रवाह चालू नसताना आपण बटन 0 वर आहे असे समजू या. बटन दाबले की विद्युतप्रवाह चालू होतो, व बटन 1 वर आले असे समजायला हरकत नाही. पण पुन्हा बटन दाबले की विद्युतप्रवाह बंद होतो, म्हणजे बटन 0 वर आले. याचा अर्थ 1 + 1 = 0 असाच नाही का? म्हणजे आपण 2 ला शून्यच मानले! त्याचप्रमाणे आपण सैपाकघरात वापरतो तो चक्राकार नियंत्रक असलेला मिश्रक (Mixer with a circular regulator) घ्या. त्यात बंद (Off), नीच (Low), मध्यम (Medium) आणि उच्च (High) असे वेग दाखवणारे चार खटके असतात. बंद म्हणजे 0, नीच म्हणजे 1, मध्यम म्हणजे 2 आणि उच्च म्हणजे 3 असे मानू या. मध्यम वेगावरचा नियंत्रक फिरवून उच्च वेगाकडे नेला आणि त्याच दिशेने आणखी फिरवला की मिश्रक बंद होतो. याचा अर्थ 2 + 1 = 3 आणि 3 + 1 = 0 असा होतो, म्हणजे आपण 4 ला शून्य मानतो! अशी कितीतरी उदाहरणे देता येतील.

एवढे सगळे सांगून झाल्यावर मी अदितीला एक वेगळ्या प्रकारची बेरीज शिकवली. समजा n हा 1 पेक्षा मोठा कुठलाही आकडा आहे आणि आपल्याकडे फक्त 0, 1, 2,..., n - 1 असे एकूण n आकडेच आहेत. यांपैकी a आणि b या आकड्यांची नवी बेरीज अशी करायची. a + b या आकड्याला n या आकड्याने नेहमीप्रमाणे भागायचे आणि जी बाकी उरेल तीच a आणि b या आकड्यांची नवी बेरीज. या पद्धतीने मिळणाऱ्या बेरजेला नवी बेरीज (भाजक n) - addition (modulo n) - असे म्हणतात. इथे एक गोष्ट लक्षात घेतली पाहिजे, ती अशी की 0, 1, 2,..., n - 1 यांतील कुठलेही दोन आकडे घेऊन केलेली नवी बेरीज (भाजक n) या आकड्यांपैकीच असते, कारण कुठल्याही आकडयाला n ने भागले तर बाकी 0, 1, 2,..., n - 1 यांपैकीच उरते.

उदाहरणार्थ, समजा n = 7. मग आपल्याकडे 0, 1, 2, 3, 4, 5 आणि 6 असे सातच आकडे आहेत. यांपैकी 2 आणि 3 या आकड्यांची नवी बेरीज काढण्यासाठी 2 + 3 = 5 या आकड्याला 7 या आकड्याने नेहमीप्रमाणे भागले तर भागाकार 0 आणि बाकी 5 उरते, म्हणून 2 आणि 3 यांची नवी बेरीज 5 होते, म्हणजे त्यांच्या नेहमीच्या बेरजेइतकीच. आता 4 आणि 5 या आकड्यांची नवी बेरीज करायची म्हटले तर 4 + 5 = 9 या आकडयाला 7 या आकडयाने भागले तर भागाकार 1 आणि बाकी 2 उरते, म्हणून 4 आणि 5 यांची नवी बेरीज 2 होते. समजा आपण सात वारांना अशा खुणा दिल्या: 0 ही रविवारची खूण, 1 ही सोमवारची खूण, 2 ही मंगळवारची खूण, 3 ही बुधवारची खूण, 4 ही गुरुवारची खूण, 5 ही शुक्रवारची खूण, आणि 6 ही शनिवारची खूण. आता 2 आणि 3 यांची नवी बेरीज 5 आहे, याचा अर्थ मंगळवारनंतर तीन दिवसांनी शुक्रवार येतो, व 4 आणि 5 यांची नवी बेरीज 2 आहे, याचा अर्थ गुरुवारनंतर 5 दिवसांनी मंगळवार येतो. बरोबरच आहे की नाही?

नवी बेरीज करता आल्यावर नवी वजाबाकी कशी करायची ते बघू या. समजा आपल्याकडे फक्त 0, 1, 2,..., n - 1 असे एकूण n आकडेच आहेत, आणि यांपैकी a या आकड्यातून b हा आकडा नव्या पद्धतीने वजा करायचा आहे. प्रथम आपण -b हा 0, 1, 2,..., n - 1 यांपैकी असा आकडा शोधू या की b आणि -b यांची नवी बेरीज 0 होईल. हे काम सोपे आहे: जर b = 0, असेल तर -b = 0, आणि जर b हा 1, 2,..., n - 1 यांपैकी एक आकडा असेल तर -b = n - b असे ठरवले की झाले, कारण b + (n – b) = n, आणि n ला n ने भागले की भागाकार 1 येतो व बाकी 0 राहते. आता a या आकड्यातून b हा आकडा नव्याने वजा करायचा म्हणजे a आणि -b या आकड्यांची नवी बेरीज (भाजक n) करायची, बस्स.

कुठल्याही चक्रीय धाटणीच्या (cyclic pattern) गोष्टीमध्ये जर चक्राची लांबी n असेल, तर नवी बेरीज (भाजक n) उपयोगी ठरते. अदितीला समजावण्याच्या माझ्या खटाटोपावरून काही गोष्टी स्पष्ट होतात. एक म्हणजे आपण नेहमीच्या वापरातील गोष्टींचा खोलवर विचार केला तर त्यांपैकी काहींमध्ये मूलभूत साम्य दिसून येते, आणि ते जर गणिती पद्धतीने व्यक्त केले तर तशाच आणखी गोष्टींवर प्रकाश पडतो. दुसरे असे की 1, 2, 3,... या आकड्यांना आपण नैसर्गिक संख्या म्हणतो कारण त्या आपल्या जन्मापासून सहजपणे - निसर्गतः - आपल्यापुढे ठाकलेल्या असतात. अशा दोन संख्यांची बेरीज करायची सवय आपल्याला इतक्या लहानपणापासून लागते की ती एक नैसर्गिक क्रिया बनून जाते. मग आपल्याला वाटते की 2 आणि 2 यांची बेरीज 4 च असली पाहिजे, ती दुसरी काहीच असू शकत नाही. पण तसे नसते. जर n = 3 धरले, तर 2 आणि 2 या आकड्यांची नवी बेरीज 1 होते, कारण 2 + 2 = 4, आणि 4 ला 3 ने नेहमीप्रमाणे भागले तर बाकी 1 उरते. तसेच जर n = 4 धरले, तर 2 आणि 2 या आकड्यांची नवी बेरीज 0 होते, कारण 2 + 2 = 4, आणि 4 ला 4 ने नेहमीप्रमाणे भागले तर बाकी 0 उरते. म्हणजे बेरजेसारख्या प्रक्रियांच्या व्याख्या मानवच बनवत असतो, त्या काही निसर्गदत्त किंवा परमेश्वरदत्त (God given) नसतात.

माझी अदितीबरोबर चर्चा झाली त्या दिवशी झोपताना ती म्हणाली, ‘बाबा, आता मी नवा गुणाकारही करू शकते’. मी म्हटले, ‘अरे वा!’ नव्या बेरजेप्रमाणेच नवा गुणाकार कसा करायचा ते सांगणे सोपे आहे. a आणि b हे 0, 1, 2, ..., n - 1 यांपैकी दोन आकडे असले तर नेहमीप्रमाणे त्यांचा a × b असा गुणाकार करायचा, नंतर a × b या आकड्याला n या आकड्याने नेहमीप्रमाणे भागायचे आणि जी बाकी उरेल तोच a आणि b या आकड्यांचा नवा गुणाकार (भाजक n).

