पायथागोरसपेक्षा पोदयनार सरस?
पायथागोरसपेक्षा पोदयनार सरस?
बालमोहन लिमये
मी पायथागोरसचे प्रमेय – भाग १ हा लेख संपवण्याच्या बेतात होतो तेवढ्यात कुणी निनावी माणसाने मला एक निरोप अग्रेसर (Forward) केला, कायप्पा (व्हॉट्सॅप, WhatsApp) या तत्काळ संदेश पाठवणाऱ्या सेवेवरून. निरोपाचे शीर्षक होते : 'कर्णाची लांबी शोधून काढण्याची वैकल्पिक पद्धत'! मी साशंक झालो, आपल्या लेखात बदल करावा लागणार की काय अशा काळजीने.
मला आलेल्या संदेशात इसवी सनापूर्वी सुमारे 800 वर्षे पोदयनार या तमिळ कवीने केलेली एक कविता व तिचे भाषांतर होते. तिच्यात काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी शोधून काढण्याची एक सोपी पद्धत दिली होती : उरलेल्या दोन बाजूंपैकी मोठ्या बाजूच्या लांबीला 7/8 ने गुणायचे आणि लहान बाजूच्या लांबीला 1/2 गुणायचे आणि दोन्हींची बेरीज करायची की झाले, कर्णाची लांबी मिळते. उदाहरणेही दिली होती : काटकोन त्रिकोणातील कर्णाखेरीजच्या दोन बाजू a = 8, b = 6 या लांबीच्या असल्या तर (7/8) a + (1/2) b = 10 ही कर्णाची लांबी बरोबर मिळते, तसेच त्या बाजू a = 12, b = 5 या लांबीच्या असल्या तरी (7/8) a + (1/2) b = 13 ही कर्णाची लांबीदेखील बरोबर मिळते. खेळ खलास, आहे की नाही नामी पद्धत! पायथागोरसच्या खूप आधीपासून आपल्या पूर्वजांनी सांगून ठेवलेल्या ज्ञानाकडे ढुंकूनही न पाहता आपण एवढे काय पायथागोरसचे स्तोम माजवत आहोत, त्याच्या पद्धतीत a, b या संख्यांचे वर्ग करून त्यांच्या बेरजेचे वर्गमूळ काढायला लागते, किती बिकट आहे तसे करणे!
पोदयनार : आणखी एक पर्यायी पद्धत? (प्रतिमा आंतरजालावरून साभार)
हा संदेश पूर्णपणे वाचल्यावर मात्र माझे मन उद्विग्न झाले. आंतरजालावर शोधले तर जुलै 2011पासून पोदयनारच्या पद्धतीची वाखाणणी होत आली आहे. माझ्या काही मित्रांना विचारले तर मला आलेला संदेश त्यांना कित्येक वर्षांपासून कित्येक वेळा आला होता. इतकेच नव्हे तर आय. आय. टी.मधून बी. टेक. पदवी मिळवलेल्या व आता मुलांसाठी शैक्षणिक पुस्तके निर्माण करणाऱ्या माझ्या एका तमिळ मित्राने अभिमानपूर्वक सांगितले की त्यांच्या लहानपणी वडिलांनी पोदयनारची कविता शिकवून त्यांना थक्क केले होते. याचा अर्थ असा होतो की ही कविता पिढ्यान्पिढ्या पढवली जात आहे.
आता थोडा सारासार विचार करू या. एकतर या संदेशातील पद्धतीची कारणमीमांसा कुठेही दिलेली नाही, आणि दोन उदाहरणांत ती पद्धती बरोबर ठरली याचा अर्थ असा मुळीच नाही की ती नेहमीच बरोबर ठरेल. समजा काटकोन त्रिकोणातील कर्णाखेरीजच्या दोन बाजू a = 15, b = 8 या लांबीच्या असल्या तर त्या तमिळ कवितेतील पद्धतीप्रमाणे (7/8) a + (1/2) b = 17.125 अशी कर्णाची लांबी मिळते, पण ते उत्तर चूक आहे; ती लांबी तर 17 असली पाहिजे, कारण 152 + 82 = 172. शिवाय जर काटकोन त्रिकोणातील कर्णाखेरीजच्या दोन बाजू a = 1, b = 1 अशा समान लांबीच्या असल्या तर कर्णाची लांबी होईल (7/8) + (1/2) = 11/8, पण या कर्णाची लांबी तर असली पाहिजे √ 2 , कारण 12 + 12 = (√ 2 )2. याचा अर्थ √ 2 = 11/8 असा होईल. परंतु 2चे वर्गमूळ कोणत्याच अपूर्णांकाइतके नसते हे सर्वमान्य आहे.
