शून्याच्या शोधात...

शून्य ही संख्या नाही असे तुम्हाला वाटत असल्यास काही हरकत नसावी. कारण संख्यांचा वापर मोजण्यासाठी असतो. व जेथे काहीच नसते तेथे मोजणार कसे?

मुळात माणूस प्राणी गेली पाच हजार वर्षे काही ना काही मोजण्याची प्रक्रिया करत आला आहे. परंतु शून्याच्या इतिहासाची सुरुवात इ.स.पू 1800च्या सुमारास झाली असून त्याची पाळेमुळे बॅबिलोनियन संस्कृतीत आढळतात. त्यावेळीसुद्धा 1 ते 9 आकड्याप्रमाणे, शून्याला पूर्णपणे संख्याचा दर्जा दिलेला नव्हता. 361 व 3601 यांच्यामधील फरक दर्शवण्यासाठी एक चिन्ह या स्वरूपात तेथे शून्य होता. स्थान दाखवणारे चिन्ह एवढेच त्याला महत्व दिले होते. शून्यासाठीची बॅबिलोनियन चिन्ह म्हणजे कर्णरेषेतील दोन बाण.

तसे पाहता सर्व सामान्यांच्या दृष्टीने शून्य ही अगदीच क्षुल्लक वाटणारी गोष्ट. कोणत्याही गोष्टीचा अभाव, रिक्तता सूचित करणारे हे चिन्ह अथवा प्रतीक. परंतु अमूर्त स्वरूपातील हे  प्रतीक तत्वज्ञ व/वा गणितज्ञ यांच्या दृष्टीने फार मोठा आवाका असलेली गोष्ट असते. शून्यामुळे जगभरातील गणिताच्या अभ्यासकांना वाटेल तेवढ्या मोठमोठ्या संख्यांचे आकडेमोड करणे शक्य झाले. परंतु भारतातील अभ्यासक त्यांच्याही पुढे गेले होते. 

भारतीय अभ्यासकांच्या  दृष्टीने शून्य हे संख्या-पद्धतीतील फक्त स्थानदर्शक अंक नसून त्या आकड्याला एक स्वतंत्र अस्तित्वही आहे.  शून्याची इतर संख्याप्रमाणे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार भागाकारासारखे  आकडेमोड करता येईल, याचा शोध भारतीय ऋषी-मुनीनीच लावला. हे एका प्रकारे 4 ते 13 व्या शतकापर्यंतच्या  गणित विश्वातील क्रांतीसदृश गोष्ट होती.  शून्याचे वैशिष्ट्य म्हणजे शून्याची कुठल्याही संख्येत बेरीज वा वजाबाकी केली तरी त्या संख्येत बदल होत नाही. एखाद्या संख्येला शून्याने गुणिल्यास उत्तर शून्यच येते. शून्याला एखाद्या संख्येना भागणे ही क्रिया विसंगत असे समजली जाते. शून्य म्हणजे काहीही नाही हे माहित असूनसुद्धा त्याचे अमुक अमुक तुकडे करा हे बुचकळ्यात टाकणारे विधान ठरेल. त्याचप्रमाणे एखाद्या संख्येला शून्याने भागाकार करणेसुद्धा वेडपटपणाचे ठरेल. उदाहरणार्थ, तुमच्या जवळ असलेल्या २४ नाण्यांचा शून्य घटकात विभागणी करणे निरर्थक ठरू शकेल.

