आय. आय. टी.त गणित शिकवताना (गणिताच्या निमित्ताने – भाग १२)

#संकल्पनाविषयक #मन्वंतर #ऐसीअक्षरे #दिवाळीअंक२०२१

गणिताच्या निमित्ताने – भाग १२

- - बालमोहन लिमये

(प्राध्यापक बालमोहन लिमये यांच्या साप्ताहिक लेखमालेतील अखेरचा भाग. मागील भाग इथे.)
आय. आय. टी.त गणित शिकवताना

'गणिताच्या निमित्ताने' या लेखमालेतील आतापर्यंतच्या अकरा भागात मी भेटलेल्या व्यक्ती, घडलेले प्रसंग यांबद्दल लिहिले आहे. त्यांतून मी डोकावत असलो; तरी माझे विचार, उद्देश काय आहेत याबद्दल फारसे काही लिहिले नाही. हा शेवटचा भाग मात्र त्याला अपवाद आहे.

माणसाने आयुष्यभर विद्यार्थी रहावे असे म्हणतात. विद्यालयातील शिक्षण संपल्यावर माणूस आपल्या व्यावसायिक जीवनात प्रवेश करत असला तरी शिकायची प्रक्रिया थांबत नाही. १९६८ साली गणित विषयात न्यू यॉर्कमधील रॉचेस्टर विद्यापीठाकडून पीएच. डी. मिळवल्यावर अर्व्हाइन येथील कॅलिफोर्निया विद्यापीठात पोहोचलो तेव्हा विद्यार्थीदशेतून शिक्षकाच्या भूमिकेत प्रवेश केला. पुढे १९७५ साली मी मुंबई येथील आय. आय. टी.मध्ये काम करू लागलो ते २०१७ पर्यंत. त्यानंतर दोन वर्षे मी धारवाडच्या आय. आय. टी.मध्ये शिकवत होतो. शिक्षक म्हणून केलेल्या ह्या प्रवासात मीही अनेक गोष्टी शिकलो. या लेखात माझ्या आय. आय. टी.मधील चव्वेचाळीस वर्षांच्या अनुभवांविषयी लिहिणार आहे. हे अनुभव इतर ठिकाणी थोड्या-फार फरकाने लागू पडतीलही.

शिकवण्याची पद्धत

कोणत्या स्तरावर शिकवायचे व काय वेगाने शिकवायचे हे शिक्षकाला विचारपूर्वक ठरवावे लागते. वर्गात शंभरच्या वर मुले असली, तर कुणाला उद्देशून शिकवायचे हे फारच महत्त्वाचे ठरते. सामान्यत: अशा मोठ्या वर्गाचे मी तीन भाग करतो, दोन छोटे आणि एक मोठा. पहिला छोटा गट म्हणजे हुशार व विषयाची गोडी असलेल्या मुलांचा. दुसरा छोटा गट म्हणजे आकलनशक्ति कमी असलेल्या किंवा उदासीन मुलांचा, आणि मोठा गट म्हणजे वर्गातील उरलेली मुले. ह्या मोठ्या गटात बव्हंशी वर्गातील ७० ते ८० टक्के मुले असतात. तिन्ही गटांना मानवेल व उपयोगी पडेल अशा रीतीने शिकवणे जवळजवळ अशक्य असते. त्यामुळे या तीन गटांपैकी कोणाकडे आपल्या शिकवण्याचा रोख ठेवायचा हे नक्की करावे लागते.

माझ्या माहितीचे काही उत्तम शिक्षक हुशार विद्यार्थ्यांच्या छोट्या गटाला उद्देशून शिकवत राहतात. इतरांना शिकवण्याचा प्रयत्न करणे हा केवळ वेळेचा व साधनांचा अपव्यय आहे असे त्यांना वाटते. 'अरसिकेषु कवित्वनिवेदनं शिरसि मा लिख मा लिख मा लिख!' म्हणजे रस नसलेल्याला शहाणपण शिकवण्याचे माझ्या नशिबात (त्रिवार) नसावे, हे वचन त्यांना पाठ असते. पण आता नशिबात आलेच आहे तर या अरसिकांना आपोआप कळेल तेवढे कळेल, मी कशाला जास्त खटपट करू असा दृष्टिकोन ते ठेवतात. हे शिक्षक अनुदार आहेत असेही म्हणता येणार नाही, कारण विद्यार्थ्यांना उत्तीर्ण करण्यात ते कंजूस नसतात. याच्या अगदी उलट माझा दृष्टिकोन असे. दोन टोकांचे लहान गट सोडून जो विद्यार्थ्यांचा मधला मोठा गट असतो तो माझे लक्ष्य (target) असतो. ह्या बहुसंख्य मुलांना मी शिकवत असलेल्या अभ्यासक्रमातून काही तरी मौल्यवान मिळावे अशी माझी खटपट असते. अर्थात, हुशार मुलांच्या छोट्या गटाला अधिक खाद्य पुरवणे ही जशी माझी जबाबदारी असते, तशीच कमी गतीने शिकू शकणाऱ्या गटासाठी वेगळे उपचार करण्याचीही. पण शिक्षकाने अधिकाधिक विद्यार्थ्यांचे हित (greater common good) साध्य करण्यात प्रयत्नशील राहिले पाहिजे असे मला वाटते.

खरे म्हणजे हुशार मुलांच्या छोट्या गटासाठी आपल्याला स्वतःहून काही विशेष करावेच लागत नाही. तीच मुले शंका विचारायला येतात. त्या शंकांचे निरसन करून त्यांसंबंधी काही अधिक संदर्भ देणे एवढेच आपले काम असते. वर्गात मागे पडणाऱ्या मुलांच्या बाबतीत मात्र आपणच पुढाकार घेऊन त्यांना वेगळे बोलवावे लागते. छोट्याशा गटात व वैयक्तिक पातळीवरही त्यांच्या अडचणी समजून घ्याव्या लागतात. मागे पडण्याच्या अनेक कारणांपैकी मूळची आकलनशक्ति कमी असणे हे एकच कारण शिक्षक दूर करु शकत नाही.

वर्गात शिकवत असलेल्या प्रमेयाची जर व्यवहारातील उदाहरणे दिली तर विषयात रस निर्माण करता येतो. पृथ्वीवरील एका ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी कमीत कमी अंतर तोडून जायचे असले तर तो मार्ग एका महावर्तुळावरुन जातो, एवढे सांगून न थांबता २०१९ साली एअर इंडियाचे दिल्लीहून सॅन फ्रान्सिस्कोला जाणारे विमान उत्तर ध्रुवावरुन गेले यामागे हाच कमी अंतराचा मुद्दा कसा आहे हे जर पृथ्वीचा गोल वर्गात नेऊन दाखवता आले तर मुलांचे कान टवकारतात. गणित जरी इंग्लिशमधून शिकवत असलो, तरी काही मुलांना इतर भाषांतील शब्द जाणून घ्यायला आवडतात. उदाहरणार्थ 80 ला इंग्लिशमध्ये एटी (eighty) असा शब्द असला तरी फ्रेंच शब्द कात्रव्हॅँ (quatre-vingts) असा आहे. तो कसा आला तर कात्र (quatre) म्हणजे चार आणि व्हँ (vingt) म्हणजे वीस, चार वेळा वीस घेतले की ऐंशी मिळतात! या शब्दामागे काही इतिहास आहे. आपण सर्वत्र दशमान पद्धत वापरतो, म्हणजे दहाच्या पटीत मोजतो. पण आपण दहाऐवजी वीस हा पाया (base) धरू शकतो. तसे करणे काही प्रमाणात नैसर्गिकही आहे, कारण हातांची आणि पायांची मिळून वीस बोटे होतात, व आपण प्रथम बोटांवरच मोजायला शिकतो. फ्रान्समध्ये अशी पद्धत कधी काळी होती. त्याचाच अवशेष आहे कात्रव्हॅँ ही संख्या. जरा विचार केला तर आपल्याला इंग्लिशमध्येही एटीऐवजी 'फोर स्कोअर (four score)' असे म्हटलेले आढळेल. असे किस्से विद्यार्थ्यांचे लक्ष वेधून घेतात.

काही विद्यार्थ्यांना संस्कृतमधील काही उदाहरण दिले की ते एकदम भारावून जातात. (सध्याच्या काळात मात्र असे विद्यार्थी विरळाच सापडतील.) गणितामध्ये बऱ्याच वेळा जर-तर ची भाषा वापरली जाते, म्हणजे जर अमुक अमुक असले तर तमुक तमुक होईल! अशा विधानाचा व्यत्यास म्हणजे जर तमुक तमुक असले तर अमुक अमुक होईल. जरी एखादे विधान खरे असले तरी त्याचा व्यत्यास खरा असेलच असे नाही. या अमुक अमुक आणि तमुक तमुक गोष्टींचे एक उदाहरण देतो. समजा आपले विधान आहे: 'जर चौकोनाच्या सगळ्या बाजू समान लांबीच्या असतील, म्हणजे तो चौकोन समभुज असेल, तर त्याचे कर्ण काटकोनात असतात.' हे विधान आपल्याला शालेय भूमितीमध्ये सिद्ध करून दाखवतात. या विधानाचा व्यत्यास असा आहे: 'जर एखाद्या चौकोनाचे कर्ण काटकोनात असतील, तर त्याच्या सगळ्या बाजू समान लांबीच्या असतात.' हा व्यत्यास खरा नाही; कारण पतंगाकृति चौकोनाचे कर्ण काटकोनात असतात, पण त्याच्या सगळ्या बाजू समान लांबीच्या असतीलच असे नाही.

चौकोन

गणिताच्या अभ्यासक्रमांत यापेक्षा खूप क्लिष्ट विधाने आणि त्यांचे व्यत्यास अभ्यासावे लागतात. हे सर्व नीट समजावे म्हणून मी तर्कसंग्रहातील एक सोपा युक्तिवाद सांगत असे: 'यत्र यत्र धूम: तत्र तत्र वह्नि:।' म्हणजे जिथे धूर असेल तिथे अग्नी असला पाहिजे. हे विधान खरे आहे, कारण अग्नीशिवाय धूर निर्माण होत नाही. पण या विधानाचा व्यत्यास 'यत्र यत्र वह्नि: तत्र तत्र धूम:।', म्हणजे जिथे अग्नी असेल तिथे धूर असला पाहिजे, हा काही खरा नाही; उदाहरणार्थ, तापवून लालबुंद झालेल्या लोखंडाच्या गोळ्यात अग्नी तर असतो पण तिथे धूर मात्र नसतो. अशा काही चाकोरीबाहेरच्या गोष्टी सांगितल्या, तर मनोरंजन तर होतेच पण कठीण संकल्पना कायमच्या मनात बिंबतात.

एके दिवशी तिन्हीसांजा मी मोठ्या 150 मुलांच्या वर्गाला शिकवत होतो. विषय होता रेषीय बीजगणित (Linear Algebra). आधीच तयार केलेली सरकचित्रे (slides) एकीकडे दाखवत होतो, तर दुसऱ्या बाजूला फळ्यावर काही आकृती काढत होतो. सूक्ष्मध्वनियंत्र (microphone) माझा आवाज शेवटच्या रांगेपर्यंत पोचवत होते. हा माझा आवडता विषय असल्याने व्याख्यान रंगात आले होते. तेवढ्यात विद्युत्प्रवाह खंडित झाला. मी वापरत असलेली सगळी उपकरणे बंद पडली. अंधुक दिसायची पण मारामार होती. व्याख्यान तेथेच थांबवून मुलांना आपापल्या वसतिगृहात जाऊ देता आले असते, पण मी त्यांना माझे वडील, आचार्य वि. प्र. लिमये यांनी, मला शिकवलेली वेदातील एक ऋचा व तिच्यावरचे वडिलांचे भाष्य सांगायचे ठरवले. ऋग्वेदाच्या पहिल्या मंडळातील ही ऋचा अशी आहे: 'सूर्य आत्मा जगतस्तस्थुषश्च।' जगत् म्हणजे हलणारी गोष्ट व तस्थिवस् म्हणजे स्थावर गोष्ट. ऋचेचा अर्थ असा की सर्व स्थावरजंगम गोष्टींचा सूर्य हा आत्मा आहे, म्हणजे त्यांना प्रेरणा देणारा आहे. पण रात्रीच्या वेळी काय म्हणता येईल? तर 'चंद्रमा: आत्मा' म्हणजे सूर्याची जागा चंद्र घेतो. पण समजा अमावस्या असली तर? 'अग्नि: आत्मा' म्हणजे अग्नी हा प्रेरक बनतो. याही पुढे जाऊन अमावास्येच्या दिवशी धो धो पाऊस पडत असला तर आपण अग्नी पेटवू शकत नाही. मग काय करायचे? माझ्या वडिलांनी सांगितले, 'शब्द: आत्मा जगतस्तस्थुषश्च।', म्हणजे फक्त शब्द वापरूनच आपल्याला संदेशवहनाचे (communication) प्रेरक काम करावे लागते. आज हे शब्दसामर्थ्य वापरायचे तर माझा आवाज शेवटच्या रांगेपर्यंत पोचण्याची शिकस्त करावी लागणार होती. मी मुलांना म्हटले, 'मी बोलतो ते तुम्ही ऐकायचे व लक्षात ठेवायचे. तुम्हाला काही प्रश्न विचारायचे असतील तर मोठ्याने सर्वांना ऐकू जातील असे विचारायचे. वेदकाळात गुरुशिष्य असाच संवाद साधत असत, फक्त त्यावेळी विद्यार्थ्यांची संख्या अगदी कमी असल्याने ते समोरासमोर बसत इतकेच.' माझे असे बोलणे संपतेय तोच विद्युतप्रवाह सुरूझाला. चला, या घटनेमुळे मला शब्दब्रह्माची महती सांगण्याची संधी तरी मिळाली.

