भारतीय गणितातील संकल्पनांचा इतिहास

नुकतीच फेसबुकावर एक चर्चा झाली त्यात कोणीतरी एक लेख सादर केला होता - त्यात लेखकाने 'भारतात अतिशय पुरातन काळापासून कोटी, शंकू इतकंच काय तर १ वर ५० शून्य असलेल्या संख्येलाही नाव होतं. यावरून गणित किती पुढारलेलं होतं पाहा.' असं काहीसं म्हटलं होतं. संख्येला नाव आहे म्हणजे ती संख्या वापरात होती असं नाही; आणि मोठ्ठ्या संख्यांना नावं असणं म्हणजे गणिताची प्रगती असंही नाही. मात्र त्या चर्चेच्या दरम्यान एका इंडॉलॉजिस्ट एका चांगल्या लेखमालेचा दुवा दिला. भारतीय आणि इतर देशांत गणिताची प्रगती कशी झाली याचा त्यांनी चांगला आढावा घेतला आहे. सर्वात महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे 'पाहा पाहा, त्यांना त्या काळी वर्गमुळात दोनची किंमत काढता येत होती. म्हणजे ते कित्ती थोर होते.' या प्रकारचा छाती भरभरून आलेला अभिमान कुठेही नाही. त्यातले लेख वाचताना काही सारांशात्मक नोंदी करत गेलो. त्यात स्वतःच्याही काही टिप्पणी लिहिल्या आहेत. त्या इथे सादर करतो आहे. हे सगळं नोट्स काढल्याप्रमाणे असल्यामुळे भाषेचा ओघ चांगला नाही, तेवढं चालवून घ्यावं ही विनंती.

त्यांच्या मते शून्याचा वापर असलेली दशमान पद्धत ही सातव्या शतकाच्या अलिकडे-पलिकडे सुरू झाली. नवव्या शतकातले बरेच पुरावे सापडतात, तेव्हा त्याकाळी निश्चितच प्रस्थापित होती. बाकी गणितातल्या इतर संकल्पना, आणि पद्धती कधी आल्या त्यावर काही माहिती मिळेल अशी खात्री आहे.

पुढचा थोडा भाग वाचला त्याबद्दल काही नोंदी. शूल्बसूत्रं - वेदांची परिशिष्टं म्हणून शूल्बसूत्रं येतात. यात विशिष्ट आकाराच्या यज्ञचौकटी तयार करण्यासाठी म्हणून काही सूत्रं आहेत. त्यात चौरसाचा आकार दुप्पट करण्यासाठी त्याच चौरसाचा कर्ण बाजू म्हणून वापरावं असं दिलेलं आहे. यातून पायथागोरसचा थिअरम त्यांना माहीत होता असं म्हणता येत नाही. कारण एक सोपी आकृती काढून हे सिद्ध करता येतं. तसंच काही पायथॉगोरिअन ट्रिपलेट्स (३,४,५), (५,१२,१३) वगैरे त्यांना माहीत होती. हेही मूळ थिअरम माहीत नसताना केवळ मोजमापं करून शोधून काढता येतं. त्यात वर्तुळाच्या आकाराचा चौरस काढण्याची कृती दिलेली आहे. त्यातून ज्या पायच्या किमती येतात त्या ३.०४ ते ३.०९ अशा आहेत. इतकी प्रचंड एरर म्हणजे त्यांनी केवळ 'साधारण' 'अंदाजे' जवळपास जाणारी अॅप्रोक्झिमेशन्स दिलेली आहेत. वर्गमुळात २ काढण्याचं सूत्रही कसं आलं असावं याचं गुप्ता यांनी उत्तम विश्लेषण दिलेलं आहे. तेही असंच प्रॅक्टिकल सोल्यूशन आहे. दुर्दैवाने या लेखात 'शेजारची आकृती पाहा' असं लिहिलं आहे तिथे आकृत्या दिसत नाहीत. पण साधारण युक्तिवाद असा. दोन सारख्या आकाराचे चौरस घ्यायचे आणि त्यापासून एक मोठा चौरस करण्याचा प्रयत्न करायचा. एकाच्या चार पट्ट्या कापल्या, आणि दुसऱ्या चौरसाच्या चार बाजूंना ठेवल्या तर अपूर्ण चौरस तयार होतो - चार टोकांना रिकामे चौरस असलेल्या. मग त्या प्रत्येक पट्टीचा सुमारे एक पंचमाश भाग कापायचा, त्याचे चार तुकडे करायचे आणि त्यांनी तो रिकामा भाग भरून काढायचा. मग अजून थोडा भाग तिथे जास्तीचा होतो, तो कमी करायचा.... असं करत गेलं की उत्तरं १.५, १.४, १.४१... अशी सुधारत जातात.