विसाव्या शतकाच्या प्रारंभीच्या काळापर्यंत मानव जातीलाच वरदान ठरलेल्या शून्य संकल्पना कुठल्या देशात पहिल्यांदा मांडली गेली याबद्दल प्रचंड कुतूहल होते व त्याबद्दल  संशयाचे धुके होते. 2017मध्ये मात्र चौथ्या शतकातील लोकविभाग हे जैन पुराण, आठव्या शतकातील आर्यभट्ट लिखित आर्यभटिया, व दहाव्या   शतकातील ब्रह्मगुप्त यांचा ब्रह्मस्फुट सिद्धांत,   या कालखंडात लिहिलेल्या हस्तलिखितांचे रेडिओकार्बन डेटिंगवरून शून्य ही संकल्पना भारतातच उदयाला आली हे निर्विवादपणे सिद्ध झाले व याबद्दलच्या वादाला अखेरचा पडदा पडला. 1881मध्ये सापडलेल्या बर्च झाडांच्या सालीवर लिहिलेले गणित विषयावरील बक्षाली भूर्जपत्रांच्या पानांचे कार्बन-14 डेटिंगची चाचणी 2017मध्ये केल्यांनंतर ही पाने तिसऱ्या व चौथ्या शतकातील होत्या, हे लक्षात आले.  त्यावरून  शून्याचा शोध भारतीयानीच केला याचा भक्कम पुरावा मिळाला.  ग्रीक व रोमन यांच्या ग्रंथात न आढळलेल्या  शून्यासाठीची संज्ञा भारतीय ऋषी-मुनीनी शोधली होती व अंक म्हणून त्याचा सर्रासपणे ते वापरत होते, याला रेडिओकार्बन डेटिंगमुळे पुष्टी मिळाली. 

7व्या शतकातील ब्रह्मगुप्ता या गणितज्ञाने शून्य हे केवळ स्थानदर्शक नसून इतर अंकाप्रमाणे ते एक स्वतंत्र अंक आहे आणि त्याचे आकडेमोड करता येते, अशी मांडणी केली. उदाः एका संख्येतून तीच संख्या वजा केल्यास त्याचे उत्तर शून्य असते; एखाद्या संख्येत शून्याची बेरीज वा वजाबाकी केल्यास ती संख्या तशीच राहते. ब्रह्मगुप्ता यानी ऋण संख्यांची संकल्पना मांडली. त्याच्या मते ऋण संख्या म्हणजे नुकसान  व धन संख्या म्हणजे झालेला फायदा. नुकसानीतून शून्य वजा केल्यास नुकसान तेवढेच राहते व शून्यातून फायदा वजा केल्यास ते नुकसान होते. व दोन नुकसानीचे गुणाकार केल्यास भरपूर फायदा (?) अशी त्याची मांडणी होती. 

भारतीय ऋषी-मुनी शून्याच्या संकल्पनेत भर घालत राहिले. नवव्या शतकातील महावीर या गणितज्ञाने शून्याला शून्याने गुणिल्यास उत्तर शून्यच येते अशी माडणी केली. परंतु एखाद्या संख्येला शून्याने भागिल्यास संख्या बदलत नाही अशी चुकीची मांडणी केली. परंतु बाराव्या शतकात  भास्कराचार्य २ या गणितज्ञाने ही चूक सुधारून उत्तर अव्यक्त  (indeterminate quantity) असते अशी मांडणी केली. 

भारतीय गणितज्ञांची  गणितातील ही उत्क्रांती कित्येक शतकं चालली. त्यांनी अपरिमेय संख्यांचे वर्गमूळ वा घनमूळ   यांनासुद्धा परिमेय संख्यांच्या स्वरूपात बघितले. ग्रीक तज्ञांनी अंकगणिताला भूमितीपासून स्वतंत्र न ठेवल्यामुळे अपरिमेय संख्यांना त्यांच्या गणितात स्थान नव्हते. ग्रीक तज्ञ प्रत्येक संख्याच्या  मोजमापावर भर देत होते. तद्विरुद्ध भारतीय गणितज्ञ अंकगणिताला भूमितीपासून स्वतंत्रपणे बघत होते.  ग्रीक तज्ञांच्या अंकगणितीय पद्धतीप्रमाणे प्रत्येक संख्येला काही तरी मूल्य असावे असा आग्रह भारतीय गणितज्ञ धरत नव्हते. गणित सोडविण्याच्या रीतीसाठी  शब्दांचे  संक्षिप्त रूप व चिन्हे यांचा वापर केला. एकापेक्षा जास्त अज्ञात संख्या असल्यास त्याचे वर्णन काळे, निळे, पांढरे अशा रंगाने केले.