उदाहरणार्थ, पुन्हा n = 7 घेऊ या. मग 0, 1, 2, 3, 4, 5 आणि 6 असे सातच आकडे आपल्याकडे आहेत. यांपैकी 2 आणि 3 या आकड्यांचा नवा गुणाकार करण्यासाठी 2 × 3 = 6 या आकडयाला 7 या आकडयाने नेहमीप्रमाणे भागले तर भागाकार 0 आणि बाकी 6 उरते, म्हणून 2 आणि 3 यांचा नवा गुणाकार 6 होतो, म्हणजे त्यांच्या नेहमीच्या गुणाकाराइतकाच. आता 4 आणि 5 या आकड्यांचा नवा गुणाकार करायचा म्हटले तर 4 × 5 = 20 या आकडयाला 7 या आकडयाने भागले तर भागाकार 2 आणि बाकी 6 उरते, म्हणून 4 आणि 5 यांचा नवा गुणाकार 6 होतो. त्याचप्रमाणे 2 आणि 4 यांची नवी बेरीज 6 होते आणि त्यांचा नवा गुणाकार 1 होतो, नव्या बेरजेपेक्षा कमी. ही गंमत ऐकून अदिति झोपायला गेली.

अदितीला नव्या भागाकारासंबंधी सांगायचे मी टाळले होते, कारण ते आकलन व्हायला तिला जरा अवघड गेले असते. समजा आपल्याकडे फक्त 0, 1, 2,..., n - 1 असे एकूण n आकडेच असले, आणि यांपैकी a या आकड्याला b या आकड्याने भागायचे आहे. प्रथम आपण b-1 हा 0, 1, 2,..., n - 1 यांपैकी असा आकडा शोधला पाहिजे की b आणि b-1 यांचा नवा गुणाकार 1 होईल, व तसा आकडा मिळाला तर त्याला b चा व्यस्त (inverse) असे म्हणू या. एकदा b चा व्यस्त मिळाला की a या आकड्याला b या आकड्याने नव्या प्रकारे भागणे म्हणजेच a आणि b-1 यांचा नवा गुणाकार (भाजक n) करणे असे सांगतले की झाले.

जर b = 0 असेल तर b चा व्यस्त मिळणे शक्यच नाही, कारण 0 आणि कुठल्याही आकड्याचा नवा गुणाकार 1 असू शकत नाही. जर b = 1 असेल, तर आपण b-1 = 1 घेऊ शकतो, कारण 1 व 1 चा नवा गुणाकार 1 असतो. यातही काही नवल नाही. आता समजा b हा 2, ..., n - 1 यांपैकी एक आकडा आहे. मग मात्र b चा व्यस्त मिळेलच असे नाही. उदाहरणार्थ, n = 4 घेऊ या, म्हणजे आपल्याकडे 0, 1, 2 आणि 3 असे चारच आकडे आहेत. तसेच 2 व 2 यांचा नवा गुणाकार 0, तर 2 व 3 यांचा नवा गुणाकार 2, आणि 3 व 3 यांचा नवा गुणाकार 1 आहे हे आपण चटकन पडताळून पाहू शकतो. जर b = 2 असेल, तर b चा व्यस्त मिळू शकत नाही, कारण 2 आणि कोणत्याच आकड्याचा नवा गुणाकार 1 होत नाही. याचा अर्थ 2 ने भागता येत नाही. पण b = 3 असेल, तर आपण b-1 = 3 घेऊ शकतो, कारण 3 व 3 यांचा नवा गुणाकार 1 आहे. याचा अर्थ 3 ने भागता येते.

भागता येणे किंवा भागता न येणे हे काही यदृच्छया म्हणजे स्वैरपणे (randomly) ठरत नाही. नवे अंकगणित (भाजक n) करताना कुठल्या आकडयांनी भागता येते आणि कुठल्या आकडयांनी भागता येत नाही हे गणितज्ञांनी शोधून काढले आहे. समजा b हा 1 आणि n - 1 यांच्या दरम्यानचा एक आकडा आहे. नेहमीच्या अंकगणितात b आणि n या आकड्यांचा म. सा. वि. म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक (gcd: greatest common divisor) जर 1 असेल, तर आणि तरच नवे अंकगणित करताना b ने भागता येते असे प्रमेय आहे. वर दिलेल्या उदाहरणात n = 4 असताना, जर b = 2 घेतले, तर 2 आणि 4 यांचा नेहमीच्या अंकगणितातील म. सा. वि. 2 आहे, म्हणून 2 ने भागता आले नाही; पण जर b = 3 घेतले तर 3 आणि 4 यांचा नेहमीच्या अंकगणितातील म. सा. वि. 1 आहे, म्हणून 3 ने भागता आले.

जर n ही मूळ संख्या असेल, म्हणजे नेहमीच्या अंकगणितात तिला 1 सोडून दुसऱ्या कुठल्याच आकडयाने भाग जात नसेल, तर आपल्याला वरील गणिती प्रमेयाची एक खास बाब (special case) मिळते, कारण नवे अंकगणित (भाजक n) करताना 1, ..., n - 1 या सर्व संख्यांनी भागता येते. या खास बाबीत नवी बेरीज, नवी वजाबाकी, नवा गुणाकार, नवा भागाकार या सगळ्या क्रिया आपल्याकडील 1, ..., n - 1 या सर्व आकडयांसाठी शक्य होतात. त्या क्रियांचा अभ्यास करणाऱ्या शाखेला ‘भाजक अंकगणित’ (Modular Arithmetic) असे म्हणतात. तो अंकशास्त्रातील फार मोठा आणि महत्त्वाचा भाग आहे. या शाखेतील रचनांचा आणि सिद्धांतांचा संकेतन (Coding) आणि गूढलेखन (Cryptography) या प्रांतांत खूप उपयोग केला जातो.

भाजक अंकगणित नेहमीच्या व्यवहारातील काही क्रमसंख्यांसाठी (serial number) कसे वापरले जाते ते पाहू या. समजा n हा 1 पेक्षा मोठा आकडा आहे. त्याने कुठल्याही आकड्याला भागल्यावर मिळणारी बाकी 0, 1, ..., n - 1 या आकड्यांपैकीच असू शकते. त्यामुळे n जर 2 ते 10 यांच्या दरम्यान असेल, तर बाकी एक आकडीच असणार, आणि n जर 11 ते 100 यांच्या दरम्यान असेल, तर बाकी एक किंवा दोन आकडीच असणार. एखादी नेमून दिलेली क्रमसंख्या लिहिण्यात किंवा ती संदेशातून पाठवण्यात होणाऱ्या सामान्य चुका पकडण्यासाठी या गोष्टीचा उपयोग करता जातो. उदाहरणार्थ, आय. एस. बी. एन. (ISBN: International Standard Book Number) नावाची तेरा आकडी क्रमसंख्या जगात कुठेही प्रकाशित झालेल्या पुस्तकाला नेमून दिली जाते. तिच्यातील शेवटच्या म्हणजे तेराव्या अंकाला अवेक्षणांक (check digit) असे म्हणतात. तो ठरवण्यासाठी n = 10 या भाजकाचा वापर करतात. अवेक्षणांक पडताळून पाहिला की पहिले बारा अंक लिहिण्यात झालेली चूक निदर्शनास येऊ शकते.

