संख्याजगताच्या अद्भुत कथा...5 | ऐसीअक्षरे

संख्याजगताच्या अद्भुत कथा...5

सुवर्ण गुणोत्तर (φ) – एक शानदार संख्या

फिबोनाची क्रमिका
काही तज्ञांच्या मते विश्वरचनेमध्येच एक सुप्त गणित भरलेले वा दडलेले दिसेल. सजीवांची शरीररचना वा या सजीवांनी निर्माण केलेल्या वस्तू यांच्यामध्ये वा निसर्गातील झाडं, पानं, फुलं, फळं इत्यादीमध्येसुद्धा लक्षपूर्वक शोधल्यास एका प्रकारचे गणित सापडेल, असे तज्ञांचा विश्वास आहे. या विधानाच्या पुष्ट्यर्थ गणितज्ञ नेहमीच फिबोनाची क्रमिका आणि सुवर्ण गुणोत्तर यांचे पुरावे म्हणून सादर करतात.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.... अशा संख्याची क्रमिका फिबोनाची क्रमिका म्हणून ओळखली जाते. या क्रमिकेत मागील संख्येच्या बेरजेतून पुढील संख्या मांडली जाते. उदाः 3,5,8,13,21,34... मध्ये 8 ही संख्या 5 व त्यामागील 3च्या बेरजेतून, 13 8+5च्या बेरजेतून, 21 ही 13+8च्या बेरजेतून, 34 ही संख्या 21+13च्या बेरजेतून आलेले असतात. झाडाची पानं, सूर्यमुखी फुलातील बियांची रचना यात फिबोनाची क्रमिका सापडते. निसर्गातील अशा अनेक गोष्टीमध्ये फिबोनाची क्रमिका सापडतात.

परंतु या क्रमिकेत आणखी एक गंमत दडली आहे. पुढील व मागील संख्याचे गुणोत्तर काढत राहिल्यास उत्तरोत्तर हे गुणोत्तर 1.618च्या आसपास असेल. या गुणोत्तराला सुवर्ण गुणोत्तर या नावाने गणितज्ञ ओळखतात व याचे चिन्ह म्हणून ग्रीक लिपीतील φ या अक्षराचा वापर करतात. सुवर्ण गुणोत्तर हा गणितातील एक भन्नाट प्रकार आहे असे म्हणता येईल. अबक या सरळ रेषेवरील ब हा बिंदू अब/बक = अक(अब+बक)/अब या समीकरणाची पूर्तता करत असल्यास त्या गुणोत्तराला सुवर्ण गुणोत्तर म्हटले जाते. हे गुणोत्तर साधारणपणे 1.618च्या जवळपास असेल. फिबोनाची क्रमिकेतील 55/34 = (55+34)/55 = 1.61818..., किंवा (89+55)/89 = 1.617977... किंवा (233+144)/233 = 1.618025... इत्यादी आकड्यामध्ये हा गुणोत्तर डोकावतो.

φ चे मूल्य
a आणि b या दोन संख्यांची मांडणी सुवर्ण गुणोत्तराप्रमाणे केल्यास
(a + b)/a = a/b = φ,
b/a=1/φ
1+b/a = 1+ 1/φ = φ
φ +1 - φ2 = 0
φ2- φ -1 = 0
φ = (1+√5)/2 = 1.6180339887

हा चमत्कारिक गुणोत्तर आपल्याला भूमितीच्या अनेक रचनामध्ये बघावयास मिळेल. समभुज पंचकोनातील समोरासमोरील दोन शिरोबिंदूना जोडलेल्या कर्ण रेषेला भुजाने भागिल्यास हा गुणोत्तर मिळतो. समभुज त्रिकोनाच्या आतील बाजूला तिन्ही भुजांना स्पर्ष करणारे वर्तुळ काढल्यास त्यातही हा गुणोत्तर सापडेल. समदशभुजाकृतीतही हे गुणोत्तर मिळेल. याच गुणोत्तराचा उपयोग करून काढलेल्या त्रिकोनाला ‘गोल्डन ट्रँगल’ आणि आयताकाराला ‘गोल्डन रेक्टँगल’ म्हणतात.

सौंदर्याची मोजपट्टी
गणितातील संख्यांची करामत म्हणून याकडे दुर्लक्ष करता येत नाही, हेही तितकेच खरे. इंटरनेटवर शोध घेतल्यास या गुणोत्तराचे आपल्या दैनंदिन जीवनात मोठ्या प्रमाणात केला आहे हे लक्षात येईल. सोळाव्या शतकातील केप्लर हा खगोलशास्त्रज्ञ या सुवर्ण गुणोत्तराच्या चमत्कारामुळे भारावून गेला होता. मध्ययुगातील अनेकानी सुवर्ण गुणोत्तराला दैवीशक्तीचा दर्जा दिला होता. एका मानसशास्त्रज्ञाने त्या काळच्या खिडक्या, फोटोफ्रेम, क्रॉसेस, अभिनंदन पत्रं, आरसे, पुस्तकं, तैलचित्र, वेगवेगळ्या आकारच्या चौकटी इत्यादींचे मोजमापाचा अभ्यास केला. बहुतांश गोष्टीत या गुणोत्तराचा वापर केलेला होता, हे त्याला आढळले. पेंटिंग्समध्ये काढलेल्या पुरुष व स्त्रियांच्या शरीर रचनेतही हा गुणोत्तर होता. सौंदर्याच्या मोजपट्टीचा दर्जा याला मिळाला होता. त्यामुळे प्राचीन ग्रीक, इटॅलियन संस्कृतीत या गुणोत्तराचा वारेमाप उपयोग केला असेल, असे म्हणण्यास वाव आहे.

परंतु सौंदर्य हे नेहमीच सापेक्ष असल्यामुळे गणिताच्या पदावलीतून वा समीकरणातून व्यक्त करणे किंचित धाडसाचे ठरेल. मुळात ग्रीक अभिजनांचे मन या गुणोत्तरावर जडलेले असावे म्हणून दिसेल त्या ठिकाणी याचा वापर त्यांनी केला असावा. या सुवर्ण गुणोत्तराव्यतिरिक्तही गणितात अनेक मजेदार गोष्टी आहेत हे आपण विसरू शकत नाही.

...क्रमशः

या पूर्वीचेः लेख 1, लेख 2,लेख 3, लेख 4

धाग्याचा प्रकार निवडा: : 
माहितीमधल्या टर्म्स: 
field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (1 vote)

प्रतिक्रिया

लेख आवडला.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

सौंदर्याच्या बाबतीत जिथेतिथे हे सुवर्ण गुणोत्तर दिसतं याबाबत मला प्रचंड शंका आहे. ते किती अचूकपणे 1.61 आहे? मी जर म्हटलं की ती गुणोत्तरं खरं तर 1.57 म्हणजे पाय/2 आहेत, किंवा 1.65 म्हणजे वर्गमुळात e आहेत, किंवा या दोहोंची सरासरी आहेत, तर ते कोणाला खोडून काढता येणार आहे का?

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0