कोडं-४

Nile

खालच्या व्हिडीओत कोडं आहे, त्याचं श्रेय त्यांनाच. नंबरफील ह्या चॅनेलवर गणिताबाबत अनेक गमतीजमती पहायला मिळतात, इच्छुकांनी जरूर पहाव्यात.

***

****

लहानपणी खेळायचं सोडून भूमितीच्या पुस्तकात डोकं खुपसून बसलेल्या किंवा प्रौढवयात अभ्यास करत असलेल्यांना अर्थातच उत्तर चटकन सापडेल, त्यांनी ते मनात ठेवलं तरी चालेल. इतरांनी इथे पांढर्‍या ढश्यात लिहावे, कोणी आपल्या भौमितीक ज्ञानाला हसेल याची काळजी करू नये.

अमित.कुलकर्णी Sat, 08/11/2014 - 22:29

AB = AB* + BB*
आणि
AC = AC* + CC*
हे नेहमीच खरे असेल असे नाही.
AC = AC* - CC* असे असू शकते. (AB आणि AC यांच्या लांबीमध्ये फरक असेल तर असे होईल.)
म्हणजे C* हा A आणि C च्या दरम्यान असेल तेव्हा B* हा A आणि B च्या दरम्यान नसेल. म्हणून BB* = CC* असे असूनही AB = AC असणे शक्य नाही.
AB = AC असते तर कोन A चा दुभाजक BC च्या मध्यबिंदू (M) मधूनच गेला असता.

नितिन थत्ते Fri, 07/11/2014 - 09:33

माझ्या मते पहिले दोन निळे त्रिकोण एकरूप Congruent आहेत म्हटले आहे ते चूक आहे. म्हणून CC* & BB* समान लांबीचे नाहीत.

वामा१००-वाचनमा… Sat, 08/11/2014 - 01:35

ते काँग्रुएन्ट त्रिकोण आहेत अशी त्याने अशी कशी उडी मारली?
ते सिमिलर आहेत इक्वल नाहीत
_________
काँग्रुएन्ट व्हायला त्या २ समान रेषांमधील कोन समान हवा. ती माहीती कुठेच नाही.

-- इथेच गोम आहे.
_________________

लहानपणी खेळायचं सोडून भूमितीच्या पुस्तकात डोकं खुपसून बसलेल्या किंवा प्रौढवयात अभ्यास करत असलेल्यांना अर्थातच उत्तर चटकन सापडेल

किंवा हायली डेव्हलप्ड मॅथ्स इन्ट्युइशन असलेल्यांनाही सापडू शकेल.

मिहिर Sat, 08/11/2014 - 09:26

का बरे? काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू माहीत असल्या तर कोन काढता येत नाहीत? मला तर अमित यांचा आत-बाहेरवाला मुद्दा योग्य वाटतो.

धनंजय Sat, 08/11/2014 - 12:57

घोकंपट्टीकरिता माझी एक क्लृप्ती होती - त्रिकोणांच्या समसमान असण्याकरिता कोन वा भुजांपैकी तीन समसमान असलेले दाखवावे लागते. दोन सोडून : ASS दाखवून चालत नाही. (म्हणजे दोन भुजा, आणि त्यांच्यामधला नव्हे, तर बाजूचा एक कोन.) आणि AAA दाखवणे पुरेसे नाही.

Nile Sat, 08/11/2014 - 22:19

अपेक्षेप्रमाणे बहुतेकांना भूमिती आठवत नाही असं दिसतंय!

अग्निकाष्ठ आणि धनंजय यांचं उत्तर बरोबर आहे. धनंजय यांनी लिहलेल्या कसोटयांना मराठीत 'बाकोबा' वगैरे नावं आहेत. थत्ते यांनी निष्कर्ष बरोबर दिला पण का नाहीत यावर काही लिहले नाही, त्यांचा अर्धागुण कापण्यात येत आहे.

अमित आणि मिहीर, तुमचा तर्क बरोबर असला तरीही या न्यायाने कोणताही त्रिकोण समद्विभुज त्रिकोण आहे हे सिद्ध करता येईलच. त्रिकोणाच्या ज्या दोन बाजूंची लांबी साधारण सारखी आहे, त्यांच्यावरती काढलेले हे दोन निळे त्रिकोण नेहमीच "AB = AB* + BB*" अशा प्रकारचे असतील.

मिहिर Sat, 08/11/2014 - 22:53

काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू माहीत असतील तर सगळ्या बाजू आणि कोन काढता येता, बरोबर? इथे ते दिलेले आहे. मग एकरूपतेत काय घोटाळा आहे?