याचे एक उदाहरण पाहू या. माझ्या एका पुस्तकाचा आय. एस. बी. एन. आहे 9783030014001. त्यातील शेवटचा अंक 1 हा अवेक्षणांक आहे. तो ठरवण्याची रीत (algorithm) अशी आहे. पहिल्या बारा आकड्यातील विषम स्थानांवरील आकड्यांची बेरीज 9 + 8 + 0 + 0 + 1 + 0 = 18 होते, तर सम स्थानांवरील आकड्यांची बेरीज 7 + 3 + 3 + 0 + 4 + 0 = 17 होते. या दुसऱ्या बेरजेला तीनने गुणून तो आकडा पहिल्या बेरजेत मिळवला तर 18 + (3 × 17) = 18 + 51 = 69 हा आकडा मिळतो. या आकड्यात जर आय. एस. बी. एन. चा अवेक्षणांक मिळवला, आणि होणाऱ्या बेरजेला n = 10 ने भागले, तर बाकी 0 उरली पाहिजे, म्हणजे ही बेरीज भाजक 10 असलेल्या अंकगणितात 0 असली पाहिजे, असा नियम आहे. आता 69 + 1 = 70, व 70 ला 10 ने भागले की बाकी 0 उरते, म्हणून 1 हा अवेक्षणांक ठरतो. आता समजा पहिले बारा आकडे लिहिताना आपण 7 आणि 8 या संख्यांची अदलाबदल केली आणि आपण हा आय. एस. बी. एन. चुकून 9873030014001 असा लिहिला. वर दिलेल्या रीतीनुसार (9 + 7 + 0 + 0 + 1 + 0) + 3(8 + 3 + 3 + 0 + 4 + 0) = 17 + (3 × 18) = 17 + 54 = 71 असा हिशोब होतो. आता 71 + 9 = 80, व 80 ला 10 ने भागले की बाकी 0 उरते, म्हणून अवेक्षणांक 9 असला पाहिजे. पण दिलेला अवेक्षणांक तर 1 आहे. म्हणून आय. एस. बी. एन. मधील पहिले बारा आकडे लिहिण्यात काही तरी चूक झाली आहे, असा इशारा आपल्याला मिळतो.

अशाच प्रकारे इतर क्रमसंख्यांचे अवेक्षणांक ठरवले जातात. आय. एस. एस. एन. (ISSN: International Standard Serial Number) या नावाची आठ आकडी क्रमसंख्या जगात कुठेही प्रकाशित झालेल्या पुस्तकरूपी मालिकेसाठी असते. तिच्यातील शेवटचा म्हणजे आठवा अंक अवेक्षणांक असतो. तो ठरवण्यासाठी वेगळी रीत अवलंबतात, आणि n = 11 या भाजकाचा वापर करतात. जर बाकी 10 आली तर तिचे एका अंकात रूपांतर करण्यासाठी रोमन लिपीतील X हे दहाचे चिह्न वापरले जाते. 11 ही मूळ संख्या असल्याने जास्त प्रकारांच्या चुका पकडता येतात. जगातील जवळजवळ ऐंशी देश पैशांच्या आंतरराष्ट्रीय व्यवहारांसाठी आय. बी. ए. एन. (IBAN: International Bank Account Number) नावाचा 34 स्थलांचा वर्णांक (alphanumeric) वापरतात. त्यातील पहिली दोन अक्षरे देश दाखवतात. नंतरच्या दोन स्थलांवर अवेक्षणांक असतात. ते ठरवण्यासाठी एक भिन्न रीत अवलंबतात, आणि n = 97 या सर्वात मोठ्या दोन आकडी मूळ संख्येचा भाजक म्हणून वापर करतात. भारतात आय. बी. ए. एन. ऐवजी आय. एफ. एस. सी. (IFSC: Indian Financial System Code) हा 11 स्थलांचा वर्णांक वापरण्याची पद्धत आहे. पाकिस्तानात मात्र आय. बी. ए. एन. वापरता येतो.

सारांश, भाजक अंकगणिताशिवाय आपले किती तरी दैनंदिन व्यवहार खोळंबून राहतील!

माझे फ्रेंच कनेक्शन

१९८४ मध्ये ग्रनोब्ल येथील इमाग (IMAG: Institut d’Informatique et Mathematiques Appliquées de Grenoble) या संस्थेत एक वर्षभर काम करण्यासाठी मला फ्रेंच सरकारची उच्चस्तरीय वैज्ञानिक फेलोशिप मिळाली. तेथील प्राध्यापक पिएर जाँ लोराँ (Pierre-Jean Laurent) यांच्याबरोबर मला काम करायचे होते. त्याकाळी ते इमाग या पुऱ्या संस्थेचे अध्यक्ष होते. मी प्रथमच फ्रान्सला येत होतो. फ्रान्समध्ये मला काही वेगळे अनुभव मिळाले. एका आठवड्यात गुरुवारी सुट्टी होती. ती संपल्यावर शुक्रवारी सकाळी मी संस्थेच्या ग्रंथालयात पोहोचलो. तर ते बंद होते. उघडायची वेळ होऊन अर्धा तास झाल्यावर मी माझ्या ऑफिसमध्ये परतलो. तेथेही कोणी नव्हते. चौकशी केली तर ‘पों’ या एकाच शब्दात उत्तर मिळाले. मला काहीच उमजेना. फ्रेंच-इंग्लिश कोशात या शब्दाचा अर्थ बघायचा तरी पंचाइत, कारण फ्रेंच भाषेत कितीतरी व्यंजने अनुच्चारित असतात. शेवटी ‘pont’ या नोंदीखाली अर्थ मिळाला bridge म्हणजे पूल. आता सुट्टीचा आणि पुलाचा काय संबंध असावा ते उलगडेना. शेवटी पिएर जाँना फोन केला तेव्हा त्यांनी खुलासा केला. गुरुवारी सुट्टी होती आणि शनिवार-रविवार नेहमीच सुट्टी असते. मग गुरुवारपासून शनिवारपर्यंत पूल बांधला की शुक्रवार सुट्टीतच जमा होतो. हे सगळे जण धरूनच चालतात, आणि त्या शुक्रवारी कोणीच कामाला येत नाही! चांगली आहे ना फ्रेंच पद्धत! मग मी सोमवारी सकाळी १० वाजता ग्रंथालयाकडे गेलो. तर ते सुमारे ११ नंतर उघडले. मी विचारले तर उघडणारी बाई उद्गारली ‘आज सोमवारची सकाळ आहे, वीकएण्डनंतरची!’ मी समजून चुकलो की लोक तब्येतीत काम करत असतात. पण एकदा कामाला लागले की ते संपल्याशिवाय थांबत नसत हेही तितकेच खरे होते.

सुरुवातीला माझ्यापुढे भाषेचा खूप मोठा प्रश्न होता. फ्रान्सला जाण्यापूर्वी मी जुजबी फ्रेंच शिकलो होतो. पण ते वाचनापुरते. फ्रेंच बोली अगदी औरच आहे. एक तर लिखित भाषेतील बरीच व्यंजने, विशेषत: शब्दाच्या शेवटी येणारी, उच्चारायची नसतात, आणि दुसरे म्हणजे बोलताना पाठोपाठच्या शब्दांचा सांधा (liaison) केला जातो. तो काहीसा संस्कृत भाषेतील संधि या प्रकारासारखा असतो. त्यामुळे आपण एक वेळ मोडकेतोडके फ्रेंच बोलू शकू, पण बोललेले फ्रेंच समजणे महाकर्म कठीण. याखेरीज खोलवर जाणारा आणखी एक मुद्दा माझ्या लक्षात आला. फ्रेंच लोकांना आपल्या संस्कृतीचा, भाषेचा फार अभिमान आहे. फार पूर्वी जगात आंतरराष्ट्रीय स्तरावर वापरली जाणारी प्रमुख भाषा फ्रेंच होती. म्हणूनच तर लिंग्वा फ्रँका (lingua franca) याचा अर्थ खरे म्हणजे फ्रेंच भाषा, पण या शब्दप्रयोगाचा उपयोग ‘सामाईक भाषा’ या अर्थी केला जात असे. पण नंतर परिस्थिती बदलली. फ्रेंचऐवजी इंग्लिश ही सामाईक भाषा बनली. त्याची बोच बऱ्याच फ्रेंच लोकांना अजूनही आहे. त्यामुळे स्वत:ला इंग्लिश येत असले तरी ते आपल्याशी कोणी इंग्लिश बोलायला लागला तर आपण त्या गावचेच नाही असे दाखवत. मला नगरपालिकेमध्ये काही काम असेल तर फार त्रास व्हायचा. माझ्या मोडक्यातोडक्या फ्रेंच भाषेची काही जण हातवारे करून थट्टाही करायचे. त्या काळात फ्रान्समधून जवळच्या कुठल्या देशांत जायचे असले तर त्या देशाचा व्हिसा लागायचाच पण फ्रान्स सोडण्यासाठीही व्हिसा (Visa de sortie) लागायचा. दुसऱ्या देशाचा व्हिसा मिळवायला सोपे जायचे पण फ्रान्स सोडायचा व्हिसा मिळवणे कठीण जायचे!

