गणिताच्या निमित्ताने – भाग ३

गणिताच्या निमित्ताने – भाग ३

बालमोहन लिमये

(प्रा. बालमोहन लिमये यांच्या साप्ताहिक लेखमालेचा पुढील भाग. मागील भाग इथे.)

लग्न का नाही करत त्याच्याशी?

गणिताच्या निमित्ताने जडून आलेल्या संबंधांपैकी सर्वात महत्त्वाचा संबंध आहे माझा आणि माझ्या पत्नीचा. अमेरिकेतील वास्तव्य संपवून मी भारतात आलो तेव्हा मला तीन ठिकाणांहून नेमणुकीची पत्रे आली होती. मुंबई व कानपूर येथील आय. आय. टी.कडून व्याख्याता (Lecturer) म्हणून, आणि टी. आय. एफ. आर. किंवा टिफ्र (Tata Institute of Fundamental Research), मुंबई या संस्थेकडून अभ्यागत सदस्य (Visiting Member) म्हणून. बरीच वानवा करून मी १९६९ साली टिफ्रमध्ये काम करायचे पत्करले, जरी ती नेमणूक एकच वर्षाची होती तरी. याचे मुख्य कारण म्हणजे संशोधनास अनुरूप असे तेथील वातावरण. तिथे जाऊन पाहिले तर सगळे संशोधक दिवसेंदिवस पेन्सिलीने कागदावर किंवा खडूने फळ्यावर काही तरी खरडत बसलेले असत, किंवा लांबच्या लांब कॉरिडॉरमधे एकएकटेच येरझारा घालत असत. मधूनच कोणाला तरी काही तरी छान सुचले म्हणून त्याच्या मुखावर स्मित हास्य उमटे किंवा तो अचानक टाळी वाजवे. हे काही मला फार काळ मानवणारे नव्हते. म्हणून मी आल्याआल्याच त्या वेळचे गणितशाखेचे प्रमुख (Dean, School of Mathematics) के. जी. रामनाथन यांच्याकडून शिकवण्याचे काम मागून घेतले. त्याकाळी टिफ्रमध्ये शिकवणे असे फारच कमी असे, आजही तसेच आहे. दरवर्षी गणित घेऊन एम्. एस्सी. किंवा एम्. ए. झालेल्या जास्तीत जास्त पाच विद्यार्थ्य़ांना संशोधनासाठी निवडत असत, प्रत्येकाची अतिशय कडक आणि लांबलचक मुलाखत घेतल्यावर. पहिल्या वर्षी या मुलांना (त्यांना babies असे संबोधत) तीन कोर्सेस शिकवत : मान अभ्यास (Measure Theory), संस्थिति (Topology) आणि बीजगणित (Algebra). यातला पहिला कोर्स शिकवायला मी सुरुवात केली. वर्गात फक्त पाच विद्यार्थी होते. त्यांपैकी एक होता श्रीकृष्ण दाणी, जो पुढे जाऊन National Board of Higher Mathematicsचा अध्यक्ष (Chairman) झाला. तसेच नुकताच केंब्रिजहून रॅंग्लर होऊन परतलेला जोशी नावाचा मुलगा वर्गात होता. त्याकाळी मुंबई विद्यापीठातील गणिताच्या प्रगत अध्ययन केंद्रात (Centre for Advanced Study in Mathematics) पीएच. डी. करणारे विद्यार्थीसुद्धा टिफ्रमध्ये येऊन हे कोर्सेस घ्यायचे, तेथील प्राध्यापकांच्या हाताखाली संशोधन करायचे. अशांपैकी ज्योत्स्ना घाटे ही विद्यार्थिनीही माझा कोर्स घेत होती. माझी पाच-एक लेक्चर्स झाल्यावर वर्गात एक नवीनच चेहरा मला आढळला. मी तुटकपणे म्हटले ‘गणित हा विषय काही भूगोलासारखा नाही. जपानबद्दलची पाच लेक्चर्स ऐकली नाहीत तरी एखाद्या नव्या माणसाला चीनबद्दलचे सहावे लेक्चर समजू शकते. पण गणिताच्या पहिल्या पाच लेक्चर्समध्ये काय शिकवले आहे ते माहीत नसले तर सहावे लेक्चर कसे समजणार? हा काही करमणुकीचा फुकट खेळ (free show) नाहीये चालू इथे.’ त्यानंतर तो नवीन चेहरा माझ्या वर्गात पुन्हा दिसला नाही.

टिफ्रच्या गणित विभागात त्या काळी दक्षिणेकडील, विशेषत: तामिळनाडूमधील, ब्राह्मण लोकांचा खूपच भरणा होता. महाराष्ट्रीय लोक तर हाताच्या बोटावर मोजण्याइतके होते. त्यांत मुंबईच्या प्रगत अध्ययन केंद्रात नेमणूक झालेली पण टिफ्रमध्ये दररोज येणारी आणखी एक विद्यार्थिनी होती, निर्मला आगाशे नावाची. साहजिकच दुपारच्या जेवायच्या वेळेला किंवा इतर वेळी चहा-कॉफी प्यायला हे मराठी नग एकत्र यायचे. मीही त्यांच्यात सामील झालो. वातावरण खेळीमेळीचे होते. एकमेकांचा परिचय वाढत गेला. विशेषत: माझे आणि निर्मलाचे सूर जमले. त्यानंतर मला कळले की माझ्या वर्गात पाचव्या लेक्चरनंतर आलेली व्यक्ति निर्मलाच होती, आणि त्याला काही कारण होते.

