संख्याजगताच्या अद्भुत कथा...4

ऑयलर संख्या (e): ठेवीची रकम वाढतच का जात नाही?

या पूर्वीचेः लेख 1, लेख 2, लेख 3

बँकेत काही पैसे ठेव म्हणून ठेवल्यास बँक आपल्याला व्याजासकट काही रकम ठराविक मुदतीनंतर देते. समजा आपण एक हजार रुपये मुद्धल म्हणून बँकेत ठेवल्यास व बँकेचे सरळ व्याजाचे दर दरवर्षी 100 टक्के असल्य़ास वर्षाच्या शेवटी दोन हजार रुपये खात्यात जमा होतील. यात काही गुंतागुत नाही हे आपल्या लक्षात आले असेल. परंतु ठेवीवर मिळणारे व्याज वर्षाच्या शेवटी न देता दर सहा महिन्यानी द्यायचे ठरवल्यास वर्षाच्या शेवटी मिळणाऱ्या रकमेत फरक दिसेल. म्हणजेच 1000 रुपयाला सहा महिन्यानंतर व्याजासकट 1500 रुपये व वर्षाच्या शेवटी 2250 रुपये.

भगवान देता है तो छप्पर फाडके देता है..

समजा दर सहा महिन्याऐवजी दर तीन महिन्यानी व्याज द्यायचे ठरवल्यास वर्षाच्या शेवटी 2610 रुपये मिळतील. आणि हाच क्रम पुढे नेत नेत दर महिन्याला, दर आठवड्याला, दर दिवशी, दर तासाला, दर मिनिटाला ... असे काही करत गेल्यास फार मोठे घबाड मिळेल असे वाटण्याची शक्यता आहे. परंतु गणितीय सिद्धांताप्रमाणे अगदी सेकंदाच्या अवधीने व्याज दिले तरी ही रक्कम 2718 व काही चिल्लर असणार. म्हणजेच 1000 या मूळ ठेवीला 2.71828 याने गुणिल्यास मिळेल ती रकम! याच संख्येची मांडणी गणितज्ञ e या चिन्हाने करतात.
चक्रवाढीचे सूत्रः
FV = PV (1+r/n)ⁿ
यात FV = भविष्यात मिळणारी रकम, PV = मुद्दल, r = व्याजाचा दर (दशांशामध्ये) n = कालावधी
या समीकरणात x = n/r बदल केल्यास r/n, 1/x होईल व n, xr होईल
त्यामुळे (1+r/n)ⁿ समीकरण (1+(1/x))^xr असे लिहिता येईल. परंतु e च्या सूत्रात n वाढत जाणार. व x इन्फिनिटीला पोचल्यास (1+(1/x))^xr चे मूल्य e^r होईल.

2.71828…. ही संख्या π (पाय) प्रमाणे एक अपरिमेय संख्या आहे. या पदातील दशांशाच्या पुढचे आकडे कधीच संपत नाहीत. लिओनाह्रर्ड ऑयलर या स्विडिश गणितज्ञाने ही संकल्पना प्रथम मांडली. त्यामुळे या संख्येला ऑयलर संख्या असेही म्हटले जाते. परंतु ऑयलरपूर्वीसुद्धा ही संकल्पना काही गणितज्ञांना माहित होती.

नेपियरच्या लोगॅरिदमिक टेबलच्या संदर्भातील एका शोधनिबंधाला जोडलेल्या परिशिष्टात e या संख्येचा पहिल्यांदा उल्लेख झाला. 1624 मध्ये ब्रिग्स या गणितज्ञाने बेस 10 च्या लॉग टेबलचा उल्लेख करताना e चा साधा उल्लेखही केला नव्हता. 1647 साली सेंट व्हिन्सेंट यानी चौकोनी हायपरबोलाचे क्षेत्र काढत असताना e चा वापर केला. त्याला चौकोनी हायपरबोला व लोगॅरिदम यांचा एकमेकाशी संबंध आहे की नाही हेही माहित नसेल. परंतु 1661 साली ह्युजेन्स याला मात्र चौकोनी हायपरबोला व लोगॅरिदम यांचा एकमेकाशी असलेल्या संबंधाची कल्पना होती. ह्युजेन्स यानीच e चे मूल्य शोधताना बेस 10च्या लॉग टेबलचा वापर करून 17 दशांशापर्यंत त्याची मांडणी केली होती. परंतु त्यालाही e चे महत्व कळलेले नव्हते. 1683मध्ये जॅकोब बेर्नोली यानी (1 + 1/n)ⁿ चे लिमिट शोधताना या समीकरणात n ची किंमत इन्फिनिटी पर्यंत गेल्यास काय होईल याचा शोध घेत असताना समीकरणाची किंमत 2 व 3च्या मध्ये असेल हे त्याच्या लक्षात आले. 1684मध्ये जेम्स ग्रेगरी यानी मात्र लोगॅरिदम व घातांक यात संबंध आहे हे निश्चित विधान केले. 1690 मध्ये लेब्निट्झ यांनी ह्युजेन्सला लिहिलेल्या पत्रामध्ये b हे अक्षर वापरून गणितासंबंधी काही माहिती दिली होती. परंतु हे b म्हणजेच e हे नंतर लक्षात आले. त्यानंतर ऑयलर यांनी e चा वापर करून काही गणितीय समस्यांची उत्तरं शोधली. त्यामुळे eला ऑयलर संख्या म्हणूनही ओळखले जाते.