अस्वस्थ होऊन मी थोडी आकडेमोड केली व आणखी एक पद्धत शोधून काढली, ती अशी: काटकोन त्रिकोणातील कर्णाखेरीजच्या बाजूंची लांबी a, b असेल तर कर्णाची लांबी असते (11/13) a + (7/13) b. बघा, काटकोन त्रिकोणातील कर्णाखेरीजच्या दोन बाजू a = 4, b = 3 या लांबीच्या असल्या तर (11/13) a + (7/13) b = 5 ही कर्णाची लांबी बरोबर मिळते, तसेच त्या बाजू a = 15, b = 8 या लांबीच्या असल्या तरी (11/13) a + (7/13) b = 17 ही कर्णाची लांबीदेखील बरोबर मिळते. आणखी काय पाहिजे? आता मीही ही माझी पद्धत वर्णन करणारे संस्कृतमध्ये काही श्लोक लिहितो, आणि सांगून टाकतो की मला ते माझ्या वडिलांच्या संग्रहातील एका वेदकालीन दुर्लभ ग्रंथात मिळाले. चालेल का असे? तसे केले तर मी माझेच हसे मात्र करून घेईन.
या प्रकारच्या पद्धतींत एक उघड गोष्ट पाळली जात नाहीये. ती म्हणजे काटकोन त्रिकोणातील कर्णाखेरीजच्या दोन बाजूंपैकी a लांबीची बाजू मोठी आहे आणि b लांबीची बाजू लहान आहे, किंवा b लांबीची बाजू मोठी आहे आणि a लांबीची बाजू लहान आहे, यामुळे कर्णाच्या लांबीत काहीच फरक पडता कामा नये. पण वरील पद्धती वापरून a = 6, b = 8 अशी बाजूंच्या लांबींची अदलाबदल केली तर (7/8) a + (1/2) b = 9.25 अशी, आणि (11/13) a + (7/13) b = 9.38… अशी कर्णाची वेगळी लांबी मिळते; ती लांबी तर 10 असली पाहिजे, कारण 62 + 82 = 102. नक्कीच या पद्धती ग्राह्य नाहीत.
वस्तुतः (r, s), (u, v) या धन संख्यांच्या दोन जोड्या घेतल्या, अशा की rv - su ही संख्या 0 नाही, तर क्रामेरचे सूत्र (Cramer's Rule) वापरून आपण नेहमीच (p, q) अशी दोन धन संख्यांची एकमेव जोडी शोधून काढू शकतो की rp + sq = √ r2+s2 आणि up + vq = √ u2+v2 ही समीकरणे साधतील. उदाहरणार्थ, पोदयनारने (r, s) = (8, 6), (u, v) = (12, 5) या दोन जोड्या घेऊन (p, q) =(7/8, 1/2) अशी आपली जोडी शोधून काढली होती, तर मी (r, s) = (4, 3), (u, v) = (15, 8 ) या दोन जोड्या घेऊन (p, q) =(11/13, 7/13) अशी माझी जोडी शोधून काढली. तुम्हीदेखील याप्रकारे तुमची वेगळी जोडी सहज शोधून काढू शकता, आणि एक नवीन पद्धत प्रस्तुत करू शकता. आता t ही कुठलीही धन संख्या असेल तर (tr, ts), (tu, tv) या धन संख्यांच्या जोड्यांसाठीसुद्धा वरील समीकरणे साधतात हे खरे असले, तरी महत्त्वाची गोष्ट अशी आहे की इतर कुठल्याही (a, b) अशा धन संख्यांच्या जोडीसाठी ap + bq = √ a2+b2 हे समीकरण साधत नाही. मग ही कसली आली आहे कर्णाची लांबी शोधण्याची वैकल्पिक पद्धत? उपमा द्यायची झाली तर ज्या प्रणालीमध्ये फक्त दोनच घराण्यांना न्याय देता येतो व इतर सर्व घराण्यांना अन्यायच सोसावा लागतो, ती प्रणाली काय कामाची?