 पश्चिमेतील शास्त्रज्ञांना या गोष्टी समजून घेण्यासाठी पुढील काही शतके लागली. भारतीय गणिताचा प्रवास अरबस्तानातून युरोपात गेला. संस्कृतमधील ग्रंथांचा अरेबिकमध्ये व अरेबिकमधून इंग्रजीत अनुवाद होत होत शून्य ते सिफर ते झिरो हे ज्ञान युरोपमधील तज्ञापर्यंत पोचले. 8 व्या शतकात भारतीय संख्यापद्धती अरब जगात पोचली. अल् ख्वारिझ्मी (इ.स.780 – इ.स. 850) या गणितज्ञाने सिफरला संख्या पद्धतीत सामावून घेतले. नवीनच उदयास आलेल्या बीजगणितातील समीकरणांसाठी याची नितांत गरज आहे हे त्यानी ओळखले. मध्य युगातसुद्धा आर्यभट्ट (6वे शतमान), ब्रह्मगुप्त (7वे शतमान), महावीर (9वे शतमान)  व भास्कर 2 (13वे शतमान) या भारतीय गणितज्ञांनी  केलेली कामगिरी नक्कीच कौतुकास्पद ठरली. 

इ.स. 520च्या सुमारास भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट (476-550) यांनी शून्यासाठी ब्राह्मी लिपीतील ‘ख’ या अक्षराची सोय केली. आर्यभट्ट यानी स्थान दर्शविणाऱ्या दशमान पद्धतीचे वर्णन त्याच्या संकृतमधील 121 कडवे असलेल्या आर्यभटीय या ग्रंथात केले होते.  संख्येच्या एकम्, दशम् हे स्थान दर्शवण्यासाठी ‘ख’ या अक्षराचा वापर त्यानी केला होता. भारतीय गणितज्ञ, संख्या फक्त वस्तूंच्या मोजमापासाठीच नसून त्या अमूर्त स्वरूपातही असू शकतात यावर भर देत होते.  भारतीय गणितज्ञ, संख्या हे फक्त वस्तूंच्या मोजमापासाठीच नसून त्या अमूर्त स्वरूपातही असू शकतात यावर भर देत होते. ब्रह्मगुप्ता (क्रि.श. 598 – 670) या खगोल शास्त्रज्ञाने संख्यारेषाची संकल्पना मांडून शून्याच्या डाव्या बाजूला ऋणसंख्या व उजव्या बाजूला धनसंख्या अशी मोजण्याची सोय केली होती. 

स्थानदर्शक दशमान पद्धतीत शून्यासकट 10 आकडे (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) असून मोठमोठ्या संख्यांचे आकडेमोड करणे यामुळे सोपे होते. तद्विरुद्ध रोमन यांची  संख्यांसाठी अक्षरांचा  (I, V, X, L, C, D and M, अनुक्रमे 1, 5, 10, 50, 100, 500  व 1,000) वापर केल्यामुळे आकडेमोड करणे फार कठिण असते. स्थानदर्शक शतमान पद्धतीत प्रत्येक अंकाची किंमत तिच्या स्थानावरून ठरते. दशांक पद्धतीतील  पूर्णांकामध्ये  उजवीकडून डावीकडील आकड्यात पहिला आकडा एकक तर नंतरचे आकडे अनुक्रमे दशक, शतक व सहस्रक ....असे 10च्या घातांकाच्या पटीत चढत जातात. (उदाः5,876 = 5,000 + 800 + 70 + 6) परंतु स्थानदर्शक नसलेल्या रोमन अंक पद्धतीत चिन्हांच्या किंमतीत बदल होत नाही. त्यामुळे 3-4 अंक असलेल्या संख्यासाठी फार मोठ्या प्रमाणात चिन्हांचा वापर करावा लागतो. 5,876  लिहिण्यासाठी MMMMMDCCCLXXVI एवढी मोठी लांबलचक अक्षरमालिकाची गरज भासते. 

आताच्या अंड्याच्या आकाराचे चिन्ह ‘(0)’  इ.स.  876 साली वापरले होते, याचा पुरावा  ग्वाल्हेरजवळच्या एका शिलालेखात सापडला. त्या शिलालेखात 187X270 (पुरुष) क्षेत्रफळ असलेल्या बागेतील फुलांनी रोज 50 माळा चतुर्भुज मंदिरासाठी वापरल्या जातात, असे लिहिलेले होते. 270 व 50 हे आकडे आपण जसे लिहितो तसेच त्या शिलालेखात होते. शून्याचा (0) उल्लेख करताना थोडेसे बारीक अक्षरात लिहिलेले होते, एवढा फरक सोडल्यास बाकी वर्णन शून्याच्या स्थानाचेच होते.