त्रिकोणाच्या ज्या दोन बाजूंची लांबी साधारण सारखी आहे, त्यांच्यावरती काढलेले हे दोन निळे त्रिकोण नेहमीच "AB = AB* + BB*" अशा प्रकारचे असतील.

कसे काय? त्या कोनाचा कोनदुभाजक हा समोरील बाजूला मध्यबिंदूच्या इतर बाजूंपैकी लहान बाजूच्या दिशेने छेदेल१. त्याने फरक पडेल असे वाटते.
१. कोनदुभाजकाचे प्रमेय

Nile Sat, 08/11/2014 - 23:26

बरोबर, काटकोन त्रिकोणाकरता कर्ण आणि एक बाजू समान असतील तर त्रिकोण एकरूप असतील. हे विसरलोच होतो. (पाहिलंत, या करता शाळेत लक्षं द्यायला लागतं!)

कसे काय? त्या कोनाचा कोनदुभाजक हा समोरील बाजूला मध्यबिंदूच्या इतर बाजूंपैकी लहान बाजूच्या दिशेने छेदेल१. त्याने फरक पडेल असे वाटते.

कोन दुभाजक आणी लंब यांचा छेदनबिंदू (किमान दोन बाजू समान नसतील तर) त्रिकोणाच्या इतर दोन टोकांपेक्षा (अपेक्स) तिसर्‍या (ज्यांनी टोक बनलेले नाही)बाजूपासून एकाच वेळी लांब(लंब-आंतर) किंवा जवळ नसेल असे सिद्ध करावे लागेल. म्हणजे एक लांब आणि एक जवळ असेच दरवेळी होईल. मी कागदावर रेघोट्या मारून पाहिले असता मला वाटले दोन्ही शक्य आहे, पण एकरूपतेची कसोटी बरोबर आहे, त्यामुळे माझे वरचे उत्तर बाद.

अमित आणी मिहीर यांची माफी, पण सिद्धतेची अजूनही आवश्यकता आहे.

मिहिर Sun, 09/11/2014 - 01:02

पहिली गोष्ट म्हणजे कोनदुभाजक आणि लंबदुभाजक ह्यांचा छेदनबिंदू नेहमी त्रिकोणाच्या बाहेर असेल. मी वर म्हटल्याप्रमाणे कोनदुभाजक समोरच्या बाजूला मध्यबिंदूच्या तुलनेत लहान बाजूच्या दिशेला छेदेल. म्हणून तो लंबदुभाजकाला त्रिकोणाच्या आत छेदू शकणार नाही. बाहेरील छेदबिंदू वापरून पुढील सिद्धता.

AB आणि AC ह्यांतील AB ही लहान आहे असे मानू. रेषाखंड AC वर G हा बिंदू असा निवडू की AB=AG.
आता ABF आणि AGF ह्या त्रिकोणांत,
AB = AG (रचना)
कोन BAF = कोन GAF (कोनदुभाजक)
AF = AF (एकच)
म्हणून ABF आणि AGF हे त्रिकोण एकरूप आहेत (बा-को-बा). म्हणून BF = FG = FC व कोन ABF = कोन AGF.
त्रिकोण FGC हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.
म्हणून कोन FCG = कोन FGC
पण कोन FGC = 180 - कोन AGF =180 - कोन ABF
म्हणून कोन ACF = 180 - कोन ABF
म्हणजे दोन्हींपैकी एक लघुकोन असेल, तर दुसरा विशालकोन असेल.
परंतु कोन ABF > कोन ACF (हे सिद्ध करणे सोपे आहे)
म्हणून कोन ABF विशालकोन आणि कोन ACF लघुकोन असेल.
म्हणून AB वर F मधून टाकलेला लंब AB च्या बाहेर असेल, तर AC वर F मधून टाकलेला लंब AC च्या आत असेल.
(हुश्श, झालं ब्वॉ!)

लॉरी टांगटूंगकर Mon, 10/11/2014 - 09:56

क्या बात है!!!!
हे प्रकार जनरली वरून आर्धे आणि खालून अर्धे सोडवायचो, मधला पूल गायब असायचा. आणि प्रश्नार्थक वाक्य बदलून अशा पद्धतीने AC वर F मधून टाकलेला लंब AC च्या आत असेल हे सिद्ध होते असं लिहून टाकायचो..

धनंजय Mon, 10/11/2014 - 11:19

चित्र काढण्यात गमतीदार ड्यांबीसपणा केलेला आहे.

(AB'B क्रम असल्यास ACC' क्रम असणार आणि ABB' क्रम असल्यास AC'C क्रम असणार. त्यामुळे ΔXBB' ~= ΔXC'C इथ्पर्यंत बरोबर असले, तरी त्यापुढचे बरोबर नाही. मिहिर यांच्यासारखे मलाही चित्र काढावे लागले.)