तमिळ कवितेतील, माझ्या प्रस्तावित संस्कृत श्लोकांतील किंवा कोणत्याही pa + qb अशा पद्धतीतील मूलभूत चूक अशी आहे की (a, b) अशा सगळ्या धन संख्यांच्या जोड्यांसाठी pa + qb = √ a2+b2 ही समानता अशक्य आहे, कारण p2a2 + 2pqab + q2b2 = a2 + b2 या नित्यसमानतेमुळे p2 = 1, 2pq = 0 आणि q2 = 1 ही तिन्ही समीकरणे साधावी लागतात, पण कोणत्याच अशा संख्या p, q असू शकत नाहीत!
आंतरजालावर लिहिणाऱ्या काही जणांच्या लक्षात आले होते की पोदयनारची पद्धत सर्वत्र लागू पडत नाही. तरीही ही पद्धत कर्णाची लांबी निदान स्थूलमानाने (approximately) बरोबर सांगते असा पवित्रा काहींनी घेतला, तर काहींनी इतक्या प्राचीन काळी आपल्यापैकी एकाने असा प्रयत्न केला याचेच त्याला काही प्रमाणात तरी श्रेय देऊ केले. या दोन्ही म्हणण्यांत तथ्य नाही. जर उत्तर 10 च्या ऐवजी 9.25 येत असेल, तर चूक (error) होते 7.5 टक्क्यांची, तिला काय नगण्य म्हणायचे? तसेच आपल्या पूर्वजांच्या उपलब्धींचा, कामगिरीचा सार्थ अभिमान जरूर असावा, पण एखादे बाळबोध सत्य नाकारणाऱ्या, चुकीच्या गोष्टीचा उदो उदो करणे अक्षम्य मानले पाहिजे; तसे करण्याने आपण पूर्वजांची बदनामीच करत असतो. सध्या सर्व आधुनिक शास्त्रे वेदवाङ्मयात अगोदरपासूनच होती असा डंका पिटला जात आहेच; आता त्यात तमिळ परंपरेची अशी भर पडायला नको. पुढचा-मागचा विचार न करता संगणकाच्या साह्याने तत्काळ पुढे ढकलायच्या (forward) भोळसट (gullible) सवयीमुळे या अनिष्ट गोष्टी विकोपाला जाऊ शकतात. पायथागोरस, युक्लिड किंवा भास्कराचार्य यांच्यापुढे कर्णाची लांबी शोधण्याच्या पोदयनारने सांगितलेल्या वैकल्पिक पद्धतीचा क्षणमात्र टिकाव लागला नसता.
---
बालमोहन लिमये
(balmohan.limaye@gmail.com)
लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.
बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण
माहितीमधल्या टर्म्स
पोथायनार = बौधायन
एका प्रामुख्याने तमिळ सदस्य असलेल्या संस्थळामध्ये ह्या विषयी असे मत व्यक्त केलेले दिसते की 'प' आणि 'ब' ह्यांच्या तमिळ उच्चारामधील सारखेपणामुळे हे तथाकथित पोथायनार-रचित सूत्र बौधायनाचेच आहे.
हेहि उल्लेखितो की बौधायनाच्या शुल्बसूत्रामध्ये असे मला काहीच दिसलेले नाही. तसेहि (7/8) a + (1/2) b = c ह्या linear equation मध्ये आणि a^2+b^2=c^2 ह्या quadratic equation मध्ये काही दुवा असू शकेल असे वाटत नाही.