e चे सूत्रः
e चे मूल्य काढण्यासाठी (1 + 1/n)ⁿ या सूत्राचा वापर केला जातो. त्यात n जस जसा मोठा होत जाईल तस तसे त्याचे मूल्य e (=2.71828..) च्या जवळपास येईल.
n = 1 असल्यास (1 + 1/n)ⁿ =2, n = 2 असल्यास (1 + 1/n)ⁿ =2.25, 5 असल्यास 2.48832, 10 असल्यास 2.59374, 100 असल्यास 2.70481, 10000 असल्यास 2.71815, 100000 असल्यास 2.71827... अशा प्रकारे e च्या जवळ पास येईल.

ऑयलर संख्या फक्त चक्रवाढीच्या हिशोबासाठीच्या संदर्भातच वापरतात असे नाही. काल्पनिक संख्या i व π या अपरिमेय संख्यांचा e शी संबंध जोडणारे e ^iπ +1=0 गणिती जगातील एक आश्चर्यकारक समीकरण म्हणून ओळखले जाते. (हा एक वेगळाच लेख होऊ शकेल!) यात 0,1, i , π, व e यांना एकमेकाशी जोडणारे ऑयलर आयडेंटिटी हे समीकरण एक साधे, सरळ व शानदार समीकरण आहे. मोठमोठ्या संख्यांचे गुणाकार/भागाकार करण्यासाठी कॅल्क्युलेटर्स व संगणक यांचा शोध होण्यापूर्वी, e ला बेस समजून तयार केलेले नॅच्युरल लॉग टेबल (व नंतर बेस 10 चे लॅग टेबल,) फार मोठ्या प्रमाणात वापरात होते. कदाचित माणसाने चंद्रावर पाठवलेल्या अपोलो 11 या अवकाशयानाच्या अभियांत्रिकी रचनेसाठी लॉग टेबल्सचाच वापर झाल्याची शक्यता नाकारता येत नाही.

खरे पाहता e ही संख्या वाटते तेवढी क्लिष्ट नाही. e^x असलेल्या पदावलीचे (त्यातील स्थिर संख्या डावलून) इंटिग्रेशन केल्यास त्याचे उत्तर e^x येईल. हे फक्त e^x किंवा e^x च्या साधारण विभाज्याच्या संदर्भात होऊ शकते. त्यामुळे गणितातील संज्ञांच्या पार्टीत e^x हे कुठे तरी एका कोपऱ्यात कुणाशीही न मिसळता उभे असलेले दिसेल!

चक्रवाढीप्रमाणे e^x चा वापर व्यवहारात अनेक ठिकाणी दिसेल. हवेचा प्रतिरोध, वेगवेगळ्या उंचीवरील हवेचा दाब, विद्युत मंडलातील कंपन, इलेक्ट्रॉन्सचे वायूतील गती, रेडियमसारख्या आण्विक मूलवस्तूंचे क्षयदर, रासायनिक प्रक्रियेच्या वेगाचे नियंत्रण, विद्युत चुंबकीय प्रक्रियेतून होणारे वीज उत्पादन अशा कित्येक ठिकाणी e^x व xⁿ ही सूत्रे उपयोगात आणल्या जातात. ऑयलर संख्येचा वापर व्यवहारातील काही क्लिष्ट समस्या सोडवण्यासाठीसुद्धा केला जात आहे. एक्स रे क्रिस्टलेग्राफीच्या अभ्यासकांना स्फटिकांचे गुणधर्म शोधताना फोरियर विश्लेषणाचा आधार घ्यावा लागतो. त्यासाठीच्या फोरियर विश्लेषणात e ही संख्या प्रामुख्याने आढळते. त्याचप्रमाणे जनुकशास्त्रातील काही क्लिष्ट विश्लेषणातसुद्धा ऑयलर संख्येचा वापर होत आहे.

क्रमशः
अधिक माहितीसाठी पूर्वार्ध व उत्तरार्ध