तरीही एकदा मित्रत्वाचे नाते निर्माण झाले की ते निभावण्यात फ्रेंच लोकांसारखे दुसरे कोणी नाहीत. याचे एक उत्तम उदाहरण म्हणजे पिएर जाँ आणि त्यांची पत्नी गिझू. या दोघांनी माझी आणि माझ्या कुटुंबाची ज्या प्रकारे काळजी घेतली त्याला तोड नाही. निर्मलालाही माझ्यासारखीच वैज्ञानिक फेलोशिप मिळाली आणि ती आमच्या दोन मुलींना घेऊन डिसेंबरमध्ये फ्रान्सला येऊन पोचली होती. त्यांच्याकडे थंडीला पुरेसे गरम कपडे नसणार हे गृहीत धरुन गिझूने योग्य आकाराच्या गरम कपड्यांचे तीन संच आमच्याकडे आणून टाकले: ओव्हरकोट, लोकरी हातमोजे, उबदार टोपी, सगळ्यांसाठी. पिएर जाँ आणि गिझू दोघांनाही भारतीय संगीताची, नृत्याची आवड होती. ग्रनोब्लमध्ये असे काही कार्यक्रम असले की ते आम्हाला घेऊन जायचे. केलुचरण महापात्रा आणि त्यांची शिष्या कुंकुम मोहन्ती यांच्या नृत्याचा कार्यक्रम आम्ही भारतात कधीच पाहिला नव्हता, पण फ्रान्समध्ये लोराँच्याबरोबर पाहिला. शिवाय त्या दोघांना पर्वतातून फिरायची हौस होती. ग्रनोब्ल ह्या गावाच्या सभोवताली व्हेरकोर (Vercors), शार्त्रज (Chartreuse) आणि बेल्दोन (Belledonne) या डोंगरांच्या उंच उंच रांगा होत्या. सुट्टीच्या दिवशी तिकडे मोटारने जाऊन मग पायी शिखरापर्यंत चढून जायचे, वाटेतल्या एखाद्या ख्रिश्चन मठाला (monastery) भेट द्यायची, जवळच्या छोट्याशा उपाहारगृहात छानपैकी जेवायचे हा आवडता कार्यक्रम झाला होता. जेवताना पिएर जाँ कागदी नॅपकिनवर माझ्या धाकट्या मुलीबरोबर - अदितीबरोबर - टिक-टॅक-टोही खेळायचे. जेवणानंतर पिएर जाँ वळणावळणांवरून गाडी चालवत असताना मी शेजारी बसून डुलक्या खायला लागलो की माझी मलाच लाज वाटे. पण पिएर जाँ त्याकडे दुर्लक्ष करत. हे असे पर्वतातले प्रवास कुठल्याही व्यावसायिक संस्थेने आयोजित केलेल्या पर्यटनात शक्य होणार नाहीत. आम्ही फारच भाग्यवान होतो!

Pierre-Jean Laurent et al, 1985

पिएर जाँ, गिझू, कल्याणी व अदिति, ग्रनोब्ल, १९८५

पिएर जाँ लोराँ यांनी फ्रेंचमध्ये लिहिलेले एक पुस्तक, ‘Approximation et Optimisation’ प्रसिद्ध आहे. त्याचा बराच भाग मी माझ्या ग्रनोब्लमधील वास्तव्यात वाचून काढला. त्यांच्या शैलीने मी फार प्रभावित झालो. एक गोष्ट लक्षात राहिली आहे ती सांगतो. ललित लेखनात आपण तेच तेच शब्द वापरणे किंवा एकाच प्रकारची वाक्यरचना करणे सामान्यतः टाळतो. उलट गणितासारख्या शास्त्रीय लिखाणात दोन समान दिसणाऱ्या गोष्टींची व्याख्या करताना किंवा त्यांचे गुणधर्म सांगताना जर नेमके तेच शब्द वापरले आणि अगदी तशीच वाक्यरचना केली, तर त्या दोन्हींत साधर्म्य काय हे आणि वेगळेपणा कुठे उद्भवतो हे चटकन कळते. पिएर जाँ यांचे लिखाण वाचताना ही धाटणी पदोपदी जाणवायची. मीही होता होईल तो या पद्धतीचा अवलंब करू लागलो.

फ्रेंच सरकारकडून येणारी फेलोशिपची रक्कम माझ्या बे. एन. पे.मधील (B.N.P.: Banque Nationale de Paris) खात्यात दरमहा जमा होत असे. तेव्हा पतपत्रासारखी (Credit Card) सोय नसल्याने महिन्याच्या खर्चासाठी बँकेतून रोख रक्कमच काढावी लागे. एका महिन्यात ग्रनोब्ल विद्यापीठाच्या आवारातील बे. एन. पे.च्या शाखेत जाऊन मी ३००० फ्रँक्स मागितले. त्यांनी ५०० फ्रँक्सच्या ६ नोटा दिल्या. या शाखेला लागूनच एक पोस्ट ऑफिस होते. तिथे जाऊन तिकिटे घेण्यासाठी मी एक नोट दिली. खिडकीवरच्या बाईला काही शंका आल्याने ती पटकन आत निघून गेली. दोन मिनिटातच बाहेर येऊन तिने मला सांगितले की मी दिलेली नोट खोटी आहे आणि नियमानुसार ती जप्त करावी लागेल. मी आश्चर्यचकित झालो. उरलेल्या नोटा तरी खऱ्या आहेत ना हे बघायला मी परत बँकेत गेलो. तिथेही तेच झाले. सर्व नोटा जप्त झाल्या. माझी काहीही चूक नसताना मला ३००० फ्रँक्सचा भुर्दंड पडला होता. निर्मलाने सुचवल्यावरून मी ही गोष्ट पिएर जाँ लोराँच्या कानावर घातली. हकीकत ऐकताच तत्क्षणी ते मला बँकेच्या व्यवस्थापकाकडे घेऊन गेले, आणि त्यांना म्हणाले, ‘बालमोहन सांगतो आहे त्यावर माझा पूर्ण विश्वास आहे. शिवाय फ्रेंच सरकारच्या पैशांखेरीज त्याला दुसरी कुठलीही आवक नाही. त्याचे जे ३००० फ्रँक्सचे नुकसान झाले आहे त्याची भरपाई बँकेने केली पाहिजे.’ व्यवस्थापक उद्दामपणे म्हणाला की जर या गृहस्थांनी (monsieur) पैसे घेताना ते तपासले असते तर हा प्रसंग त्यांच्यावर ओढवला नसता. पिएर जाँ जास्त वाद घालण्याच्या फंदात पडले नाहीत. ते एवढेच म्हणाले, ‘आजच्या आज बालमोहनला त्याचे पैसे परत मिळाले नाहीत, तर उद्या सकाळी इमाग या संस्थेत काम करणाऱ्या सर्व जणांच्या टेबलावर एक चिट्ठी असेल आणि तिच्यावर मी लिहिले असेल की कुणीही बे. एन. पे.बरोबर व्यवहार करू नये कारण ते खोट्या नोटा देतात.’ हे ऐकताच व्यवस्थापकाचा चेहरा खाडकन उतरला. घाईघाईने आणि नरमाईने तो उदगारला, ‘Écoutez monsieur, écoutez’, म्हणजे, ‘अहो जरा ऐकून तर घ्या!’ माझा तोटा होणार नाही अशी त्याच्याकडून हमी घेऊन पिएर जाँ चालू पडले. मला आठवण झाली तुकारामाच्या ‘मऊ मेणाहुनि आम्ही विष्णुदास कठीण वज्रास भेदू ऐसे’ या ओळीची.