मी टिफ्रमध्ये काम सुरू करायच्या आधी एक वर्षापासून निर्मला टिफ्रमधील प्राध्यापक श्रीधरन यांच्याकडे पीएच. डी.साठी अध्ययन करत होती. ज्या दिवशी मी टिफ्रमध्ये दाखल झालो त्याच दिवशी श्रीधरननी निर्मलाला बोलावले आणि सांगितले, ‘बघ आज एक नवीन महाराष्टीयन तरूण आपल्या विभागात कामाला लागतोय. तू त्याच्याशी लग्न का नाही करत?’

Nirmala Agashe

निर्मला आगाशे, टिफ्रमध्ये. १९७०

हे ऐकून निर्मला चपापली. तिने श्रीधरनचे म्हणणे उडवून लावले. ज्या व्यक्तिला आपण पाहिलेही नाही त्याच्याशी लग्न करण्याचा विचार आणणेही निर्मलाला अशक्य होते. पण श्रीधरन बोलत राहिले, ‘काय अडचण आहे तुला? तुझ्या वडिलांना सांग, त्याच्या वडिलांना भेटायला. सगळे जमून येईल.’ श्रीधरनसारख्या पुराणमतवादी तामिळ ब्राह्मणाने असे सुचवणे अगदी साहजिक होते. त्यांचे स्वत:चे लग्न असेच ठरले होते. एके दिवशी टिफ्रच्या भौतिकी विभागातील (School of Physics) विजयराघवन नावाचा श्रीधरनचा मित्र त्यांना म्हणाला ‘श्रीधरन, तू माझ्या बहिणीशी लग्न करशील का?’ तर श्रीधरन म्हणाले ‘ठीक आहे.’ विषय संपला. श्रीधरनने तामिळनाडूमध्ये रहात असलेल्या, मुंबईत कधीही पाऊल न टाकलेल्या वसंताशी लग्न केले. आता आपल्या पीएच. डी.च्या मार्गदर्शकाने घाटच घातला आहे, तर हा कोण ‘संप्रति नवा पुरूषावतार’ गणित विभागात रुजू झाला आहे, तो बोलतो-चालतो कसा याबद्दल निर्मलाला कुतूहल वाटणे ओघानेच आले. म्हणून तिने डोकावले होते मी शिकवत असलेल्या वर्गात!

वर्षभराच्या कालावधीनंतर मी व निर्मलाने विवाह करण्याचा निर्णय घेतला. तेव्हा मला टिफ्रमध्ये जास्त काळाची नेमणूक मिळालेली होती. त्या कालावधीत मी टिफ्रच्या Old Yacht Clubमधील होस्टेलमध्ये रहात होतो. शेखर कौशिकही माझ्याच खोलीत राहायचा. त्याला जेव्हा ही बातमी समजली तेव्हा तो म्हणाला की बालमोहनच्याही आधी मला कळले होते तो निर्मलाशी लग्न करणार आहे हे, कारण तो झोपेत काय बोलायचा ते मला ऐकू यायचे! निर्मला प्रथम श्रीधरनकडे गेली व तिने त्यांना ही खबर सांगितली. श्रीधरन म्हणाले, ‘अग निर्मला, मी तर बालमोहन इथे आल्याआल्या पहिल्याच दिवशी तुला हे सुचवले होते.’ निर्मला म्हणाली, ‘पण तेव्हा मी बालमोहनला ओळखतसुध्दा नव्हते.’ श्रीधरन म्हणाले ‘आणि आता?’ निर्मला म्हणाली, ‘मी आता त्याला चांगली ओळखते.’ त्यावर श्रीधरन म्हणतात कसे, ‘आणि तरीही तू त्याच्याशी लग्न करायचे ठरवत आहेस? ठीक आहे, ठीक आहे. तुला माझ्या शुभेच्छा!’ अशी उत्स्फूर्त विनोदबुद्धी होती श्रीधरनची!

टिफ्रमध्ये काही काळ मी आणि आनंद स्वरूप एकाच ऑफिसमध्ये बसून काम करत असू. त्याच्या संशोधनाचा विषय होता निम्न परिमाणांची संस्थिति (low dimensional topology). तो माझ्या फलनीय विश्लेषण (Functional Analysis) या विषयापेक्षा खूपच वेगळा असल्याने आमची गणिताबाबत फारशी चर्चा होत नसे. पण अवांतर बोलणे बरेच होई.

माझ्या विवाहाच्या काही महिने आधी आम्ही दोघांनी नेपाळमध्ये भटकंती करायचे ठरवले. त्या काळात व्हिसा लागायचा नाही, पण राज्य सरकारने दिलेले ओळखपत्र जरूर असे. त्याच्यावर चिकटवलेला माझा फोटो शिल्लक राहिला आहे.