India
पिथागोरसच प्रमेय हे तरी सगळ्यांनाच माहित असतं असं नाही. पण अगदी साध्यासाध्या सगळ्यांना माहित असायला हव्या अशा गोष्टींचीही माहिती whatsapp वरून फॉरवर्ड झालेल्या संदेशांतून मिळते आणि अज्ञानाचा अंधःकार दूर होतो. उदाहरणार्थ धागालेखकांनी Indian Institute of Technology येथे अध्यापन केलेआहे . पण त्यातील Indian हा शब्द ज्या India देशावरून आला त्या देशाचं नाव कसं पडलं ह्याची माहिती कोणाला आहे का? तर हा एक Whatsapp फॉरवर्ड:
"Oxford Dictionary नुसार India हा शब्द कसा आला याची ९९% लोकांना माहिती सुद्धा नाही.
I - Independent
N - Nation
D - Declared
I - In
A - August
म्हणून इंडिया (India ) हे नाव Dr. B. R. Ambedkar यांनी दिले आहे. "
धागालेखकाची गणित विषयाची तळमळ समजू शकते पण Whatsapp फॉर्वर्डपुढे इग्नोरास्त्र हाच एक परिणामकारक आणि मनःस्वास्थ्यरक्षक उपाय आहे :-)
अर्थातच!
अर्थातच! आत्ताच मिळालेल्या Whatsapp फॉर्वर्डनुसार त्यांचा स्वातंत्र्यदिन भारताच्या एक दिवस आधी असल्याने India ह्या नावावर पाकिस्तान ने अग्रहक्काचा दावा केलाच होता. ही सर्व गुप्त कागदपत्रं Oxford Press ने नुकतीच आता स्वातंत्र्याला ७५ वर्षे होऊन गेली म्हणून खुली केली आहेत. पण सरदार पटेलांनी ग्वाल्हेरच्या महाराजा Scindia ह्यांना Supreme Court of India च्या वतीने खास निरोप घेऊन जीनांकडे धाडले. (Supreme Court of India चा निरोप घेऊन गेल्यामुळेच त्यांचे नाव SC India पडले आणि त्याचेच पुढे Scindia झाले). सुप्रीम कोर्टाने जर India नाव घेतलत तर स्विस बँकेतले तुमचे सगळे पैसे जप्त केले जातील असा सज्जड दम जीनांना दिला. मित्रांनो, जीनांचे तेव्हा ७८६०००,००,००००० (सातशे शहाऐंशी लाख कोटी) डॉलर स्विस बॅंकेत होते. शेवटी सबसे बडा रुपय्या म्हणून जीनांनी गुपचूप आपला दावा सोडला. इंडोनेशियाला पटेलांनी मुत्सद्देगिरीने Indonesia (Independent Nation Declared Of Nearly Every State In Africa) असे नाव घ्यायला आधीच भाग पाडलं होतं. गॅबॉन ने मनाचा मोठेपणा दाखवत India नावावरचा दावा सोडला आणि भारताशी होणारे अणुयुद्ध टाळले. गॅबॉनचा हा संयम पाहून एका डिझायनरच्या Dolce Paarne Fitle आणि त्याने एक फॅशन ब्रँड सुरु केला. तर मित्रांनो, इतिहासातल्या अशा किती तरी गोष्टी अजूनही जुन्या पुराण्या दस्तावैजात बंदिस्त होऊन पडलेल्या आहेत आणि आता हळूहळू उजेडात येत आहेत. तुमच्या मित्र आणि आप्तस्वकीयांपर्यंत ही माहिती जरूर पोहोचवा.
प्रतिसादाबद्दल धन्यवाद.
एखाद्या गोष्टीबद्दल वाटलं तर प्रतिसाद देण्यापर्यंतच माझी मजल सध्या तरी आहे.ठरवून एखाद्या विषयाबद्दल लेख लिहायचा प्रयत्न कधी केला नाही त्यामुळे जमेल की नाही हे माहित नाही. तुमची सूचना वाचून दिवाळी अंकाची माहिती पहिली. ३०सप्टेंबर पर्यंत वेळ आहे. काही सुचलं, वाटलं तर प्रयत्न करीन. पण नक्की सांगता येत नाही. तुम्ही लष्करच्या भाकऱ्या भाजून लोकांना लिहिण्यासाठी व्यासपीठ उपलब्ध करून देत आहात. ह्या कार्याबद्दल धन्यवाद.