Pierre-Jean Laurent, 1985

पिएर जाँ लोराँ, ग्रनोब्ल, १९८५

दुसऱ्या दिवशी मी बँकेच्या व्यवस्थापकांना भेटलो तेव्हा ते म्हणाले की दिवसभरात त्यांनी सगळी चौकशी केली होती, बँकेने अजाणतेपणे मला खोट्या नोटा दिल्या हे खरे होते, पण बँकेच्या कुठल्याच नियमात जप्त केलेल्या नोटा बदलून देणे बसत नव्हते. परंतु त्यांनी पिएर जाँ लोराँसारख्या मोठ्या असामीला तोंडी वचन तर दिले होते. त्यामुळे हे पैसे त्यांना स्वतःच्या खिशातून भरावे लागणार होते. व्यवस्थापकांनी सुचवले की माझी तयारी असेल तर ३००० फ्रँक्सची खोट आम्ही दोघांनी निम्मी निम्मी सोसावी. प्रकरण जास्त चिघळू नये म्हणून मी होकार दिला. मग त्यांनी मला विनंती केली की ही तडजोड पिएर जाँ लोराँना कळू देऊ नका.

BNP Grenoble & Manager, 1985

ग्रनोब्ल विद्यापीठाच्या आवारातील बे. एन. पे.ची शाखा व तेथील व्यवस्थापक

मित्रत्वाचे नाते जपणारे ग्रनोब्लमध्ये भेटलेले दुसरे जोडपे म्हणजे जाक आणि आलिन लेमोरदाँ (Jacques and Aline Lemordant). गेली पाचसात वर्षे मी गणिताच्या स्पेक्ट्रल ॲप्रॉक्सिमेशन नावाच्या ज्या भागात संशोधन करत होतो, त्याच भागात काम करून जाकने ग्रनोब्ल विद्यापीठात डॉक्टरेट मिळवली होती. त्याला पहिल्यापासून संगणकशास्त्राची आवड असल्यमुळे तो नंतर त्या विषयात काम करू लागला होता. आलिन बालरोगतज्ज्ञ होती. त्या दोघांना दोन मुली होत्या, आमच्या दोन मुलींपेक्षा सात-आठ वर्षांनी लहान.

जाक आणि आलिन प्रथम एकमेकांना भेटले ते स्वित्झरलंडमध्ये बर्फावरून घसरत जाण्यासाठी (skiing) गेलेल्या एका छोट्या गटात. तेव्हा जाक आलिनला सहज म्हणून गेला की येत्या उन्हाळ्याच्या सुट्टीत आम्ही भारतात सहलीसाठी जाणार आहोत, तर तू बरोबर येतेस का? क्षणभर विचार करून आलिन म्हणाली की ठीक आहे, येते. त्या सहलीपासून त्यांची जोडी जमली ती कायमचीच. जाक विद्यापीठात शिकवत होता, तर आलिन वैद्यकीय कॉलेजमध्ये शिकत होती. दोघे एकत्र राहायचे. त्यांनी विवाह करण्याचे ठरवले ते आयकर कमी भरावा लागावा म्हणून. दोघांनाही गिर्यारोहणाची, नौकानयनाची आवड होती, तशीच क्युडो (Kyudo) या जपानी तिरंदाजीचीसुध्दा. आमच्या दोन्ही मुलींना काही दुखले-खुपले, बरे नाहीसे झाले तर आलिनच त्यांची डॉक्टर झाली. ती समचिकित्सा पद्धतीत (Homeopathy) निष्णात होती व औषधे अगदी जपून द्यायची. हे सगळे ठीक. पण मी व निर्मला आणि जाक व आलिन यांचे मैत्रीचे बंध कसे जमले, काहीही ऋणानुबंध नसताना, हे सांगणे कठीण आहे. कदाचित मनमोकळा स्वभाव, प्रांजळपणा असेच काहीतरी दुवे असतील आमच्यामधले.

Jacques and Aline Lemordant, 1985

निर्मला, जाक, आलिन आणि स्त्रॉबेरी, ग्रनोब्ल, १९८५

आम्ही ग्रनोब्लला असताना जाक आणि आलिन ग्रनोब्लच्या हद्दीबाहेर एका टेकडीवर राहत. नंतर त्यांनी शार्त्रज (Chartreuse) या पर्वताच्या कुशीत कोराँक (Corenc) या गावी उंचावर जमीन विकत घेतली. त्यावेळी तेथे फक्त चेरीजची तीन झाडे होती. आपले घर आपणच बांधून घेणार असा जाकचा हट्ट होता. सुरुवातीला घरात खूप जागा असली तरी खोल्या अशा नव्हत्या. मग हळूहळू एकेक भिंती दिसू लागल्या, भोवतालचे कुंपण नक्की ठरत गेले. तेथून खाली बघितले की सारे ग्रनोब्ल शहर दृष्टीस पडायचे, विशेषत: रात्रीच्या वेळी चमचमणाऱ्या दिव्यांमुळे. नंतरच्या पंधरा-वीस वर्षांत मी अनेक वेळा संशोधन करण्यासाठी एक किंवा दोन महिने फ्रान्सला जात असे, सॅन्तएतिएन या गावी. प्रत्येक वेळी एका शनिवार-रविवारी रेल्वेने प्रवास करुन मी ग्रनोब्लला त्यांच्या घरी मुक्कामाला जात असे. ते मला व निर्मलाला कुठल्यातरी लहानशा गावातील मठामध्ये (abbey) किंवा डोंगराच्या शिखरावर घेऊन जात. परत येताना एखाद्या गावठी उपाहारगृहात थांबून छान जेवण व्हायचे. घरी आल्यावर शार्त्रजमधील (Chartreuse) भिक्षूंनी बनवलेल्या त्याच नावाच्या मद्याचे दोन-दोन चमचे आइस्क्रीमवर घालून चाखायला फारच मजा यायची. अशाच एका भेटीत आलिन निर्मलाला म्हणाली ‘तुमच्या मुलींना मोठ्या झाल्यावर जर ग्रनोब्लमध्ये उच्च शिक्षणासाठी यायचे असेल तर त्या माझ्याकडे राहून शिक्षण घेऊ शकतील.’ आमच्या मनात आले आपण अशी दुसऱ्याच्या मुलींची जबाबदारी घेण्याचे इतक्या सहजपणे सुचवू का?

एका वर्षी फ्रान्सला आल्यावर मी जाकला फोन करून विचारले अमुक एका शनिवार-रविवारी आम्ही त्यांच्याकडे यावे का. जाक म्हणाला त्याच दिवसांत तो आणि आलिन कोर्सिका (Corsica) नावाच्या फ्रान्सच्या ताब्यातील एका बेटावर सहल करायला जाणार आहेत, पण मी व निर्मला त्यांच्याबरोबर येऊ शकतो. मी जरा भीतभीत विचारले की पैसे किती लागतील. जाक म्हणाला, ‘तुम्हा दोघांना काहीच खर्च पडणार नाही, कारण आम्ही आमची मोटर बोटीवर चढवून नेणार आहोत, आणि कोर्सिकामध्ये दोन खोल्यांची बंगली राखून ठेवली आहे. तेव्हा तुम्ही दोघे आमचे पाहुणे!’ हा प्रस्ताव मी कशाला नाकारू? फारच बहार आली त्या सहलीवर. बेटाच्या सभोवतीचे निळ्या रंगाच्या निरनिराळ्या छटा असलेले पाणी कायमचे लक्षात राहिले आहे.

Aline Lemordant & Nirmala Limaye, Corsica

आलिन व निर्मला कोर्सिकाच्या समुद्रतीरावर

‘कोर्सिका फेरीज’ने फ्रान्समधील नीस (Nice) या बंदराला पोचल्यावर जाक आणि आलिन यांनी आम्हाला एका हॉटेलमध्ये नेऊन सोडले, व ते दोघे आपल्या मोटरने ग्रनोब्लला निघून गेले. जाण्यापूर्वी एका पु्स्तकांच्या दुकानातून त्यांनी माझ्यासाठी एक पुस्तक विकत घेतले. मला थोडे फ्रेंच वाचता येत असले तरी ते गणितापुरते मर्यादित होते. म्हणून मी हे पुस्तक जरा साशंकतेनेच हातात घेतले. पुस्तकाचे नाव होते: ‘पुरुषाला स्त्रीसंबंधी माहिती असणाऱ्या सर्व गोष्टी’. मुखपृष्ठावर खालच्या ओळीत ‘लिहा-वाचायला सोपे’ असा शेरा होता.