आणखी एक गोष्ट सांगतो. शिकवणाऱ्याने तो विषय केव्हा, कुठे व कसा शिकला हे जाणून घेण्यात विद्यार्थ्यांना रस असतो. त्याला काय अडचणी आल्या ते ऐकायलाही त्यांना आवडते. मग त्या निमित्ताने आपण काही किस्से किंवा रंजक गोष्टी सांगू शकतो. मी १९६४ साली अमेरिकेला प्रथम गेल्यावर तेथील उच्चार न समजल्यामुळे माझी कशी भंबेरी उडत असे हे मी तिखट-मीठ लावून सांगत असे. माझ्या अडचणीवर माझ्या पीएच. डी. च्या मार्गदर्शकाने दिलेल्या दोन सूचना अशा होत्या : पहिली, दररोज अमेरिकन रेडिओवरील बातम्या ऐकणे व दुसरी, एका अमेरिकन मुलीशी खास मैत्री करून शनिवार-रविवार तिच्याबरोबर बराच वेळ घालवणे. या सगळ्याचा आपण शिकवत असलेल्या विषयाशी काहीच संबंध नसला तरी त्याने विद्यार्थ्यांबरोबर जवळचे नाते निर्माण होते. आपला जीवनविषयक दृष्टिकोन त्यांच्यापर्यंत पोचला तर ते जास्त ग्रहणशील (receptive) बनू शकतात.

शिकवण्याच्या व्यवसायातील एकच बाब कंटाळवाणी आहे आणि ती म्हणजे विद्यार्थ्यांच्या उत्तरपत्रिका तपासणे. सातत्याने मूल्यांकन करण्याच्या पद्धतीमुळे (continuous evaluation system) दर काही दिवसांनी हे तपासण्याचे काम अंगावर येते. वर्गात २०-२५ मुले असली तरीही प्रत्येक प्रश्न तितक्या वेळा तपासत जाणे जिकिरीचे असते. अशा वेळी फक्त एकच गोष्ट मनात ठेवली तर दिलासा मिळतो. आपण विद्यार्थ्यांची उत्तरे तपासून देताना त्यांचे कुठे काय चुकते आहे हे दाखवत असतो व त्यांना सुधारण्याची एक नामी संधी देत असतो. मला आठवते आहे की रॉचेस्टर महाविद्यालयातील पहिल्या सत्रात मी संमिश्र विश्लेषणाचा (Complex Analysis) एक अभ्यासक्रम घेतला होता. तो ए. एच. स्टोन (A. H. Stone) या प्रख्यात प्राध्यापकाने शिकवला होता. परीक्षेत आम्हाला निळ्या रंगाच्या उत्तरपत्रिकेत निळ्या शाईनेच उत्तरे लिहायची होती. पहिल्या परीक्षेनंतर तपासलेल्या उत्तरपत्रिका मिळाल्या, तेव्हा बव्हंशी पत्रिकांवर निळ्यापेक्षा तांबड्या शाईने जास्त लिहिलेले दिसत होते. प्राध्यापक स्टोन यांनी अतोनात कष्ट घेऊन प्रत्येक उत्तर कसे लिहिले पाहिजे ते तांबडा रंग वापरून प्रत्येक विद्यार्थ्याला स्वतंत्रपणे दाखवले होते. हे पाहून मला पुढल्या परीक्षेनंतर आपली उत्तरपत्रिका तांबडी होण्याऐवजी निळी जास्त रहावी असे निश्चित वाटले. सध्याच्या काळात असा शिक्षक भेटणार नाही, आणि खूप मुले असणाऱ्या वर्गाकरता तसे करणे शक्यही होणार नाही. परंतु विद्यार्थ्यांच्या ज्या समान चुका होत असतील त्या दाखवून देणे व त्याबद्दल वर्गात आवर्जून चर्चा करणे जरूर असते. आपण उत्तरपत्रिका तपासण्यात खर्च केलेल्या वेळेचा व ऊर्जेचा असा उपयोग करून दिला तर चांगले. हे सगळे केले तरी माझा अनुभव असा आहे की कित्येक मुले एकदा दाखवून दिलेली चूक पुन्हा-पुन्हा करत राहतात. याचे कारण स्पष्ट आहे, ती चू्क सुधारणे त्यांना जरूर वाटत नसते. खरे म्हणजे आजच्या बहुविकल्प प्रश्नांच्या (Multiple Choice Questions) जमान्यात विद्यार्थ्यांना फक्त त्यांचे उत्तर बरोबर की चूक एवढेच कळते. ते कसे बरोबर आहे किंवा का चूक आहे हे कोणीच सांगत नाही. कदाचित मुलांना ते जाणून घ्यायची इच्छा नसेल अथवा जरुरी वाटत नसेल. त्यांना वेळ कुठे आहे असा विचार करायला? उत्तरपत्रिका तपासून शिक्षकाने दिलेली प्रतिपुष्टी (feedback) पुढच्या आयुष्यात मिळणे कठीण आहे याची जाणीव त्यांना नसते.

मोठे वर्ग

मुंबईला आय. आय. टी.मध्ये काम सुरू केल्यावर पहिल्या सत्रात मी एम. एस्सी. च्या विद्यार्थ्यांना शिकवले. ते मला काही नवीन नव्हते. वर्गात फक्त वीस जणच होते. प्रत्येकाचा प्रतिसाद त्याच्या चेहऱ्यावर दिसायचा. मी बोलतोय ते न कळल्याचा भाव दिसला तर मला जास्त स्पष्टीकरण करता यायचे. दुसऱ्या सत्रामध्ये मला बी. टेक.च्या पहिल्या वर्षातील सुमारे १२५ विद्यार्थ्यांच्या मोठ्या वर्गाला शिकवायचे होते. अशा वर्गाला शिकवण्याचा मला काहीच अनुभव नव्हता. पण माझ्याबरोबर रामचंद्र राव हे खंदे प्राध्यापकही शिकवणार होते. त्यांच्याही वर्गात तितकीच मुले होती. त्यांनीच अभ्यासक्रमाची आखणी करून दिली. कुठल्या व्याख्यानात काय शिकवायचे हेही ठरवून दिले, कारण आम्हा दोघांच्या गाड्या बरोबरीने चालणे जरूर होते. शिवाय तीस जणांचा एक असे आठ गट करून त्यांच्याकडून वर्गात शिकवलेल्या सिद्धांतांवरचे प्रश्न सोडवून घ्यायचे होते, त्यासाठी आठ शिक्षकांचा एक ताफाही होता. ज्या वर्गात मी व्याख्यान द्यायचो तो रुंदीला बेताचा पण लांबीला खूप होता. तो संस्थेच्या मुख्य इमारतीत (Main Building) असल्याने त्याला एम. बी. असे म्हणत. मी फळ्यावर खडूने लिहिलेला मजकूर शेवटच्या रांगेत बसणाऱ्या मुलांना दिसणे जरूर होते, म्हणून मी भल्या मोठ्या अक्षरात लिहायला सुरुवात करायचो. पण दोन-तीन ओळी लिहून झाल्यावर माझ्या अक्षराचा आकार लहान होत जायचा, व नंतर एखाद्या लहान वर्गात शिकवताना जसे लिहू तसेच आपोआप लिहिले जायचे. कोणी कधी फारशी तक्रार केली नाही, पण मलाच अपराधी वाटायचे. आवाजही भरदार असायला लागायचा नाहीतर शेवटच्या ओळीत तो ऐकू जायचा नाही. व्याख्यानानंतर कॉफीचा एक कप हवाहवासा वाटायचा.

मोठ्या वर्गाला शिकवण्याची ही पद्धत थोड्याबहुत फरकाने वीस-बावीस वर्षे तशीच चालू राहिली. वर्गातल्या मुलांची संख्या वाढत गेल्यामुळे दोन ऐवजी तीन किंवा चार प्राध्यापक तोच अभ्यासक्रम शिकवत. त्यांच्यापैकी एक प्रमुख शिक्षक (Instructor-in-Charge) या नात्याने शिकवण्याचा क्रम ठरवत असे. त्यामुळे सर्व वर्गांमध्ये सुसूत्रता येत असे. प्रश्न सोडवून घ्यायचे गट (tutorial classes) आठ ऐवजी सोळा किंवा चोवीस झाले. म्हणजे फौजफाटा बराच मोठा झाला, व त्याबरोबर प्रशासकीय कामही (administrative work) वाढले. १९९७ साली प्राध्यापक रामचंद्र राव पुऱ्या आय. आय. टी.तील शैक्षणिक बाबींचे संकायाध्यक्ष (Dean of Academic Affairs) झाले. त्या वर्षी मी आणि प्राध्यापक सुधीर घोरपडे बी. टेक.च्या पहिल्या सत्रातील चार वर्गांना कलन (Calculus) या विषयावरील पहिला अभ्यासक्रम शिकवणार होतो, दोघेही तेच व्याख्यान दोनदोनदा देणार होतो. रामचंद्र रावांनी आम्हाला एक नवीन प्रयोग करून बघायला सुचवले. आधीच्या मोठ्या वर्गाच्या दुपटीपेक्षाही जास्त मुलांना सामावून घेणारे एक सभागृह (Lecture Theatre) आय. आय. टी.मध्ये होते. तिथे एका वेळी अडीचशे मुलांना शिकवायचे, फळ्यावर लिहिण्याऐवजी पारदर्शिकांवर (transparencies) एका खास लेखणीने लिहायचे व त्यांचे प्रक्षेपण करायचे अशी योजना होती. त्यामुळे एकच व्याख्यान दोनदोनदा द्यायची गरज राहिली नसती. आम्ही दोघांनी थोडे कचरतच हे आव्हान स्वीकारले. कुणालाच काही पूर्वानुभव नव्हता. पारदर्शिकांवर लिहिलेले उठून दिसावे म्हणून सभागृहातील सगळे दिवे अगदी मंद केले जात. ते सभागृह वातानुकूलित होते, म्हणून मुलांना तेथे येऊन शिकायला आवडायचे. पण अंधुक प्रकाश आणि थंड हवा यामुळे त्यांना झोपही चटकन यायची. मला त्यांना प्रयत्नपूर्वक जागे ठेवणे भाग होते, काही तरी किस्से सांगून किंवा मधूनमधून प्रश्न विचारून. पण स्पष्ट दिसत नसल्यामुळे मलाही कुणा विशिष्ट मुलाकडे पाहून बोलता यायचे नाही. माझ्या शर्टाच्या खिशात सूक्ष्मध्वनियंत्र लटकावलेले असायचे, आणि पारदर्शिकेवरील विशिष्ट भाग दाखवण्यासाठी हातात लेझर पॉइंटर असायचा. यांपैकी एखादी गोष्ट किंवा प्रक्षेपक (projector) मध्येच बंद पडला तर काय करायचे याची विवंचना असायची. आपल्याला जो मुद्दा ठासून सांगायचा आहे तो मुलांपर्यंत पोचतो आहे की नाही याची खात्री नसायची. परंतु मजल-दर-मजल करत धीराने आम्ही अभ्यासक्रम पुरा केला. शेवटच्या तासाला मी मुलांचे आभार मानले, या दिव्यातून माझ्यासह गेल्याबद्दल. माझे शेवटचे वाक्य संपण्याच्या आधीच मुलांनी टाळ्यांचा कडकडाट केला. मी भारावून गेलो. मला माझ्या शिकवण्याची पावती तत्काळ मिळाली होती. हा अभ्यासक्रम शिकवल्याबद्दल नंतरच्या वर्षी मला आमच्या संस्थेकडून शिकवण्यातील प्रावीण्याबद्दल मिळालेला पुरस्कार या पावतीपुढे गौण होता.