पुढचा भाग जैन गणिताविषयी आहे. शूल्बसूत्रांचा कालखंड सुमारे ८०० ते ६०० बीसी. जैन गणिताचा या लेखात सांगितलेला कालखंड ६०० बीसी ते ५०० एडी. त्यात त्यांनी अनंत या कल्पनेचा अभ्यास केला असं म्हटलेलं आहे. तसंच एका गणिताचं उदाहरण सांगितलेलं आहे - पृथ्वीच्या त्रिज्येचा बराच उंच दंडगोल घेतला तर त्यात किती मोहरीचे दाणे मावतील? लेखात या गणितासाठी काही रिकर्सिव्ह गोष्टी त्यांनी वापरल्या असं म्हटलेलं आहे, पण नक्की काय कसं ते सांगितलेलं नाही. हा आकडा जघन्य-पारित-असंख्यता (unenumerable of low enhanced order) या नावाचा आहे, पण तरीही संख्या तिथे संपत नाहीत असं म्हटलेलं आहे. (हा भाग लेखात मोघमपणेच आलेला आहे, त्यामुळे मला नीट समजला नाही) अनंतपणाबद्दल इथे विचार केलेला दिसतो. जैनांनी पाच प्रकारचे अनंत सांगितले आहेत. एका दिशेला अनंत, दोन दिशांना अनंत, अनंत क्षेत्रफळ असलेलं, सगळीकडेच अनंत (बहुधा अनंत घनफळ), कायमचं अनंत (परपेच्युअली इनफायनाइट). तसंच अनेक ठिकाणी आत्तापर्यंत जगलेल्या माणसांची संख्या २चा ९६वा घात अशी दिलेली आहे. हा आकडा अर्थातच चूक आहे, पण त्यांनी उत्पत्तीसाठी काय निकष लावले हे माहीत नाही. तिसऱ्या शतकातल्या एका ग्रंथात परम्युटेशन्स - कॉंबिनेशन्सबद्दल विचार आहे. दहाव्या शतकात एका ग्रंथात या ग्रंथावर टिप्पणी आहे, आणि त्यात ही गणितं करण्यासाठी आवश्यक असणारे बायनॉमिअल एक्स्पान्शनचे आकडे दिलेले आहेत. पुढे वर्गमुळाचं वर्गमूळ म्हणजे त्या संख्येचा एक चतुर्थांशावा घात, आणि त्याचं वर्गमूळ म्हणजे एक अष्टमांशावा घात या कल्पना येतात. पायची किंमत ग्रीकांप्रमाणे त्यांनीही सोयीसाठी दहाचं वर्गमूळ = ३.१६२३ असं वापरलेलं दिसतं.

जैन खगोलशास्त्र - सूर्य प्रजापती या ग्रंथात चांद्रमासाचा काल २९.५२ दिवस असा दिलेला आहे, जो २९.५१ शी अतिशय उत्तम जुळतो. (अर्थात हे फार कठीण नाही.) मात्र हे भारतीय संशोधन आहे की बॅबिलोनियन ग्रंथांतून मिळवलेलं ज्ञान आहे हे निश्चित नाही. कारण त्यात दिवसाच्या लांबीच्या बदलाबद्दल काही विधानं आहेत ती भारतापेक्षा बॅबिलॉनला अधिक लागू पडतात.

बख्शली मॅन्युस्क्रिप्ट - १८८१ मध्ये सापडलेलं लिखाण - हे सुमारे चौथ्या शतकातलं आहे असा अंदाज आहे. वेगवेगळ्या इतिहासकारांनी ३०० ते ५०० असे आकडे मांडलेले आहेत.

त्यात बहुतांश गणितं ही तीन किंवा दोन व्हेरिएबल्सची सायमलटेनियस इक्वेशन्स आहेत. तसंच वर्गमूळ काढण्याची एक उत्तम इटरेटिव्ह पद्धत दिलेली आहे. √Q = √(A2 + b) = A + b/2A*(1 – 2/((A+ b/2A))). या पद्धतीने अनेक वर्गमुळं पाचव्या दशमस्थळापर्यंत काढता येतात. (शूल्बसूत्रात दिलेल्या वर्गमुळात दोनच्या किमतीचं हे सर्वसाधारणीकरण आहे बहुतेक. तपासून पाहायला हवं.)