Tout ce que l'homme sait de la femme, M. I. Sogine

‘पुरुषाला स्त्रीसंबंधी माहिती असणाऱ्या सर्व गोष्टी’

पुस्तक उघडून पाहिले तर पहिले पान कोरे होते. नंतरची पाने चाळत गेलो तर ती पण कोरीच होती. चाळीस कोऱ्या पानांचे हे पुस्तक होते! मी चटकन याचा अर्थ समजलो. पुरुषांना स्त्रीजातीबद्दल असलेल्या संपूर्ण अज्ञानाची जाणीव हे पुस्तक मला नेहमी करून देते.

पुढल्या वर्षी जाकला आय. आय. टी.तील आमच्या गणित विभागाने भेट द्यायला बोलावले. आलिनही आली बरोबर. ही जणू त्यांची परतभेट होती आमच्याकडे. त्या काळात जाकला मानदुखीचा (cervical spondylosis) त्रास होत होता. आमच्याकडे त्याच्यावर एक रामबाण औषध होते, कांडवेल नावाचे. आमच्याच बागेत ती वेल होती. जाक हे औषध घ्यायला राजी नव्हता, पण आलिनच्या आग्रहावरून कबूल झाला. हे औषध घेण्याची एक ठराविक प्रक्रिया आहे व ती दररोज सकाळी उठल्यावर नेमाने एक आठवडा करायला लागते. जर पुरा गुण नाही आला, तर एक महिन्याने पुन्हा ते औषध आठवडाभर घ्यावे लागते. औषध चालू केल्याच्या चौथ्या दिवशी जाक म्हणाला की आता औषध नको. आम्हाला काही कळेना. जाक म्हणाला ‘आज सकाळी उठल्यावर मी मान गोल फिरवली तेव्हा कट असा बारीकसा आवाज झाला, आणि तेव्हापासून माझी मान दुखायची एकदम थांबली. आता औषधाची गरज उरली नाही.’ सगळ्यांना वाटले तो थट्टा करतोय. आम्ही हसायला लागल्यावर तो म्हणाला ‘खरे सांगतोय, मान दुखतच नाहीये तर ती दुखते आहे असे कसे म्हणू?’ त्याने दोन्ही बाजूंनी मान पूर्ण अर्धवर्तुळाकार फिरवून दाखवली, खाली–वरती करून दाखवली. असे त्याला करताच येत नव्हते याआधी. आम्ही तोंडात बोट घालून बघत राहिलो. मला माहीत होते की कांडवेलीच्या रसाने खूप जणांना बराच फायदा होतो, पण जाकच्या बाबतीत नवलच घडले होते. मान बरी झाली असली तरी आलिनने त्याला आठवडाभर औषध घ्यायला लावले. फ्रान्सला परतताना एका बाटलीत कांडवेलीचा रस त्यांनी नेला. एका छोट्या कुंडीत नेलेले कांडवेलीचे रोप त्यांच्या घरी फोफावू लागले. काही वर्षांनी आपल्याकडे औषध कंपन्यांनी कांडवेल (Cissus Quadregularis) वापरून बनवलेल्या गोळ्या (tablets) बाजारात आणल्या. त्या सुरुवातीला बऱ्याच महाग होत्या, पण आता त्यांची किंमत परवडण्यासारखी आहे. आमच्या घरी मात्र कांडवेलीचा ताजा रस फुकट मिळतो.

(पुढील भाग)
---

बालमोहन लिमये

(balmohan.limaye@gmail.com)

Balmohan Limaye 2020

लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.

बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

ललित लेखनाचा प्रकार: 
field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (1 vote)

प्रतिक्रिया

घरातलं लहान मूल घड्याळ वाचायला शिकतं ते दिवस फारच गमतीदार असतात.
माझ्या मुलानंही दुसऱ्यांदा बारा वाजतात तेव्हा आपण त्याला झिरो का म्हणतो हा प्रश्न विचारला आहे.
आता मी त्याला या लेखाचा पहिला भागच समजावून सांगीन.
फ्रान्सबद्दलचा भागही खूपच आवडला. वाचायला सोप्या पुस्तकाचा किस्साही!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

पुस्तकाच्या मुखपृष्ठावर लेखकाचे नाव M. I. Sogine असे दिले आहे. ते misogyne या फ्रेंच शब्दाशी मिळतेजुळते आहे हे लक्षात आले का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक1
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कोर्‍या पानांच्या पुस्तकाच्या किश्श्यावरून एक संस्कृत 'सुभाषित' आठवले:

स्रियश्चरित्रम् पुरुषस्य भाग्यम्
देवो न जानाति कुतो मनुष्य:

(स्रीचे चरित्र आणि पुरुषाचे नशीब देवालासुध्दा माहीत नसते तर माणसाला कुठून माहीत असणार?)

हे!हे! सध्याच्या काळात अशी 'सुभाषिते' लोकांच्या पचनी पडत नाहीत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

या मॉड्युलो 'न' बेरजावजाबाक्यांस अनुसरून, अर्थव्यवस्थेसंबंधी एक जबरदस्त 'न'वी कल्पना डोक्यात 'न' वर्षांपासून घोळत आहे. अर्थात, पोटापाण्याच्या उद्योगांचा पाठपुरावा करावा लागत असल्यामुळे म्हणा, किंवा आमच्या डोक्याची क्षमता मुळात अंमळ कमीच असल्यामुळे म्हणा, यावर खूप खोलात जाऊन विचार केलेला नाही; तो येथील विद्वानांनी आणि दिग्गजांनी अवश्य करावा, अशी विनंती आहे.

एक मध्यम आकाराची संख्या घ्या. अगदी लहान (२, ३, किंवा ५) नको, आणि अगदी मोठीसुद्धा (१००, १०००) नको. उदाहरणाच्या सोयीकरिता १० घेऊ या. आता, या संख्येच्या मॉड्युलो बेसवर (मॉड्युलो १०) आपली सगळी अर्थव्यवस्था उभारू या.

समजा, बाजारात पेरूची किंमत प्रत्येकी ₹३ आहे. (३ रुपयांना एक असे सरळ म्हणता आले असते, परंतु तेवढ्यात ₹चे ते नवीन चिन्ह वापरून घेण्याची खाज भागवून घेतली, इतकेच.)

- मला १ पेरू विकत घ्यायचा असल्यास ₹३ द्यावे लागतील.
- " २ " " घ्यायचे " ₹६ " ".
- ३: ₹९.
- मात्र, मला ४ पेरू विकत घ्यायचे असल्यास ₹२च द्यावे लागतील. (१२ मॉड्युलो १०.)

समजा, मी ₹३च्या भावाने ₹५ (= १५ मॉड्युलो १०) देऊन ५ पेरू विकत घेतले. दुसऱ्या कोणीतरी ₹१च्या भावाने ₹५ (= ५ मॉड्युलो १०) देऊन ५ पेरू विकत घेतले. पेरूच्या दर्जात यत्किंचितही फरक नाही. त्याला सौदा माझ्या तुलनेत फायद्याचा पडला काय? माझी फसवणूक झाली काय?

(मात्र, याचा एक unintended फायदा असा असू शकतो, की अंतिमतः त्याच्याइतकेच पैसे मोजूनसुद्धा, मी त्याच्या तिप्पट भावाचे (= महागडे = पर्यायाने, purportedly उंची!) पेरू आणलेत, असे चारचौघांत मिरवू शकतो.)