शिकवताना

हळूहळू शिकवण्याच्या या पद्धतीत सुधारणा होत गेल्या. हाताने लिहून पारदर्शिका आणायच्या व त्या प्रक्षेपकावर ठेवायच्या असे करण्याऐवजी संगणकावर सरकचित्रे तयार करून ती मोठ्या पडद्यावर प्रक्षेपित करता येऊ लागली. शक्तिमान प्रक्षेपकांमुळे वर्गातील दिवे मंद करायची गरज राहिली नाही. वर्ग आणखीच मोठे झाले. डावीकडे, मध्यभागी, उजवीकडे – अशा तीन ठिकाणी भिंतीवर बसवलेल्या पडद्यांवर प्रक्षेपण व्हायचे. वाढत्या विद्यार्थीसंख्येनुसार या गोष्टी करणे जरूर होते, परंतु त्यामुळे शिक्षक व विद्यार्थी यांतील अंतर वाढत गेले. विद्यार्थ्यांच्या चेहऱ्यांवर एखादा मुद्दा समजल्याचा आनंद बघून वाटणारे समाधान क्वचितच मिळू लागले. पूर्वी वर्गांतील काही मुलांची तरी नावे माहीत असत. आता एकाचेही नाव माहीत असायचे कारण नव्हते, कारण उपस्थितीसुद्धा बायोमेट्रिक पद्धतीने घेतली जात असे, म्हणजे तास सुरूहोण्याआधी मुलांनी वर्गातील काही विशिष्ट जागी जाऊन आपले ओळखपत्र (identity card) किंवा आपला आंगठा एका यंत्रासमोर धरला की त्यांची उपस्थिती लागायची. २०१४ साली मी आणि प्राध्यापक मुरली श्रीनिवासन अशा दोघांनी मिळून बी. टेक. च्या दुसऱ्या सत्रातील मुलांना रेषीय बीजगणित (Linear Algebra) हा अभ्यासक्रम शिकवायचा होता. आधीची काही वर्षे मी मोठ्या वर्गांना शिकवले नव्हते, म्हणून उपस्थिती घेण्याची बायोमेट्रिक पद्धती माझ्या परिचयाची नव्हती. तास सुरूव्हायच्या आधी पाच मिनिटे वर्गावर पोचून मी संगणकावर योग्य ठिकाणी सरकचित्रे आणून ठेवत होतो, आणि मुले यंत्रांसमोर जाऊन आपली उपस्थिती नोंदवीत होती. जरा निरखून पाहिल्यावर माझ्या लक्षात आले की काही मुले उपस्थिती नोंदवल्यावर बाकांवर जाऊन न बसता वर्गाच्या बाहेर पडत होती. असे दोन-तीन तासांना झाल्यावर मी मुरलीला ही गोष्ट सांगितली. त्याला बिलकुल आश्चर्य वाटले नाही. तो म्हणाला की ही मुले बाहेर निघून जात आहेत हे तर माझे सुदैव आहे. मला काही कळले नाही, तेव्हा त्याने सांगितले की या मुलांनी वर्गातील मागच्या रांगांवर बसून मोबाइल फोनवरून एकमेकांना निरोप पाठवणे, आंतरजालावरील (internet) प्रसंग बघून पुटपुटणे व दुसऱ्यांना बाधा आणणे अशा गोष्टी करण्यापेक्षा ती बाहेरच गेलेली बरी! मुरलीने माझी दांडीच उडवली होती, मोठ्या वर्गातील शिक्षणाची ही प्रगती (?) सांगून. पुढे २०१८ साली धारवाडच्या आय. आय. टी.मध्ये मोठ्या वर्गाला शिकवताना मला दिसून आले की मागच्या रांगांतील मुले एकमेकांबरोबर मोबाइल फोनवर खेळत होती. तास संपल्यावर नेहमी पुढच्या रांगेत बसणाऱ्या एका मुलाला विचारले तर तो म्हणाला की सध्या पब्जी (PUBG: Player Unknown's Battle Grounds) हा खेळ खूप लोकप्रिय झाला आहे, तोच ती मुले खेळत असावीत. पण खेळ आवडला म्हणून वर्गात कशाला खेळायचा? माझ्याकडे याचे उत्तर नव्हते आणि आताही नाही. घोड्याला पाण्यापर्यंत नेता येते, पण पाणी त्यालाच प्यावे लागते हेच खरे.

गेली दोन वर्षे मी नियमितपणे शिकवत नाही, परंतु कोव्हिड-१९च्या साथीमुळे सगळे शिक्षण ऑनलाइन झाले आहे. त्यामुळे शिक्षक व विद्यार्थी यांचा संबंध पार तुटून गेला आहे. आता कोणी शिकवत असताना विद्यार्थी आपापल्या घरी काय काय करत असतील याची फक्त कल्पनाच करणे बरे. प्राप्त परिस्थितीमुळे आय. आय. टी.च्या साधनसामुग्रीत भर पडली आहे, व प्रत्येक शिक्षकाला आपल्या व्याख्यानांची ध्वनिचित्रफीत (audio-visual tape) मुलांना स्वत:च पाठवणे शक्य झाले आहे. परंतु याचा फायदा किती मुले किती प्रमाणात करून घेतात हा कळीचा मुद्दा आहे. मुळात बहुसंख्य शिक्षकांनी हे नवे तंत्र आत्मसात करून त्याचा कौशल्याने वापर करणे आवश्यक आहे. त्याचप्रमाणे ह्या व्यवस्थेचा फायदा जिल्ह्याच्या व तालुक्यांच्या गावी, आणि खेडोपाडीही कसा करून देता येईल हा एक मोठाच प्रश्न आहे. नाहीतर शिक्षण हा मूलभूत हक्क न राहता फारच थोड्यांची मक्तेदारी राहील.

पाठ्यपुस्तक बघावे लिहून

शिकवण्याची भूमिका आणि साधनसामुग्री यांबरोबरच योग्य पाठ्यपुस्तक उपलब्ध असणे महत्त्वाचे आहे. कुठलाही अभ्यासक्रम एका विशिष्ट पाठ्यपुस्तकाला धरून शिकवला तर ते शिक्षकाच्या व विद्यार्थ्यांच्याही सोयीचे असते असे माझे मत आहे. याचा अर्थ असा नव्हे की शिक्षकाने आपण निवडलेल्या किंवा नेमून दिलेल्या पुस्तकाबाहेरचे काही शिकवायचेच नाही. जरूर शिकवायचे, पण जे जे पाठ्यपुस्तकात नसेल त्याच्या टिपण्या काढून त्यांची एक प्रत विद्यार्थ्यांना उपलब्ध करून दिली, तर विद्यार्थ्यांना दिलासा येतो. शिवाय त्यांना वर्गात शिक्षक फळ्यावर लिहीत असेल ते सर्व वहीत उतरवून घ्यावे लागत नाही व त्यांचे लक्ष शिक्षकाच्या बोलण्याकडे किंवा तो ज्या आकृत्या काढून दाखवत असेल तिकडे जास्त लागू शकते. मी माझ्या वर्गात मुलांना असे करायला नेहमी सांगत असे. पण काही वेळा मला नेमका उलटा अनुभव आला. फळ्यावर लिहिलेले वहीत उतरवून घेणे ही एक सकारात्मक क्रिया आहे, व ती करत असताना झोप येण्याचा संभव नसतो. उलटपक्षी नुसतेच बसून बोलण्याकडे लक्ष देत असताना विद्यार्थी निश्चल अवस्थेत असतो, व त्याला सहज पेंग येऊ शकते. हे दिसून आल्यावर फळ्यावरचे उतरवून घ्या असे मी निक्षून सांगितले!

आता अभ्यासक्रमाला साजेसे पुस्तक उपलब्ध नसले तर काय करायचे? या प्रश्नाला उत्तर सोपे नाही. पण एक अगदी अवघड उत्तर आहे, व ते म्हणजे आपण स्वत:च तसे पुस्तक लिहायचे. माझ्याबाबतीत दोन वेळा असे घडले. पहिली वेळ म्हणजे मुंबईच्या आय. आय. टी.मध्ये येण्यापूर्वी मी गोव्यातील पणजी या गावी मुंबई विद्यापीठाच्या एका केंद्रामध्ये शिकवत होतो तेव्हाची. एम. एस्सी.साठी फलनीय विश्लेषण (Functional Analysis) हा अभ्यासक्रम शिकवायचा होता. शोध-शोध शोधूनही मला काही त्या अभ्यासक्रमाला अनुरुप व सहज उपलब्ध असे पुस्तक आढळले नाही, म्हणून मला योग्य वाटतील अशा सविस्तर टिपण्या मी लिहू लागलो आणि त्याप्रमाणे शिकवू लागलो. आय. आय. टी. ला आल्यावरही तसाच अभ्यासक्रम शिकवायचा होता. पण इथे त्यात काय शिकवायचे व काय नाही याबद्दल जास्त स्वातंत्र्य होते. मग अभ्यासक्रमात काय भाग असावेत व ते कोणत्या क्रमाने शिकवावे हे मीच ठरवत गेलो. असा एक कोर्स मी १९७७ साली बंगलोरच्या आय. आय. एस्सी. मध्येही (IISC: Indian Institute of Science) शिकवला. या काळात Functional Analysis या विषयावर पुस्तक लिहिण्याचे विचार मनात घोळू लागले होते.

पुस्तक लिहिण्याची प्रक्रिया तेव्हा फार लांबलचक व कष्टप्रद होती. मी कागदावर पेन्सिलने लिहून एकेक प्रकरण श्री. नरवणकर यांच्याकडे टंकलेखनासाठी द्यायचो. गणिती चिह्ने वापरुन टंकलेखन करणे फार कठीण होते. खूप चुका व्हायच्या, कारण नरवणकरांना गणितातले काही कळत नव्हते. मलाही वरचेवर सुधारणा कराव्याशा वाटत, व त्यामुळे एकेका प्रकरणाचे चार-चार वेळा टंकलेखन करावे लागे. आठ प्रकरणे व चार परिशिष्टे असलेले टंकलिखित तयार झाल्यावर ते प्रसिद्ध कसे करायचे हा प्रश्न उभा राहिला. हे पुस्तक लिहिण्यासाठी विद्यापीठ अनुदान आयोगाच्या (UGC: University Grants Commission) एका प्रकल्पाद्वारे मदत मिळाली होती. या संस्थेने नेमलेल्या दोन गणितज्ञांनी मी लिहिलेल्या टंकलिखिताचे परीक्षण केले होते. त्या काळात नॅशनल बुक ट्रस्ट या संस्थेची कमी किंमतीत पाठ्यपुस्तके उपलब्ध करून देण्याची एक योजना होती. त्यांचे काही कडक नियम होते: दोन ओळीतील अंतर कमी ठेवले पाहिजे, समास छोटे असले पाहिजेत, कागदाची प्रत बेताची वापरली पाहिजे अशा प्रकारचे. ती संस्था लेखक व प्रकाशक यांना काही अनुदान द्यायची. पण शेवटी पुस्तक विद्यार्थ्यांना स्वस्तात मिळाले पाहिजे हा कटाक्ष होता. या योजनेखाली माझे पुस्तक १९८१ साली वायली इस्टर्न (Wiley Eastern) कंपनीने प्रसिद्ध केले. एकूण ३८८ पानांच्या पुस्तकाची किंमत होती फक्त साडेबावीस रुपये; दहा टक्के सूट जाऊन ते वीस रुपयात मिळत असे!

भारतातील बऱ्याच विद्यापीठांत ते पाठ्यपुस्तक म्हणून वापरले जाऊ लागले. दरवर्षी किंवा एक-आड-एक वर्षी ते नव्याने छापले जात होते. एकदा मी पुण्याला गेलो असता डेक्कन बुक स्टॉल या प्रसिद्ध दुकानात गेलो व तेथील विक्रेत्याला गणिताची पुस्तके कुठे ठेवता असे विचारले. त्याने सांगितल्याप्रमाणे जाऊन पाहिले तर पुस्तकांची चवड अगदीच तुटपुंजी होती. मी परत येऊन व्यवस्थापकाला म्हटले, 'हल्ली कोणी लिमये नावाच्या गृहस्थांनी एक नवे पुस्तक लिहिले आहे, Functional Analysis या शीर्षकाचे. ते दिसत नाही तुमच्याकडे.' तो लगेच उद्गारला, 'आम्ही असली पुस्तके ठेवत नाही, कारण ती खपतात कुठे?' हे ऐकून मी काढता पाय घेतला. असे नाटक पुन्हा कधी न करण्याचे मी ठरवले, कारण ते माझ्यावरच शेकायला नको होते!

थोड्या वर्षांनंतर माझ्या एका मित्राने मला पुस्तकाची किंमत प्रकाशकाकडून वाढवून घ्यायला सांगितले. मी साफ नकार दिला, कारण मला जास्त मानधन मिळवण्याची बिलकुल हाव नव्हती; मुलांना स्वस्तात पुस्तके मिळणे हेच महत्त्वाचे होते. माझ्या मित्रालाही हे माहीत होते, पण त्याच्या सांगण्यामागचे कारण वेगळेच होते. त्याच्या मतानुसार ३८८ पानांचे पुस्तक जर कोणी वीस रुपयांना देत असेल, तर ते पुस्तक अगदीच टाकाऊ असले पाहिजे असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो! काहीही असो, काही वर्षांनी नॅशनल बुक ट्रस्टची योजना संपुष्टात आली आणि प्रकाशकाने पुस्तकाची किंमत हळूहळू ६० रुपयांपर्यंत वाढवली.