Passport

नेपाळभेटीपूर्वी, ऑक्टोबर १९७०

१४३७० फूट उंचीवरचे गोसाईकुण्ड हे आमचे लक्ष्य होते, काठमांडूपासून ४२ किलोमीटर अंतरावर. प्रथम बसने आणि नंतर पायी मजल-दरमजल करत आम्ही धुनचे या ६६६० फूट उंचीवरच्या गावी पोचलो. बरोबरचा शेर्पा वाट दाखवायचा, स्वयंपाक करायचा आणि स्वतःचे सामान व स्वयंपाकाची भांडी वाहून न्यायचा, पण आमचे सामान वाहून न्यायचे काम त्याचे नव्हते. आमचे सामान आम्हीच उचलायचे ठरवले होते. धुनचेहून १०५०० फूट उंचीवरील चंदनबारी येथे पोचायला पुरा एक दिवस लागला; चढ उभा नसला तरी खूप दम लागला. तेथून गोसाईकुण्डापर्यंतचा रस्ता मात्र सरळ उभ्या चढाचा होता. सामान आमचे आम्हाला चढवेल अशी खात्री वाटत नव्हती. वाटेत काही अडचण उभी राहू नये म्हणून आम्ही नाइलाजाने एका हमालाला (coolie) सामान उचलायचे काम सोपवले. आता आम्हाला जरा मोकळे वाटू लागले असले तरी उंच चढून जाऊन एका तिबेटी लामा स्त्रीच्या मठात पोचेपर्यंत पुरी दमछाक झाली. शेर्पाने बनवलेले जेवण खूप गोड लागले. ती लामा स्त्री वृद्ध होती, दिवसभरात कधीच जेवायची नाही, मात्र खूप वेळा, ५०-६० वेळा तरी, ती चहा पीत असे. तो तिबेटी चहा अगदीच वेगळ्या प्रकारचा होता, पाण्यात लोणी आणि मीठ घुसळून बनवलेला. मी चव घेऊन पाहिली पण जास्त प्यायला नको वाटले.

दुसऱ्या दिवशी सकाळी लवकर गोसाईकुण्डाकडे निघालो. हवा फारच विरळ असल्याने मला श्वास घ्यायला त्रास होत होता. आनंद स्वरूप मात्र लांबलांब ढांगा टाकत पुढे निघून गेला. शेवटी काही जर्मन पर्यटकांच्या एका छावणीत मला विश्रांती घेणे भाग पडले. त्यांनी थोडा प्राणवायूही पुरवला. त्यामुळे बरे वाटू लागले असले तरी पुढे शेवटपर्यंत जावे की मागे परतावे याचा निर्णय होत नव्हता. तेथे मला आनंद स्वरूप भेटला. अखेरीस मनाचा हिय्या करून त्याच्याबरोबर गोसाईकुण्ड गाठले. एक वळण घेऊन दोन पावले टाकताच जे दृष्टीस पडले त्याने डोळ्यांचे पारणे फिटले. निळसर आकाश, त्यावर शुभ्र ढग, हिरवट-राखी डोंगरांच्या रांगा आणि या सगळ्याच्यामध्ये निळाशार रेखीव तलाव! त्याच्या एका बाजूला तुरळक वस्ती.

Gosaikund

गोसाईकुण्ड, नेपाळ

परतीची वाट चटकन फुटत गेली. मुंबईला जाऊन निर्मलाला नेपाळच्या सहलीचे वर्णन करायची उत्सुकता लागून राहिली होती. मी एका अगदी छोट्या वहीत काही तपशील लिहून ठेवत होतो. ती वही इतर पत्रांबरोबर मी नुकतीच फेकून दिली. नाही तर आता विसरलेले काही किस्से लक्षात आले असते. मी व आमचा शेर्पा बरोबर होतो. पण आनंद स्वरूप नेहमी आमच्या मुक्कामाच्या एक मुक्काम पुढेच असायचा. सहलीच्या खर्चाचा हिशोब मीच ठेवत होतो. आम्ही काठमांडूला पोचल्यावर त्याने तो चुकता केला, आणि तो गायब झाला. थोडक्यात, सहलीचे कुठलेच अनुभव आम्ही दोघांनी एकत्रित घेतले नाहीत. मग एकत्र प्रवास करायचाच कशाला? आनंद स्वरूप सरळ स्वभावाचा माणूस होता, त्याच्यात छक्के-पंजे काही नव्हते. पण नेपाळच्या प्रवासात आमचा सूर जमला नाही एवढे खरे.

Anand Swaroop

आनंद स्वरूप, टिफ्रमध्ये, १९७०

आनंद स्वरूप तडक आपल्या आंध्र प्रदेशमधल्या गावी गेला आणि विवाह करूनच मुंबईला परतला. आल्यावर आम्ही दोघे ऑफिसम़ध्ये गप्पा मारताना त्याने मला विचारले, ‘बालमोहन, मला कुणीतरी लग्नात प्रेशर कुकर भेट दिलाय. तू पाहिला आहेस का कधी?’ मी मान डोलावल्यावर तो म्हणतो कसा, ‘अरे, जेवणातले सगळे पदार्थ इतके सहज बनवता येतात त्यात! मला हे जर आधी माहीत असते, तर मी लग्नच केले नसते!’ विनोदाने का होईना पण स्त्रीला इतके क्षुल्लक लेखणे मला मुळीच मानवले नाही. मात्र आनंद स्वरूपचे लग्न यशस्वी ठरले. तो नंतर ऑस्ट्रेलियामध्ये स्थायिक झाला.