समजा, मी (₹३ भावाने) विकत घेतलेल्या ५ पेरूंपैकी ३ नासके निघाले. मी ते ३ नासके पेरू घेऊन दुसऱ्या दिवशी सकाळीसकाळी पेरूवाल्याकडे गेलो, नि तावातावाने भांडून ₹९ परत मागू लागलो. (५ पेरू घेताना ₹५ दिले. पैकी ३ पेरू त्याच भावाने परत करताना ₹९ मागतोय! मात्र, हेच ५ पेरू मी ₹५च देऊन परंतु ₹१ भावाने घेतले असते, तर पैकी ३ पेरू परत करताना मी फक्त ₹३ परत मागू शकलो असतो. ₹१ऐवजी ₹३ भावाने तेवढीच रक्कम मोजून ५ पेरू विकत घेण्याचा हा फायदा आहे. Better return on returns! तर ते एक असो.) तर पेरूवाला म्हणतो कसा, की साहेब, सकाळची वेळ आहे, दुकान आत्ताच उघडलेले आहे. माझी अजून भवानी झालेली नाही. तुम्हाला परत द्यायला ₹९ या क्षणी मजजवळ नाहीत. त्याऐवजी, तुम्हीच मला ₹१ का देत नाही? Same difference! (पेरूवाल्याकडे माझ्यासारखी यूएसएची बरीच गिऱ्हाइके येत असल्याकारणाने, तो तसल्या भाषेत बोलायला शिकलेला आहे. तर ते एक असो.)

या पर्यायी अर्थव्यवस्थेचे लोकांच्या मानसिकतेवर नक्की कायकाय परिणाम होतील, हे एकदा खोलात शिरून तपासून पाहिले पाहिजे. मात्र, या पद्धतीचा सर्वात मोठा फायदा मला हा दिसतो, की it would be a great equalizer - समाजात गरीब आणि श्रीमंत हा भेद राहणार नाही. खिशात दमडी नसणारा कफल्लक आणि कोट्यधीश सारखेच! (कारण, १ कोटीला १०ने भाग जातो! त्यामुळे, ₹१,००,००,००० = ₹०.) किंबहुना, कोट्यधीश असा प्रकारच राहणार नाही. कारण, ज्या अर्थव्यवस्थेत ₹९ (किंवा, रुपयाची विभागणी १०० नव्या पैशांत अजूनही होत असल्यास, ₹९.९९. परंतु, हल्ली पैशाला किंमत उरली नाही म्हणतात. त्यामुळे, छोटी नाणी बाद करून बंदे रुपयेच हिशेबाच्या सोयीसाठी व्यवहारात ठेवू या.) हीच खिशातली सर्वात मोठी 'अर्थपूर्ण' रक्कम ठरत असेल, तिथे... किंबहुना, याहून अधिक रक्कम खिशात बाळगण्याची कोणाला गरजच उरणार नाही! (कोट्यधीशांच्या ठिकाणी फार फार तर नवाधीश उदयाला येतील.)

याचा एक परिणाम (सध्याच्या बाजारातल्या) महागड्या/लक्झरी गूड्सच्या (उदा., मोटारी) किमतींवर होईल. एक तर, १०च्या कोठल्याही घटकाएवढी किंमत (उदा., ₹२ (समजा, बीएमडब्ल्यूकरिता) किंवा ₹५ (समजा, मर्सिडीजकरिता).) कोठलाही महागड्या गाडीचा विक्रेता ठेवू धजणार नाही. (नाहीतर मग लोक सिंप्ली अनुक्रमे ५ बीएमडब्ल्यू किंवा २ मर्सिडीज फुकटात उचलतील.) किंबहुना, मला तर अशी शंका येते, की अशा लक्झरी मोटारींचे विक्रेते हे आपला धंदा वाचविण्यासाठी तथा अधिकतम फायदा करून घेण्यासाठी आपल्या गाड्यांची किंमत प्रत्येकी ₹९ ठेवतील.

म्हणजे, टाटाबिर्लांअंबानींपैकी कोणाच्या पोराला वाढदिवसानिमित्त नवीकोरी बीएमडब्ल्यू विकत घ्यायची झाली, तर त्याकरिता त्याला जास्तीत जास्त ₹९ मोजावे लागतील. त्याहून एक दमडा अधिक नाही. बीएमडब्ल्यू परवडत नाही म्हणून त्याची परवड होणार नाही. (केवढी ही सोय!)

उलटपक्षी, खिशात दमडी नसलेला माझ्यासारखा एखादा कफल्लक मोठ्या तोऱ्यात त्याच बीएमडब्ल्यूच्या दुकानात शिरेल, नि दहा बीएमडब्ल्यू (भाजी उचलल्यासारखा) फुकटात उचलेल. (किंबहुना, केवळ दहा बीएमडबल्यू तोऱ्यात फुकटात उचलता याव्यात, म्हणून माझ्यासारखा एखादा नवकफल्लकसुद्धा बनेल.)

(एकावर एक फुकट तुम्ही ऐकले असेल. नवांवर दहावीच नव्हे, तर दाही फुकट, ही अफलातून नवसंकल्पना या 'न'व्या अर्थव्यवस्थेमुळे उदयास येईल, नि रुजेल.)

म्हणजे, कफल्लक दहादहा गाड्या लीलया (फुकटात!) उडवतील, तर टाटाबिर्लाअंबानींसारख्या नवाधीशांच्या पोरांना नवीकोरी गाडी घेताना प्रथम खिशात नऊ दमड्या आहेत की नाही, याचा दहादा विचार करावा लागेल. धट्टीकट्टी गरिबी नि लुळीपांगळी श्रीमंती!

दहा बीएमडब्ल्यू घेऊन माझ्यासारखा कफल्लक त्यांचे करेल काय, नि त्या ठेवेल कोठे म्हणता? सोपे आहे! दोन पर्याय आहेत.
- जेथे दहा बीएमडब्ल्यू फुकटात घेऊ शकतो, तेथे दहा गराजेसुद्धा फुकटात घेऊ शकणार नाही???
- किंवा, बीएमडब्ल्यू माझ्या आहेत. मी त्यांचे लोणचे घालेन, नाहीतर त्या जाळून टाकेन. मला विचारणारे तुम्ही कोण? (हिंट: पूर्वीच्या काळी भारतातून सोन्याचा धूर निघत असे, म्हणतात. तेव्हा भारतात बहुधा अशीच काही अर्थव्यवस्था अमलात असावी.)

मग, मंडळी, कशी वाटली आमची आर्थिक डिस्टोपियन युटोपियाची संकल्पना? अजूनही बऱ्याच तपशिलांवर काम करणे बाकी आहे, परंतु, एकदा का ही संकल्पना राष्ट्रीय पातळीवर यशस्वी झाली, की मग ती आंतरराष्ट्रीय व्यवहारांतसुद्धा लागू करण्याचा इरादा आहे. Let's paint the world red!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ2

भाजक अंकगणिताचे विडंबन चांगले आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

लिमये साहेब,

आपण दिलेल्या उदाहरणांत भाजक किमान २ आहे. मी भाजक १ च्या उदाहरणांचा विचार करत होतो.

एक लग्न केले तरी आपण लग्न केलेच नाही असे समजायचे कारण भाजक १ ने १ ला भागले की बाकी शून्य. त्यामुळे परत लग्न करायला मोकळे. परत लग्न केले तरी झालेच नाही असे समजायचे कारण भाजक १ च आहे. हा भाजक १ चा नियम कुणाला लागू आहे हे मुद्दाम सांगण्याची गरज नाही. Smile

तसेच आपल्या गालात कुणी १ मारली तरी मारलीच नाही असेच समजायचे आणि दुसरा गाल पुढे करायचा. हा भाजक १ चा नियम आपणा सर्वांना कुणी शिकवला हेसुध्दा मुद्दाम सांगण्याची गरज नाही. Smile

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

आता कळले तुम्ही विचित्रबुद्धी हे टोपणनाव का घेतलेत ते!
भाजक १ असेल तर तुम्ही जसे म्हणता की लग्न केले तरी झालेच नाही असे समजायचे, त्याचप्रमाणे लग्न नाही केले तरी ते झालेच आहे असेही समजता येते!