सुमारे पंधरा वर्षांच्या काळात कितीतरी शिक्षकांनी व विद्यार्थ्यांनी मी लिहिलेले पुस्तक वापरले. गणितातील काही विषयांत संशोधन करण्यात मी बराच वेळ व श्रम खर्ची घालत असलो तरी एखाद्या परिसंवादात किंवा कार्यशाळेत भाग घ्यायला गेलो तर माझी ओळख ह्या पुस्तकानेच होत असे. एकदा तर फारच गंमत झाली. १९८८ साली कोळिकोड विद्यापीठात आठ-दहा व्याख्याने देण्यासाठी मी गेलो होतो. विषय बराच प्रगत होता. विद्यापीठातील शिक्षक व पीएच. डी. करणाऱ्या विद्यार्थ्यांसाठी ही व्याख्याने होती. पहिल्या दिवशी फक्त दहा-बारा जणच उपस्थित होते. दुसऱ्या दिवशी खूप गर्दी झाली. मला जरा आश्चर्य वाटले, पण मी तिकडे फार लक्ष दिले नाही. नंतरच्या दिवसांत गर्दी होतच गेली. पहिल्या रांगेतील व्यक्ती त्याच असत, पण मागच्या रांगांतील व्यक्ती दर दिवशी वेगवेगळ्या असत. मी चौकशी केली तेव्हा कळले की माझे पुस्तक केरळमधील तीन मोठ्या विद्यापीठांनी पाठ्यपुस्तक म्हणून नेमले होते. केरळच्या अनेक महाविद्यालयांत एम. एस्सी. करता येत असल्याने बरेच शिक्षक व विद्यार्थी ते पुस्तक नियमितपणे वाचत होते. त्यांना या पुस्तकाचा लेखक कोण आहे हे फक्त पहाण्याचे कुतूहल होते, म्हणून आळीपाळीने ते एकेक दिवस कोळिकोडला येऊन परत जात होते! हा लेखक कोणीतरी दुढ्ढाचार्य, केस पांढरे झालेला, लांब दाढीवाला असला पाहिजे अशी कल्पना करून ते आले असावेत, कारण माझ्याकडे बघून त्यांचा खूपच अपेक्षाभंग झालेला दिसत होता.

या काळांत कित्येकांनी मला पत्रे लिहून किंवा इमेल करून माझ्या पुस्तकासंबंधी प्रतिक्रिया कळवल्या. त्या सर्व मी सुसूत्रपणे लिहून ठेवल्या. काही ठिकाणी मी उदाहरणे कमी दिली होती, तर काही प्रश्न विचारण्यात चुका झाल्या होत्या. या गोष्टी सुधारणे जरूर होते. काही सिद्धता सोप्या करून दाखवल्या तर वाचायला सुलभ जाणार होते. या सगळ्या गोष्टींचा समावेश करून पुस्तकाची नवी आवृत्ती काढायचे मी ठरवले. आता नॅशनल बुक ट्रस्टने घातलेले कडक नियम पाळायची जरुरी नव्हती, त्यामुळे दोन ओळींमध्ये जास्त अंतर ठेवून व समास मोठे राखून छापील मजकुरात सुटेपणा आणता आला असता. या बाबी अमलात आणण्याची एक उत्तम संधी माझ्या हातात आली होती. ती म्हणजे पूर्वीसारखे टंकलेखन न करता, लेटेक्स (LaTeX) नावाची संगणकप्रणाली वापरुन जे जसे हवे तसे सगळे अमलात आणता येत होते. पण लेटेक्स वापरुन पुस्तकाची अनेक प्रकरणे तयार करण्याचे काम जिकिरीचे होते. मग मी आमच्या विभागातील ॲन्थनी नावाच्या कर्मचाऱ्याला ते शिकवायचे ठरवले. तो प्रथम तयार झाला, पण लवकरच हे काम सोडून द्यायच्या बेतात होता. मी दिलेल्या प्रोत्साहनाने तो कसाबसा टिकून राहिला. मग आम्ही दोघांनी मिळून नवीन आवृत्तीसाठी लागणारा दस्तऐवज तयार केला. आता प्रकाशकाला फारसे काम उरलेच नव्हते.

दुसरी आवृत्ती तयार करताना
दुसरी आवृत्ती तयार करताना

माझ्या पुस्तकाची दुसरी आवृत्ती १९९६ साली प्रकाशित झाली. तिच्यात एकूण ६२२ पाने होती, याचे कारण सुटेसुटे लिखाण, अधिक विवरण व जास्त आकृतींचा समावेश. पुस्तकाची किंमतही ६० रुपयांवरुन १७५ रुपये झाली. पण दुसऱ्या आवृत्तीला अंतिम स्वरूप देताना मला न आवडलेला एक निर्णय घ्यावा लागला – पहिल्या आवृत्तीमधले आठवे प्रकरण संपूर्णपणे गाळून टाकण्याचा. ते प्रकरण जरा वरच्या स्तरातले होते व पंधरा वर्षांत ते क्वचितच शिकवले गेले होते. त्याचा दुसऱ्या आवृत्तीत समावेश केला असता तर पृष्ठसंख्या ७००च्या घरात गेली असती, म्हणून मी ते गाळायचे ठरवले. खरे म्हणजे हे एका सर्वत्र आढळून येणाऱ्या प्रवृत्तीचे लक्षण होते. ती प्रवृत्ती म्हणजे गहन विषयांकडून हलक्याफुलक्या गोष्टींकडची धाव. कित्येक दशकांपासून ही प्रक्रिया चालू आहे. गणिताच्या जगतातील सर्वात ख्यातनाम पुस्तकांपैकी एक आहे वॉल्टर रुडिन (Walter Rudin) यांचे Principles of Mathematical Analysis हे पुस्तक. त्याची १९५३ सालची पहिली आवृत्ती आणि १९७६ सालची दुसरी आवृत्ती यांची तुलना केली तर सोपेपणाकडचा कल निश्चित लक्षात येतो.

२०१० साली हैदराबाद येथे गणितज्ञांची आंतरराष्ट्रीय महासभा (ICM: International Congress of Mathematics) भरली होती. तेव्हा प्रसिद्ध झालेल्या Intelligencer या पुस्तिकेत प्राध्यापक राजेंद्र भाटिया यांनी भारतात वापरल्या जाणाऱ्या पाठ्यपुस्तकांचे वर्णन केले आहे. त्यांत १९७० ते १९९० या काळात भारतीय लेखकांनी लिहिलेल्या दोनच पुस्तकांचा उल्लेख आहे : के. आर. पार्थसारथी यांनी लिहिलेले Introduction to Probability and Measures आणि मी लिहिलेले Functional Analysis. १९९० पूर्वी पाठ्यपुस्तके लिहिण्याची फारच थोड्या भारतीयांची तयारी असे. त्याचे कारण त्याला लागणारा वेळ आणि प्रयास. नंतर हे चित्र बदलले. बऱ्याच कालावधीनंतर माझ्या लक्षात आले की भारतीय विद्यार्थी भारतीय लेखकांची पुस्तके जास्त पसंत करतात. कदाचित अशा पुस्तकांत वापरलेली इंग्लिश भाषा त्यांच्या सवयीची असते किंवा ते या लेखकांशी सहजतेने समरूप होऊ शकतात.

माझ्या पुस्तकाची दुसरी आवृत्ती प्रसिद्ध होऊन सोळा वर्षे झाल्यावर New Age International हे नवीन नाव धारण केलेले माझे प्रकाशक माझ्या मागे लागले की आता तिसरी आवृत्ती काढली पाहिजे. मला त्यांच्या म्हणण्यात काहीच तथ्य दिसत नव्हते. पुस्तक अधिकाधिक ठिकाणी पोहोचत होते, पण वापरणाऱ्यांकडून माझ्याकडे काही नवीन सूचना अथवा मागण्या येत नव्हत्या. नवीन आवृत्ती काढली म्हणजे पुस्तकाला उठाव येईल व खप वाढेल या उद्देशाने माझे प्रकाशक तगादा लावत होते. त्याला बळी पडून मी २०१३ साली तिसरी आवृत्ती काढायला मान्यता दिली. मात्र तिच्या प्रस्तावनेत असे स्पष्ट केले की काही किरकोळ दुरुस्त्या व संदिग्धता काढून टाकल्या आहेत व काही सादरीकरण सुधारले आहे, पण ह्या व्यतिरिक्त ही आवृत्ती दुसऱ्या आवृत्तीपेक्षा भिन्न नाही; इतकेच काय तुम्हाला दोन्ही आवृत्तीतील कुठल्याही क्रमांकाच्या पानावर जवळजवळ तोच मजकूर आढळेल!

तीन आवृत्त्या

२०१३ नंतर मात्र चौथी आवृत्ती काढण्यास मी नकार देत आलो आहे. पुस्तकाचा विषय मूलभूत आहे हे खरे, व त्या विषयांतील संशोधन वर्षानुवर्षे फोफावत आहे हेही बरोबर आहे. पण विषयाच्या पायाभूत गोष्टी बदलत नाहीत. तेव्हा नवी आवृत्ती म्हणजे 'जुनी मदिरा नव्या बाटलीत' असाच प्रकार झाला असता. गेल्या वर्षापासून कोविड-१९च्या साथीमुळे बरेच शिक्षणक्रम ठप्प झाले व म्हणून माझ्याही पुस्तकाचा खप निम्म्यावर आला ही गोष्ट वेगळी. तरीही गेली चाळीस वर्षे हे पुस्तक तग धरून राहिले आहे, हेही नसे थोडके!

नवी आवृत्ती न काढायला आणखी एक कारण होते. माझ्या मनात एक वेगळा प्रयोग करून बघायचा होता. एक म्हणजे माझ्या पुस्तकाची प्रकाशनसंस्था आंतरराष्ट्रीय पातळीवर कार्यरत नव्हती. तिला अमेरिकेसारख्या देशाकडून येणारी मागणी पुरी करता येत नव्हती. दुसरे असे की Functional Analysis या विषयाचा उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजिनीअरिंगच्या काही भागात जास्तजास्त होऊ लागल्याने गणित हा मुख्य विषय नसलेले आय. आय. टी.मधील विद्यार्थी हा अभ्यासक्रम घेऊ लागले होते. त्यांच्यासाठी आमूलाग्र सोपेपणा आणण्याची गरज होती; सगळी क्लिष्ट उदाहरणे काढून टाकून व व्यापकतेऐवजी विशिष्टतेकडे लक्ष केंद्रित करुन. तिसरे असे की झाब्रेको (Zabreiko) नावाच्या एका बेलारुसियन गणितज्ञाने १९६९ साली सिद्ध केलेले एक प्रमेय वापरून Functional Analysisमधील खूपसे सिद्धांत सहज निष्पन्न होतात असे माझ्या लक्षात आले होते. त्या गणितज्ञाशी मी इमेलने संपर्कही साधू शकलो होतो. त्यानुसार मला माझ्या पुस्तकाची पुनर्रचना करायची होती. या सगळ्याचा परिपाक म्हणजे २०१५ साली 'Linear Functional Analysis for Scientists and Engineers' या शीर्षकाचे एक नवीन पुस्तक मी लिहिले. फक्त २६२ पानांचे हे पुस्तक श्प्रिंगर (Springer) या जर्मन कंपनीने २०१६ साली प्रसिद्ध केले. पण माझा हा प्रयोग सपशेल फसला. एकतर शीर्षकातील 'for Scientists and Engineers' या शब्दांमुळे गणितज्ञांना या पुस्तकाचे वावडे झाले. तसेच त्याची किंमत ७० युरो, म्हणजे सुमारे ६००० रुपये ठेवल्याने भारतातील कोणी शिक्षक व विद्यार्थी तर सोडाच, पण महाविद्यालयांतील ग्रंथालयांनापण ते पुस्तक परवडणारे नव्हते. मला मनापासून वाटते की माझा आतापर्यंतच्या शिकवण्याचा अनुभव मी या पुस्तकात ओतला आहे. पण तो तिथेच पडून आहे!

आतापावेतो मी लिहिलेल्या एका पुस्तकाची कहाणी विस्ताराने सांगितली. ते पुस्तक जसे एम. एस्सी.चा अभ्यासक्रम शिकवताना पाठ्यपुस्तकाची आवश्यकता भासल्यामुळे मी लिहायला घेतले, त्याचप्रमाणे पदवीपूर्व पाठ्यक्रमातील अगदी पहिला कलन (Calculus) या विषयाचा अभ्यासक्रम मोठ्या वर्गाला शिकवताना आणखी दोन पुस्तके लिहिण्याचा प्रसंग आला. १९९७ साली मी आमच्या गणित विभागातील प्राध्यापक सुधीर घोरपडे यांच्याबरोबर हा विषय शिकवला होता. त्यावेळी पारदर्शिकांवर संक्षिप्त रूपात, टेलिग्राफिक शैलीने लिहिलेल्या टिपण्यांचा विस्तार करून आम्ही दोघांनी एक भलेमोठे सुमारे १००० पानी पुस्तक लिहिले. ते पाठ्यपुस्तक न राहता संदर्भपुस्तकच झाले होते. श्प्रिंगर (Springer) या कंपनीच्या न्यूयॉर्कमधील शाखेकडे ते पाठवल्यावर त्यांनी त्याचे परीक्षण करून घेतले. यू. टी. एम. (UTM: Undergraduate Texts in Mathematics) या मालिकेतील पुस्तकांच्या पृष्ठसंख्येवर मर्यादा असल्याने त्यांनी सुरुवातीला पहिला अर्धा भागच प्रकाशित करायचे ठरवले. २००६ साली तो भाग A Course in Calculus and Real Analysis या शीर्षकाखाली प्रसिद्ध झाला. आणखी चार वर्षांनी म्हणजे २०१० साली उरलेला अर्धा भागही एका स्वतंत्र पुस्तकाच्या रूपाने A Course in Multivariable Calculus and Analysis या शीर्षकाखाली प्रकाशित झाला. या दोन्ही वेळा काही प्रकरणांचा मसुदा मी लिहायचो व त्यावर सुधीरची टीकाटिप्पणी यायची, तर इतर प्रकरणांचा मसुदा तो बनवायचा व मी त्यावर मल्लीनाथी करायचो. असे कितीतरी वेळा झाल्यावर जी निष्पत्ती व्हायची तिचा पहिल्या मसुद्याशी फारच कमी संबंध असायचा! मला वाटत असे की मी फारच चोखंदळ माणूस आहे, कुठलेही लिखाण पूर्णतया निर्दोष, सुटसुटीत व सुस्वरुप झाल्याशिवाय न थांबणारा. पण सुधीर मला शेरास सव्वाशेर भेटला. आम्ही दोघेही पुस्तकातील प्रत्येक पान, प्रत्येक ओळ, प्रत्येक शब्द तोलून-मापून निवडत होतो. असे करण्यात अतिशय परिश्रम पडत, व वेळाची तर सीमाच नसे.