बाप रे बाप!
गॅबन आणि भारताचे अणुयुद्ध हे वाचूनच अंगावर शहारा आला. दोन्ही नवस्वतंत्र देशांनी (अणुसज्ज१, २ नसले तरी) दाखवलेला हा संयम वाखाणण्याजोगा होता ह्याची इतिहासाने पुरेशी दखल घेतलेली दिसत नाही. असो!
१ तेव्हा; बोलेतो स्वतंत्र झाले तेव्हा
२ म्हणजे पैकी एकच झाला (तेही खूप नंतर, आणि अजूनही अधिकृत नसले, तरी)
म्हणजे काय? अणुयुद्ध ते अणुयुद्धच!
पॉईंटाचा मुद्दा
पॉईंटाचा मुद्दा असा आहे की पोदयनारबद्दलचा Whatsapp फॉरवर्ड आणि India बद्दलचा फॉरवर्ड ह्यांत गुणात्मक फरक काही नाही. त्यामुळे अशा फॉरवर्ड्स कडे दुर्लक्ष केलेले उत्तम.
पण तरीही पोदयनारचा फोलपणा दाखवून देण्यात लिमये साहेबांनी जी rigorous गणिती मांडणी केली आहे ती पाहून आदर वाटला. कुठेही समोरच्याचं मत तुच्छपणे उडवून लावलं नाही. व्यवस्थित clean, concise , अभिनिवेश विरहित argument करण्याची ही बौद्धिक शिस्त आणि अशा वाह्यात गोष्टीलासुद्धा निरागसपणे व्यवस्थित उत्तर देण्याची वृत्ती बहुतेक वर्षानुवर्षे गणिताची आराधना करण्यातून येत असावी. बाकी टवाळक्या करणारे आमच्यासारखे अनेक आहेत.
इंडिया हे नाव बदलले तर
ब्रिटिश लोकांनी दिलेले हे नाव बदलणे हा सर्वात सोपा मार्ग आहे.
इंडिया हे नाव पाकिस्तान लं ध्या.
भारत किंवा हिंदुस्तान हेच नाव योग्य आहे.
असे पण कागद पत्र सोडली तरी कोणी इंडिया चे नाव घेत नाही.
भारत किंवा हिंदुस्तान हेच नाव वापरले जाते.
कागदपत्र मध्ये फक्त इंडिया आहे.
इंडिया ह्या नावाविषयी कोणाला अस्था पण नाही.
बॉम्बे चे मुंबई झाले कागदावर पण.
उत्तर भारतीय बंबई च म्हणतात.
इंग्लिश वाले बॉम्बे च म्हणतात आणि मराठी मुंबई , म्हामई च म्हणतं असतात
जगातील सर्व देशांची नाव घेतली तर त्यांच्या नावाच्या प्रतेक अक्षर नुसार लाँग फॉर्म नसतो.
अगदी कोणत्याच नावाची अशी फोड करता येत नाही.
India मधील प्रतेक अक्षरा चा काहीच वेगळा अर्थ नाही
उगाचच जास्त बुद्धी चालवून खोटी माहिती पसरवली जात आहे.
पाकिस्तान मधील प्रतेक अक्षाराचा अर्थ पण कोणी तरी सांगा
बांगलादेश,श्रीलंका,जपान,अमेरिका,इराण सर्व देशांच्या नावाची अशी fod करा.
Pythagoras theorem
I was not aware of the weird claims mentioned here, and I have no idea how wide-spread this sort of phenomenon is in India to warrant a special essay. But I agree with Dr. Limaye. One has to focus on encouraging and fostering new research rather than gloating about the historical accomplishments alone. However, I guess some number theorist could possibly come up with some continued fraction or some other rational approximation to $\sqrt{1+x^2}$ using integer coefficients. I would be surprised if this is not known already (if not in vedic texts, some other old texts dating back to the 20th century), but perhaps, Dr. Limaye could shed some light on this.