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एक लग्न केले तरी आपण लग्न केलेच नाही असे समजायचे कारण भाजक १ ने १ ला भागले की बाकी शून्य. त्यामुळे परत लग्न करायला मोकळे. परत लग्न केले तरी झालेच नाही असे समजायचे कारण भाजक १ च आहे. हा भाजक १ चा नियम कुणाला लागू आहे हे मुद्दाम सांगण्याची गरज नाही.

१. हे तितकेही निःसंदिग्ध नसावे.

बोले तो, तुमचा रोख ज्यांच्याकडे आहे (असे मला वाटते; चूभूद्याघ्या.), त्यांच्याव्यतिरिक्त, अगदी तुम्ही किंवा मीसुद्धा दुसरे लग्न जर केले, तर तो तत्त्वतः कायद्याने दंडनीय गुन्हा जरी असला, तरी (पूर्वी वाचले होते त्याप्रमाणे आंध्रप्रदेश वगळता इतरत्र; चूभूद्याघ्या.) दखलपात्र गुन्हा नाही. परिणामी, जोवर बाधित व्यक्ती आणि/किंवा (बाधित व्यक्तीच्या वतीने) काही विवक्षित अतिनिकटचे नातेवाईक (यांची व्याप्ती अतिशय मर्यादित आहे.) जातीने रीतसर तक्रार नोंदवत नाहीत, तोवर, तुम्ही पोलिसांच्या नाकाखाली - अगदी स्थानिक पोलीस कमिशनरांच्या वैयक्तिक उपस्थितीतसुद्धा - जरी (दुसरे/तिसरे/चौथे/व्हॉटेव्हर) लग्न केलेत, तरी पोलीस त्याबद्दल काहीही कारवाई करू शकत नाहीत. (पहिल्या पत्नीस घटस्फोट न देता, रीतसर दुसरे लग्न करून, दोन्ही बायकांबरोबर (स्वतंत्रपणे किंवा एकत्रित, गुण्यागोविंदाने ऑर अदरवाइज़) नांदणाऱ्या, कायदा लागू होऊ नये म्हणून धर्मांतर केलेल्या, हिंदू केसेस माहितीत आहेत. (केवळ या कारणास्तव धर्मांतर केलेल्या केसेससुद्धा ठाऊक आहेत, परंतु तो मुद्दा वेगळा.))

सांगण्याचा मतलब, तुम्हाला जे काही सुचवायचे आहे, ते स्पष्टपणे, निःसंदिग्धपणे (आणि मुद्दाम) सांगण्याची गरज आहे.

२. बरे, तुमचा टार्गेट संच जो आहे (असे मला वाटते; चूभूद्याघ्या.), त्यांच्यापुरतेच जरी बोलायचे झाले, तरीसुद्धा, चाराच्या अपर लिमिटची काय वासलात लावाल? याचाच अर्थ, मॉड्युलो १चा नियम येथे लागू नाही, हे उघड आहे.

तसेच आपल्या गालात कुणी १ मारली तरी मारलीच नाही असेच समजायचे आणि दुसरा गाल पुढे करायचा. हा भाजक १ चा नियम आपणा सर्वांना कुणी शिकवला हेसुध्दा मुद्दाम सांगण्याची गरज नाही.

हेसुद्धा वाटते तितके निःसंदिग्ध नाही.

१. एका गालावर थप्पड मारल्यास दुसरा गाल पुढे करावा, हे तत्त्व सर्वप्रथम येशू ख्रिस्ताने शिकविले.

२. त्यानंतर जवळजवळ एकोणीसशे वर्षांनी (येशूचे हे तत्त्व आवडल्यामुळे म्हणा, पटल्यामुळे म्हणा, त्याने प्रभावित झाल्यामुळे म्हणा, किंवा कसेही) महात्मा गांधींनी या तत्त्वाचा केवळ पुनरुच्चार केला.

पैकी नक्की कोणत्या विभूतीकडे आपला रोख आहे, हे (त्याबद्दल थोडाफार अंदाज असला, तरी) निःसंदिग्धरीत्या स्पष्ट होत नाही. सबब, हेदेखील मुद्दाम सांगण्याची गरज आहे.

—————

(बादवे, Mathematical precision काय भाव?)

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

P. J. Laurent was also a mentor of Prof. Pai. I was told that he was interested in the philosophy of Gita. I met him only once, but did not have any interaction with him. As to the French people not talking English, I then spoke German or Marathi with them. Then they spoke English. In any case, dollars open many mouths. It is astonishing how lightly both Dr. Limaye and Laurent took the intensely hateful effort not just to defraud Dr. Limaye but potentially land him in jail. I just can't believe that this was inadvertent. If it was, the bank would have immediately corrected the situation. They must be keeping track of who deposited what bills there.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Adnyat

मजा आली वाचायला.
पण ते आएसबिएनचे गणित म्हणजे क्रमांक देण्याची पद्धत समजली नाही. प्रत्येक अंकातून एकमेव पुस्तकाचाच निर्देश कसा होतो ते.

आपण एक वेळ मोडकेतोडके फ्रेंच बोलू शकू, पण बोललेले फ्रेंच समजणे महाकर्म कठीण.
सहमत.

बोकू बोकू मेह्सी.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

क्रमसंख्या (serial number) कशी ठरवली जाते, ते माझ्या लेखात सांगितलेले नाही. पण ठरवलेली क्रमसंख्या लिहिण्यात किंवा पाठवण्यात झालेली चूक पकडण्यासाठी जो अन्वेक्षणांक वापरतात, तो ठरवताना भाजक अंकगणित कसे वापरले जाते याचे उदाहरण दिले आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

भाजक 6 चे अंकगणित वापरून मूळ संख्यांबद्दल (prime numbers) काही माहिती मिळवता येते. समजा k ही मूळ संख्या 3 पेक्षा मोठी आहे. तिला 6 ने भागले तर बाकी 0, 2, 3 किंवा 4 असू शकणार नाही, म्हणजे बाकी 1 किंवा 5 असली पाहिजे. जर बाकी 1 असेल व भागाकार m असेल तर k = 6m + 1, आणि बाकी 5 असेल व भागाकार m – 1 असेल, तर k = 6(m - 1) + 5 = 6m - 1 अशी उत्तरे मिळतात. थोडक्यात, k – 1 ला तरी 6 ने भाग जातो किंवा k + 1 ला तरी 6 ने भाग जातो. मूळ संख्या शोधताना याचा उपयोग करता येतो. मात्र m ही एखादी नैसर्गिक संख्या दिली असेल, तर 6m + 1 आणि 6m – 1 या दोन संख्यांपैकी एक तरी मूळ संख्या असते असे म्हणता येत नाही. उदाहरणार्थ, m = 20 असेल, तर 6m + 1 = 121 = 11 x 11 आणि 6m – 1 = 119 = 7 x 17, व म्हणून यापैकी एकही मूळ संख्या नाही. तसेच m = 600 असेल, तर 6m + 1 = 3601 = 13 x 277 आणि 6m – 1 = 3599 = 59 x 61, व म्हणून यापैकी एकही मूळ संख्या नाही. पण जर 6m - 1 आणि 6m + 1 या दोन्ही संख्या मूळ संख्या असल्या, तर त्या जुळ्या मूळ संख्या (twin primes) बनतात. खरे म्हणजे (3, 5) सोडून सर्व जुळ्या मूळ संख्या (6m – 1, 6m + 1) या प्रकाराच्याच असतात.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कुठलीही संख्या घ्या, उदाहरणार्थ, ८९५६३२. तिच्यातले आकडे उलट्या क्रमाने मांडा, म्हणजे इथे २३६५९८. मग दोघांमधली जी मोठी संख्या आहे तिच्यातून छोटी वजा करा, म्हणजे इथे ८९५६३२-२३६५९८. येणार्‍या संख्येला ९ ने भाग गेलाच पाहिजे.

हे सिध्द करणे तसे फालतू आहे, पण पहिल्यांदाच जेव्हा माहीत होते तेव्हा गमतीचे वाटते-तसे एखाद्याला वाटत नसेल तर तो माणूस नक्कीच विचित्र बुध्दीचा आहे.

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0