आवृत्त्या

आमच्या दोघांच्या काम करण्याच्या वेळा भिन्न होत्या. सुधीरने रात्री दोन-अडीच वाजता काम संपवून इमेलने माझ्याकडे पाठवलेला मसुदा मी पहाटे पाचच्या सुमाराला उठलो की माझ्या संगणकावर असायचा. तो वाचून व त्यात फेरबदल करून सुधीरकडे पाठवेपर्यंत त्याची उठायची वेळ झालेली असे. या प्रकारचे रहाटगाडगे वर्षानुवर्षे चालले. तो रात्री उशिरापर्यंत काम करू शकत असल्यामुळे आमचा दोघांचा वेळ फार कार्यक्षमतेने वापरला गेला असे म्हटले पाहिजे. आमच्या काम करण्याच्या पद्धतीही वेगळ्या होत्या. एखादे काम पूर्ण करण्याची जी अंतिम वेळ (deadline) असेल त्याच्या बऱ्याच आधी काम संपवून निर्धास्त राहिलेले मला बरे वाटते; उलट शेवटच्या क्षणाला काम संपवण्यात सुधीर तरबेज आहे. मला आठवते आहे की एकदा पुस्तकाचे कच्चे लिखाण जून महिन्याच्या अखेरपर्यंत प्रकाशकाकडे पाठवायचे आम्ही मान्य केले होते. माझ्या वाटणीचा भाग पुरा करून मी तो केव्हाच सुधीरकडे पाठवला होता. मी तीस जूनला दुपारी फोन करून सुधीरला विचारले की त्याचे काम कुठवर आले आहे. त्याने फक्त ते चालू असल्याचे सांगितले. रात्री मी झोपेपर्यंत सुधीरकडून काहीच वार्ता नव्हती. सकाळी उठून इमेल बघायला लागलो तर सुधीरने पुस्तकाच्या सगळ्या फाइल्स प्रकाशकाकडे पाठवल्या होत्या, इमेलची वेळ होती June 30, 11.59 PM! असे फरक असले तरी सहलेखकांनी एकमेकांना ओळखून असावे लागते आणि प्रत्येकाच्या सवयी धरून चालाव्या लागतात. आम्ही दोघांनी काटेकोरपणे तयार केलेल्या प्रतीत देखील काही उणीवा राहूनच जायच्या. त्या शोधण्यासाठी वेगळ्या जाणकारांची जरूर होती. आमच्या सुदैवाने दोन्ही पुस्तकांसाठी आम्हाला असे सूक्ष्मतेने व चिकित्सक वृत्तीने परीक्षण करणारे गणितज्ञ भेटले. ते आमचेच सहकारी किंवा विद्यार्थी होते. त्यांनी पत्करलेले आणि तडीस नेलेले काम अमूल्य होते; दुसऱ्याने लिहिलेले वाचून त्यांत सुधारणा करण्यात आपला बहुमोल वेळ व बौद्धिक शक्ती घालवणारे महाभाग सहजासहजी मिळत नाहीत. त्यांनी दाखवून दिलेल्या त्रुटी बघितल्यावर आम्हा दोघांना आश्चर्य वाटायचे की त्या आमच्या नजरेतून कशा सुटल्या. आपण लिहिलेले बरोबर असणार अशी आपली स्वाभाविक अपेक्षा व धारणा असते; उलटपक्षी दुसऱ्याने लिहिलेले तपासायला सांगितले, तर ते डोळ्यात तेल घालून वाचले जाते. तरीही आम्ही पाठवलेल्या मसुद्यात दोन भिन्न व्यक्तींना सापडलेल्या चुका बऱ्याच वेळा वेगवेगळ्या असायच्या, व त्याची आम्हाला गंमत वाटायची!

ही दोन्ही पुस्तके प्रकाशनाला देण्यापूर्वी आम्ही आग्रह धरला होता की थोड्या अवधीनंतर त्यांच्या कागदी बांधणीच्या आवृत्ती कमी किंमतीत भारतात उपलब्ध व्हाव्यात. ठरल्याप्रमाणे तसे झालेही. नंतर २०१८ साली आमच्या पहिल्या पुस्तकाची दुसरी आवृत्ती प्रकाशित झाली. ती तयार करताना आम्ही एक प्रकरण व दोन परिशिष्टे यांचा नव्याने समावेश केला होता, सोपेपणा आणण्याची जगरहाटी सोडून. ही दुसरी आवृत्ती मात्र अजूनही फक्त पक्क्या बांधणीची मिळू शकते, ६२ युरो म्हणजे ५४०० रुपयांना. कोण विकत घेणार ती भारतात?

विद्यार्थ्यांचा दर्जा

आय. आय. टी.तील बी. टेक. या पाठ्यक्रमात प्रवेश मिळवण्यासाठी जे. इ. इ. (JEE: Joint Entrance Examination) आणि एम. एस्सी. ह्या पाठ्यक्रमात प्रवेश मिळवण्यासाठी जे. ए. एम. (JAM: Joint Admissions Test for Masters) अशा स्पर्धात्मक परीक्षा चांगल्या क्रमांकाने उत्तीर्ण व्हाव्या लागतात. त्यांसाठी सर्व भारतातून अनेक विद्यार्थी खूप मेहनत घेऊन तयारी करतात. त्यामुळे आय. आय. टी.तील विद्यार्थी वरच्या दर्जाचे असणार हे निर्विवाद आहे.

जे. ए. एम. परीक्षेद्वारे आय. आय. टी.त येणाऱ्या विद्यार्थ्यांमधील मुलींची संख्या समाधानकारक असली तरी जे. इ. इ. परीक्षेद्वारे आय. आय. टी.त प्रवेश मिळणाऱ्या विद्यार्थ्यांमधील मुलींची संख्या फारच कमी म्हणजे दहा टक्क्याच्या आसपास असे. यावर उपाय म्हणून २०१८ सालापासून प्रत्येक आय. आय. टी.तील बी. टेक.च्या प्रत्येक शाखेत काही अधिसंख्य (super-numerary) जागा वाढवून आता २०२० साली मुलींची संख्या वीस टक्क्यावर आणली आहे.

मुख्य प्रश्न असा आहे की हे विद्यार्थी कोणत्या हेतूने आय. आय. टी.मध्ये प्रवेश घेतात? याचे सर्वमान्य उत्तर म्हणजे पदवी मिळवल्यावर गलेलठ्ठ पगाराच्या नोकऱ्या मिळवण्यासाठी किंवा परदेशगमनासाठी. सर्वसाधारणपणे बी. टेक.साठी येणाऱ्यांचा दर्जा एम. एस्सी.साठी येणाऱ्यांच्या दर्जापेक्षा वरचा असतो, आणि एम. एस्सी.साठी येणाऱ्यांचा दर्जा पीएच. डी. या पदवीसाठी येणाऱ्यांच्या दर्जापेक्षा वरचा असतो. उपरोध कशाला म्हणता येईल तर याला!

आय. आय. टी.मधील माझ्या सुरुवातीच्या काही दशकांमध्ये बहुसंख्य मुलांचे उद्देश वर दिल्याप्रमाणे होते, पण इतरही विद्यार्थी असे असत की त्यांना काही नवीन गोष्टी किंवा नव्या तऱ्हेने विचार करायच्या पद्धती जाणून घेण्यात रस असे. आता असे विद्यार्थी फार तर शंभरात ५ किंवा १० असतील. वर्गात येऊन का बसायचे, तर ऐंशी टक्के उपस्थिती असल्याशिवाय परीक्षेला बसता येणार नाही म्हणून, आणि परीक्षेला का बसायचे तर AA किंवा AB अशी श्रेणी मिळवून आपला प्राप्तांक (grade score) वाढवण्यासाठी. उत्तरपत्रिका वाटल्यावर अर्ध्या-अर्ध्या गुणासाठी त्यांच्या तक्रारी असतात. कमीत कमी अभ्यास करून जास्तीत जास्त गुण मिळवणे हे त्यांचे ब्रीदवाक्य असते. 'आजकालची मुले आम्ही लहानपणी होतो त्यापेक्षा हुशार आहेत' असे उद्गार आपण खूप वेळा ऐकतो. हे मला अमान्य नाही, पण ही हुशारी कशात आहे ते बघणे जरूर आहे. बऱ्याच गोष्टी थातुरमातुर जाणून घेऊन वेळ मारून नेण्यात हे विद्यार्थी तरबेज असतात. पण एखाद्या कठीण गोष्टीचा गहन विचार करून ती आत्मसात करण्याची पात्रता आणि इच्छा फारच थोड्या जणांत दिसून येते. शिवाय पात्रता असली तरी तिचा उपयोग करण्यासाठी जी उमेद, कळकळ असावी लागते ती तर फारच विरळा जाणवते. बऱ्याच विद्यार्थ्यांना जे. इ. इ. पार करून आय. आय. टी.त प्रवेश मिळाला की स्वर्ग दोन बोटेच लांब आहे असे वाटते. प्रवेशापूर्वी खास प्रशिक्षणवर्गांत (coaching class) ते नाव नोंदवतात, व तेथे त्यांना ठोकताळे बांधून उत्तर द्यायला शिकवले जाते. पठडीबाहेरच्या प्रश्नांचा विचार करायला वेगळी क्षमता लागते.

ही परिस्थिती वर्षानुवर्षे बिघडत आली आहे. त्याला सामाजिक व आर्थिक कारणे आहेत. त्यांचा विचार व चर्चा मी इथे करत नाही, पण जेव्हा २००६ या साली जे. इ. इ. परीक्षेच्या स्वरूपातच बदल घडून आला, तेव्हापासून परिस्थिती फारच बिकट होत गेली. या वर्षापूर्वी जे. इ. इ. अगदी वेगळ्या स्वरूपाच्या दोन परीक्षांची असे. पहिली बहुविकल्प प्रश्नांची, जिच्यात उत्तर फक्त एका छोट्या चौकोनात खूण करून द्यायचे असते. ह्या परीक्षेचा उपयोग फक्त दुसऱ्या परीक्षेला कोण कोण बसणार हे ठरवण्यापुरताच होता, म्हणून तिला चाचणी परीक्षा (Screening Test) असे म्हणत. दुसऱ्या परीक्षेत प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे लिहायला लागायची. आय. आय. टी.त मिळणारा प्रवेश पूर्णपणे दुसऱ्या परीक्षेतील कामगिरीवरच अवलंबून असायचा. या दुसऱ्या परीक्षेत दिलेल्या सविस्तर उत्तरावरुन विद्यार्थ्याला तो विषय कितपत समजला आहे, त्याची विश्लेषण करायची क्षमता (analytical ability) किती आहे याची चांगली कल्पना येऊन त्यानुसार विद्यार्थ्यांची वर्गवारी करता येत असे. परंतु २००६ साली पहिली व दुसरी परीक्षा एकत्र करण्यात आली, आणि तिचे स्वरूप वस्तुनिष्ठ (objective) बनवण्यात आले. गणिताच्या दोन तासांच्या प्रश्नपत्रिकेत एकूण चाळीस प्रश्न होते: फुली करून उत्तर द्यायचे बत्तीस, संख्यात्मक उत्तर असलेले चार, आणि जोड्या लावायचे चार. सर्व उत्तरे एका विशिष्ट कागदाच्या तावावर (ORS: Objective Response Sheet) नोंदवायची होती. काही यंत्रेच ही उत्तरे तपासणार असल्याने परीक्षेला किती मुलांना बसू द्यायचे हा मुद्दा गौण झाला, व चाचणी परीक्षेची जरूर राहिली नाही. मुख्य बदल म्हणजे सविस्तर उत्तरे लिहायला लागतील असे प्रश्न विचारणे बंद झाले. खास प्रशिक्षणवर्गांचे वर्चस्व कमी करणे हे वरकरणी दिलेले (ostensible) कारण होते; वस्तुतः कोणत्याही प्रकारे परीक्षा घेतली तरी त्याचा खास प्रशिक्षणवर्गांवर काहीच परिणाम झाला नसता. माझ्या मते प्रवेशपरीक्षेच्या पद्धतीवर झालेला हा मोठा आघात होता. आय. आय. टी.मध्ये कोणते गुण असलेल्या मुलांना प्रवेश द्यायचा हे आता बदलून जाणार होते. विश्लेषणात्मक विचार करण्याच्या क्षमतेऐवजी खूप आराखड्यांचा आधीच परिचय करून घेऊन (pattern recognition) त्याप्रमाणे चटाचट उत्तरे देता आली की यश मिळणार होते.