आमच्या विवाहानंतर बरोबर चार वर्षांनी निर्मलाने आपला पीएच. डी.चा प्रबंध मुंबई विद्यापीठाला सादर केला. मी पाहिलेल्या पीएच. डी.च्या प्रबंधांपैकी तो सर्वात छोटा होता, दोन ओळींमध्ये दुप्पट अंतर ठेवून टाइप केलेल्या फक्त ४८ पानांचा; दोन ओळींमध्ये जर नेहमीसारखे अंतर ठेवले असते तर तो ३०-३५ पानांचाच झाला असता. गणितातील पीएच. डी.चा तीनशेहून जास्त पानांचा प्रबंधही मी पाहिला आहे. पण सरतेशेवटी त्या पानांत काय लिहिले आहे हे महत्त्वाचे, किती पाने लिहिली आहेत ते नाही. निर्मला बैजिक प्रक्षेप भूमिति (Algebraic Projective Geometry) या विषयात काम करत असे, तर मी बैजिक विश्लेषण (Algebraic Analysis) या विषयात. तिच्या विषयाची शैली, धाटणी, विचारप्रक्रिया माझ्या विषयापेक्षा अगदी वेगळी होती. तरीही तिच्या विषयात शिरून एकत्र काम करायचे धाडस मी केले. ते सफळ होऊन आम्ही दोघांनी दोन संशोधनात्मक लेख लिहिले, ते याच काळात. यापैकी एका लेखाच्या स्वरूपासंबंधी थोडे सांगतो. निर्मलाने आपल्या प्रबंधात प्रक्षेप रेषेच्या मूलभूत सिद्धांताचे व्यापकीकरण (generalization of the fundamental theorem of the projective line) केले होते, एका क्रमसापेक्ष संरचनेसाठी (for a noncommutative structure). हे करताना तिने एक विशिष्ट गोष्ट गृहीत धरून दुसरी एक गोष्ट सिद्ध केली होती. नंतर निर्मलाने सिद्ध केलेली गोष्ट गृहीत धरून तिने गृहीत धरलेली गोष्ट मी सिद्ध केली. तेव्हा या दोन गोष्टी समतुल्य किंवा बरोबरीच्या आहेत असे म्हणता आले, आणि हे संशोधन आम्ही आमच्या लेखामध्ये लिहिले. या दोन गोष्टी नेमक्या कोणत्या होत्या त्याचा ऊहापोह करण्याचे हे ठिकाण नाही, पण या प्रक्रियेची कल्पना यावी म्हणून एक सोपे उदाहरण देतो. समजा कोणी जनुकशास्त्राचे नियम वापरून असे दाखवले की जर घोड्याचा रंग पांढरा असेल तर तो जोरात धावतो. इथे रंग पांढरा असणे हे गृहीत धरले आहे आणि जोरात पळणे हे सिद्ध केले आहे. व्यत्यासाने (conversely), समजा कोणी असे दाखवले की जर घोडा जोरात धावणारा असेल तर त्याचा रंग पांढरा असतो. इथे जोरात पळणे हे गृहीत धरले आहे आणि रंग पांढरा असणे हे सिद्ध केले आहे. या दोन सिद्धतांमुळे घोड्याचा रंग पांढरा असणे आणि घोड्याचे जोरात धावणे या गोष्टी समतुल्य किंवा बरोबरीच्या झाल्या. असेच काहीसे आम्ही केले प्रक्षेप रेषेबाबत. निर्मलाची पीएच. डी जरा लांबणीवर पडण्याचे एक कारण म्हणजे आमच्या मोठ्या मुलीचा – कल्याणीचा – जन्म. नंतर आमच्या धाकट्या मुलीचा – अदितीचा – जन्म झाला, तेव्हा निर्मलाला पीएच. डी. मिळून फक्त चार महिने झाले होते. सारांश, मी व निर्मलाने चार संयुक्त निर्मिति केल्या, किंवा आम्हाला चार अपत्ये झाली, दोन मुली आणि दोन शोधलेख!

अंकशास्त्रातील एक प्रमेय

टिफ्रमध्ये असताना मला अंकशास्त्र (Number Theory) या विषयाची तोंडओळख तरलोक नाथ शोरी याने करून दिली. त्याचा आणि माझा परिचय कसा झाला ते सांगतो. मी शिकवत असलेल्या मान अभ्यास (Measure Theory) या विषयाच्या वर्गामध्ये पहिल्या काही दिवसांनंतर एक जण नेहमी येऊ लागला. तो गप्पगप्प असे. एके दिवशी वर्ग संपल्यावर मी मुद्दाम बोलणे सुरू केले तेव्हा त्याने सांगितले की त्याने आदल्या वर्षीच हा कोर्स घेतला होता, पण त्यानंतर त्याने दिलेल्या मुलाखतीत काही कमतरता दिसून आल्याने त्याला टिफ्रच्या प्राध्यापकांनी फक्त काही महिन्यांचीच मुदतवाढ दिली होती. ती संपण्यापूर्वी त्याला पुन्हा मुलाखत द्यायची होती. खरी गोष्ट अशी होती की त्याला पहिल्यापासूनच अंकशास्त्राची आवड होती. शिवाय पहिल्या वर्षी एकीकडे तीन कोर्सेस घेत असतानाच तो प्राध्यापक थिओडोर स्नायडर (Theodore Schneider) यांची सगळी व्याख्याने मनापासून समजवून घेत होता व त्यांची टिपणेही काढत होता. या आवडीमुळे कदाचित त्याचे इतर विषयांकडे दुर्लक्ष झाले होते. ते कसेही असले तरी त्याला पुन्हा होणाऱ्या मुलाखतीत चांगली कामगिरी करायची होती. शिवाय टिफ्रमधीलच अंकशास्त्राचे प्राध्यापक के. रामचंद्रा यांच्याबरोबर तो काही संशोधन करत होता, तेही त्याला पूर्णत्वाला न्यायचे होते. नाहीतर त्याची काही धडगत नव्हती. तरलोक आणि मी एकाच हॉस्टेलमध्ये रहात होतो. मला आठवते की संध्याकाळच्या जेवणानंतर एका लोखंडी गोल जिन्यात बसून मी त्याच्या शोधनिबंधाचे हस्तलिखित वाचले होते. अंकशास्त्र हा माझा विषय नसला तरी त्याच्या लिखाणातील युक्तिवाद बरोबर आहे की नाही एवढेच मला पाहायचे होते.