जरी शून्याचा जन्म भारतात झाला असला तरी त्याचे नामकरण, त्याला मोठे करणे, त्याची वाढ, त्याचा वापर इत्यादी गोष्टी युरोपातच जास्त प्रमाणात झाल्या. फिबोनाकी या इटालियन गणितज्ञाने युरोपमध्ये रिक्तपणा दाखविणाऱ्या शून्याचा वापर असलेल्या दशमान पद्धतीला वारेमाप प्रसिद्धी मिळवून दिली.  अरबी भाषेतील रिक्तपणासाठीचा शब्द सिफर (sifr) लॅटिनमध्ये झेफिरम (zephyrum) झाला नंतर इटलीत तो झिफर (zephyr) व शेवटी व्हेनेशियन यानी झिरो (zero) असे त्याचे संक्षिप्त रूपात वापरू लागले. 

19व्या शतकात गणिताच्या मागील तर्कशास्त्राचा (Logic of Mathematics) अभ्यास करण्यात आला होता. त्यावेळी जोसेप्पे पिएनो (Giuseppe Peano:1858-1932) या इटालियन गणितज्ञाने अंकगणितातील संख्यासंबंधींच्या गृहितकांचे नियमन करत असताना शून्य ही संख्या आहे असे ठामपणे प्रतिपादन केले. शून्याशिवाय भूमापन करणे वा ऋण – धन या संख्येतील फरक समजून घेणे जड ठरले असते, यावर त्याचा भर होता.

शून्याचे ‘स्थळ महात्म्य’ गणितज्ञांच्या लक्षात येऊ लागले. आणि संपूर्ण (गणितीय) जग शून्याच्या प्रेमात पडले. परंतु शून्याची महती सेट सिद्धांताच्या वेळी लक्षात आली. 1874 मधील एका संशोधन प्रबंधातून सेट सिद्धांताची कल्पना जिऑर्ग कँटर (1845 -1918) या गणितज्ञाने पहिल्यांदा मांडली. सेट सिद्धांत हा गणिताचा पाया समजला जातो. सेट म्हणजे एक अमूर्त भांडं वा पात्र. या भांड्यात काहीही ठेवता येते. हिमगौरी व सात बुटके या परीकथेतील सात बुटक्यापासून आठवड्यातील सात दिवसापर्यंत काहीही. फक्त सेटची मांडणीचा संदर्भ देत असताना त्यातील घटकांचे स्वरूप काय आहे हे माहित असायला हवे. त्या सेटमध्ये सात दिवस वा बारा महिने किंवा धृतराष्ट्राची शंभर मुलं असू शकतील. त्याचप्रमाणे रिक्त सेटची मांडणी केल्यास त्यात शून्य घटक आहेत हे नक्कीच लक्षात येईल.

पश्चिमेतील शास्त्रज्ञांना शून्याबद्दलच्या गोष्टी समजून घेण्यासाठी  काही शतके लागली. भारतीय गणिताचा प्रवास अरबस्तानातून युरोपात गेला. संस्कृतमधील ग्रंथांचा अरेबिकमध्ये व अरेबिकमधून इंग्रजीत अनुवाद होत होत शून्य ते सिफर ते झिरो हे ज्ञान युरोपमधील तज्ञापर्यंत पोचले. ऋण संख्यांचा दरवाजा शून्याजवळ आहे व कर्जाची वा अक्कलखाती जमा झालेल्या रकमेची नोंद शून्याच्या डाव्या बाजूला मांडता येते हे त्यांना फार उशीरा कळाले.