२००२ साली मी संपूर्ण भारतात घेतल्या जाणाऱ्या जे. इ. इ.चा मुंबईच्या आय. आय. टी. तर्फे संयोजक अध्यक्ष (Organizing Chairman) होतो. त्या वर्षापासून परीक्षेच्या स्वरूपात बदल करण्याचा घाट घातला जात होता. माझ्यासकट कित्येक आय. आय. टी.तील जे. इ. इ.च्या अध्यक्षांनी या बदलाला पूर्ण विरोध केला होता. प्रयत्नांची शिकस्त करुनही आम्ही आय. आय. टी. च्या निदेशकांची (Directors) समजूत घालू शकलो नाही की आय. आय. टी.मध्ये प्रवेश मिळण्यासाठी आवश्यक असलेले गुण चौकोनात केलेल्या फुल्यांवरुन पारखणे अशक्य आहे. निदेशकांवर आणखी कुणाचे दडपण होते का याची कल्पना नाही. मला आठवते आहे की जेव्हा सगळे निदेशक दिल्लीतील शिक्षणमंत्रालयात जाऊन या निर्णयावर शिक्कामोर्तब करणार होते, त्याच्या काही मिनिटे आधीच आम्हा सगळ्या जे. इ. इ.च्या अध्यक्षांची दिल्लीतील सभा संपली होती, व मी मुंबईतील आय. आय. टी. च्या निदेशकांना भेटून कळकळीची विनंती केली की त्यांनी बदलाच्या प्रस्तावाला पाठिंबा देऊ नये. त्यांचे उत्तर आजही माझ्या चांगले लक्षात आहे. ते मला म्हणाले “लिमये साहब, यह खाली उन्नीस-बीस का फर्क होनेवाला है। हमें अच्छे विद्यार्थीही मिलते रहेंगे।” संपले, मी हात टेकले. सगळी चक्रे फिरून व विद्यार्थ्यांना पूर्वसूचना देऊन जे. इ. इ. पूर्णपणे वस्तुनिष्ठ (objective type) बनायला २००६ साल उजाडले. ज्यांचा प्रभाव कमी करण्यासाठी परीक्षापद्धतीत बदल घडवून आणला होता, ते खास प्रशिक्षणवर्ग या परीक्षेनंतर आणखीनच जोरात चालू लागले! जे. इ. इ. च्या स्वरूपात नंतरही अनेक बदल होत गेले, पण २००६ सालचा बदल कलाटणी देणारा ठरला.

प्रवेशपरीक्षेत सविस्तर उत्तरे लिहिणे काढून टाकल्यानंतर दोन-तीन वर्षांत असे दिसून आले की पहिल्या सत्रातील खूपशा विद्यार्थ्यांना एक वाक्यही धड लिहिता येत नव्हते. आधी जे. इ. इ. च्या दुसऱ्या परीक्षेत अर्थपूर्ण वाक्य लिहिल्याशिवाय गुण मिळणे अशक्य होते, पण आता फक्त फुल्या करून हे विद्यार्थी आय. आय. टी.त प्रवेश करत होते. पूर्वी खास प्रशिक्षणवर्गात त्यांच्याकडून सविस्तर उत्तरे लिहून घेतली जात. आता त्या वर्गांतही फुल्या कुठे मारायच्या एवढेच शिकवले जाऊ लागले. चार पैकी एकच उत्तर बरोबर असते हे माहीत असल्याने कुठली तीन चुकीची आहेत हे ठरवले की उरलेले बरोबर असणारच. आय. आय. टी.त घेतल्या जाणाऱ्या परीक्षा मात्र फक्त फुल्या मारायच्या नसत. त्यामुळे मुलांची फारच पंचाईत होऊ लागली. आय. आय. टी.तील यांत्रिकी विभागातील माझे एक सहकारी सांगत होते की कधी कधी उत्तरपत्रिका तपासताना पहिले उत्तर कुठे संपले व दुसरे कुठे सुरू झाले हे सांगणेही दुरापास्त झाले होते. दुसरी एक गोष्ट सांगावीशी वाटते ती म्हणजे थापा मारून हवे ते उत्तर काढण्यात आय. आय. टी.तील मुलांइतके पटाईत कोणी नसेल. समजा 'अमुक अमुक गोष्ट सिद्ध करा' असा प्रश्न परीक्षेत विचारला असेल, तर मुले काही ना काही रामायण रचून, पाच-सहा ओळी लिहून शेवटी जे सिद्ध करायचे होते ते करून झाले (QED) असे ठोकून देत. मग तपासणाऱ्यालाच वैताग येत असे. हे लक्षात आल्यावर मी कोणत्याही प्रश्नात काही सिद्ध करायला न सांगता काही तरी शोधून काढायला सांगत असे. त्यामुळे थापेबाजीला चांगलाच आळा बसे.

२००६ साली झालेल्या जे. इ. इ. मधील बदलानंतर प्रवेश घेतलेल्या मुलांना पहिल्या सत्रातील गणिताचा अभ्यासक्रम फारच कठीण जाऊ लागला. या सत्रातील गणिती मांडणी त्यांनी पूर्वी फारशी बघितलेली नसायची. तर्कशुद्ध पद्धतीने दिलेल्या गृहीतकावरून हवे असलेले विधान निष्पन्न करण्यासाठी वैचारिक शिस्तीची जरुरी असते, व आपला युक्तिवाद योग्य शब्दात लिहिता यावा लागतो. पहिल्यापासून काळजीपूर्वक अभ्यास न केल्याने ह्या अभ्यासक्रमात सुमारे १० टक्के मुले चक्क नापास व्हायला लागली. ही केवढी नामुष्कीची बाब होती! आय. आय. टी.त प्रवेश मिळाला म्हणजे तो विद्यार्थी हुशार असणार हे लोक धरूनच चालतात. त्यातल्या त्यात मुंबईची आय. आय. टी. सर्वोत्कृष्ट. तिथे प्रवेश मिळाला म्हणजे तो विद्यार्थी थोरच असला पाहिजे. असे 'ग्रेट' विद्यार्थी ह्या अभ्यासक्रमात शेकड्याने नापास होत आले आहेत, अगदी गेल्या वर्षापर्यंत. ह्या नापास होणाऱ्या विद्यार्थ्यांत कुवत नक्कीच असते, पण ते दिशाहीन झालेले असतात. कदाचित आई-वडिलांच्या आग्रहामुळे त्यांना नको असलेल्या पदवीसाठी प्रवेश घ्यायला लागला असतो. यांतील काही विद्यार्थी मानसिक आजारांना बळी पडतात. राष्ट्रीय संपत्तीची ही केवढी मोठी हानी आहे! मी इतके पोटतिडीकेने लिहितो आहे, कारण आजचे विद्यार्थीच देशाचे भवितव्य ठरवतात. मुलांचे पालक व समाजातील जबाबदार व्यक्ती यांनी ह्या परिस्थितीचा गांभीर्याने विचार करण्याची खूप गरज आहे.

कुणाला वाटेल की मी सगळे काळे चित्रच रंगवत आहे. तसे बिलकुल नाही. माझ्या शिकवण्याच्या दीर्घ प्रवासयात्रेत मला मनापासून शिकू इच्छिणारे कितीतरी विद्यार्थी भेटले, अनेक तल्लख मुले माझ्या वर्गांत येऊन गेली. त्यांनी विचारलेल्या शंका किंवा त्यांनी केलेल्या टीकाटिप्पण्या इतक्या सूक्ष्म व मोठ्या आवाक्याच्या असत की मी आश्चर्यचकित होऊन जाई. त्यांना वर्गातच पुरा पडण्याचे मी ठरवले असते, तर बाकीची मुले नुसती आ वासून बघत राहिली असती. मासल्यादाखल एक प्रसंग सांगतो. १९८९ साली मी गणित विभागातील एम. एस्सी.च्या अभ्यासक्रमातील एक ऐच्छिक विषय शिकवत होतो. तो शिकायला संगणकशास्त्र विभागातील दोन विद्यार्थी येत असत. मी फळ्यावर एखादे प्रमेय लिहायला सुरुवात करून ते निम्मेशिम्मे लिहायच्या आधीच त्यांपैकी एक जण माझे वाक्य पुरे करून टाकायचा. तोपर्यंत दुसऱ्याच्या डोक्यात त्या प्रमेयाची सिद्धता कशी असली पाहिजे याची जुळवाजुळव झालेली असायची. त्यांच्या दृष्टीने माझे व्याख्यान निमित्तमात्र होते. आता सांगा मी जर ते दोघे काय म्हणताहेत त्याच्याकडे लक्ष देऊ लागलो, तर इतर मुलांनी काय करायचे? हे दोघेही आता मुंबईच्या आय. आय. टी.मध्ये प्राध्यापक आहेत, एक संगणकशास्त्र विभागात व दुसरा विद्युत अभियांत्रिकी विभागात. त्यांची नावे सांगितली तर ते ओशाळतील म्हणून मौन पाळतो. याच्या बऱ्याच आधी म्हणजे १९७९ साली माझ्या फलनीय विश्लेषणाच्या अभ्यासक्रमात जे. इ. इ.द्वारे प्रवेश मिळवून पदार्थविज्ञान विषयात 'संघटित एम. एस्सी.' (Integrated M. Sc.) करणारा एक विद्यार्थी होता. त्याचे नाव अपूर्व पटेल. हा विषय शिकण्यासाठी आवश्यक असणारे गणित विभागातील अभ्यासक्रम त्याने घेतले नव्हते. त्यामुळे सुरुवातीच्या काही आठवड्यात त्याला जड जात होते. मी चौकशी केली तर तो म्हणाला की जरूर त्या सगळ्या गोष्टी तो शिकून घेईल. त्याला नवनव्या संकल्पना पटापट समजत गेल्या. सरतेशेवटी माझ्या अभ्यासक्रमात तो सर्वोत्कृष्ट ठरला. इतकेच नव्हे तर १९८० साली मुंबईच्या आय. आय. टी.मधील सर्व विभागांतील सर्व विद्यार्थ्यांपेक्षा त्याचा प्राप्तांक (grade score) जास्त झाल्याने त्याला भारताच्या राष्ट्रपतींचे सुवर्णपदक मिळाले. माझे म्हणणे इतकेच आहे की असे नवीन गोष्टी शिकू इच्छिणारे विद्यार्थी दिवसेंदिवस फारच कमी होत चालले आहेत.

प्राचीन काळातील गुरुशिष्यांच्या नात्याचे बाह्यस्वरूप आता पार बदलून गेले आहे. गुरुदक्षिणा तर पाठ्यक्रमात प्रवेश घेताना भरलेल्या फीच्याद्वारे आधीच दिलेली असते! शिष्याला संस्कृतमध्ये 'अन्तेवासिन्' असे म्हणतात. या शब्दाचा अर्थ आहे जवळ राहणारा. आता जवळ राहणे तर सोडाच, पण शिक्षक व विद्यार्थी समोरासमोर येणेही कठीण झाले आहे; साथीच्या काळात तर त्यांची भेट आभासात्मक (virtual) होऊ लागली आहे. कुणा विद्यार्थ्याने चरणस्पर्श करायची पद्धत नसली तरी आपल्या मनातला आदरभाव ते वेगळ्या प्रकारे व्यक्त करू शकतात. १९८७ साली मी बी. टेक.च्या एका मोठ्या वर्गाला शिकवत असताना मला कोणीतरी सांगितले की एक विद्यार्थी वाहनतळात ठेवलेल्या माझ्या स्कूटरला नमस्कार करत असे. हे जरा अजबच म्हटले पाहिजे, पण मी त्यातली भावना समजू शकतो. माझे मुंबईच्या आय. आय. टी.तील शिकवणे संपल्यावर एम. एस्सी.च्या वर्गातील मुलांनी एक कार्यक्रम योजला होता. गाणी म्हटली, गिटार वाजवून दाखवली, छोटी भाषणे केली, एका वहीत प्रत्येकाने माझ्यासंबंधी चार शब्द लिहून ती वही मला भेट दिली. ती मी अजून जपून ठेवली आहे. धारवाडच्या आय. आय. टी.तील बी. टेक.च्या पहिल्या वर्षातील मुलांनी तपशीलवार समारंभ आखला होता. मला त्यांच्या मध्यभागी बसवले. व्यासपीठावर जाऊन माझी नक्कल करून दाखवली, नंतर मला तिकडे बोलावून माझी आयत्या वेळी मुलाखत घेतली. इत्थंभूत गोष्टींचे ध्वनिचित्रमुद्रण (audio-visual recording) करून त्यांनी मला त्याची एक प्रत पाठवून दिली. अशा खेळीमेळीच्या वातावरणातला आपलेपणा अवर्णनीय असतो.