Tarlok Shorey

तरलोक शोरी, १९७४

या सगळ्यातून तरलोक शोरी पार पडला आणि त्याला टिफ्रमध्ये दीर्घकाळाची नेमणूक मिळाली. काही वर्षांनी त्याने मुंबई विद्यापीठाची पीएच. डी. मिळवली. नंतर तर काय विचारता, त्याने विश्लेषणात्मक अंकशास्त्रात (Analytic Number Theory) इतक्या भराऱ्या मारल्या की पुढील काळात तो या विषयाचा टिफ्रमधील प्रमुख प्राध्यापक बनला. मी टिफ्रमध्ये असताना आणि नंतरही तरलोक मला अंकशास्त्रातील काही मजेदार गोष्टी सांगायचा. मला त्या खूप आवडायच्या. त्या समजायला सोप्या पण सिद्ध करायला खूप कठीण असायच्या. परंतु त्यांची सिद्धता जाणून घेण्याचा मी पत्कर घेतला नसल्याने मला निखळ आनंद मिळायचा. अशा अर्ध्या हळकुंडाने पिवळा होऊन मी इतर संस्थांमध्ये जाऊन त्यावर व्याख्यानेही देत असे. तरलोकला या गोष्टीची गंमत वाटायची.

1, 2, 3, 4, ... या आकड्यांना नैसर्गिक संख्या (natural numbers) असे म्हणतात. एके दिवशी तरलोक मला म्हणाला दोनचा घन म्हणजे 8 आणि तीनचा वर्ग म्हणजे 9 या दोन लागोपाठ येणाऱ्या (consecutive) नैसर्गिक संख्या आहेत. मी म्हटले खरेच की, ही गोष्ट माझ्या लक्षात कशी आली नाही आजपर्यंत! त्यावर तरलोकने मला विचारले दुसऱ्या अशा संख्या तुला सापडतात का? अशा म्हणजे पूर्ण घात (perfect power) असलेल्या व लागोपाठ येणाऱ्या. पहिली गोष्ट मी केली ती म्हणजे पूर्ण घात असलेल्या संख्या पहिल्यापासून लिहीत गेलो :

Powers

सकृत्दर्शनी तरी यातल्या 8 आणि 9 सोडून कुठल्याच संख्या लागोपाठ येणाऱ्या नव्हत्या. पण एवढ्यावरून नक्की काहीच म्हणता येत नव्हते. मग तरलोकने मला सांगितले की १८४४ सालापासून हा प्रश्न सोडवण्याचा प्रयत्न अंकशास्त्रज्ञ करत आहेत. त्या साली युजीन कॅटलान या बेल्जियन गणितज्ञाने ‘जर्नल द क्रेल’च्या संपादकाला उद्देशून एक बारीकशी नोट लिहिली होती आणि म्हटले होते : माझ्या मते 8 आणि 9 हेच फक्त लागोपाठ येणारे पूर्ण घात आहेत, पण मी हे सिद्ध करू शकत नाही, कदाचित दुसरा कोणी जास्त सुदैवी ठरेल.’ तेव्हापासून हे विधान ‘कॅटलानचे अनुमान’ (Catalan’s Conjecture) म्हणून नावाजले गेले. मी तरलोकला म्हटले की आपल्या मित्राला (म्हणजे मला) असे बुचकळ्यात पाडणे बरे नव्हे. पण ह्या निमित्ताने मला आपण नेहमी वापरत असलेल्या संख्यांमध्ये लपून राहिलेले एक गूढ कळले होते. मी तरलोकचे आभारच मानले पाहिजेत!

ही घटना १९७० ते १९७५च्या दरम्यानची. तरलोक शोरीबरोबर संशोधन केलेल्या रॉबर्ट टाइडमन या डच अंकशास्त्रज्ञाने १९७६ साली असे दाखवून दिले की 8 आणि 9 प्रमाणे लागोपाठ येणारे दोन पूर्ण घात, जर ते असलेच तर, अमुक एका विशिष्ट संख्येपेक्षा लहानच असले पाहिजेत. कॅटलानचे अनुमान सिद्ध करण्यातील ही फार मोठी प्रगति होती. कारण आता संगणकाच्या साह्याने त्या अमुक एका संख्येपर्यंतचे सगळे पूर्ण घात तपासून बघता आले असते. पण दुर्दैवाने ती संख्या इतकी प्रचंड मोठी होती की कुठलेही संगणक तिथपर्यंत पोचू शकणार नव्हते. त्यामुळे कॅटलानचे अनुमान अनिर्णितच राहिले. मात्र ते सिद्ध करण्याची आशा खूपच बळावली. जगात सर्वत्र विचारसत्र चालू असले की केव्हातरी कुठेतरी लखकन प्रकाश पडणारच. २००२च्या एप्रिलमध्ये प्रेदा मिहेलेस्क्यू (Preda Mihailescu) या ४६ वर्षांच्या रोमानियन गणितज्ञाने कॅटलानच्या अनुमानाची सिद्धता सादर केली. ती सर्वमान्य झाल्यावर २००४ सालापासून ही निष्पत्ती ‘कॅटलान-मिहेलेस्क्यू सिद्धांत’ (Catalan-Mihailascu Theorem) म्हणून ओळखली जाऊ लागली. वर्षभरातच मिहेलेस्क्यूने पहिल्यापेक्षा सोपी, पूर्णतः बीजगणितावर आधारलेली सिद्धताही प्रसिद्ध केली, कम्प्युटरचा अजिबात वापर न करता. असे असतात गणितातले पराक्रम!