2026च्या  (व यापुढील )कालखंडात कृत्रिम बुद्धिमत्तेचे (एआयचे)वर्चस्व सर्व क्षेत्रांना जाणवणार  आहे. लार्ज लँग्वेज मॉडेल्स व न्यूरल नेटवर्कच्या गुंतागुंतींना उत्तर म्हणून कृत्रिम बुद्धिमत्तेकडे बघितले जात आहे. मानवी मेंदूसदृश स्वतंत्रपणे कार्य करणाऱ्या डिजिटल मेंदूची भाषा आपण आता करत आहोत.  या सर्व अत्याधुनिक डिजिटल तंत्रज्ञानाच्या इमारतीचा पाया शून्य (0) आणि (1)च्या द्विमान  (binary – बायनरी) जगावर पूर्णपणे अवलंबून आहे, हे मात्र आपण विसरू शकत नाही.  

एआयचे मॉडेल्स पूर्णपणे गणिताच्या अमूर्त संकल्पनेशी जोडलेले असून बायनरीच्या जगात त्यांना जखडून ठेवलेले आहे. त्यामुळे शून्य  ‘0’ हे काहीतरी टाकाऊ, पुरातन काळातील अवशेष असे नसून  एआय व/वा संगणकीय जगातला अनभिषिक्त राजा म्हणून ते मिरवत आहे. ‘1’च्या बरोबरचा ते मूक भागिदार आहे. त्याच्याच कर्तृत्व शक्तीवर बुद्धिमत्तेचे गुंतागुंतीचे अंदाज, विश्लेषण, धोरणाची दिशा अवलंबून आहे. येऊ घातलेल्या सर्वात प्रगत एआयसुद्धा या शून्याला पडद्याआड ठेऊ शकत नाही.  त्यालाही (1) किंवा (0)  – हो किंवा नाही - याचाच आधार घ्यावा लागणार आहे. 

शून्याच्या उत्क्रांतीमुळे आजच्या डिजिटल जगात त्याची मध्यवर्ती भूमिका ठळकपणे उठून दिसते. आधुनिक संगणकांचा आधार असलेल्या बायनरी सिस्टीममध्ये, (0) आणि (1) हे अंक एका बिटचे प्रतिनिधित्व करतात. या साध्या वाटणाऱ्या बायनरी भाषेमुळे बाइट्स, किलोबाइट्स, मेगाबाइट्स, टेराबाइट्स आणि त्याहूनही अधिक गोष्टींची निर्मिती झाली आहे, ज्यामुळे आपण आज अनुभवत असलेल्या डिजिटल जगाला आकार मिळत आहे.

शून्याचा प्रवास ही मानवी कल्पकता आणि सांस्कृतिक परस्परसंवादाची एक उल्लेखनीय कहाणी आहे. बॅबिलोन, चीन आणि माया यासारख्या विविध प्राचीन संस्कृतींमध्ये स्वतंत्रपणे एक स्थानधारक म्हणून कल्पित, प्राचीन भारतात संख्या म्हणून त्याची पूर्ण क्षमता साध्य झाली. शून्यतेच्या तात्विक संकल्पनांसह एकत्रित झाली आणि ब्रह्मगुप्तासारख्या गणितज्ञांनी त्याला औपचारिकता बहाल केली.  इस्लामिक सुवर्णयुगातील चैतन्यशील बौद्धिक केंद्रांमधून अल-ख्वारिझ्मी सारख्या विद्वानांद्वारे प्रसारित केलेले, ते अखेर युरोपमध्ये पोहोचले, फिबोनाकीसारख्या व्यक्तींनी त्याचे समर्थन केले. त्यानी गणना आणि व्यापारासाठी शून्याची  क्रांतिकारी शक्ती जगाला दाखवली.

आज, शून्य ही केवळ एक संख्या नाही; ती डिजिटल युगाच्या मूलभूत भाषेचा अर्धा-अधिक भाग आहे.  संगणक, संप्रेषण आणि आधुनिक जीवनाच्या असंख्य पैलूंना शक्ती देणाऱ्या बायनरी सिस्टमला शून्य आधार देते. शून्याचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या संकल्पनेतून, शून्याने खऱ्या अर्थाने जगात क्रांती घडवली.

पूरक वाचनः गणितज्ञांच्या अद्भुत कथा -3 : शून्यातून विश्व  http://aisiakshare.com/node/2358

संदर्भः Finding Zero by Amir D Aczel