विद्यार्थी

विद्यार्थ्यांचा आय. आय. टी.त येऊन शिकण्याचा सर्वसाधारण उद्देश काय असतो ते मी सांगितले. आता माझा त्यांना गणित शिकवण्यातला उद्देश सांगतो. गणित ह्याच विषयात ज्यांना स्नातकोत्तर अध्यापन वा संशोधन करायचे आहे असे अगदी थोडे विद्यार्थी सोडले, तर बाकी सगळे जण गणिताच्या अभ्यासक्रमात शिकवलेली प्रमेये व त्यांच्या सिद्धता लवकरच विसरून जाणार हे उघड आहे. गणितातील काही सूत्रे अभियांत्रिकी व्यवसायांत कधी-कधी उपयोगी पडतात इतकेच, पण त्यासाठी तासन्-तास गणित शिकवायचा उपद्व्याप कशाला करायचा? याचे उत्तर असे आहे की गणित शिकवताना जी विचार करण्याची शिस्त मुलांच्यात बाणवता येते, तिचा त्यांना जन्मभर फायदा होऊ शकतो. गणित हे एकच शास्त्र पूर्णतः निगमन पद्धतीवर (deductive method) आधारलेले आहे. आपली गृहीतके काय आहेत, म्हणजे आपण काय मानून सुरुवात करतो, ते प्रथम नक्की करायचे. मग आपण किंवा इतरांनी आधी सिद्ध केलेली कोणती विधाने आपल्या हाताशी आहेत हे बघायचे, व ती वापरून जी काय निष्पत्ती आपण करू शकतो ती सगळी करायची. एका विधानातून दुसरे विधान निष्पन्न करताना प्रत्येक वेळी तर्कशुद्धतेची कसोटी लावायची, ही गणिताची प्रक्रिया आहे. जोपर्यंत आपण आपली गृहीतके बदलत नाही, तोपर्यंत निष्पत्ती बदलणार नाही. इथे मतभिन्नतेला वावच नाही. अशी दरोबस्त विचारसरणी काही प्रमाणात तरी माझ्या विद्यार्थ्यांच्या अंगी बाणवण्याचा माझा हेतू असतो; तसा प्रयास मी करतो. गणित चांगल्या रीतीने शिकून बाहेर पडलेला विद्यार्थी कुठल्याही समस्येशी सयुक्तिकपणे झगडायला सज्ज होऊ शकतो अशी माझी समजूत आहे.

पाठ्यक्रम पुरा केल्यानंतर होणारा पदवीदान समारंभ विद्यार्थ्यांसाठी खूप महत्त्वाचा असतो. सर्वजण पायघोळ झब्बा किंवा खमीस घालून व गळ्यात उत्तरीय लटकावून उपस्थित असतात. प्राध्यापक दुहेरी ओळीत मिरवणुकीने येऊन पदवीदान सभागृहातील (Convocation Hall) व्यासपीठावर स्थानापन्न होतात. मी मात्र आय. आय. टी.तील पदवीदान समारंभाला क्वचितच जात असे. कुणाला सुवर्णपदक किंवा रजतपदक बहाल केल्यावर जो टाळ्यांचा कडकडाट होतो त्याने मी पार भारून जातो आणि आनंदाश्रू थांबवू शकत नाही. मग जवळपासच्या प्राध्यापकांना कळेनासे होते की याला रडायला का येतेय. तरीही बघू या हा समारंभ कसा असतो असा विचार करून मी एकदा त्यात भाग घेतला होता. आय. आय. टी.च्या जनतासंपर्क अधिकाऱ्याने नेमका त्यावेळी आमच्या मिरवणुकीचा फोटो काढून माझ्याकडे पाठवला.

दीक्षादान समारंभ
मुंबईच्या आय. आय. टी.मधील पदवीदान समारंभासाठी प्राध्यापक मिरवणुकीने येताना

अशा समारंभात ऐकायला मिळणाऱ्या भाषणांपेक्षा कितीतरी जास्त महत्त्वाची एक गोष्ट प्राचीन काळी गुरु शिष्याला सांगत असे. तैत्तिरीय उपनिषदात विद्याभ्यास संपल्यावर गुरुने केलेल्या अनुशासनात लिहिले आहे, 'यानि अस्माकं सुचरितानि तानि त्वया उपास्यानि। नो इतराणि।', म्हणजे आमची जी चांगली वर्तणूक असेल ती तू आचरणात आण, बाकीच्या गोष्टी सोडून दे. कुठल्याही प्रकारचे शिक्षण घेतल्यावर त्याचा परिणाम सुचरितात झाला तरच मिळवली, शिक्षकाने आणि विद्यार्थ्यानेही.

***

(ऋणनिर्देश: 'गणिताच्या निमित्ताने' या लेखमालेची सांगता करताना ज्या व्यक्तींमुळे ती शक्य झाली त्यांचा आवर्जून उल्लेख करावासा वाटतो. मी गणिताबद्दल काही लिखाण करावे ही कल्पना नंदा खरे या दीर्घकालीन मित्राने माझ्या गळी उतरवली. माझी पत्नी निर्मला हिने ती उचलून धरली आणि सतत पाठपुरावा केला. माझा शाळेतील वर्गमित्र श्रीपाद पेंडसे आणि पूर्वकालीन विद्यार्थी सुधीर कुलकर्णी या दोघांनी सर्व लेखांचे प्राथमिक मसुदे वाचले व अनेक सूचना केल्या. 'ऐसी अक्षरे'चे सदस्य जयदीप चिपलकट्टी यांनी बऱ्याच लेखांत सुधारणा सुचवल्या, आणि संपादक अभिजित रणदिवे यांनी प्रत्येक लेखाचे दर गुरुवारी रात्री जागून प्रकाशनपूर्व संस्करण तर संपवलेच, पण वेळोवेळी प्रोत्साहनपर एखादे वाक्यही मला लिहिले. या सगळ्या लेखांतील पुष्कळशी छायाचित्रे माझ्या संग्रहातील असली तरी काही आंतरजालावरून साभार उसनी घेतली आहेत.)

(लेखमाला समाप्त)

***

बालमोहन लिमये
(balmohan.limaye@gmail.com)
Balmohan Limaye 2020
लेखकाचा अल्प-परिचय : मुंबईच्या आय्. आय्. टी.मधील गणित विभागात ४२ वर्षे काम केल्यानंतर आता गुणश्री प्राध्यापक (Professor Emeritus). पवईलाच रहिवास.
बालमोहन लिमये यांचे इतर लिखाण

विशेषांक प्रकार: 
field_vote: 
1
Your rating: None Average: 1 (1 vote)

प्रतिक्रिया

गेले काही महिने शुक्रवारी सकाळी 'गणिताच्या निमित्ताने' मालिकेसाठी काही वेळ मुद्दाम राखून ठेवलेला असायचा. सगळेच लेख अतिशय रंजक होते. आणि तुमच्या फ्रान्समधील वास्त्यव्यातले काही किस्से फार आवडले. मुख्य म्हणजे या मालिकेमुळे मी पुन्हा गणित विषयातलं थोडं का असेना वाचन केलं आणि त्याबद्दल माझ्या ओळखीत असलेल्या अभ्यासकांशी चर्चा करायची आणि शिकण्याची मला संधी मिळाली.
मालिका फारच आवडली.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

लेखमालिकेचा हेतू तुमच्याबाबतीत तरी साध्य झाला हे बघून बरे वाटले.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

उद्युक्त करणाऱ्यांचेही आभार.
शेवटचा हा भाग विशेष आवडला. विद्यार्थी आणि त्यांचे विश्लेषण बरोबर. पुस्तक लिहित राहा. एक पुस्तक घेतले आहे ( A course in calculus. . . ) वाचून बघतो. बारावीपर्यंत गणित शिकले होते. प्रगत वाटले तरी शैली कळेल.

शिकवण्याचे अनुभव सविस्तर दिले आहेत. छान.

मागे एकदा एका लेखात प्रश्न विचारला होता की शालेय अभ्यासक्रमात गणित कसे असावे. पण त्याचे उत्तर इथे वेगळ्या पद्धतीने मिळाले . धन्यवाद.
-----------------------
'कामाचे गणित' नावाची पुस्तक मालिका भारतातल्या सर्वसामान्यांनासाठी असावी असं मला वाटतं.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

कलन (Calculus) या विषयावरील माझ्या व्याख्यानांची सरकचित्रे (२०१९) व ध्वनिफीती (२०१७) www.math.iitb.ac.in/~bvl या संकेतपृष्ठावरील (web page) डाव्या बाजूच्या समासातील
Lecture Slides: Calculus आणि Lecture Videos: Calculus या दुव्यांवर टिचकी मारल्यास उपलब्ध होतील. इतरही अनेक गोष्टी या संकेतपृष्ठावर आहेत.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

मी जे.ई.ई उत्तीर्ण झाल्याला तीसेक वर्षे होऊन गेली. आयआयटी बॅांबेमधील आमचे काही प्राध्यापक त्याहीवेळी ह्मणत, की “अगरवाल” आणि “ब्रिलियंट ट्युटोरिअल्स” यांनी (त्यावेळच्या आयाय्टी एन्ट्रन्स एक्झॅमचे क्लासेस चालविणाऱ्या दोन खाजगी संस्थांनी) जे.ई.ई. ची अगदी वाट लावली आहे. त्यांच्या मते, असले बाजारू क्लासेस बळावण्यापूर्वीची जे.ई.ई. ही “खरी बुद्धिमत्तेची” परीक्षा होती. ते ह्मणत, की मूळ विषय खोलात समजून न घेतां नुसता सराव करून, परीक्षेचे तंत्र आत्मसात करून, प्रत्यक्ष गुणवत्ता पूर्वीच्या “हुषार” विद्यार्थ्यांच्या जवळपासही नसणारे (आमच्यासारखे!) विद्यार्थी आता आयाय्टीत येऊ लागले आहेत. “तू जे.ई.ई. कसा/कशी काय पास झालास/झालीस बरे?” असे काही प्राध्यापकच नव्हे, तर प्रयोगशाळेतील तंत्रज्ञ (विद्यार्थ्यांच्या भाषेत “लॅब सायडी”) सुद्धा आह्माला सर्रास ह्मणत असत - विशेषत: पहिल्या वर्षी. मग आह्माला वाटे, की आमच्यासारख्या कमअस्सल विद्यार्थ्यांमुळे ज्या खऱ्या गुणवान विद्यार्थ्यांना आयआयटीत प्रवेश मिळण्यापासून वंचित रहावे लागले, ते बिचारे आता काय करत असतील?

तरीसुद्धा आमचे समकालीन विद्यार्थी आमच्या पूर्वसूरींइतकेच “यशस्वी” झालेले आढळतात. व्यवसायात तर खचितच, पण अकादमिक क्षेत्रातही. त्यांनी जगप्रसिद्ध विद्यापीठांतून पीएचड्या केल्या आहेत, मोठमोठी पेटंट्स मिळवली आहेत, शोधनिबंध लिहिले आहेत, गुणवंत विद्यार्थी घडवले आहेत, कंपन्यांची प्रमुखपदे भूषविली आहेत, आणि आयआयटीला कोट्यवधी रुपयांच्या देणग्या दिल्या आहेत. आयआयटी बॉम्बे चे नाव मोठे करण्यात प्राध्यापकांप्रमाणेच त्यांचाही वाटा आहे.

प्रवेश परीक्षेचे स्वरूप काय असावे, त्यात कालानुरूप बदल कसे करावेत, हा माझ्या आवाक्याबाहेरचा प्रश्न आहे. त्याबद्दल अर्थातच तज्ज्ञांची मते ग्राह्य मानावीत. त्यात राजकारण्यांनी (किंवा त्यांच्या ताटाखालच्या बाबूंनी) हस्तक्षेप करू नये हे खरेच. पण प्रचलित परीक्षापद्धतीतून आयआयटीत येणारे विद्यार्थी त्यांच्यापूर्वीच्या विद्यार्थ्यांपेक्षा दखल घेण्याइतक्या कमी दर्जाचे असतील यावर माझा विश्वास बसणे कठीण आहे. तसे खरेच आहे का, या प्रश्नाचे उत्तर काळच देईल. असो.

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक1
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

….शेवटी मदांध तख्त फोडते मराठी!

आयआयटी बॅांबेमधील आमचे काही प्राध्यापक त्याहीवेळी ह्मणत, की “अगरवाल” आणि “ब्रिलियंट ट्युटोरिअल्स” यांनी (त्यावेळच्या आयाय्टी एन्ट्रन्स एक्झॅमचे क्लासेस चालविणाऱ्या दोन खाजगी संस्थांनी) जे.ई.ई. ची अगदी वाट लावली आहे.

अवांतर सहज फालतू चौकशी: तुमच्या वेळेस ‘विद्यालंकार’ नव्हते काय? नाही म्हणजे, ‘ब्रिलियंट’चा जोम मद्रासच्या बाजूस अधिक होता, असे आठवते. मुंबईस सहसा ‘अगरवाल’ नि ‘विद्यालंकार’ ही नावे जोडीने यायची. असो.

==========

(यापुढील मजकूर एका बिगर-आयायटियनाच्या नजरेतून.)

मग आह्माला वाटे, की आमच्यासारख्या कमअस्सल विद्यार्थ्यांमुळे ज्या खऱ्या गुणवान विद्यार्थ्यांना आयआयटीत प्रवेश मिळण्यापासून वंचित रहावे लागले, ते बिचारे आता काय करत असतील?

याला माझ्या मते प्रत्युत्तर एकच आहे: तुमच्यासारख्या कमअस्सल विद्यार्थ्यांमुळे ज्या खऱ्या गुणवान विद्यार्थ्यांना आयआयटीत प्रवेश मिळण्यापासून वंचित रहावे लागले, ते बिचारे जर खरोखरच तितके प्रज्ञावंत असतील, तर मुळात झक मारायला आयायटीत कडमडण्यासाठी एंट्रन्स एक्झाम द्यायला मरायला कशाला जातील? (इकॉनॉमी ऑफ शॉर्टेजेसमुळे, की…?)