Tarlok Shorey

तरलोक शोरी, २०१८

समजा x, y, a आणि b या नैसर्गिक संख्या आहेत, आणि त्यांपैकी a आणि b या संख्या 1 पेक्षा मोठ्या आहेत. कॅटलानचे अनुमान सिद्ध झाल्याने आपण आता म्हणू शकतो की xa - yb = 1 या समीकरणाचे 32 - 23 = 1 हे एकच उत्तर आहे, आणि ते म्हणजे x = 3, a = 2, y = 2, b = 3 असे. या समीकरणाच्या उजव्या बाजूवर 1 ऐवजी 2, 3, 4, 5, 6 अशी वेगळी नैसर्गिक संख्या लिहिली तर त्या समीकरणाची काही उत्तरे मिळतात का असा प्रश्न विचारूया. उजवी बाजू 2 असेल तर 33 - 52 = 2 हे एक उत्तर आहे. तसेच उजवी बाजू 3 असेल तर 22 - 12 = 3 व 27 - 53 = 3 ही दोन उत्तरे आहेत, उजवी बाजू 4 असेल तर 23 - 22 = 4, 53 - 112 = 4 व 62 - 25 = 4 ही तीन उत्तरे आहेत, आणि उजवी बाजू 5 असेल तर 32 - 22 = 5 व 25 - 33 = 5 ही दोन उत्तरे आहेत. या समीकरणांची आणखी काही उत्तरे आहेत का की एवढीच उत्तरे आहेत याचा निर्णय झालेला नाही. उजवी बाजू 6 असेल तर अजून एकही उत्तर सापडलेले नाही.

S S Pillay

सुबय्या शिवशंकरनारायण पिल्ले

भारतीय गणितज्ञांत श्रीनिवास रामानुजन (१८८७-१९२०) अग्रगण्य आहेत ही गोष्ट बहुतेक सगळ्यांना माहीत असते. त्यांच्यानंतर सुबय्या शिवशंकरनारायण पिल्ले (१९०१-१९५०) या केरळीय अंकशास्त्रज्ञाची कामगिरी सर्वोत्तम मानली जाते. त्यांच्या जीवनकालात मात्र या कामगिरीला पुरेसे महत्त्व प्राप्त झाले नाही. शेवटपर्यंत व्याख्याता (lecturer) या पदावरच ते शिकवत राहिले. १९५० साली अमेरिकेतील हार्वर्ड विद्यापीठात गणितज्ञांची पहिलीवहिली आंतरराष्ट्रीय महासभा (International Congress of Mathematicians) भरली होती. तिच्यात भाग घेण्यासाठी जात असताना वाटेत इजिप्तमध्ये झालेल्या विमान अपघातात एस. एस. पिल्ले मृत्युमुखी पडले, वयाच्या अवघ्या पन्नासाव्या वर्षी. १९४५ साली त्यांनी असे अनुमान केले होते की वरील समीकरणाच्या उजव्या बाजूला n ही कुठलीही 1 पेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या लिहिली तर बनणाऱ्या xa - yb = n या समीकरणाची उत्तरे असलीच तर ती थोडी-बहुतच असतील; ती उत्तरे अनंत असू शकणार नाहीत. हे ७५ वर्षांपूर्वीचे अनुमान अजूनही कोणाला सिद्ध करता आलेले नाही.

(पुढील भाग इथे)
---

बालमोहन लिमये

(balmohan.limaye@gmail.com)

Balmohan Limaye 2020

लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.

बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

ललित लेखनाचा प्रकार: 
field_vote: 
5
Your rating: None Average: 5 (2 votes)

प्रतिक्रिया

सगळ्यांचे ब्लॅक अँड व्हाईट फोटो अती सुंदर आहेत.
हा लेख गणित आणि गोष्ट दोन्हीसाठी आवडला.
निर्मला अगाशेंचा फोटो बघून मला माझ्या मामीची म्हणजेच मंगला नारळीकरची आठवण आली. तिनेही टिफ्रमधून गणितात पीएचडी केली आणि तिचे तरुणपणीचे काही फोटो आणि हा फोटो यात साम्य आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

लेख खूप सुन्दर झाला आहे. एक लहान दुरुस्ती: प्राध्यापक दाणी यांचे नाव श्रीकृष्ण आहे (श्रीकांत नाही).

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

शरद साने

योग्य नाव घातले आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

समतुल्य गोष्टीबद्दल एक संशोधन वाचनात आले होते. ते म्हणजे हत्तीचे लांब सुळे. ते सर्वांचेच लांब नसतात. एका हत्तीचे जमिनिवर टेकणारे होते. त्यावर एक सिनेमा पाहिल्याचे अंधुक आठवते.
तर प्रश्न असा की हत्तीचे दात चांगले असतील तर त्याचे आरोग्य चांगले असते का आरोग्य चांगले असल्यास त्याचे दात मोठे होतात. मग निरनिराळ्या हत्तींचे पो जमवून त्यात जंतू किती हे पाहिले जात होते आणि त्यांचे सुळे केवढे मोठे.
आता ही गोष्ट आठवली म्हणून लिहिली पण त्याचा काही संबंध इथे न लागल्यास सोडून देणे. उगाच चार ओळी लिहिल्या. ओके.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

किती मस्त झालाय हा लेख!!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

आत्तापर्यंतचे तीन लेख वाचून माझ्या मराठीच्या शब्दसंग्रहात भर पडली. Software System चे भाषांतर 'संगणकप्रणाली' आणि 'Colloquim Talk' चे भाषांतर 'चर्चासत्रातील भाषण' असे अधिक बरे पडले असते असे वाटते. भूमितीतल्या Rider ला 'उपप्रमेय' म्हणण्यास हरकत नाही. Canoe चे 'डोंगी' हे भाषांतर खूप आवडले.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

माझ्या आधीच्या प्रतिक्रियेत colloquim ऐवजी colloquium असे वाचावे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

ह्यापूर्वीच्या दोन लेखांप्रमाणेच हा लेखहि आवडला.

