कोडं

answer is circular road. Either outside the square or within the square. Explaination follows shortly

कसंही सरळ रेषेत जोडा बहुदा रस्त्याची लांबी तेवढीच भरेल. ना?

.

डायगोनल.

A\ /C
\/
/\
B/ \D

चौरस नीट आलेला नसला तरी समजून घेणे.

डायगोनल हे उत्तर बरोबर असावे.

चौरसाच्या बाजूंवर रस्ते बनवायचे नाहीत. फक्त डायगोनल बनवायचे.

शेजारच्या कोपर्‍याकडे जायचे असले तरी मध्यभागी येऊनच जायचे.

प्रश्नातला पॉईंट "रस्त्यांची एकूण लांबी कमीतकमी" हवी असा आहे. कापलेले अंतर कितीही असो.

अ->ब->क->ड असे जोडावे. अ आणि ड एकमेकांना थेट जोडायचे नाहीत. त्याने ३ एककच लांबी लागेल रस्त्याची. बाकी इतर मार्गाने चार एकक होते.

चौरसाच्या दोन कर्णांवर रस्ते बांधायचे म्हणजे कुठल्याही गावातून कुठल्याही गावात जायला केवळ १.४१४ एकक इतकंच अंतर कापावं लागेल. रस्त्याची एकूण लांबी = २.८२८ एकक.

गावांतून सर्क्युलर रोड बांधल्यास एका गावातून (अ गावातून) शेजारच्या दोन गावांत ('ब' व 'ड' गावांत) जायला १.११ एकक अंतर होईल तर तिसर्‍या (क गावात) गावात जायला २.२२ एकक अंतर पडेल. आणि रस्त्याची लांबी ४.४३ एकक भरेल. (२*pi*r) तेव्हा हे उत्तर बाद.

गवि, नितिन व मंदार तुम्हा सर्वांना दोन पेले आईस्क्रीम!

व्यनी, खरड, धाग्यात आणी इतर मार्गांनी उत्तर दिलेल्या सर्वांचे धन्यवाद.

अ-क आणि ब-ड असे (अबकड असा चौरस असल्यास) दोन कर्ण जोडून बनलेला रस्ता हे एक चांगले उत्तर आहे. मूळ उत्तराच्या खूप जवळही आहे.

अगदी अचूक उत्तर काढायला सुत्रांचा वापर करावा लागेल, पण सुत्रांचा वापर न करताही, इंट्युशनने, दोन कर्णांच्या लांबीपेक्षा (२.८२ या उत्तरापेक्षा) अचूक उत्तर मिळवणे शक्य आहे. अजून थोडा वेळ देतो. मग सविस्तर उत्तर देईन.

पायथ्यॅगोरसचे थेरम पण हेच सांगते ना?

पण हे आकडेमोडीशिवाय जमलं नाही. अब पाया घेऊन कडच्या मध्यभागी इ बिंदू घ्यायचा व अबइ त्रिकोण काढायचा. तसाच कड पाया घेऊन अबच्या मध्यभागी फ बिंदू जोडणारा कडफ त्रिकोण काढायचा. हे दोन त्रिकोण एकमेकांना चौरसाच्या मध्ये ग आणि ह बिंदूंमध्ये छेदतील. अगहड रस्ता तयार करायचा. तसंच कग आणि बह जोडायचे. अग, कग, बह, व डह यांची लांबी (वर्गमुळात १.२५)/२ इतकी येते. म्हणजे ०.५५९०१७. गह ची लांबी ०.५.

४* ०.५५९०१७ + ०.५ = २.७३६०६८

अ...........................क
|.............................|
|............ग...............|
|.............................|
फ............................इ
|.............................|
|.............ह..............|
|.............................|
ब............................ड

आकृती प्रमाणात नाही, क्षमस्व.

मला असं वाटतं की हे उत्तर २.८२ पेक्षा चांगलं असलं तरी शेवटचं उत्तर नसावं. ज्याअर्थी इंट्युइशन वापरायला सांगितली आहे, व आकडेमोड न करता उत्तर काढायला सांगितलं आहे त्यावरून ते अधिक सोपं असावं. पण इथे दोन कर्णांपेक्षा अधिक चांगलं उत्तर असू शकतं एवढंच दाखवायचं होतं. (माझा अनमानधपक्याचा अंदाज - २ + २/३ = २.६६६६६६६६ - माझा आतला आवाज सांगतो.)

कोड्याचं अचूक उत्तर आहे १+ वर्गमूळात(३) = २.७३२०५...

कोड्यातल्या अटीप्रमाणे ज्यांनी कर्ण जोडण्याबद्दल सुचवले त्यांचे अभिनंदन. इतकं इंट्युशन असेल तर भुमितीची अन तुमची अजून मैत्री आहे असे म्हणायला हरकत नाही. ;-)

यापेक्षाही अचूक उत्तर मिळवणेही इंट्युशनने शक्य आहे असे मला वाटते. पण इंट्युशन हे सबजेक्टीव्ह प्रमाण असल्याने त्याबाबत मतभेद असू शकतात. तर माझं इंट्युशन या प्रमाणे;

दोन कर्ण जोडल्यानंतर येणारं उत्तर साधारण २.८३ आहे. जिथे दोन कर्ण एकमेकाला छेदतात त्याला ओरीजीन(ओ) म्हणूयात. ओ पासून जर अगदी लहान आडवी (किंवा उभी) रेघ ओढली आणि त्रिकोणाचे (अर्ध)कर्ण जिथे एकमेकाला छेदतात तिथून वेगळे करुन त्या रेघेच्या प्रत्येकी एका टोकाला जोडले. (चित्र पहा) थोडक्यात ही रेघ जर शून्य लांबीची असेल तर कर्ण एकमेकाला छेदतील.

मी विचार असा केला, जर मी ह्या आडव्या रेघेची लांबी अगदी थोडी वाढवली तर प्रत्येक अर्ध्या कर्णाची लांबी किंचित कमी होईल. टोकाची केस म्हणजे जेव्हा ही आडवी रेघ चौरसाच्या लांबी इतकी होईल तेव्हा अर्धकर्णाची लांबी चौरसाच्या बाजूच्या अर्धी होईल. ह्या परिस्थितीत रस्त्यांचा आकार इंग्रजी H प्रमाणे असेल. रस्त्याची एकूण लांबी = ३.

ह्या दोघांमध्ये उत्तर असणार असा विचार करून मी रेघेची लांबी .५ ठेवली आणि उत्तर काढले तर ते बरोबर १+वर्गमूळात(३) इतके येईल.

घासकडवी गुर्जी आणि 'न'वी बाजू, आणि निखिल जोशी (पॉप्युलरली नोन अ‍ॅज, रिकामटेकडा ;-) ) या तिघांनी स्वतंत्ररीत्या बरोबर उत्तर पाठवले आहे. गुर्जींच्या उत्तरातील किरकोळ बदल हा गणित करताना आलेला असावा. (वर्गमूळं तशीच ठेवली असता बरोबर उत्तर येईल.)

मी ढ असल्याची खात्री होतीच मात्र इतर सगळेच हुशार असल्याने माझे 'ढ'त्त्व इतके खुलून येईल असे वाटले नव्हते ;)