नाही, म्हणजे…

ते ह्मणत, की मूळ विषय खोलात समजून न घेतां नुसता सराव करून, परीक्षेचे तंत्र आत्मसात करून, प्रत्यक्ष गुणवत्ता पूर्वीच्या “हुषार” विद्यार्थ्यांच्या जवळपासही नसणारे (आमच्यासारखे!) विद्यार्थी आता आयाय्टीत येऊ लागले आहेत. “तू जे.ई.ई. कसा/कशी काय पास झालास/झालीस बरे?” असे काही प्राध्यापकच नव्हे, तर प्रयोगशाळेतील तंत्रज्ञ (विद्यार्थ्यांच्या भाषेत “लॅब सायडी”) सुद्धा आह्माला सर्रास ह्मणत असत - विशेषत: पहिल्या वर्षी.

…तुमच्या प्राध्यापकांच्या मते तुम्ही जर इतके कमअस्सल असाल, आणि आयायटीत जर आता तुमच्यासारख्यांची सद्दी सुरू झाली असेल, तर मग ते जे कोणी खरे गुणवान विद्यार्थी असतील, त्यांना तसल्या आयायटीत यायला infra dig वाटणार नाही काय? मग ते मुळात जेईई देऊ पाहतील तरी कशाला? आणि, ते खरे गुणवंत विद्यार्थी जर मुळात जेईईला उपस्थितच नाही राहिले, तर मग बाय डीफॉल्ट, हाज़िर सो वज़ीर न्यायाने, तुमच्यासारखे जर जेईई उत्तीर्ण होऊ लागले, तर मग त्यात कोणाला आश्चर्य का वाटावे?

की, भारतातील तत्कालीन इकॉनॉमी ऑफ शॉर्टेजेसमध्ये, चांगल्या शैक्षणिक संस्थांचा देशात तुटवडा असल्याकारणाने, मजबूरी का नाम न्यायाने झक मारत त्या खऱ्या गुणवंत वगैरे विद्यार्थ्यांनासुद्धा आयायटीचे पाय धरावे लागत, मात्र, तेथे तुमच्यासारख्यांची सद्दी असल्याकारणाने त्यांचा जेईईत टिकाव लागत नसे, असा काही तुमच्या उपरनिर्दिष्ट गुरुजनांचा दावा होता?

स्पष्टच सांगायचे, तर तुमच्या उपरनिर्दिष्ट गुरुजनांची ती दर्पोक्ती होती. आणि, अगरवाल-विद्यालंकार-ब्रिलियंटादि मंडळींनी जेईईची नि पर्यायाने आयायटीची जितकी वाट लावली नसेल, तितकी त्या एका दर्पोक्तीने लावली असावी.

परंतु, असतात असे नमुने सगळीकडेच. Power corrupts, and absolute power corrupts absolutely. तद्वत, टेन्युअरमुळेसुद्धा मनुष्यास माज चढू शकत असावा. (हे विधान मी अर्थातच सरसकटपणे करीत नाही. आणि, present parties exceptedचा न्याय अर्थातच लागू आहे.)

तरीसुद्धा आमचे समकालीन विद्यार्थी आमच्या पूर्वसूरींइतकेच “यशस्वी” झालेले आढळतात. व्यवसायात तर खचितच, पण अकादमिक क्षेत्रातही. त्यांनी जगप्रसिद्ध विद्यापीठांतून पीएचड्या केल्या आहेत, मोठमोठी पेटंट्स मिळवली आहेत, शोधनिबंध लिहिले आहेत, गुणवंत विद्यार्थी घडवले आहेत, कंपन्यांची प्रमुखपदे भूषविली आहेत, आणि आयआयटीला कोट्यवधी रुपयांच्या देणग्या दिल्या आहेत. आयआयटी बॉम्बे चे नाव मोठे करण्यात प्राध्यापकांप्रमाणेच त्यांचाही वाटा आहे.

आणि, उपरोक्त कुजकट विधाने करणाऱ्या प्राध्यापकांचे काय झाले पुढे? ते मात्र निवृत्तीपर्यंत आयुष्यभर तेथेच आयायटीत तीचतीच लेक्चरबाजी करीत राहिले असतील, नाही? (की त्याचेच फ्रस्ट्रेशन ही त्या कुजकट विधानांमागील प्रेरणा असावी?) मग असे प्राध्यापक हे मुळात आयायटीत आलेच कसे, त्यांना मुळात घेतलेच कसे गेले, असा प्रतिप्रश्न का विचारला जाऊ नये?

(माफ करा, परंतु असली कुजकट विधाने करणे - आणि तेही एखाद्या प्राध्यापकाने! - हे मला अंगभूत mediocrityचे लक्षण वाटते. आणि, असले प्राध्यापकसुद्धा जर आयायटीत घेतले जाऊ शकत असतील, तर… कसली मग ती आयायटी?)

पण प्रचलित परीक्षापद्धतीतून आयआयटीत येणारे विद्यार्थी त्यांच्यापूर्वीच्या विद्यार्थ्यांपेक्षा दखल घेण्याइतक्या कमी दर्जाचे असतील यावर माझा विश्वास बसणे कठीण आहे. तसे खरेच आहे का, या प्रश्नाचे उत्तर काळच देईल.

याच्याशी इंट्यूटिवली सहमत आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण1
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

प्रतिसाद वर योग्य जागी हलविला आहे.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

गणित ह्या विषयासंदर्भात काहीही टिप्पणी
करण्याचा अधिकार मला नाही हे मान्य.
प्रा.लिमये जुने मित्र असल्याने पात्रतेचा
अधिक्षेप करून काहीबाही लिहितो हे
'सुदाम्याचे पोहे' मान्य करून घ्यावेत.
ज्या डीडक्टिव्ह लॉजिकची बैठक
इतर सर्व विषयांपेक्षा गणितात जास्त
आवश्यक आहे ती शालेय शिक्षणापासूनच
विद्यार्थ्यांमध्ये मुरवणे आवश्यक आहे.
हे 'मार्क्सिस्ट' अभ्यास पद्धतीमुळे शक्य
होत नाही असा माझा अनुभव आहे. हे
अर्थातच 'मधल्या' ८०% विद्यार्थ्यांच्या
संदर्भात नोंदवले आहे. त्यामुळे शैक्षणिक
पद्धतीत जे काही फेरफार करायचे ते
शालेय स्तरावर केल्यास परिणामकारक
ठरतील असे वाटते.
नोंदवण्यासारखी महत्वाची दुसरी गोष्ट म्हणजे
प्रा. लिमयांनी अनुभवांचे रेकॉर्ड ठेवले म्हणूनच
ही लेखमाला शक्य झाली. सर्व कारकीर्द
संपण्याच्या काळात त्यांची त्यांच्या विषयातील
आणि विद्यार्थ्यांप्रतीची बांधिलकी कौतुकास
पात्र आहे. प्रत्येक विषयात अनेक स्तरांवर अशी
कारकीर्द असलेले अनेक प्राध्यापक/शिक्षक ही
बांधिलकी दाखवतात काय? सर्व विषयांच्या
तज्ज्ञांकडून जेंव्हा असे अनुभवसार प्राप्त
होईल तेंव्हाच शिक्षण कसे असावे हे ठरवता
येईल.

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Your writings has been very fluent and has the easy flow. Your personal experiences and their recall is amazing. I am sort of envious of all those students whom you taught as they may not know how much you love them teaching as well as simplifying complicated mathematical issues; basically I wish I was your student. It must have been a great experience! My friend you are a great gift to the mankind I bow before your knowledge and intelligence and importantly your down to earth attitude. I am proud of our childhood friendship and happy we feel we just met yesterday though renewed it after years! I salute to you and yours dear one!

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक1
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Suresh B Katakkar

जसजसे तंत्रज्ञान विकसित होते गेले, तसतसे शिक्षण आणि शिकविण्याच्या पद्धती बदलत गेल्या. प्रक्षेपक, ध्वनिक्षेपक, आंतरजाल इ. च्या सहाय्याने अधिकाअधिक विद्यार्थ्यांपर्यंत पोहोचणे शक्य होऊ लागले.

आमच्या काळात विद्यालंकारची चलती होती. अग्रवाल अर्थातच आधिपासून होतेच. चाटे क्लासेसने "लातूर पॅटर्न" आणि "फ्रँच्याईज"च्या संकल्पना शिक्षण क्षेत्रात आणल्या. त्यांच्या एक पाउल पुढे टाकून महेष ट्यूटोरिअलचा आयपिओ पण आला. ग्राफिक्स डिझानर्स आणि तत्सम तंत्रज्ञानाच वापर करून संकल्पना अधिकाअधिक चांगल्या पद्धतीने शिकविता येऊ लागल्या. सध्या बैजूची चलती आहे. कंपनीने कधीच बिलिअन डॉलर्स मूल्यांकंनाची वेस ओलांडली आहे. आता केवळ या "यूनिकॉर्नचा" आयपिओ यायचा बाकी आहे. गेल्या महिन्यातच वाचले की, चायनिज गव्हरमेंटने काही पॉलिसिज बदलून शिक्षणक्षेत्रातल्या नफेखोरीवर चाप लावला म्हणून चायनिज "एड-स्टॉक्स" गडगडले.

या सगळ्यात आता "चितळे मास्तर" ही केवळ एक स्वप्नवत कल्पना राहिली आहे.

"पूर्णपणे वस्तुनिष्ठ" या संकल्पनेविषयी मला थोडा वेगळा अनुभव आहे. सिएफएच्या तीन लेव्हलपैकी पहिल्या दोन लेव्हलच्या परीक्षा या "पूर्णपणे वस्तुनिष्ठ" पद्धतीने होतात. पण ही पद्धत मला आवडली. कारण केवळ नशिबाने उत्तीर्ण होण्याची शक्यता कमी असते. शिवाय, या परीक्षेत एक लक्षात आले की काही प्रश्न खूपच सोपे असतात, त्यांची उत्तरे सहज देता येतात. विषयाचा थोडाफार अभ्यास केलेले विद्यार्थी ते सहज सोडवू शकतात. काही प्रश्न हटकून असे असतात की विषयाचा सखोल अभ्यास झाल्याशिवाय ती देता येणे अशक्य असते. तर काही मोजके प्रश्न हे त्याहूनही हटके असतात त्याची उत्तरे अर्थात विद्यार्थ्याच्या विचार करण्याच्या क्षमतेशी संबंधित असतात आणि हमकास एकापेक्षा अधिक पर्याय योग्य आहेत असे वाटते. तिसर्‍या लेव्हलची एक परीक्षा सब्जेक्टीव्ह असते पण त्यातही केवळ एक वा दोन वाक्यात उत्तर वा बर्‍याच वेळा आपले मत (ओपिनिअन) मांडायचे असते, (बरोबर आहे, चूकिचे आहे, मला असे वाटते..) आणि त्याचे स्पष्टीकरण अगदी थोडक्यात "बुलेट पॉईंटने" मांडायचे असते कारण स्पर्धा वेळेशी पण असते. कधी कधी काही प्रश्नांचे उत्तर केवळ एकमेव असे नसते, विद्यार्थी कसा विचार करतो त्यानुसार दोन वा तीन "संभाव्य" उत्तरे असू शकतात. अशी परीक्षापद्धत मला पारंपारिक परीक्षा पद्धतीपेक्षा वेगळी वाटली (गणित वगळता इतर विषयांबाबतीत ज्यात केवळ पाठांतरावर जास्त भर असतो). अशा पद्धतीत विद्ध्यार्थ्यांच्या विषयातली तयारी "कमी प्रयत्नात आणि कमी वेळात" जोखता येते. प्रश्नपत्रिकेतल्या प्रश्नांची क्रमवारी बदलल्यामुळे कॉपी करून पास होण्याची शक्यता कमी होते. त्यामुळे आजकाल जवळजवळ सगळ्याच प्रवेश परीक्षा "पूर्णपणे वस्तुनिष्ठ" पद्धतीने होतात. अर्थात याहीपेक्षा अधिक चांगली कुठली पद्धत असेल तर तिचा विचार झाला पहिजे.

  • ‌मार्मिक1
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

एखाद्या अभ्यासक्रमासाठी लेखी आणि तोंडी परीक्षा घेताना परिक्षकांचे कौशल्य महत्त्वाचे ठरते. हा विद्यार्थी अभ्यासक्रम पूर्ण करण्यास लायक आहे का ठरवणे. जेजे स्कूल प्रवेश परीक्षा व त्यातून बाद झालेले प्रसिद्ध चित्रकार बरेच आहेत.
तर नोकरीसाठी उमेदवाराची निवड करताना हा नोकर होण्यास लायक हे ठरवायचे असते.
नशिब श्रेष्ठ.

कित्येक यशस्वी हुशार विद्यार्थी/ उमेदवारांचे श्रेय ढापण्याची मध्यंतरी कोचिंग क्लासची / शिक्षकांची धडपड वाखाणण्याजोगी होती.

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

Dear Balmohan, 
It was a pleasure reading all the articles in the series! The articles were very interesting.  Besides the mathematics that was nicely articulated, it showed your commitment as well as dedication to improving the academic standards and evaluations at the IIT Bombay and the country at large, that, many, like me, share with you in the larger frame of conscientious mathematics teaching and professionalism across the entire nation. As you have politely pointed out in your last article, textbook writing is an onerous task and in my own case, it took more than twenty-five years to see the light of the day for the textbook to finally get published in print. With regards. 
Sincerely, 
Sharad 

  • ‌मार्मिक0
  • माहितीपूर्ण0
  • विनोदी0
  • रोचक0
  • खवचट0
  • अवांतर0
  • निरर्थक0
  • पकाऊ0

शरद साने