मी पुणे विद्यापीठामध्ये १९६४-६५ साली गणित विषय घेऊन एम् ए चा अभ्यास करीत असतांना आमच्या प्राध्यापकांपैकी दोघेजण हे लिमयांनी वर्णन केलेले तमिळ-तेलुगु ब्राह्मण होते आणि दोघेहि नुकतेच TIFR मधून बाहेर आलेले होते. त्यांपैकी एक - डॉ. एम एस गोपालकृष्णन् ह्यांनी आम्हाला Analysis शिकवले तर दुसरे डॉ वेणु गोपाल राव ह्यांनी Topology. हा विषय शिकवण्यासाठी डॉ वेणु गोपाल राव ह्यांनी वापरलेले पुस्तक लेखामध्ये उल्लेखिलेले गणित शाखेचे प्रमुख के.जी.रामनाथन् ह्यांनी लिहिलेले होते आणि ते printed नसून mimeographed होते.

माझ्या समजुतीनुसार तो काळ भारतात कॉलेज-विद्यापीठांमध्ये गणिताच्या syllabus मध्ये क्रान्ति घडवणारा होता. ह्यापूर्वी भारतामध्ये कॉलेज-विद्यापीठांमध्ये शिकवले जाणारे गणित मुख्यत: problem-solving प्रकारचे होते, अमूर्त कल्पनांचे गणित नुकतेच येऊ घातलेले होते आणि ते TIFR सारख्या संस्थांमधून शिकवले जात असावे. हे मी अशावरून म्हणतो की मी १९६५ मध्ये UPSC च्या परीक्षेला बसलो तेव्हा UPSC चे गणिताचे syllabus जुन्या प्रकारचे होते आणि Topology किंवा तत्सम विषयांचा वासहि त्यामध्ये नव्हता. हे माझे वैयक्तिक अनभ्यस्त मत आहे. जाणकार ह्याचा अधिक खुलासा करू शकतील.)

लेखामधील ’अंकशास्त्र’ ह्या विषयाच्या विवरणवरून पुढील प्रसिद्ध गोष्ट आठवली. रामानुजन इंग्लंडमध्ये आजारी असतांना त्यांचे Friend, Philosopher and Guide असलेले जी एच हार्डी त्यांना भेटायला हॉस्पिटलात गेले. रामानुजन भेटल्यावर हार्डी म्हणाले, ’मी आता ज्या टॅक्सीने आलो तिचा नंबर १७२९ हा अगदीच सामान्य नंबर आहे आणि त्यामध्ये कसलेच वैशिष्ट्य दिसत नाही . आशा करतो की त्यातून काही अशुभ बाहेर पडणार नाही.’ ह्यावर रामानुजननी सांगितले १७२९ हा सामान्य नंबर नाही तर त्यामध्ये दोन घनांची बेरीज दोन प्रकारांनी दाखविता येते. (१3 +१२3= १७२९आणि ९3+१०3=१७२९. ह्या कथेवरून अशा संख्यांना Taxicab Numbers असे अभिधान प्राप्त झाले आहे. (https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_number)

लिमये TIFR मध्ये पोहोचले त्यापूर्वी काही वर्षे आधी दामोदर धर्मानन्द कोसांबी ह्यांनी TIFR सोडलेले होते. त्यांच्या बाबतच्या काही कथा लिमयेंनी ऐकल्या असाव्यात असा तर्क करता येतो आणि त्यांबद्दल लिमये ह्यांच्याकडून प्रतिसादमार्गे काही समजल्यास आनंद वाटेल.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

> मी पुणे विद्यापीठामध्ये १९६४-६५ साली गणित विषय घेऊन एम् ए चा अभ्यास करीत असतांना… माझ्या समजुतीनुसार तो काळ भारतात कॉलेज-विद्यापीठांमध्ये गणिताच्या syllabus मध्ये क्रान्ति घडवणारा होता. 

याला अनेक घटक कारणीभूत आहेत; पण त्यातला मुख्य म्हणजे फ्रान्समधल्या काही गणित्यांनी एकत्र येऊन ‘निकोला बूरबाकी’ या टोपणनावाने गणितातल्या अनेक शाखांवर मूलभूत ग्रंथ प्रकाशित करायला सुरुवात केली (उदा. सेट थिअरी, रिअल अनॅलिसिस, टोपॉलॉजी, अल्जिब्रा, ली ग्रूप्स वगैरे). ह्या कामाला गती आली ती १९५० च्या आसपास. (त्याआधीही हा क्लब अस्तित्वात होता, पण दुसऱ्या महायुद्धामुळे कामात अडचणी आल्या वगैरे उपकथा जाऊ देत.) जगभरातल्या विद्यापीठांत सध्या जे उच्च गणिताचे अभ्यासक्रम चालू आहेत त्या सगळ्यांवरच ह्या ग्रंथांच्या ‘शैली’चा प्रत्यक्ष-अप्रत्यक्ष प्रभाव खूप आहे. हे गणिती कोण हे जरी ठाऊक असलं तरी ग्रंथालयाच्या कॅटलॉगमध्ये अजूनही ही पुस्तकं Nicolas Bourbaki ह्याच ‘लेखका’च्या नावावर टाकलेली असतात.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक2
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- जयदीप चिपलकट्टी

(होमपेज)