शून्याची संकल्पना - बॅबिलोनियन ६० पायाचे आकडे वापरत. पण शून्याचा वापर नव्हता. त्यामुळे अनेक आकडे २०१६ की २१६ हे संदर्भाने ठरत असे. मला वाटतं साठसारखा मोठ्ठा पाया असल्यामुळे बराच काळ त्यांना शून्याची गरजही पडली नसावी. सुमारे ४०० बीसीपासून त्यांनी शून्य दाखवण्यासाठी २''१६ असं लिहायला सुरुवात केली. पण तीही लिखाणाची सोय म्हणूनच, गणिताची सोय त्याने होते म्हणून आज वापरली जाणारी शून्याधारित दशमान पद्धती त्यामागे असेल असं नाही. १३० साली टोलेमीने शून्य हे चिन्ह वापरलं, पण हीही सोयच होती, आणि केवळ काही खगोलशास्त्रज्ञांत प्रचलित होती. ५०० साली आर्यभटाने स्थानाधारित अंकगणनेची पद्धत तयार केली, पण यात शून्याला स्थान नव्हतं असं या लेखात म्हटलेलं आहे. स्थानाला 'ख' म्हटलं, आणि बहुधा रिकाम्या स्थानाला नुसतंच ख म्हटलं. (हा भाग मला नीटसा कळलेला नाहीये). पण ६५० साली व्यवस्थित शून्यासहित दशमान पद्धती भारतात वापरात होती असं बऱ्याच इतिहासकारांचं म्हणणं आहे. ८७६ सालच्या एका शिलालेखात शून्य पहिल्यांदा स्पष्ट दिसतं. '२५० हस्त लांब आणि १८७ हस्त रुंद बाग तयार केली. त्यातून दिवसाला ५० हार होतील इतकी फुलं मिळतील.' अशा प्रकारचा उल्लेख आहे. शून्य थोडं लहान, आणि थोडं वर काढलेलं आहे.

शून्य ही एक संख्या म्हणून ब्रह्मगुप्ताने तिला स्थान दिलं. शून्य या संख्येचे गुणधर्म त्याने सांगितले. कुठच्याही आकड्यातून तोच आकडा वजा केला की शून्य राहातं, कुठचीही संख्या शून्यातून वजा केली की आपल्याला ती ऋण संख्या मिळते, आणि शून्यातून कुठचीही ऋण संख्या वजा केली की तीच धन संख्या मिळते असे नियम त्याने सांगितले. शून्याला भागलं की शून्य मिळतं. मात्र शून्याला शून्याने भागलं तर शून्य मिळतं असं तो म्हणतो. क्ष/० चं उत्तर तो क्ष/० असं सांगतो व उत्तर देणं सफाईने टाळतो. :)

८३० साली ब्रह्मगुप्ताच्या लेखनाबद्दल लिहिताना गणित सार संग्रह मध्ये महावीर लिहितो की शून्याने भागलं की संख्या बदलत नाही. हा गोंधळ शिल्लक होताच. मात्र भास्कराने अजून तीनशे वर्षांनी तो थोडा सोडवला. त्याने म्हटलं की शून्याने भागलं की अनंत मिळतं.

माया संस्कृतीतही ६७० च्या सुमाराला शून्यासकट वीसमान पद्धती होती.

भारतातून ही पद्धत अरबांकडे गेली, तसंच पूर्वेकडे चीनमध्येही गेली. बाराव्या शतकात फिबोनाचीने युरोपात ती पसरवली. मात्र ती पद्धत सर्वत्र प्रस्थापित झाली नाही. कार्डन नावाच्या गणिततज्ञाने वर्ग आणि घन समीकरणांची उत्तरं शून्य न वापरता काढली. त्याने शून्य वापरलं असतं तर हे खूप सोपं गेलं असतं असं लेखात म्हटलेलं आहे.

पुढचा लेख हा पायविषयी आहे, त्यातून भारतीय विज्ञानाच्या आणि गणिताच्या इतिहासावर फार प्रकाश पडत नाही.