कोसांबींनी १९६२ साली मुंबईमधील टिफ्र (TIFR: Tata Institute of Fundamental Research) सोडले. त्यानंतर सुमारे ९ वर्षांनी मी तेथे दाखल झालो. तरीही त्यांच्याबद्दलच्या आख्यायिका कानी पडत.
ते दररोज, म्हणजे आठवड्यातून ५ दिवस, पुण्याहून मुंबईला येत व परत जात. प्रवास नेहमी डेक्कन क्वीन या आगगाडीने करत. पुणे स्टेशन वरून गाडी सुटायला ५ मिनिटे असताना ते आपल्या जागेवर येऊन बसायचे. गाडीच्या गार्डला हा क्रम परिचित होता. एक दिवस त्यांना थोडा उशीर झाला. गार्ड शिट्टी फुंकणार इतक्यात त्याला दुरून कोसांबी लगबगीने येताना दिसले. त्याने २-४ मिनिटे गाडी रोखून धरली, व कोसांबी स्थानापन्न झाल्यावरच गाडी सोडली.
प्रवासाचा वेळ कोसांबी वाचन, मनन, लेखन करण्यात घालवत. त्यांनी `Exasperating ESSAYS' नावाच्या त्यांच्या पुस्तकाच्या
प्रस्तावनेखाली `Deccan Queen, October 2, 1957' असा स्थलकालाचा निर्देश केला आहे.
कोसांबी टिफ्रमधील सेवकवर्गाचे कैवारी होते. एके प्रसंगी संस्थेचे निदेशक होमी भाभा यांनी परदेशी जाताना संस्थेची सूत्रे कोसांबींकडे सोपवली होती. परत आल्यावर भाभांच्या लक्षात आले की त्यांच्या अनुपस्थितीत कोसांबींनी सेवकवर्गाचे पगार खूप वाढवले होते; सर्वात निम्न वर्गाचे पगार तर दुप्पट झाले होते. एकदा वाढवलेले पगार कमी करणे दुरापास्त असते. त्यानंतर भाभांनी कानाला खडा लावला.
गणित (Mathematics) व सांख्यिकी (Statistics) या विषयात कोसांबींनी १९३३ ते १९६४ या काळात लिहिलेले ३४ शोधनिबंध Mathematical Reviews मध्ये सापडतात. त्यांच्या निवडक शोधनिबंधांचे पुस्तक २०१६ साली Springer, India ने प्रसिद्ध केले आहे. ते रामकृष्ण रामस्वामी यांनी संपादित केले आहे.
याशिवाय कोसांबींचे प्रमुख योगदान भारतीय इतिहासासंबंधी आहे. त्यांचे An Introduction to the Study of Indian History हे १९५६ साली
त्यांनी लिहिलेले पुस्तक अभिजात आहे. वस्तुतः त्यांना प्राचीन भारताच्या शास्त्रीय इतिहासाचे प्रवर्तक मानले जाते. मी टिफ्रमध्ये रुजू झाल्यावर लवकरच १९७० साली कोसांबींचे The Culture & Civilization of Ancient India in Historical Outline हे पुस्तक भारतात प्रसिद्ध झाले. (ते त्यांनी १९६५ साली लिहिले असले तरी लंडनमध्ये प्रसिद्ध झाल्याने आम्हाला सहज विकत घेता येत नव्हते.) त्याचा अभ्यास करून माझा समाजाकडे पहायचा दृष्टिकोन पार बदलून गेला.
टिफ्रमधील काही लोकांच्या बोलण्यात असे यायचे: इतिहासतज्ञांना कोसांबी उत्तम गणितज्ञ वाटत, आणि गणितज्ञांना ते उत्तम इतिहासज्ञ वाटत.
या पेक्षा मोठा उपरोध असू शकत नाही.

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी1
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

> गणित (Mathematics) व सांख्यिकी (Statistics) या विषयात कोसांबींनी १९३३ ते १९६४ या काळात लिहिलेले ३४ शोधनिबंध Mathematical Reviews मध्ये सापडतात. 

ह्यातला काही निबंधांचा Mathematical Reviews वर दिलेला गोषवारा पाहिला. कोसांबींनी रीमान हायपॉथिसिसची सिद्धता देण्याचा प्रयत्न केलेला दिसतो. इथे दोन शक्यता आहेत:

(१) ही सिद्धता कशी द्यायची याबद्दल मूळ संख्यांच्या सांख्यिकीवर आधारित काही कल्पना त्यांच्या डोक्यात होत्या, आणि इतरांना उपयोग व्हावा म्हणून त्यांनी त्या प्रसिद्ध केल्या. ही पूर्ण सिद्धता नव्हे हे त्यांना ठाऊक होतं.
(२) आपण पूर्णपणे यशस्वी सिद्धता दिलेली आहे असा त्यांचा समज होता.

यातली कुठली शक्यता खरी आहे हे नुसते गोषवारे वाचून निदान माझ्या लक्षात आलं नाही.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

- जयदीप चिपलकट्टी

(होमपेज)

दोन गोष्टी लक्षात आल्या: (१) Mathematical Reviews मध्ये आढळणाऱ्या कोसांबींच्या ३४ शोधनिबंधांपैकी ३३ त्यांनी एकट्याने लिहिले आहेत. (२) त्यांच्या राजकीय-सामाजिक तत्त्वप्रणालीमुळे १९६२ साली त्यांना टिफ्र सोडावे लागले असे दिसते. १९६३ साली त्यांनी लिहिलेल्या शोधनिबंधावर त्यांचा पत्ता असा आहे: P.O. Deccan Gymkhana, Poona 4, India.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0